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Mit Formeln rechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ordne die Angaben richtig zu.
b)
Erkläre die in den Formeln vorkommenden Variablen.
FormelText
$A=\dfrac{1}{2}\cdot{g}\cdot{h}$Geschwindigkeit
$v=\dfrac{s}{t}$Volumen eines Würfels
$V=a\cdot{b}\cdot{c}$Oberfläche eines Würfels
$p=m:V$Umfang eines Rechtecks
$A=a\cdot{b}$Trapezfläche
$A=a\cdot{a}$Dreiecksfläche
$V=a\cdot{a}\cdot{a}$Volumen eines Quaders
$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$Rechtecksfläche
$O=6\cdot{a}\cdot{a}$Quadratfläche
$A=a\cdot{h}$Winkelsumme im Dreieck
$u=2\cdot(a+b)$Fläche eines Parallelogramms
$u=4\cdot{a}$Oberfläche eines Quaders
$A=m\cdot{h}$Umfang eines Quadrats
$O=2\cdot(a\cdot{b}+a\cdot{c}+b\cdot{c})$Dichte
#variable

Aufgabe 1

Ordne Sachaufgabe der passenden Skizze sowie Formel zu. Hierbei bleiben insgesamt 3 Formeln übrig, die nicht zugeordnet werden können.
SachaufgabeSkizzeFormel
Ein trapezförmiges Grundstück ist auf der einen Seite $15\;\text{m}$ und auf der anderen $8\;\text{m}$ lang. Es hat eine Breite von $5\;\text{m}$. Wie groß ist sein Flächeninhalt? $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot{h}$

$V=a\cdot{b}\cdot{c}$
Finns Vater legt mit seinem Auto $475\;\text{km}$ in $5$ Stunden zurück. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? $A=a\cdot{h}$

$k=4\cdot(a+b+c)$
Wie viel Draht benötigt man für ein Kantenmodell eines $5\;\text{cm}$ breiten, $7\;\text{cm}$ langen und $11\;\text{cm}$ hohen Quaders? $V=a\cdot{a}\cdot{a}$

$v=\dfrac{s}{t}$
#variable

Aufgabe 2

Gib eine Formel für den Umfang an und berechne die Variable. Die gegebenen Maße sind in $\text{cm}$.
#variable

Aufgabe 3

b)
Ein Parallelogramm hat einen Umfang von $58\;\text{cm}$ und eine Länge von $16\;\text{cm}$. Berechne die fehlende Seite.
d)
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt $48\;\text{cm}$. Die Basis ist $17,4\;\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der beiden Schenkel.
#variable

Aufgabe 4

b)
Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von $6\;\text{cm}$ wird in ein flächengleiches Rechteck verwandelt, bei dem die Breite $4,8\;\text{cm}$ beträgt. Berechne die Länge des Rechtecks.
#variable
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Einführungsaufgabe

FormelTextErklärung
$A=\dfrac{1}{2}\cdot{g}\cdot{h}$Dreiecksfläche$A=\;$Flächeninhalt
$g=\;$Grundseite des Dreiecks
$h=\;$ Höhe der Grundseite
$v=\dfrac{s}{t}$Geschwindigkeit$v=\;$Geschwindigkeit
$s=\;$Strecke
$t=\;$Zeit
$V=a\cdot{b}\cdot{c}$Volumen eines Quaders$V=\;$Volumen
$a=\;$Seite $a$
$b=\;$Seite $b$
$c=\;$Seite $c$
$p=m:V$Dichte$p=\;$Dichte
$m=\;$Masse
$V=\;$Volumen
$A=a\cdot{b}$Rechtecksfläche$A=\;$Flächeninhalt
$a=\;$Seite $a$
$b=\;$Seite $b$
$A=a\cdot{a}$Quadratfläche$A=\;$Flächeninhalt
$a=\;$Seite $a$
$V=a\cdot{a}\cdot{a}$Volumen eines Würfels$V=\;$Volumen
$a=\;$Seite $a$
$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$Winkelsumme im Dreieck$\alpha=\;$Winkel Alpha, der bei $A$ liegt
$\beta=\;$Winkel Beta, der bei $B$ liegt
$\gamma=\;$Winkel Gamma, der bei $C$ liegt
$O=6\cdot{a}\cdot{a}$Oberfläche eines Würfels$O=\;$Oberflächeninhalt
$a=\;$Seite $a$
$A=a\cdot{h}$Fläche eines Parallelogramms$A=\;$Flächeninhalt
$a=\;$Seite $a$
$h=\;$Höhe von $a$
$u=2\cdot(a+b)$Umfang eines Rechtecks$u=\;$Umfang
$a=\;$Seite $a$
$b=\;$Seite $b$
$u=4\cdot{a}$Umfang eines Quadrates$u=\;$Umfang
$a=\;$Seite $a$
$A=m\cdot{h}$Trapezfläche$A=\;$Flächeninhalt
$m=\dfrac{a+c}{2}$ Seite $a$ addiert mit Seite $b$, geteilt durch $2$
$h=\;$Höhe
$O=2\cdot(a\cdot{b}+a\cdot{c}+b\cdot{c})$Oberfläche eines Quaders$O=\;$Oberflächeninhalt
$a=\;$Seite $a$
$b=\;$Seite $b$
$c=\;$Seite $c$
#variable

