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Summen multiplizieren

Spickzettel
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Das Multiplizieren von Summen, also Terme der Form $\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right)$, kannst du in eine Summe auflösen:
$\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right)=a\cdot \left(c+d\right) + b \cdot \left(c+d\right)=ac +ad +bc+bd.$
$\begin{array}[t]{rll} &\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right)\\[5pt] =&a\cdot \left(c+d\right) + b \cdot \left(c+d\right) \\[5pt] =&ac +ad +bc+bd. \end{array}$
Beim Multiplizieren von Summen wird jeder Summand der ersten Summe mit jedem Summand der zweiten Summe multipliziert.
Bildlich kannst du dir als ein Rechteck mit den Seitenlängen $a+b$ und $c+d$ vorstellen, also beträgt der Flächeninhalt $\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right)$. Dieses kannst du in vier kleinere Rechtecke mit den Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und $d$ aufteilen mit den Flächeninhalten $ab$, $ac$, $bc$ und $bd$. Du erkennst, dass beide Flächen gleich groß sind:
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren

Beispiel

Multipliziere $\left(3x + 2\right)\cdot \left(y + 2z\right)$ aus:
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x + 2\right)\cdot \left(y + 2z\right)&=&3x \cdot \left(y + 2z\right) + 2 \cdot \left(y + 2z\right) \\[5pt] &=&3x \cdot y + 3x \cdot 2z + 2 \cdot y + 2\cdot 2z \\[5pt] &=&3xy + 6xz + 2y + 4yz \\[5pt] \end{array}$
$ 3xy + 6xz + 2y + 4yz $
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1.  Multipliziere die Produkte aus.
a)   $\left(2x + z\right) \cdot \left(1 + 5y\right)$.
b)   $\left(4a + 3\right) \cdot \left(b + 2c\right)$.
c)   $\left(1 + x\right) \cdot \left(2x + 3y\right)$.
d)   $\left(3a + 2b\right) \cdot \left(a + 5b\right)$.
2.  Multipliziere aus.
a)   $\left(3x - 2y\right) \cdot \left(4 + 2y\right)$.
b)   $\left(2a - b\right) \cdot \left(c - 5\right)$.
c)   $\left(2x + y + 3z\right) \cdot \left(x + 4z\right)$.
d)   $\left(4a + 2b - 5c\right) \cdot \left(3a - 5b\right)$.
3.  Stelle die Gesamtflächen jeweils als Summen und Produkten dar.
a)  
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
b) 
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
1.  Multipliziere die Produkte aus.
a)   $\left(2x + z\right) \cdot \left(1 + 5y\right)$.
b)   $\left(4a + 3\right) \cdot \left(b + 2c\right)$.
c)   $\left(1 + x\right) \cdot \left(2x + 3y\right)$.
d)   $\left(3a + 2b\right) \cdot \left(a + 5b\right)$.
2.  Multipliziere aus.
a)   $\left(3x - 2y\right) \cdot \left(4 + 2y\right)$.
b)   $\left(2a - b\right) \cdot \left(c - 5\right)$.
c)   $\left(2x + y + 3z\right) \cdot \left(x + 4z\right)$.
d)   $\left(4a + 2b - 5c\right) \cdot \left(3a - 5b\right)$.
3.  Stelle die Gesamtflächen jeweils als Summen und Produkte dar.
a)  
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
b)  
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
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1.  Multipliziere die Produkte aus.
a) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere zuerst die linke, dann die rechte Klammer aus. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(2x + z\right)\cdot \left(1 + 5y\right)&=& 2x \cdot \left(1 + 5y\right) + z \cdot \left(1 + 5y\right) \\[5pt] &=& 2x \cdot 1 + 2x \cdot 5y + z \cdot 1 + z\cdot 5y \\[5pt] &=& 2x + 10xy + z + 5yz \\[5pt] \end{array}$
$ 2x + 10xy + z + 5yz $
b) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere zuerst die linke, dann die rechte Klammer aus. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(4a + 3\right)\cdot \left(b + 2c\right)&=& 4a \cdot \left(b + 2c\right) + 3 \cdot \left(b + 2c\right) \\[5pt] &=& 4a \cdot b + 4a \cdot 2c + 3 \cdot b + 3 \cdot 2c \\[5pt] &=& 4ab + 8ac + 3b + 6c \\[5pt] \end{array}$
$ 4ab + 8ac + 3b + 6c $
c) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere zuerst die linke, dann die rechte Klammer aus. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(1 + x\right)\cdot \left(2x + 3y\right)&=& 1 \cdot \left(2x + 3y\right) + x \cdot \left(2x + 3y\right) \\[5pt] &=& 1 \cdot 2x + 1 \cdot 3y + x \cdot 2x + x\cdot 3y \\[5pt] &=& 2x + 3y + 2x^2 + 3xy \\[5pt] \end{array}$
$ 2x + 3y + 2x^2 + 3xy $
d) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere zuerst die linke, dann die rechte Klammer aus. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left( 3a + 2b \right)\cdot \left( a +5b \right)&=& 3a \cdot \left( a +5b \right) + 2b \cdot \left( a +5b \right) \\[5pt] &=& 3a \cdot a + 3a \cdot 5b + 2b \cdot a + 2b\cdot 5b \\[5pt] &=& 3a^2 + 15ab + 2ab + 10b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 3a^2 + 15ab + 2ab + 10b^2 $
2.  Multipliziere aus.
a) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Achte dabei auf das Minus in der ersten Klammer.
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x - 2y\right)\cdot \left( 4+ 2y\right)&=& 3x \cdot \left( 4+ 2y\right) - 2y \cdot \left( 4+ 2y\right) \\[5pt] &=& 3x \cdot 4 + 3x \cdot 2y - 2y \cdot 4 -2y \cdot 2y \\[5pt] &=& 12x + 6xy -8y - 4y^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 12x + 6xy -8y - 4y^2 $
b) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Achte hier darauf, dass du zwei Differenzen hast und das Produkt zweier negativer Zahlen wieder positiv ist („ $- \cdot - = +$“)
$\begin{array}[t]{rll} \left(2a - b\right)\cdot \left(c-5\right)&=& 2a \cdot \left(c-5\right) - b \cdot \left(c-5\right)& \quad \scriptsize \mid\; -b \cdot \left(-5\right) = b \cdot 5 \\[5pt] &=& 2a \cdot c - 2a \cdot 5 - b \cdot c + b \cdot 5 \\[5pt] &=& 4ac - 10a - bc + 5b \\[5pt] \end{array}$
$ 4ac - 10a - bc + 5b $
c) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere zuerst die linke, dann die rechte Klammer aus. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(2x + y + 3z\right)\cdot \left(x + 4z\right)&=& 2x \cdot \left(x + 4z\right) + y \cdot \left(x + 4z\right) + 3z \cdot \left(x + 4z\right) \\[5pt] &=& 2x \cdot x + 2x \cdot 4z + y \cdot x + y \cdot 4z + 3z \cdot x + 3z \cdot 4z \\[5pt] &=& 2x^2 + 8xz + xy + 4yz + 3xz + 12z^2 \\[5pt] &=& 2x^2 + 11xz + xy + 4yz + 12z^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 2x^2 + 11xz + xy + 4yz + 12z^2 $
d) Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Achte hierbei auf die Minuszeichen.
$\begin{array}[t]{rll} \left(4a + 2b - 5c\right)\cdot \left(3a-5b\right)&=& 4a \cdot \left(3a-5b\right) + 2b \cdot \left(3a-5b\right) -5c \cdot \left(3a-5b\right) \\[5pt] &=& 4a \cdot 3a - 4a \cdot 5b + 2b \cdot 3a - 2b \cdot 5b -5c \cdot 3a + 5c \cdot 5b \\[5pt] &=& 12a^2 - 20ab + 6ab - 10b^2 - 15ac + 25bc \\[5pt] &=& 12a^2 - 14ab - 10b^2 - 15ac + 25bc \\[5pt] \end{array}$
$ \left(4a + 2b - 5c\right)\cdot \left(3a-5b\right) $
3.  Stelle die Gesamtflächen jeweils als Summen und Produkten dar.
a) Auf der Skizze erkennst du, dass die horizontalen Seiten des Rechtecks eine Länge von $b+2$ und die Vertikalen eine Länge von $a+1$. Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks kannst du nun den Flächeninhalt des Rechtecks $A$ bestimmen:
$A=\left(a+1\right) \cdot \left(b+2\right)$
Dieses Produkt kannst du nun ausmultiplizieren, um es als Summe darzustellen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left(a+1\right) \cdot \left(b+2\right) \\[5pt] &=& a \cdot \left(b+2\right) + 1 \cdot \left(b+2\right)\\[5pt] &=& a\cdot b + a \cdot 2 + 1 \cdot b + 1\cdot 2 \\[5pt] &=& ab + 2a + b + 2 \end{array}$
$ ab + 2a + b + 2 $
Die vier Summanden entsprechen dabei den vier Flächeninhalten der durch die gestrichelten Linien markierten Rechtecke:
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
b) Auf der Skizze erkennst du, dass die horizontalen Seiten des Rechtecks eine Länge von $b + a + c$ und die Vertikalen eine Länge von $a+c$. Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks kannst du nun den Flächeninhalt des Rechtecks $A$ bestimmen:
$A=\left(b + a+ c\right) \cdot \left(a+c\right)$
Dieses Produkt kannst du nun ausmultiplizieren, um es als Summe darzustellen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left(b + a+ c\right) \cdot \left(a+c\right) \\[5pt] &=& b \cdot \left(a+c\right) + a \cdot \left(a+c\right) + c \cdot \left(a+c\right)\\[5pt] &=& b \cdot a + b \cdot c + a \cdot a + a\cdot c + c \cdot a + c \cdot c \\[5pt] &=& ab + bc + a^2 + ac + ac + c^2 \\[5pt] &=& ab + bc + a^2 + 2ac + c^2 \end{array}$
$ ab + bc + a^2 + 2ac + c^2 $
Die sechs Summanden im vorletzten Schritt entsprechen dabei den sechs Flächeninhalten der durch die gestrichelten Linien markierten Rechtecke:
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
Terme und Gleichungen: Summen multiplizieren
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