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Aufstellen und lösen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

#variable#gleichung

Aufgabe 1

Lukas, Finn und Johanna wollen herausfinden, wessen Vater am ältesten ist. Bestimme das Alter von Lukas, Finn, Johanna und der beiden Väter.
a)
Lukas: „Mein Vater ist dreimal so alt wie ich. Zusammen sind wir $48$ Jahre alt.“
b)
Finn: „Ich bin $14$ Jahre alt und mein Vater ist $2,5$-mal so alt wie ich.“
c)
Johanna: „Mein Vater und ich sind zusammen $55$ Jahre alt. Dabei ist er viermal so alt wie ich.“
#variable#gleichung

Aufgabe 2

Bestimme die gesuchte Größe, indem du eine Gleichung aufstellst und nach der gesuchten Größe auflöst.
b)
Zwei Stangen sind zusammen $3,2\;\text{m}$ lang. Eine Stange ist dabei dreimal so lang wie die andere. Bestimme die Länge der beiden Stangen.
d)
Robin fährt $1,5$-mal langsamer als Simon. Zusammen wären sie $500\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Wie schnell ist Simon?
#gleichung#variable

Aufgabe 3

Bestimme die gesuchte Zahl.
a)
Wenn man zu einer Zahl $10$ addiert, das Ergebnis mit $3$ multipliziert und $10$ abzieht, erhält man $20.$
b)
Die Summe von der gesuchten Zahl und $6$ ergibt das Dreifache von $12$ minus das Dreifache der gesuchten Zahl.
c)
Das Produkt der gesuchten Zahl und $2$ minus $3$ ergibt sieben.
d)
Das Ergebnis der gesuchten Zahl minus $5$ geteilt durch $4$ ergibt das $2,25$-fache der gesuchten Zahl.
#gleichung#variable
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen
Du weißt, dass die Flüssigkeit des Wassers und der Milch zusammen $400\;\text{ml}$ betragen. Somit steht auf der rechten Seite der Gleichung $=400$. Bezeichne die Menge des Wassers mit $x$. Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass dreimal so viel Milch im Teig ist wie Wasser, d.h. $3x\;\text{ml}$ Milch. Somit lautet die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 3x + x &=& 400 \\[5pt] 4x &=& 400 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 100 \end{array}$
Demnach sind $100\;\text{ml}$ Wasser und $300\;\text{ml}$ Milch im Teig enthalten.
#variable#gleichung

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Alter bestimmen
Verwende in jeder Gleichung die Variable $x$ als Platzhalter für die gesuchte Lösung.
a)
Die Variable $x$ bezeichnet in diesem Fall das Alter von Lukas. Lukas Vater ist dreimal so alt wie er selbst und zusammen sind sie $48$ Jahre alt. Mathematisch ausgedrückt heißt das:
$\begin{array}[t]{rll} 3x+x&=& 48 \\[5pt] 4x&=& 48 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 12 \end{array}$
Lukas ist also $12$ Jahre alt und sein Vater demzufolge $36$.
b)
Die gesuchte Größe $x$ ist in diesem Fall das Alter von Finns Vater. Er ist $2,5$-mal so alt wie Finn, woraus die folgende Gleichung resultiert:
$\begin{array}[t]{rll} 2,5 \cdot 14&=& x \\[5pt] x &=& 35 \end{array}$
Finns Vater ist somit $35$ Jahre alt.
c)
Johanna: „Mein Vater und ich sind zusammen $55$ Jahre alt. Dabei ist er viermal so alt wie ich.“ Bezeichne das Alter von Johanna mit $x$. Ihr Vater ist viermal so alt und zusammen sind die beiden $55$ Jahre alt:
$\begin{array}[t]{rll} x + 4 \cdot x&=& 55 \\[5pt] 5x &=& 55 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] x &=& 11 \end{array}$
Johanna ist $11$ Jahre alt, ihr Vater ist $44$ Jahre alt. Somit ist Johannas Vater der Älteste.
#variable#gleichung

