Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Grundkurs
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
Formvariable
Stereometrie
Prismen
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Zylinder
Kugel
Pyramide
Kegel
Zusammengesetzte Körp...
Daten
Statistische Erhebung...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme erstellen u...
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Algebra
Schnittwinkel im Koor...
Quadratische Funktion...
Wiederholung lineare ...
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Parabelfor...
Achsenschnittpunkte
Punktberechnung und P...
Schnittstellen zweier...
Herleitung von Funkti...
Modellierungsaufgaben
Wachstum
Lineares Wachstum
Quadratisches Wachstu...
Exponentielles Wachst...
Exponentieller Zerfal...
Sachrechnen
Erhöhter und verminde...
Zinsrechnung
Zinsrechnen
Vermischte Aufgaben
Zuwachssparen und Rat...
Orthogonale Affinität
Daten und Zufall
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Pyramide

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Stereometrie: Pyramide Stereometrie: Pyramide

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen einer Pyramide berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$
  • Oberfläche: $A_O=A_G+A_M$

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Hilfe der Grundseiten $a=b=4$ cm und der Höhe $h=5$ cm berechnen.
$V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$$=\frac{1}{3}\cdot a²\cdot h$$= \frac{1}{3}\cdot\left(4\text{ cm}\right)^2\cdot 5\text{ cm}$$=26,7\text{ cm}³$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.
Berechne das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche $A_G=30 \text{m}^2$ und der Höhe $h=4 \text{m}$.
2.
Die Grundseite $a$ einer Pyramide ist 2 cm lang.
Welche Oberfläche hat die Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen kongruent zur Grundfläche sind?
3.
Ali und seine Klasse sind in Paris auf Klassenfahrt. Dort angekommen, führt sie der Lehrer zum meistbesuchten Museum der Welt, dem Louvre. Um sich während der Wartezeit etwas abzulenken, blättert Ali in einem Prospekt. Dort liest er: „Die quadratische Glaspyramide des Louvre hat eine Höhe von $21,65$ Metern und hat die Seitenlänge von 35 Metern.“
Wie groß ist das Volumen dieser Pyramide?
Stereometrie: Pyramide
Stereometrie: Pyramide

Quelle: Benh LIEU SONG
http://de..wikipedia.org/wiki/Louvre
4.
Auf dem Karlsruher Marktplatz steht eine Pyramide zum Gedenken an den Gründer und Namensgeber der Stadt, Markgraf Karl Wilhelm von Baden-Durlach. Die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche von $A_G=36,6\text{ m}²$ und die Seitenkanten sind 8,04 m lang.
Welches Volumen und welche Oberfläche hat die Pyramide?
Stereometrie: Pyramide
Stereometrie: Pyramide

