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Umformen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Fabian hat sich dazu entschieden, sein Zimmer neu zu streichen, da ihm die aktuelle Farbe zu langweilig ist. Hierfür muss er berechnen, wie groß die Wände sind, die er streichen möchte, damit er weiß, wie viel Farbe er kaufen muss.
Terme: Umformen
Abb. 1: Grundriss von Fabians Zimmer
Terme: Umformen
Abb. 1: Grundriss von Fabians Zimmer
a)
Ordne die folgenden Terme den Wänden in der Skizze zu.
    $4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-1,20\;\text{m}\cdot1\;\text{m}$

    $3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}$

    $4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}$

    $3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-2\;\text{m}\cdot1\;\text{m}$
b)
Berechne die Flächeninhalte der Wände.
c)
Berechne, für wie viel $\text{m}^2$ Fabian insgesamt Farbe kaufen muss.
d)
Im Baumarkt kann sich Fabian nicht entscheiden, welche Farbe er möchte. Daher nimmt er schlussendlich zwei: grün und blau.
Berechne die Gesamtfläche, die grün bzw. blau werden soll. Achte darauf, dass Fabian jede Wand zur Hälfte blau und zur Hälfte grün streichen will.
e)
Fabian möchte sicherstellen, dass er genügend Farbe hat, weshalb er die zu streichende Fläche nochmals neu berechnet. Hierbei lässt er außen vor, dass er eine Tür sowie ein Fenster hat.
Berechne die kurzen und langen Seiten des Zimmers erst getrennt.
#term

Aufgabe 1

Berechne die Terme, indem du die Rechenregeln anwendest.
b)
$6,5+7,3-8,9+2,7-3,1$
d)
$4,3\cdot9-4,3\cdot8+4,3\cdot2$
#termumformen#term

Aufgabe 2

Berechne die Terme, indem du die Rechenregeln anwendest.
b)
$(7+18)\cdot6-5$
d)
$16,6\cdot8,3+2\cdot0,5$
#termumformen#term

Aufgabe 3

Berechne die Terme, indem du die Rechenregeln anwendest.
b)
$76+(33-14-12)$
d)
$33-(17+4)$
#term#termumformen

Aufgabe 4

Prüfe nach und berichtige Fehler.
a)
$\begin{array}{} &&\quad 23-(8-15) \\ &=&\quad 23-8-15\\ &=&\quad 0\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} &&\quad 38-(12+4) \\ &=&\quad 38-12+4\\ &=&\quad 30\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} &&\quad 41-(17-8) \\ &=&\quad 41-17+8\\ &=&\quad 32\\ \end{array}$
#term#termumformen

Aufgabe 5

Stelle Terme auf und berechne.
Tanja ist eine leidenschaftliche Instagrammerin und stellt mehrere Bilder täglich online. Gestern Morgen hatte sie $3.264$ Follower. Nach ihrem morgendlichen Post waren es dann $311$ mehr. Im Laufe des Tages kamen dann noch einmal $73$ hinzu. Als sie jedoch gegen Abend die Zahlen gecheckt hat, waren es $218$ weniger als zuvor.
  • Wie viele Follower hat Tanja heute?
  • Hat sie heute mehr oder weniger Follower als gestern Morgen?
#term
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Terme verstehen
Terme sind Rechenausdrücke, die dir beim Lösen von Textaufgaben helfen können und gewissen Rechenregeln unterliegen. Es ist wichtig, dass du diese Regeln immer parat hast, sodass du die Ausdrücke korrekt lösen kannst.
Terme: Umformen
Abb. 1: Grundriss von Fabians Zimmer
Terme: Umformen
Abb. 1: Grundriss von Fabians Zimmer
a)
$\blacktriangleright$ Terme zuordnen
Bei der Zuordnung geht es darum, zu überlegen, weshalb bei manchen der Terme etwas abgezogen wird. Dies liegt zum Einen daran, dass Wand c eine Tür hat und zum Anderen an dem Fenster, das in Wand d vorhanden ist. Weder die Tür, noch das Fenster müssen gestrichen werden. Deshalb kann Fabian diese Größen abziehen. Somit ergeben sich folgende Zuordnungen:
    $4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-1,20\;\text{m}\cdot1\;\text{m}$ $\rightarrow$ d

