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Besonderes Vieleck

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Rechteck und Quadrat

Den Satz des Pythagoras kannst du nicht nur auf Dreiecke anwenden. Dazu musst du das jeweilige Vieleck in rechtwinklige Dreicke unterteilen. Ein Rechteck oder sogar ein Quadrat kannst du entlang der Diagonalen in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Dann kannst du die Länge der Diagonalen berechen, wenn dir die Seitenlängen bekannt sind.
Es gilt der Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$. Die Länge der Diagonale ist:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Beispiel

Hast du ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=3\,\text{cm}$ und $b=4\,\text{cm}$ gegeben, so ist die Länge der Diagonalen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=&\sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2} &= \sqrt{9\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{25\,\text{cm}^2}&=5\,\text{cm} \end{array}$
Die Diagonale hat eine Länge von $5\,\text{cm}$

Trapez

Auch bei Trapezen kann dir der Satz des Pythagoras helfen. Wenn du beispielsweiße die Höhe eines Trapez bestimmen willst. Du kannst jedes Trapez in Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Und die Seitenlängen der jeweiligen Dreiecke berechnen:

Beispiel

Bestimme die Höhe des Trapez:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{c^2-a^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(13\,\text{cm})^2-(5\,\text{cm})^2} &= \sqrt{169\,\text{cm}^2-25\,\text{cm}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{144\,\text{cm}^2} &=12\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe des Trapez beträgt $12\,\text{cm}$
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Aufgaben
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1.  Bestimme die Diagonale
Die Seitenlängen verschiedener Rechtecke sind hier gegeben. Bestimme jeweils die Länge der Diagonalen.
a)  $a=7\,\text{cm}$, $b=11\,\text{cm}$
b)  $a=2\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$
c)  $a=3\,\text{m}$, $b=10\,\text{m}$
2.  Bestimme die fehlende Seite
Bestimme anhand der Angaben aus den Skizze die Länge der Seite $x$. Die Skizzen sind nicht maßstabgetreu.
a) 
b) 
c) 
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Lösungen
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1. Verwende jeweils den Satz des Pythagoras: $c=\sqrt{a^2+b^2}$.
a) $\blacktriangleright$ $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{7^2+11^2} &=& \sqrt{170} &\approx 13,0 \end{array}$
b) $\blacktriangleright$ $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{2^2+5^2} &=& \sqrt{29} &\approx 5,4 \end{array}$
c) $\blacktriangleright$ $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{3^2+10^2} &=& \sqrt{109} &\approx 10,4 \end{array}$
2.
a) $\blacktriangleright$ Bestimme zunächst die Länge der Seite $a$, um dann die gesuchte Seite $x$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{29\,\text{cm}-19\,\text{cm}}{2} &=5\,\text{cm}\\[5pt] x&=& \sqrt{(10\,\text{cm})^2-(5\,\text{cm})^2} &= \sqrt{75\,\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx& 8,7\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die gesuchte Länge beträgt $x\approx 8,7\,\text{cm}$.
b) $\blacktriangleright$ Gehe genau wie im vorherigen Aufgabenteil vor:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{16\,\text{cm}-9\,\text{cm}}{2} &= 3,5\,\text{cm}\\[5pt] x &=& \sqrt{(6,5\,\text{cm})^2-(3,5\,\text{cm})^2} &= \sqrt{30} \\[5pt] &\approx& 5,5\,\text{cm} \end{array}$
Die gesuchte Länge beträgt $x\approx 5,5\,\text{cm}$.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme zunächst die Länge der kurzen Seite des weißen Dreiecks, um dann $x$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 14\,\text{cm}-10\,\text{cm} &=4\,\text{cm}\\[5pt] x&=& \sqrt{(8\,\text{cm})^2-(4\,\text{cm})^2} &=\sqrt{48\,\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx& 6,9 \,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die gesuchtet Länge beträgt $x\approx 6,9\,\text{cm}$
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