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Funktionale Abhängigkeit

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Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 1: Pyramide mit Quader
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 1: Pyramide mit Quader
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein quaderförmiger Körper soll von einer geraden Pyramide $ABCDS$ mit quadratischer Grundfläche überdeckt werden. Die Grundfläche der Pyramide hat eine Seitenlänge von $a=40\,\text{cm}$ und eine Höhe von $h_1=160\,\text{cm}$. Der Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $x$ und der Höhe $h_2$.
a)
Zeichne eine Skizze des Problems.
b)
Zeichne den Axialschnitt des Problems.
c)
Gib die Höhe $h_2$ des Quaders in Abhängigkeit von $x$ an.
d)
Gib die Definitionsmenge von $x$ an.

Aufgabe 1

Ein Glasbläser möchte eine Lampe konstruieren, welche einen kugelförmen Glaskörper besitzt, in welchem eine zylinderförmige Leuchtröhre für das notwendige Licht sorgt. Die Glaskugel soll einen Radius von $6\,\text{cm}$ haben und die Leuchtröhre einen Radius von $x\,\text{cm}$.
a)
Fertige einen Axialschnitt der Lampe an.
b)
Berechne die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von $x$.
c)
Berechne das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von $x$ und zeichne den Graphen der Funktion im Intervall $[0;6[$.
d)
Bestimme anhand des Graphen, für welchen Wert von $x$ das Volumen des Zylinders maximal wird.

Aufgabe 2

Laura möchte mit ihren Eltern ein Spiel spielen. Sie hat drei hohle Kegel in ihrem Zimmer gefunden, welche einen Radius von $r=5\,\text{cm}$ und eine Mantellinie der Länge $s=13\,\text{cm}$ besitzen. Unter einem dieser Kegel möchte sie eine Box verstecken, die die Form eines geraden Zylinders hat. Sie zeigt ihren Eltern unter welchem Kegel sich die Box befindet und verschiebt die Kegel anschließend wild durcheinander. Nachdem sie damit fertig ist, müssen ihre Eltern erraten, unter welchem Kegel sich die Box befindet. Die Box muss so groß sein, dass die Kante der Oberseite rundum das Innere des Kegels berührt, da der Zylinder sonst Geräusche beim Verschieben macht.
a)
Zeichne den Axialschnitt des Kegels mit der Box darunter, wenn der Zylinder den Radius $x$ und die Höhe $h_2$ besitzt.
b)
Berechne die Höhe des Kegels.
c)
Bestimme den Mantelflächeninhalt des Zylinders in Abhängigkeit von $x$.
d)
Für welchen Wert von $x$ nimmt die Mantelfläche ihren maximalen Wert an?