    $3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}$ $\rightarrow$ b

    $4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}$ $\rightarrow$ a

    $3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-2\;\text{m}\cdot1\;\text{m}$ $\rightarrow$ c
b)
$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Beim Berechnen der Terme für Fabians Zimmer musst du zuerst einmal darauf achten, dass du stets die Maßeinheiten, in diesem Fall $\text{m}$, übernimmst. Diese Maßeinheiten multiplizieren sich ebenfalls, sodass du $\text{m}^2$ erhälst.
$\begin{array}{} &&\quad 3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}\\ &=&\quad 8,75\;\text{m}^2\\ \end{array}$
$\begin{array}{} &&\quad 4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}\\ &=&\quad 10\;\text{m}^2\\ \end{array}$
Bei den nachfolgenden beiden Termen musst du darauf achten, dass du die Regel Punkt vor Strich anwendest, d.h. jede Punkt-Rechnung (Mal, Geteilt) kommt vor einer Strich-Rechnung (Plus, Minus). So ergeben sich hier folgende Rechnungen:
$\begin{array}{} &&\quad 4\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-1,20\;\text{m}\cdot1\;\text{m}\\ &=&\quad 10\;\text{m}^2-1,20\;\text{m}^2 \\ &=&\quad 8,80\;\text{m}^2\\ \end{array}$
$\begin{array}{} &&\quad 3,50\;\text{m}\cdot2,50\;\text{m}-2\;\text{m}\cdot1\;\text{m}\\ &=&\quad 8,75\;\text{m}^2-2\;\text{m}^2 \\ &=&\quad 6,75\;\text{m}^2\\ \end{array}$
c)
Um zu errechnen, wie viel Farbe Fabian insgesamt kaufen muss, ist es wichtig zu wissen, wie viel Fläche er insgesamt zu streichen hat. Da du bereits in der vorherigen Aufgabe die zu streichende Fläche der einzelnen Wände errechnet hast, musst du diese jetzt nur noch addieren. Hierbei hilft dir das sogenannte Assoziativgesetz, das auch Verbindungsgesetz genannt wird. Mit Hilfe dessen kannst du einzelne Summanden in Klammern zusammenfassen und dir das Rechnen somit erleichtern.
$\begin{array}{} &&\quad 8,80\;\text{m}^2+8,75\;\text{m}^2+10\;\text{m}^2+6,75\;\text{m}^2\\ &=&\quad (8,80\;\text{m}^2+8,75\;\text{m}^2)+(10\;\text{m}^2+6,75\;\text{m}^2)\\ &=&\quad 17,55\;\text{m}^2+16,75\;\text{m}^2\\ &=&\quad 32,4\;\text{m}^2 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Anteile von Termen berechnen
Da Fabian nun zwei Farben kauft und jede Wand jeweils zur Hälfte mit grün und zur Hälfte mit blau streichen möchte, musst du die zu streichenden Flächen neu berechnen, damit er die richtige Menge an blauer und grüner Farbe kaufen kann. Hierbei hilft dir das sogenannte Distributivgesetz, das auch Verteilungsgesetz genannt wird. Mit Hilfe dessen kannst du bei gleichbleibendem Teiler die zu teilenden Zahlen in einer Klammer zusammenfassen, sodass du folgende Rechnung erhälst.
$\begin{array}{} &&\quad 8,80\;\text{m}^2:2+8,75\;\text{m}^2:2+10\;\text{m}^2:2+6,75\;\text{m}^2:2\\ &=&\quad (8,80\;\text{m}^2+8,75\;\text{m}^2+10\;\text{m}^2+6,75\;\text{m}^2):2\\ &=&\quad 34,3\;\text{m}^2:2\\ &=&\quad 17,15\;\text{m}^2\\ \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Fabian möchte nun außen vorlassen, dass er die Tür und das Fenster nicht streichen muss, damit er etwas mehr Farbe hat. Damit du die Seiten nochmals neu berechnen kannst, musst du nun also das Kommutativgesetz anwenden, das auch Vertauschungsgesetz heißt. Mit Hilfe dessen kannst du bei einer Mal-Aufgabe (Multiplikation) die einzelnen Faktoren in verschiedenen Weisen in Klammern setzen, was dir das Rechnen erleichtert. Hierbei ist es völlig egal, welche Faktoren du zusammenfasst. Somit erhälst du folgende Rechenmöglichkeiten:
$\begin{array}{} &&\quad 3,50\text{m}\cdot2,50\;\text{m}\cdot2\\ &=&\quad (3,50\text{m}\cdot2,50\text{m})\cdot2 \quad\scriptsize\mid\;\text{1. Variante}\\ &=&\quad 3,50\text{m}\cdot(2,50\text{m}\cdot2) \quad\scriptsize\mid\;\text{2. Variante}\\ &=&\quad (3,50\text{m}\cdot2)\cdot2,50\text{m} \quad\scriptsize\mid\;\text{3. Variante}\\ &=&\quad 17,5\;\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}{} &&\quad 4\text{m}\cdot2,50\;\text{m}\cdot2\\ &=&\quad (4\text{m}\cdot2,50\text{m})\cdot2 \quad\scriptsize\mid\;\text{1. Variante}\\ &=&\quad 4\text{m}\cdot(2,50\text{m}\cdot2) \quad\scriptsize\mid\;\text{2. Variante}\\ &=&\quad (4\text{m}\cdot2)\cdot2,50\text{m} \quad\scriptsize\mid\;\text{3. Variante}\\ &=&\quad 20\;\text{m}^2 \end{array}$
Nun weißt du, dass die kurzen Wände insgesamt $17,5\;\text{m}^2$ groß sind und die langen Wände insgesamt eine zu streichende Fläche von $20\;\text{m}^2$ haben. Als letzten Schritt musst du jetzt nur noch diese beiden Ergebnisse addieren und dann durch $2$ teilen, um die Fläche, die blau beziehungsweise grün werden soll, zu errechnen.
$\begin{array}{} &&\quad (17,5\;\text{m}^2+20\;\text{m}^2):2\\ &=&\quad 18,75\;\text{m}^2\\ \end{array}$
#distributivgesetz#term#assoziativgesetz#termumformen#kommutativgesetz