Aufgabe 1

Ordne Sachaufgabe der passenden Skizze sowie Formel zu. Hierbei bleiben insgesamt 3 Formeln übrig, die nicht zugeordnet werden können.
SachaufgabeSkizzeFormel
Finns Vater legt mit seinem Auto $475\;\text{km}$ in $5$ Stunden zurück. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? $v=\dfrac{s}{t}$
Erklärung: Wenn Finns Vater innerhalb einer gewissen Zeit eine angegebene Strecke zurücklegt und nach seiner Durchschnittsgeschwindigkeit gefragt wird, dann muss man die Formel für Geschwindigkeit anwenden, bei der man Strecke durch Zeit teilt. Die Skizze ist hier passend, da die Zeit in $\text{h}$ der Strecke in $\text{km}$ zugeordnet wird und die Skizze eine proportionale Zuordnung zeigt. Das heißt mit steigender Zeit, legt Finns Vater auch eine weitere Strecke zurück.
Wie viel Draht benötigt man für ein Kantenmodell eines $5\;\text{cm}$ breiten, $7\;\text{cm}$ langen und $11\;\text{cm}$ hohen Quaders? $k=4\cdot(a+b+c)$
Erklärung: Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein Kantenmodell eines Quaders, das aus Draht erstellt werden soll. Die Skizze ist passend, da keine andere Skizze einen Quader darstellt. Außerdem erkennt man durch die Skizze, dass es drei Seiten, nämlich $a$, $b$ und $c$ gibt, die die jeweiligen Kanten darstellen. Zählt man nun nach, so erkennt man, dass jede Seite insgesamt vier Mal vorkommt, woraus sich die gegebene Formel ableitet.
Ein trapezförmiges Grundstück ist auf der einen Seite $15\;\text{m}$ und auf der anderen $8\;\text{m}$ lang. Es hat eine Breite von $5\;\text{m}$. Wie groß ist sein Flächeninhalt? $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot{h}$
Erklärung: Diese Aufgabe handelt von einem Trapez, weshalb nur die gezeigte Skizze richtig sein kann. Das Grundstück hat eine längere Seite mit $15\;\text{m}$, eine kürzere Seite mit $8\;\text{m}$ und eine Breite von $5\;\text{m}$, die man nun nur noch in die Trapezflächenformel eingeben müsste.
#variable

Aufgabe 2

b)
$\blacktriangleright$ Skizze betrachten
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$u=360$

$b=\dfrac{a}{2}$

$c=\dfrac{a}{2}$

$d=b=\dfrac{a}{2}$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a+b+c+d&=&u \\ a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}&=&360 \quad\scriptsize\mid\;\cdot2\\ 2a+a+a+a&=&720 \\ 5a&=&720 \quad\scriptsize\mid\;:5\\ a&=& 144 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Skizze betrachten
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$u=32$
$b=a-2$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a+b+a+b&=&u \\ a+a-2+a+a-2&=&32 \\ 4a-4&=&32 \quad\scriptsize\mid\;+4\\ 4a&=&36 \quad\scriptsize\mid\;:4\\ a&=& 9 \end{array}$
#variable

Aufgabe 3

b)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Ein Parallelogramm hat einen Umfang von $58\;\text{cm}$ und eine Länge von $16\;\text{cm}$. Berechne die fehlende Seite.
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$u=58$
$a=16$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a+b+a+b&=&58 \\ 16+b+16+b&=&58 \\ 2b+32&=&58 \quad\scriptsize\mid\;-32\\ 2b&=&26 \quad\scriptsize\mid\;:2\\ b&=& 13 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt $48\;\text{cm}$. Die Basis ist $17,4\;\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der beiden Schenkel.
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$u=48$
$c=17,4$
$a=b$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a+b+c&=&u \\ b+b+17,4&=&48 \\ 2b+17,4&=&48 \quad\scriptsize\mid\;-17\\ 2b&=&31 \quad\scriptsize\mid\;:2\\ b&=& 15,5 \end{array}$
$\rightarrow{b}=a=15,5$
#variable

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Ein Rechteck mit den Seitenlängen $10,4\;\text{cm}$ und $5\;\text{cm}$ hat den gleichen Flächeninhalt wie ein anderes Rechteck, das $4\;\text{cm}$ lang ist. Wie breit ist das zweite Rechteck?
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$a_1=10,4$
$b_1=5$
$b_2=4$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a_1\cdot{b_1}&=&a_2\cdot{b_2} \\ 10,4\cdot5&=&a_2\cdot4 \\ 52&=&4a_2 \quad\scriptsize\mid\;:4\\ 13&=&a_2 \\ \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von $6\;\text{cm}$ wird in ein flächengleiches Rechteck verwandelt, bei dem die Breite $4,8\;\text{cm}$ beträgt. Berechne die Länge des Rechtecks.
$\blacktriangleright$ Angaben notieren
$a_1=6$
$a_2=4,8$
$\blacktriangleright$ Formel aufstellen und Variable berechnen
$\begin{array}{} a_1\cdot{a_1}&=&a_2\cdot{b_2} \\ 6\cdot6&=&4,8\cdot{b_2} \\ 36&=&4,8b_2 \quad\scriptsize\mid\;:4,8\\ 7,5&=&b_2 \\ \end{array}$
#flächeninhalt#variable
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