Aufgabe 3

In eine gerade Pyramide $ABCDS$ mit quadratischer Grundfläche soll eine weitere gerade Pyramide $A_nB_nC_nD_nS_n$ mit quadratischer Grundfläche auf dem Kopf einbeschreiben werden. Die Eckpunkte der Grundfläche der zweiten Pyramide sollen auf den Kanten der äußeren liegen. Die Pyramide $ABCDS$ hat eine Grundseitenlänge von $a=5\,\text{cm}$ und eine Höhe von $10\,\text{cm}$. Die Höhe $x$ der zweiten Pyramide ist unbekannt.
a)
Zeichne eine Skizze des Problems.
b)
Berechne das Volumen der Pyramide $A_nB_nC_nD_nS_n$ in Abhängigkeit von $x$ und zeichne den Graph der Funktion im Intervall $[0;10[$.
c)
Bestimme anhand des Graphens, für welchen Wert von $x$ das Volumen maximal wird.
#extrempunkt
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Skizze zeichnen
Beim Zeichnen einer Skizze ist es wichtig das grundsätzliche Problem klar darzustellen. Größenrelationen sind hierbei nicht so relevant. Achte nur darauf, dass du die Skizze mit allen Angaben aus dem Text beschriftest.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 1: Skizze
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. Zahl: Skizze
b)
$\blacktriangleright$ Axialschnitt anfertigen
Wenn du einen Axialschnitt anfertigst, musst du dir als erstes Gedanken darüber machen, auf welcher Achse du den Körper schneidest. Hier bietet es sich an, den Körper parallel zur Strecke $\overline{AB}$ zu schneiden, sodass der Schnitt durch den Mittelpunkt $M$ der Grundfläche verläuft.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Axialschnitt
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Axialschnitt
c)
$\blacktriangleright$ Höhe $h_2(x)$ bestimmen
Du sollst nun $h_2$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmen. Hierfür berechnest du $h_2$ mithilfe des Strahlensatzes, welchen du nach einem Blick auf den Axialschnitt anwenden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h_2}{h_1}&=& \dfrac{\overline{AK}}{\overline{AM}} \\[5pt] \dfrac{h_2}{160\,\text{cm}}&=& \dfrac{20\,\text{cm}-\frac{x\,\text{cm}}{2}}{20\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 160\,\text{cm}\\[5pt] h_2(x) &=& 160\,\text{cm} \cdot \dfrac{20\,\text{cm}-\frac{x\,\text{cm}}{2}}{20\,\text{cm}} \\[5pt] &=& \dfrac{160\,\text{cm}}{20\,\text{cm}} \cdot \left(20\,\text{cm}-\frac{x\,\text{cm}}{2}\right) \\[5pt] &=& 8 \cdot \left(20\,\text{cm}-\frac{x\,\text{cm}}{2}\right) \\[5pt] &=& 4 \cdot 2 \cdot \left(20\,\text{cm}-\frac{x\,\text{cm}}{2}\right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \left(2\cdot 20\,\text{cm}-2\cdot \frac{x\,\text{cm}}{2}\right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \left(40\,\text{cm}-x\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \left(40-x\right)\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h_2}{h_1}&=& \dfrac{\overline{AK}}{\overline{AM}} \\[5pt] … &=& … \end{array}$
Nun kannst du die Höhe $h_2$ in Abhängigkeit von $x$ angeben.
d)
$\blacktriangleright$ Definitionsmenge von $x$ angeben
Um die Definitionsmenge von $x$ anzugeben, musst du überprüfen, welche Werte für $x$ zulässig sind. Da der Quader nicht größer sein kann als die Grundfläche und dennoch existieren muss, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \mathbb{D} \in ]0;40[ \end{array}$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Axialschnitt der Lampe anfertigen
Denke über die wichtigen Dinge nach, die du in dem Axialschnitt berücksichtigen musst.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3: Axialschnitt der Lampe
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3: Axialschnitt der Lampe
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $h(x)$ bestimmen
Auf der nachfolgender Skizze kannst du erkennen, dass du ein rechtwinkliges Dreieck bilden kannst, mit welchem du $h(x)$ berechnest. Nutze hierfür den Satz des Pythagoras.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{h}{2}&=& \sqrt{r^2-x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] h(x)&=& 2 \cdot \sqrt{r^2-x^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \sqrt{\left(6\,\text{cm}\right)^2-\left(x\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \sqrt{36\,\text{cm}^2-x^2\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \sqrt{36-x^2}\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{h}{2}&=& \sqrt{r^2-x^2} \\[5pt] h(x)&=& … \end{array}$
Damit hast du $h(x)$ bestimmt.
c)
$\blacktriangleright$ Volumen $V(x)$ bestimmen und Graph zeichnen
Um das Volumen in Abhängigkeit von $x$ zu bestimmen, berechnest du dieses mit der Volumenformel für Zylinder und setzt für $h$ nun $h(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot x^2 \cdot h(x) \\[5pt] &=& \pi \cdot x^2 \cdot \left(36-x\right) \end{array}$
Als nächstes sollst du diesen Graphen noch im gegeben Intervall zeichnen. Mach dir Gedanken darüber, in welchem Intervall du die Funktionswerte bestimmst, um anschließend die Punkte zu verbinden. In diesem Fall ist ein Intervallabstand von $0,5$ sinnvoll.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 5: Graph von $V(x)$
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 5: Graph von $V(x)$