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Terme berechnen
b)
Hier kannst du ebenfalls das Assoziativgesetz anwenden, um deine Rechnung in einzelne Schritte zu unterteilen. Es bietet sich hierbei an die Klammern wie folgt zu setzen, da wir somit ein Minus-Zeichen vor einer Klammer haben und somit keine zusätzlichen Regeln beachten müssen.
$\begin{array}{} &&\quad 6,5+7,3-8,9+2,7-3,1\\ &=&\quad (6,5+7,3)-8,9+(2,7-3,1)\\ &=&\quad 13,8-8,9-0,4\\ &=&\quad 4,9-0,4\\ &=&\quad 4,5\\ \end{array}$
d)
Hier kannst du das Distributivgesetz erneut anwenden, da dieses nicht nur bei Geteilt-, sondern auch bei Mal-Aufgaben zum Tragen kommt und du $4,3$ als denselben Faktor hast.
$\begin{array}{} &&\quad 4,3\cdot9-4,3\cdot8+4,3\cdot2\\ &=&\quad 4,3\cdot(9-8+2)\\ &=&\quad 4,3\cdot3\\ &=&\quad 12,9\\ \end{array}$
#termumformen#term#assoziativgesetz

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Bei den folgenden Aufgaben musst du stets zuerst die Klammer auflösen und dann die Regel Punkt-vor-Strich anwenden, d.h. du rechnest Mal- und Geteilt-Aufgaben vor Plus- und Minusaufgaben.
b)
$\begin{array}{} &&\quad (7+18)\cdot6-5\\ &=&\quad 25\cdot6-5\\ &=&\quad 150-5\\ &=&\quad 145 \\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} &&\quad 16,6\cdot8,3+2\cdot0,5\\ &=&\quad 137,78+1\\ &=&\quad 138,78\\ \end{array}$
#punkt-vor-strich#termumformen#term

