Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
VERA 8 Gymnas...
Prüfung
wechseln
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Binomische Formeln

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Beim Ausmultiplizieren von Summen gibt es drei Spezialfälle, für die du jeweils eine eigene Formel gegeben hast. Diese drei Formeln werden die binomischen Formeln genannt. Diese lauten:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Erste binomische Formel:
$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$
$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zweite binomische Formel:
$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2.$
$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2.$
Für die zweite binomische Formel gilt folgende Eigenschaft:
$\left(b-a\right)^2=\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2.$
$\begin{array}[t]{rll} \left(b-a\right)^2&=&\left(a-b\right)^2\\[5pt] &=&a^2-2ab+b^2. \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Dritte binomische Formel:
$\left(a+b\right) \cdot \left(a-b\right) =a^2- b^2.$
$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$
Für die dritte binomische Formel gilt folgende Eigenschaft:
$\left(a-b\right) \cdot \left(a+b\right) = \left(a+b\right) \cdot \left(a-b\right) =a^2- b^2.$
$\begin{array}[t]{rll} \left(a-b\right) \cdot \left(a+b\right)&=&\left(a+b\right) \cdot \left(a-b\right)\\[5pt] &=&a^2- b^2. \end{array}$

Beispiel

Anwenden der drei Formeln:
1.  $\left(a+1\right)^2=a^2+2a\cdot 1+ 1^2 = a^2 + 2a + 1$
1.   $ a^2 + 2a + 1 $
2.  $\left(a-1\right)^2=a^2-2a\cdot 1+ 1^2 = a^2 - 2a + 1$
2.   $ a^2 - 2a + 1 $
3.   $\left(a+1\right)\cdot \left(a-1\right)=a^2- 1^2 = a^2 - 1$
3.   $ a^2 - 1 $
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1. Leite die binomischen Formeln her, indem du die Produkte ausmultiplizierst.
2. Berechne die folgenden Produkte mit den binomischen Formeln.
a)   $\left(x+2\right)^2$
b)   $\left(a-4\right)^2$
c)   $\left(4+y\right) \cdot \left(4-y\right)$
d)   $\left(2-x\right) \cdot \left(x+2\right)$
e)   $\left(2a+3\right)^2$
f)   $\left(5-3b\right)^2$
g)   $\left(3m-2n\right) \cdot \left(3m+2n\right)$
h)   $\left(x+y\right)^2 + \left(x-y\right)^2$
3. Berechne den Flächeninhalt des untenstehenden Quadrats mit den binomischen Formel und kennzeichne wie sich die Gesamtfläche zusammensetzt.
Terme und Gleichungen: Binomische Formeln
4. Die binomischen Formeln kannst du auch rückwärts anwenden. Faktorisiere die Terme mithilfe der binomischen Formeln.
a)   $x^2-25$
b)   $a^2 + 6a + 9$
c)   $81 - 18n + n^2$
d)   $4x^2 - 4x + 1$
e)   $49a^2 - 36b^2$
f)   $9x^2 - 12xy + 4y^2$
1. Leite die binomischen Formeln her, indem du die Produkte ausmultiplizierst.
2. Berechne die folgenden Produkte mit den binomischen Formeln.
a)   $\left(x+2\right)^2$
b)   $\left(a-4\right)^2$
c)   $\left(4+y\right) \cdot \left(4-y\right)$
d)   $\left(2-x\right) \cdot \left(x+2\right)$
e)   $\left(2a+3\right)^2$
f)   $\left(5-3b\right)^2$.
g)   $\left(3m-2n\right) \cdot \left(3m+2n\right)$
h)   $\left(x+y\right)^2 + \left(x-y\right)^2$
3. Berechne den Flächeninhalt des untenstehenden Quadrats mit den binomischen Formel und kennzeichne wie sich die Gesamtfläche zusammensetzt.
Terme und Gleichungen: Binomische Formeln
4. Die binomischen Formeln kannst du auch rückwärts anwenden. Verwandle die folgenden Summen mithilfe der binomischen Formeln in Produkte.
a)   $x^2-25$
b)   $a^2 + 6a + 9$
c)   $81 - 18n + n^2$
d)   $4x^2 - 4x + 1$
e)   $49a^2 - 36b^2$
f)   $9x^2 - 12xy + 4y^2$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. Leite die binomischen Formeln her, indem du die Produkte ausmultiplizierst.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Erste binomische Formel
Um die erste binomische Formel herzuleiten, berechnest du das Quadrat „per Hand“:
$\begin{array}[t]{rll} \left(a+b\right)^2&=& \left(a+b\right)\cdot \left(a+b\right) \\[5pt] &=& a \cdot \left(a+b\right) + b \cdot \left(a+b\right) \\[5pt] &=& a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b\cdot b \\[5pt] &=& a^2 + ab + ab + b^2 \\[5pt] &=& a^2 +2ab + b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ a^2 +2ab + b^2 $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Zweite binomische Formel
Gehe bei der zweiten binomischen Formel analog vor. Achte hierbei auf das Minus.
