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Aufgaben aus dem Alltag

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Zwei Äpfel und ein Kürbis wiegen zusammen $6\;\text{kg}$. Der Kürbis ist $3\;\text{kg}$ schwerer als ein Apfel.
  • Wie schwer ist der Kürbis?
  • Wie schwer ist ein Apfel?
#variable#gleichung

Aufgabe 1

Lukas und Finn kaufen zusammen eine Playstation 4 für insgesamt $329\;€$. Lukas zahlt $35\;€$ weniger als Finn. Wie viel $€$ muss jeder bezahlen?
#variable#gleichung

Aufgabe 2

Ein Gewinn von $35\;€$ wird aufgeteilt. Julia erhält nur halb so viel wie Leonie. Johanna erhält doppelt so viel wie Leonie. Wie viel erhält jeder?
#gleichung#variable

Aufgabe 3

Bei einer dreitägigen Wanderung in der Schweiz war die Strecke am zweiten Tag $8\;\text{km}$ länger als am ersten Tag. Am dritten Tag war sie $6\;\text{km}$ länger wie am zweiten Tag. Insgesamt legten die Wanderer eine Strecke von $79\;\text{km}$ zurück. Wie lange waren die Tagesstrecken?
#gleichung#variable

Aufgabe 4

Lukas gibt für Kinobesuche und Shopping die Hälfte seines monatlichen Taschengeldes aus und für Playstationspiele ein Viertel. Hierbei bleiben $23\;€$ übrig. Wie viel Taschengeld erhält er pro Monat?
#gleichung#variable
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Einführungsaufgabe

Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es darum, dass du vier wichtigen Schritten folgst, um zu deinem Ergebnis zu gelangen. Im Folgenden werden dir diese Schritte genauer erklärt.
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Du startest mit der Aufgabe, indem du sie dir sehr genau durchliest, damit du auch alles verstehst.
Zwei Äpfel und ein Kürbis wiegen zusammen $6\;\text{kg}$. Der Kürbis ist $3\;\text{kg}$ schwerer als ein Apfel.
  • Wie schwer ist der Kürbis?
  • Wie schwer ist ein Apfel?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Nun musst du für die gesuchte Zahl $x$ einsetzen und alle anderen unbekannten Größen in Abhängigkeit von $x$ beschreiben, sodass du zu folgender Aufstellung kommst:
Gewicht eines Apfels ($\text{kg}$): $x$
Gewicht des Kürbisses ($\text{kg}$): $x+3$
Gesamtgewicht ($\text{kg}$): $6\;\text{kg}$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Nachdem du nun alle Größen angegeben hast, musst du diese in einer Gleichung zusammenfassen. Kehre hierbei wieder zum Aufgabentext zurück und erstelle mit dessen Hilfe die Gleichung.
$\begin{array}{} x+x+(x+3)&=&6\;\text{kg}\\ x+x+x+3&=&6\;\text{kg}\quad \\ 3x+3&=&6\;\text{kg}\quad\\ 3x+3&=&6\;\text{kg} \quad\scriptsize\mid\;-3\\ 3x&=&3\;\text{kg} \quad\scriptsize\mid\;:3\\ x&=&1\;\text{kg} \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du nun dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis das Gewicht eines Apfels. Mit dieser Angabe kannst du auch das Gewicht des Kürbisses errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Gewicht eines Apfels: $1\;\text{kg}$
Gewicht des Kürbisses: $x+3\rightarrow1\;\text{kg}+3=4\;\text{kg}$
#variable#gleichung

Aufgabe 1

Befolge bei dieser Aufgabe die Schritte, die du in der Einführungsaufgabe kennengelernt hast.
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Lukas und Finn kaufen zusammen eine Playstation 4 für insgesamt $329\;€$. Lukas zahlt $35\;€$ weniger als Finn. Wie viel $€$ muss jeder bezahlen?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ den Betrag, den Finn zahlen muss. Dadurch kannst du den Betrag, welchen Lukas zahlen muss in Abhängigkeit davon angeben.
Betrag, den Finn bezahlt ($€$): $x$
Betrag, den Lukas bezahlt ($€$): $x-35$
Preis der Playstation 4 ($€$): $329$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da die Playstation 4 insgesamt $329\;€$ kostet, kommt dieser Betrag auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du Finns Betrag und den Betrag, den Lukas zahlt, addieren.
$\begin{array}{} x+(x-35)&=&329\;€\\ x+x-35&=&329\;€ \\ 2x-35&=&329\;€ \quad\scriptsize\mid\;+35\\ 2x&=&364\;€ \quad\scriptsize\mid\;:2\\ x&=&182\;€ \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis der Betrag, den Finn zahlen muss. Mit dieser Angabe kannst du auch den Betrag von Lukas errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Betrag, den Finn bezahlt: $182\;€$
Betrag, den Lukas bezahlt: $x-35\rightarrow182\;€-35=147\;€$
#gleichung#variable