Quelle: Martin Dürrschnabel
http://de..wikipedia.org/
wiki/KarlsruherPyramide
5.
Das Dach eines Turmes hat die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Die Grundseiten sind jeweils 2 m lang und das Dach hat eine Höhe von $h=2$ m.
Stereometrie: Pyramide
Stereometrie: Pyramide
Welches Volumen und welche Oberfläche hat das Dach?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Volumen berechnen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Gegeben ist dir die Grundfläche und die Höhe.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 30\text{ m}^2 \cdot 4\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 120\text{ m}^3\\[5pt] V_P=&40\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $40\text{ m}^3$.
2.
Dreiseitige Pyramide
Da es sich um eine Pyramide handelt, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen zur Grundfläche kongruent sind, sind alle 4 Seiten gleich groß. Daher lässt sich die Oberfläche mit folgender Formel bestimmen:
$A_O=4\cdot A_G$.
Zunächst muss die Höhe der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
$ \begin{array}[t]{rll} h^2=&a^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h^2=&(2\text{ cm})^2-(1\text{ cm})^2\\[5pt] h^2=&4\text{ cm}^2-1\text{ cm}^2\\[5pt] h^2=&3\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h=&\sqrt{3}\text{ cm} \end{array} $
Nun kannst du den Flächeninhalt eines einzelnen Dreiecks bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\frac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot \sqrt{3}\text{ cm}\\[5pt] A_G=&\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{array} $
Zum Schluss wird die Oberfläche berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&4\cdot A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&4\cdot\sqrt{3}\\[5pt] A_O=&6,93\text{ cm}^2 \end{array} $
3.
Volumen der Pyramide
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Bekannt ist dir, dass es sich um eine quadratische Pyramide handelt. Das heißt, dass die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=35\text{ m}$ ist.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot \left(35\text{ m}\right)^2 \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 35\text{ m}\cdot 35\text{ m} \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P\approx&\dfrac{1}{3}\cdot 26.521,3\text{ m}^3\\[5pt] V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $8.840,4\text{ m}^3$.
4.
Volumen und Oberfläche
Zunächst musst du die Seitenlänge der Grundseite berechnen. Da es sich bei der Grundfläche um ein Quadrat handelt, lässt sich die Kantenlänge $a$ durch die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrates bestimmen.
1. Schritt: Seitenlänge a
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&a^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 36,6\text{ m}^2=&a^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] 6,05\text{ m}=&a \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} 6,05\text{ m}=&a \end{array} $
2. Schritt: Höhe $\mathbf{h_s}$ berechnen
Nun wird die Höhe $h_s$ der Seitenflächen mithilfe des Satz des Pythagoras berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} h_s^2=&s^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_s^2=&(8,04\text{ m})^2-(3,025\text{ m})^2\\[5pt] h_s^2=&55,5\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_s=&7,45\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h_s=&7,45\text{ m} \end{array} $
3. Schritt: Höhe der Pyramide
Die Höhe der Pyramide $h_P$ wird auch mittels Satz des Pythagoras berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} h_P=&h_s^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_P=&(7,45\text{ m})^2-(\frac{6,05\text{ m}}{2})^2\\[5pt] h_P=&46,35\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_P=&6,81\text{ m} \end{array} $
4. Schritt: Volumen bestimmen
Setze die berechneten Werte in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_P=&\frac{1}{3}\cdot 36,6\text{ m}^2 \cdot 6,81\text{ m}\\[5pt] V_P=&83,082\text{ m}^3 \end{array} $
5. Schritt: Flächeninhalt der Seitenfläche
Um die Oberfläche berechnen zu können, muss der Flächeninhalt der Seitenflächen bekannt sein.
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_s&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_{Dreieck}=&\frac{1}{2}\cdot 6,05\text{ m}\cdot 7,45\text{ m}\\[5pt] A_{Dreieck}=&22,54\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}=&22,54\text{ m}^2 \end{array} $
6. Schritt: Oberfläche
Zum Schluss wird die Oberfläche der gesamten Pyramide bestimmt. (Vergiss die Grundfläche nicht!!!)
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&4\cdot A_{Dreieck}+A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&4\cdot 22,54\text{ m}^2+36,6\text{ m}^2\\[5pt] A_O=&126,745\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&126,745\text{ m}^2 \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $83,082\text{ m}^3$ und ihre Oberfläche ist $126,745\text{ m}^2$ groß.
5.
Volumen und Oberfläche des Daches
Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks lautet: $A_{6eck}=\frac{3}{2}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3}$. Setze nun den Wert aus der Aufgabenstellung in diese Formel ein und berechne die Grundfläche.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\frac{3}{2}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\frac{3}{2}\cdot (2\text{ m})^2 \cdot \sqrt{3}\\[5pt] A_G=&6\cdot\sqrt{3}\text{ m}^2\\[5pt] A_G\approx&10,4\text{ m}^2 \end{array} $
Nun kannst du das Volumen berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} V=&\frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\scriptsize Werte \text{einsetzen}\\[5pt] V=&\frac{1}{3}\cdot 10,4\text{ m}^2 \cdot 2\text{ m}\\[5pt] V=&6,93\text{ m}^3 \end{array} $
Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Mit der Formel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich der Abstand zwischen Mittelpunkt und der Grundseite $a$ bestimmen. Danach kannst du die Höhe der Außenseiten (Dreiecke) $h_s$ mittels Satz des Pythagoras berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} h_a=&\frac{a}{2}\cdot \sqrt {3}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_a=&\frac{2\text{ m}}{2}\cdot \sqrt {3}\\[5pt] h_a=&\sqrt{3}\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h_s^2=&h_a^2+h^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_s^2=&(\sqrt{3}\text{ m})^2+(2\text{ m})^2&\\[5pt] h_s^2=&7\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_s=&\sqrt{7}\text{ m} \end{array} $
Nun lässt sich die Oberfläche bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&6\cdot(\frac{1}{2}\cdot h_s\cdot a)+A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&6\cdot(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}\text{ m}\cdot 2\text{ m})+10,4\text{ m}\\[5pt] A_O=&6\cdot\sqrt{7}\text{ m}+10,4\text{ m}\\[5pt] A_O=&26,3\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&26,3\text{ m}^2 \end{array} $
Das Dach hat ein Volumen von $6,93\text{ m}^3 $ und die Oberfläche des Daches ist $26,3\text{ cm}^2$ groß.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App