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Steht vor der Klammer ein Plus-Zeichen, so bleiben beim Auflösen der Klammern alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer unverändert:
    $13+(6-3)=13+6-3$

    $\text{a}+(\text{b}-\text{c})=\text{a}+\text{b}-\text{c}$

Steht vor der Klammer ein Minus-Zeichen, so werden beim Auflösen der Klammern alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer geändert:
    $13-(6-3)=13-6+3$

    $\text{a}-(\text{b}-\text{c})=\text{a}-\text{b}+\text{c}$
Steht vor der Klammer ein Plus-Zeichen, so bleiben beim Auflösen der Klammern alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer unverändert:
    $13+(6-3)=13+6-3$

    $\text{a}+(\text{b}-\text{c})=\text{a}+\text{b}-\text{c}$

Steht vor der Klammer ein Minus-Zeichen, so werden beim Auflösen der Klammern alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer geändert:
    $13-(6-3)=13-6+3$

    $\text{a}-(\text{b}-\text{c})=\text{a}-\text{b}+\text{c}$
b)
Vor der Klammer steht ein Plus-Zeichen, das bedeutet, dass alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer unverändert bleiben.
$\begin{array}{} &&\quad 76+(33-14-12) \\ &=&\quad 76+33-14-12 \\ &=&\quad 109-14-12\\ &=&\quad 95-12\\ &=&\quad 83 \\ \end{array}$
d)
Vor der Klammer steht ein Minus-Zeichen, das bedeutet, dass alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer beim Auflösen geändert werden.
$\begin{array}{} &&\quad 33-(17+4)\\ &=&\quad 33-17-4\\ &=&\quad 16-4\\ &=&\quad 12 \\ \end{array}$
#term#termumformen

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Terme überprüfen
a)
Da sich ein Minus-Zeichen vor der Klammer befindet, müssen alle nachfolgenden Vor- und Rechenzeichen abgeändert werden. Dies wurde jedoch bei $-15$ vergessen. Somit liegt hier der Fehler und das Endergebnis stimmt nicht mehr.
$\begin{array}{} &&\quad 23-(8-15) \\ &=&\quad 23-8\color{#87c800}{+}15\\ &=&\quad \color{#87c800}{30}\\ \end{array}$
b)
Da sich ein Minus-Zeichen vor der Klammer befindet, müssen alle nachfolgenden Vor- und Rechenzeichen abgeändert werden. Dies wurde jedoch bei $+4$ vergessen. Somit liegt hier der Fehler und das Endergebnis stimmt nicht mehr.
$\begin{array}{} &&\quad 38-(12+4) \\ &=&\quad 38-12\color{#87c800}{-}4\\ &=&\quad \color{#87c800}{12}\\ \end{array}$
c)
Da sich ein Minus-Zeichen vor der Klammer befindet, müssen alle nachfolgenden Vor- und Rechenzeichen abgeändert werden. Dies wurde bei allen korrekt durchgeführt, wodurch diese Aufgabe fehlerfrei ist.
$\begin{array}{} &&\quad 41-(17-8) \\ &=&\quad 41-17+8\\ &=&\quad 32\\ \end{array}$
#term#termumformen

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Terme aufstellen
Wie viele Follower hat Tanja heute?
Um diese Aufgabe zu lösen, musst du zuerst einen Term aufstellen. Wenn Tanja an Followern gewinnt, musst du addieren. Wenn sie jedoch Follower verliert, musst du subtrahieren. So kommst du dann auf folgenden Term. Zum Lösen kannst du hier das Assoziativgesetz anwenden, um dir das Rechnen zu erleichtern.
$\begin{array}{} &&\quad 3.264+311+73-218\\ &=&\quad (3.264+311)+(73-218)\\ &=&\quad 3.575-145\\ &=&\quad 3.430\\ \end{array}$
Hat sie heute mehr oder weniger Follower als gestern Morgen?
Um diese Frage beantworten zu können, musst du dein Ergebnis aus der ersten Teilaufgabe mit der Anfangszahl von Tanjas Followern vergleichen und überlegen ob diese größer oder kleiner ist.
$3.264\leq3.430$
Somit hat Tanja heute mehr Follower als gestern Morgen.
#term
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