$\begin{array}[t]{rll} \left(a-b\right)^2&=& \left(a-b\right)\cdot \left(a-b\right) \\[5pt] &=& a \cdot \left(a-b\right) - b \cdot \left(a-b\right) &\quad\scriptsize\mid\; -b \cdot \left(-b\right) = b \cdot b \\[5pt] &=& a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b\cdot b \\[5pt] &=& a^2 - ab - ab + b^2 \\[5pt] &=& a^2 - 2ab + b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ a^2 - 2ab + b^2 $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Dritte binomische Formel
Berechne auch die dritte binomische Formel indem du die Klammern ausmultiplizierst und dabei auf die Vorzeichen achtest.
$\begin{array}[t]{rll} \left(a+b\right)\cdot \left(a-b\right)&=& a \cdot \left(a-b\right) + b \cdot \left(a-b\right) \\[5pt] &=& a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b\cdot b \\[5pt] &=& a^2 - ab + ab - b^2 \\[5pt] &=& a^2 - b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ a^2 - b^2 $
2. Berechne die folgenden Produkte mit den binomischen Formeln.
a)  Es handelt sich um den Fall der ersten binomischen Formel, somit kannst du diese anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left(x+2\right)^2&=& x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 \\[5pt] &=& x^2 + 4x + 4 \end{array}$
$ x^2 + 4x + 4 $
b)  Es handelt sich um den Fall der zweiten binomischen Formel, somit kannst du diese anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left(a-4\right)^2&=& a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 \\[5pt] &=& a^2 - 8a + 16 \end{array}$
$ a^2 - 8a + 16 $
c)  Es handelt sich um den Fall der dritten binomischen Formel, somit kannst du diese anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left(4+y\right)\cdot \left(4-y\right)&=& 4^2 - y^2 \\[5pt] &=& 16- y^2 \end{array}$
$ 16- y^2 $
d)  Es handelt sich um den Fall der dritten binomischen Formel, da du sowohl beim Multiplizieren als auch beim Addieren die Reihenfolge vertauschen kannst (Vertauschungs-/ Kommutativgesetz), um den Term auf die richtige Form zu bringen.
$\begin{array}[t]{rll} \left(2-x\right)\cdot \left(x+2\right)&=& \left(x+2\right) \cdot \left(2-x\right) \\[5pt] &=& \left(2+x\right) \cdot \left(2-x\right) \\[5pt] &=& 2^2- x^2 \\[5pt] &=& 4-x^2 \end{array}$
$ 4-x^2 $
e)  Es handelt sich um den Fall der ersten binomischen Formel. Beachte, dass der erste Summand $2a$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} \left(2a+3\right)^2&=& \left(2a\right)^2 + 2 \cdot \left(2a\right) \cdot 3 + 3^2 \\[5pt] &=& 4a^2 + 12a + 9 \end{array}$
$ 4a^2 + 12a + 9 $
f)  Es handelt sich um den Fall der zweiten binomischen Formel, somit kannst du diese anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left(5-3b\right)^2&=& 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \left(3b\right) + \left(3b\right)^2 \\[5pt] &=& 25 - 30b + 9b^2 \end{array}$
$ 25 - 30b + 9b^2 $
g)  Es handelt sich um den Fall der dritten binomischen Formel, somit kannst du diese anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left(3m - 2n\right) \cdot \left(3m + 2n\right)&=& \left(3m\right)^2 - \left(2n\right)^2 \\[5pt] &=& 9m^2 - 4n^2 \end{array}$
$ 9m^2 - 4n^2 $
h)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du auf den ersten Summanden die erste binomische Formel und auf den zweiten Summanden die zweite binomische Formel anwenden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} \left(x+y\right)^2 + \left(x-y\right)^2 &=& \left(x^2 + 2xy + y^2\right) + \left(x^2 -2xy + y^2\right) \\[5pt] &=& 2x^2 + 2xy -2xy + 2y^2 \\[5pt] &=& 2x^2 + 2y^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 2x^2 + 2y^2 $
3. Berechne den Flächeninhalt des untenstehenden Quadrats mit den binomischen Formel und kennzeichne wie sich die Gesamtfläche zusammensetzt.