d)
$\blacktriangleright$ Maximum bestimmen
Du bestimmst nun, bei welchem Wert für $x$ die Funktion ihren maximalen Funktionswert annimmt. Schaust du die Skizze an, erkennst du, dass bei ungefähr $x=5\,\text{cm}$ das Volumen sein Maximum erreicht.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Axialschnitt anfertigen
Beachte beim Axialschnitt wieder, auf welcher Achse du den Körper schneidest. Es bietet sich die Achse an, welche den Zylinder als auch den Kegel mittig schneidet.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 6: Axialschnitt
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 6: Axialschnitt
b)
$\blacktriangleright$ Höhe des Kegels berechnen
Die Höhe des Kegels berechnest du mithilfe des Satz des Pythagoras.
$\begin{array}[t]{rll} h_1&=& \sqrt{s^2-r^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(13\,\text{cm}\right)^2-\left(5\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{169\,\text{cm}^2-25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{144\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 12\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe des Kegels beträgt $12\,\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche $A_M(x)$ bestimmen
Die Mantelfläche berechnest du mit der entsprechenden Formel. Wichtig ist dabei, dass die Gleichung als einzige Variable $x$ beinhalten soll. Deshalb musst du die Höhe $h_2$ des Zylinders auch in Abhängigkeit von $x$ angeben. $h_2$ kannst du mithilfe einer Geraden beschreiben, die nur von $x$ abhängt.
$\begin{array}[t]{rll} h_2(x)&=& h_1-\frac{h_1}{r}\cdot x \\[5pt] &=& 12 - \frac{12}{5}\cdot x \\[5pt] &=& 12 - 2,4\cdot x \end{array}$
Damit hast du nun die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von $x$ bestimmt. Nun setzt du noch alle bekannten Werte in die Mantelflächenformel ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_M(x)&=& 2\cdot \pi \cdot r \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot x \cdot h_2(x) \\[5pt] &=& 2 \pi x \cdot \left(12-2,4 x\right) \end{array}$
Somit hast du die Mantelfläche in Abhängigkeit von $x$ bestimmt.
d)
$\blacktriangleright$ Maximum berechnen
Mithilfe quadratischer Ergänzung kannst du bestimmen, für welchen Wert von $x$ die Mantelfläche maximal wird.
$\begin{array}[t]{rll} A_M(x)&=& 2 \pi x \cdot \left(12-2,4 x\right) \\[5pt] &=& 2 \pi \cdot \left(12x-2,4 x^2\right) &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-2,4\right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{6}\pi \cdot \left(-5x+x^2\right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{6}\pi \cdot \left(x^2-5x\right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{6}\pi \cdot \left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{6}\pi \cdot \left(x^2-5x+6,25-6,25\right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{6}\pi \cdot \left(\left(x-2,5\right)^2-6,25\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_M(x)&=& 2 \pi x \cdot \left(12-2,4 x\right) \\[5pt] &=& … \end{array}$
Hier kannst du nun ablesen, dass für $x=2,5\,\text{cm}$ die Mantelfläche ihren maximalen Wert annimmt.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Skizze zeichnen
Wichtig ist hierbei wieder daran zu denken, alle wichtigen Dinge zu berücksichtigen und der Aufgabe enstprechend zu beschriften.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 7: Skizze
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 7: Skizze
b)
$\blacktriangleright$ Volumen $V(x)$ berechnen
Das Volumen berechnest du mit der Volumenformel für Pyramiden. Allerdings musst du die Grundseitenlänge $a_n$ der inneren Pyramide in Abhängigkeit von $x$ angeben, was du wiederum mit einer Geraden machst. Du stellst die Gerade für $x$ in Abhängigkeit von $a_n$ auf und formst diese dann nach $a_n$ um.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 10-\frac{10}{2,5}\cdot a_n \\[5pt] x&=& 10-4a_n &\quad \scriptsize \mid\; +4a_n \\[5pt] 4a_n + x &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] 4a_n &=& 10-x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] a_n &=& \frac{10}{4} - \frac{1}{4}x \\[5pt] a_n &=& 2,5-\frac{1}{4}x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 10-\frac{10}{2,5}\cdot a_n \\[5pt] … &=& … \end{array}$
Nun setzt du alle bekannten Werte in die Volumenformel ein.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot a_n^2 \cdot h \\[5pt] V(x) &=& \frac{1}{3} \cdot \left(2,5-\frac{1}{4}x\right)^2\cdot x \end{array}$
Als letztes zeichnest du noch den Graphen im gegebenen Intervall.
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 8: Graph von $V(x)$
Stereometrie: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 8: Graph von $V(x)$
c)
$\blacktriangleright$ Maximum bestimmen
Als letztes sollst du noch anhand des Graphen bestimmen, für welchen Wert von $x$ das Volumen maximal wird. Wirfst du einen genaueren Blick auf den Graphen, erkennst du, dass für ungefähr $x=3,5\,\text{cm}$ das Volumen maximal wird.
Bildnachweise [nach oben]
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