Aufgabe 2

Befolge bei dieser Aufgabe die Schritte, die du in der Einführungsaufgabe kennengelernt hast.
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Ein Gewinn von $35\;€$ wird aufgeteilt. Julia erhält nur halb so viel wie Leonie. Johanna erhält doppelt so viel wie Leonie. Wie viel erhält jeder?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ der Gewinnanteil von Leonie. Dadurch kannst du Julias und Johannas Gewinnanteil in Abhängigkeit davon angeben.
Gewinnanteil von Leonie ($€$): $x$
Gewinnanteil von Julia ($€$): $x:2$
Gewinnanteil von Johanna ($€$): $2x$
Gesamtgewinn ($€$): $35$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da der Gesamtgewinn $35\;€$ beträgt, kommt dieser Betrag auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du alle Gewinnanteile der Mädchen addieren.
$\begin{array}{} x+(x:2)+2x&=&35\;€\\ x+0,5x+2x&=&35\;€ \\ 3,5x&=&35\;€ \quad\scriptsize\mid\;:3,5\\ x&=&10\;€ \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis Leonies Gewinnanteil. Mit dieser Angabe kannst du auch die Gewinnanteile von Julia und Johanna errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Gewinnanteil von Leonie: $10\;€$
Gewinnanteil von Julia: $x:2\rightarrow10\;€:2=5\;€$
Gewinnanteil von Johanna: $2x\rightarrow2\cdot10\;€=20\;€$
#variable#gleichung

Aufgabe 3

Befolge bei dieser Aufgabe die Schritte, die du in der Einführungsaufgabe kennengelernt hast.
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Bei einer dreitägigen Wanderung in der Schweiz war die Strecke am zweiten Tag $8\;\text{km}$ länger als am ersten Tag. Am dritten Tag war sie $6\;\text{km}$ länger wie am zweiten Tag. Insgesamt legten die Wanderer eine Strecke von $79\;\text{km}$ zurück. Wie lange waren die Tagesstrecken?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ die Strecke von Tag 1. Dadurch kannst du die Strecken der Tage 2 und 3 in Abhängigkeit davon angeben.
Strecke von Tag 1 ($\text{km}$): $x$
Strecke von Tag 2 ($\text{km}$): $x+8$
Strecke von Tag 3 ($\text{km}$): $x+8+6$
Gesamtstrecke ($\text{km}$): $79$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da die Gesamtstrecke $79\;\text{km}$ beträgt, kommt dieser Betrag auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du alle Strecken der Tage 1 bis 3 addieren.
$\begin{array}{} x+(x+8)+(x+8+6)&=&79\;\text{km}\\ x+x+8+x+8+6&=&79\;\text{km}\\ 3x+22&=&79\;\text{km} \quad\scriptsize\mid\;-22\\ 3x&=&57\;\text{km} \quad\scriptsize\mid\;:3\\ x&=&19\;\text{km} \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis die Strecke von Tag 1. Mit dieser Angabe kannst du auch die Strecken von Tag 2 und 3 errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Strecke von Tag 1: $19\;\text{km}$
Strecke von Tag 2: $x+8\rightarrow19\;\text{km}+8=27\;\text{km}$
Strecke von Tag 3: $x+8+6\rightarrow19\;\text{km}+8+6=33\;\text{km}$
#gleichung#variable

Aufgabe 4

Befolge bei dieser Aufgabe die Schritte, die du in der Einführungsaufgabe kennengelernt hast.
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Lukas gibt für Kinobesuche und Shopping die Hälfte seines monatlichen Taschengeldes aus und für Playstationspiele ein Viertel. Hierbei bleiben $23\;€$ übrig. Wie viel Taschengeld erhält er pro Monat?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ das Taschengeld von Lukas. Dadurch kannst du die Ausgaben für Kino, Shopping und Playstationspiele in Abhängigkeit davon angeben.
Taschengeld von Lukas ($€$): $x$
Ausgaben für Kino und Shopping ($€$): $x:2$
Ausgaben für Playstationspiele ($€$): $x:4$
Restbetrag ($€$): $23$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da der Restbetrag von Lukas Taschengeld $23\;€$ beträgt, kommt dieser Betrag auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du von seinem Taschengeld $x$ alle Ausgaben abziehen.
$\begin{array}{} x-(x:2)-(x:4)&=&23\;€\\ x-0,5x-0,25x&=&23\;€\\ 0,25x&=&23\;€ \quad\scriptsize\mid\;:0,25\\ x&=&92\;€\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis das Taschengeld von Lukas, das ihm monatlich zur Verfügung steht.
Taschengeld von Lukas: $92\;€$
#gleichung#variable
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