Du erkennst auf der Grafik, dass die Seitenlänge des Quadrats $a+b$ beträgt. Den Flächeninhalt $A$ des Quadrats kannst du dann mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrates sowie der binomischen Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left(a+b\right)^2 \\[5pt] &=& a^2 +2ab + b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ a^2 +2ab + b^2 $
Du kannst das Quadrat nun in vier Rechtecke aufteilen. Dazu ziehst jeweils eine zur Seite senkrechte Linie von der Markierung zwischen $a$ und $b$ zur anderen Seite. Du erhältst nun ein Quadrat mit Seitenlänge $a$, ein Quadrat mit Seitenlänge $b$ und zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $a$ und $b$.
Berechnest du die Flächeninhalte dieser Quadrate und Rechtecke, erhältst du genau das Ergebnis nach der binomischen Formel, wie man auf der untenstehenden Skizze erkennt:
Terme und Gleichungen: Binomische Formeln
Terme und Gleichungen: Binomische Formeln
4. Die binomischen Formeln kannst du auch rückwärts anwenden. Faktorisiere die Terme mithilfe der binomischen Formeln.
a)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Da es sich hier um eine Differenz aus zwei Zahlen handelt, kommt nur die dritte binomische Formel in Frage. Bringe die Differenz danach auf die ausmultiplizierte Form der dritten binomischen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -25&=& x^2 - 5^2 \\[5pt] &=& \left(x+5\right)\cdot \left(x-5\right) \end{array}$
$ \left(x+5\right)\cdot \left(x-5\right) $
b)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Hier handelt es sich um die Summe aus drei positiven Summanden, also brauchst du die erste binomische Formel. Bringe die Summe danach auf die ausmultiplizierte Form der ersten binomischen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + 6a + 9&=& a^2 +2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 \\[5pt] &=& \left(a+3\right)^2 \end{array}$
$ \left(a+3\right)^2 $
c)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Hier handelt es sich um die Summe aus drei Zahlen, wobei eine negativ ist, also brauchst du die zweite binomische Formel. Bringe die Summe danach auf die ausmultiplizierte Form der zweiten binomischen Formel. Bei der zweiten binomischen Formel hast du zwei Möglichkeiten die Summe aufzulösen.
$\begin{array}[t]{rll} 81 -18n + n^2&=& 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot n + n^2 &=& n^2 - 2 \cdot n \cdot 9 + 9^2 \\[5pt] &=& \left(9-n\right)^2 &=& \left(n-9\right)^2 \end{array}$
$ \left(n-9\right)^2 $
d)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Hier handelt es sich um die Summe aus drei Zahlen, wobei eine negativ ist, also brauchst du die zweite binomische Formel. Bringe die Summe danach auf die ausmultiplizierte Form der zweiten binomischen Formel. Bei der zweiten binomischen Formel hast du zwei Möglichkeiten die Summe aufzulösen.
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2 - 4x + 1&=& \left(2x\right)^2 - 2 \cdot \left(2x\right) \cdot 1 + 1^2 &=& 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \left(2x\right) + \left(2x\right)^2 \\[5pt] &=& \left(2x-1\right)^2 &=& \left(1-2x\right)^2 \end{array}$
$ \left(1-2x\right)^2 $
e)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Da es sich hier um eine Differenz aus zwei Zahlen handelt, kommt nur die dritte binomische Formel in Frage. Bringe die Differenz danach auf die ausmultiplizierte Form der dritten binomischen Formel.
$\begin{array}[t]{rll} 49a^2 - 36b^2&=& \left(7a\right)^2 - \left(6b\right)^2 \\[5pt] &=& \left(7a + 6b\right) \cdot \left(7a - 6b\right) \end{array}$
$ \left(7a + 6b\right) \cdot \left(7a - 6b\right) $
f)  Ordne zuerst die Form der Summe einer binomischen Formel zu. Hier handelt es sich um die Summe aus drei Zahlen, wobei eine negativ ist, also brauchst du die zweite binomische Formel. Bringe die Summe danach auf die ausmultiplizierte Form der zweiten binomischen Formel. Bei der zweiten binomischen Formel hast du zwei Möglichkeiten die Summe aufzulösen.
$\begin{array}[t]{rll} 9x^2 - 12xy + 4y^2&=& \left(3x\right)^2 - 2 \cdot \left(3x\right) \cdot \left(2y\right) + \left(2y\right)^2 &=& \left(2y\right)^2 - 2 \cdot \left(2y\right) \cdot \left(3x\right) + \left(3x\right)^2 \\[5pt] &=& \left(3x-2y\right)^2 &=& \left(2y-3x\right)^2 \end{array}$
$ \left(2y-3x\right)^2 $
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App