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Größen bestimmen, Gleichungen aufstellen
Verwende in jeder Gleichung die Variable $x$ als Platzhalter für die gesuchte Lösung.
a)
Die Variable $x$ bezeichnet in diesem Fall das Gewicht des Zylinders. Da der Würfel doppelt so schwer wie der Zylinder ist und sie gemeinsam $75\;\text{kg}$ wiegen, kommst du auf folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x+2x&=& 75\;\text{kg} \\[5pt] 3x&=& 75\;\text{kg} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x &=& 25\;\text{kg} \end{array}$
Der Zylinder wiegt also $25\;\text{kg}$.
b)
Die gesuchte Größe $x$ ist in diesem Fall die Länge der kürzeren Stange. Da die kürzere Stange und die dreimal längere Stange insgesamt $3,2\;\text{m}$ lang sind, kommst du auf folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x+3x&=& 3,2\;\text{m} \\[5pt] 4x&=& 3,2\;\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 0,8\;\text{kg} \end{array}$
Die kürzere Stange ist $0,8\;\text{m}$ lang. Um die Länge der anderen Stange herauszufinden, musst du das Ergebnis von $3,2\;\text{m}$ abziehen.
$3,2\;\text{m}-0,8\;\text{m}=2,4\;\text{m}$
Die kürzere Stange ist $0,8\;\text{m}$ lang und die längere Stange ist $2,4\;\text{m}$.
c)
Die gesuchte Größe $x$ ist in diesem Fall die Anzahl der befüllbaren Gläser. Da das Fass insgesamt $3,5\;\text{l}$ Wein enthält und in ein Glas jeweils $300\;\text{ml}$ passen, kommst du auf folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 3,5\;\text{l}:300\;\text{ml} \\[5pt] x &=& 3.500\;\text{ml}:300\;\text{ml} \\[5pt] x &\approx& 11,7 \end{array}$
Es können mindestens 11 ganze Gläser befüllt werden.
d)
Die gesuchte Größe $x$ ist in diesem Fall die Geschwindigkeit von Robin. Da Robin und der $1,5$-mal schnellere Simon zusammen auf $500\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ kommen, gelangst du zu folgender Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x+1,5x&=& 500\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] 2,5x &=& 500\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}} &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\[5pt] x &=& 200\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Um Simons Geschwindigkeit nun herauszufinden, musst du Robins Geschwindigkeit von der Gesamtgeschwindigkeit abziehen.
$500\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}-200\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=300\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
Simon ist $300\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell.
#variable#gleichung

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichungen aufstellen
Verwende in jeder Gleichung die Variable $x$ als Platzhalter für die gesuchte Lösung.
a)
Addieren bedeutet hier $+$ rechnen. Du musst also die gesuchte Zahl $x$ mit $10$ addieren. Dieses Ergebnis muss dann multipliziert (Mal-nehmen) werden, sodass du um die gesuchte Zahl und $10$ eine Klammer setzen musst. Anschließend ziehst du $10$ wieder ab. Auf der anderen Seite der Gleichung steht $20$, sodass du zu folgender Rechnung kommst:
$\begin{array}[t]{rll} (x+10)\cdot3-10&=& 20 \\[5pt] 3x+30-10&=& 20 \\[5pt] 3x+20&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; -20 \\[5pt] 3x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x&=&\quad \end{array}$
b)
Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition, bei der man $+$ rechnet. Somit musst du die gesuchte Zahl $x$ und $6$ addieren und gleichsetzen mit dem Dreifachen von dem Ergebnis von $12$ minus $3x$, d.h. du musst hier eine Klammer setzen. Du gelangst dann zu folgender Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} x+6&=& 3\cdot(12-3x) \\[5pt] x+6&=& 36-9x &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] x&=& 30-9x &\quad \scriptsize \mid\; +9x \\[5pt] 10x &=& 30 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x&=& 3\quad \end{array}$
c)
Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation (Mal-nehmen), sodass du die gesuchte Zahl $x$ mit $2$ multiplizieren und danach minus $3$ rechnen musst. Dieses Ergebnis setzt du gleich mit $7$ und gelangst somit zu folgender Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} x\cdot-3&=& 7) \\[5pt] 2x-3&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 2x&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x&=& 5\quad \end{array}$
d)
Du musst zuerst die gesuchte Zahl $x$ minus $5$ rechnen, indem du hier eine Klammer setzt. Danach musst du dieses Ergebnis durch $4$ teilen. Setze dies mit $2,25x$ gleich und du gelangst zu folgender Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-5):4&=& 2,25x\\[5pt] 0,25x-1,25&=& 2,25x &\quad \scriptsize \mid\; +1,25 \\[5pt] 0,25x&=& 2,25x+1,25 &\quad \scriptsize \mid\; -2,25x \\[5pt] -2x &=& 1,25 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x&=& -0,625\quad \end{array}$
#gleichung#variable
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