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Additionstheoreme

Spickzettel
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Neben den Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen aus dem vorherigen Kapitel über goniometrische Funktionen, gibt es noch weitere Beziehungen. Du kannst sie benutzen, um goniometrische Gleichungen umzuformen oder um Sinus bzw. Kosinus eines Winkelmaßes zu berechnen.
Mithilfe der Additionstheoreme kannst du den Sinus bzw den Kosinus von einem zusammengesetzten Winkelmaß berechnen. Die Formel für die Additionstheoreme lauten:
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
Mithilfe der Doppelwinkelfunktionen kannst du das Winkelmaß des doppelten eines Winkels berechnen oder Sinus und Kosinus zu einer trigonometrischen Funktion zusammenfassen. Die Formeln der Doppelwinkelfunktionen lauten:
$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2$
$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2$
Mit den Formeln für das halbe Winkelmaß kannst du den Sinus bzw. Kosinus eines halben Winkelmaßes berechnen. Die Formel für das halbe Winkelmaß lauten:
$\mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
Durch geschicktes Umformen und Zusammenfassen kannst du goniometrische Gleichungen stark vereinfachen.
#doppelwinkelfunktionen#goniometrischegleichung#formelnfürdashalbewinkelmaß#additionstheoreme
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Berechne das Ergebnis von $\sin(60°)$ mithilfe der Additionstheoreme. Verwende dabei die folgenden Angaben:
  • $\sin(30°)=0,5$
  • $\cos(30°)=0,8660$
b)
Berechne das Ergebnis von $\cos(60°)$ mithilfe der Doppelwinkelfunktionen und den angegebenen Werten aus Aufgabenteil a).
c)
Überprüfe deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgabenteilen mithilfe der Formeln für das halbe Winkelmaß und der Angabe: $\cos(120°)=-0,5$.
#formelnfürdashalbewinkelmaß#additionstheoreme#doppelwinkelfunktionen

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Werte mithilfe der Angaben in der Tabelle weiter unten und…
…den Additionstheoremen.
b)
$\cos(75°)$
…den Doppelwinkelfunktionen.
d)
$\cos(360°)$
…den Formeln für das halbe Winkelmaß.
f)
$\cos(7,5°)$
…den verschiedenen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Termen.
h)
$\cos(22,5°)$
$\alpha$$\sin(\alpha)$$\cos(\alpha)$
$15°$$0,2588$$0,9659$
$30°$$0,5$$0,8660$
$60°$$0,8660$$0,5$
$120°$$0,8660$$-0,5$
$180°$$0$$-1$
#formelnfürdashalbewinkelmaß#doppelwinkelfunktionen#additionstheoreme

Aufgabe 2

Vereinfache die Terme.
a)
$\sqrt{\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}$
b)
$\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\cos(\frac{\alpha}{2})$
c)
$-\sin(\alpha)\cdot\left(\dfrac{\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}-\cos(\beta)\right)$

Aufgabe 3

Löse die Gleichungen und gib die Lösungsmenge im Bereich $[0°;180°]$ an.
a)
$3\cdot(\cos(\frac{\alpha}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\tan(\frac{\alpha}{2}))=\dfrac{\sin(\alpha)}{3\cdot\cos(\frac{\alpha}{2})}\cdot12$
b)
$3\cdot\left(\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{\tan(\alpha)}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}+3\cdot\dfrac{\cos(2\alpha)}{6}\right)=27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\left(\cos(\alpha)+\dfrac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}\right)\right)$

Aufgabe 4

Du hast das Rechteck $ABCD$ gegeben. Seine Diagonalen sind jeweils $8\,\text{cm}$ lang. Du kennst die Größe des Winkels $\beta$ zwischen der Seite $\overline{AB}$ und der Diagonalen.
a)
Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du abhängig von der Größe des Winkels $\beta$ und der Länge der Diagonalen den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen kannst.
Die Größe des Winkels $\beta$ beträgt $30°$.
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks?
#rechteck
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Einführungsaufgabe

a)
Die Additionstheoreme lauten:
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$
Überlege dir, welche der Gleichungen du verwenden kannst und setze die angegebenen Sinus- und Kosinuswerte in die Gleichung ein. Berechne anschließend das Ergebnis.
Du benötigst die oberste Formel. Dabei sind $\alpha$ und $\beta$ jeweils $30°$ groß. Nutze die Formel und setzte die Werte aus der Aufgabenstellung ein und berechne das Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(30°+30°)&=&\sin(30°)\cdot\cos(30°)+\cos(30°)\cdot\sin(30°) \\[5pt] \sin(60°)&=&0,5\cdot0,8660+0,8660\cdot0,5 \\[5pt] \sin(60°)&=&0,433+0,433 \\[5pt] \sin(60°)&=&0,866\\[5pt] \end{array}$
$ \sin(60°)=0,866 $
Der Sinus von $60°$ beträgt $0,866$.
b)
Die Doppelwinkelfunktionen lauten:
$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2$
$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2$
Überlege dir, welche der Gleichungen du verwenden kannst und setze die angegebenen Sinus- und Kosinuswerte in die Gleichung ein. Berechne anschließend das Ergebnis.
Du benötigst die untere Formel. Dabei gilt $\alpha=30°$. Nutze die Formel und setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein und berechne das Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(2\alpha)&=&\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(2\cdot 30°)&=&\cos(30°)^2-\sin(30°)^2 \\[5pt] \cos(60°)&=&(0,8660)^2-(0,5)^2 \\[5pt] \cos(60°)&=&0,75-0,25 \\[5pt] \cos(60°)&=&0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(60°)=0,5 $
Der Kosinus von $60°$ beträgt $0,5$.
c)
Die Formeln für das halbe Winkelmaß lauten:
$\mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
$\mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
Nutze die beiden Formeln und rechne mit den Angaben aus der Aufgabenstellung die beiden Werte aus den vorherigen Aufgabenstellungen nach. Dabei gilt beide Male $\alpha=120°$.
$\begin{array}[t]{rll} \mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \mid\cos(\frac{120°}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+\cos(120°)}{2}} \\[5pt] \mid\cos(60°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+(-0,5)}{2}} \\[5pt] \mid\cos(60°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{0,5}{2}} \\[5pt] \mid\cos(60°)\mid&=&\sqrt{0,25} \\[5pt] \mid\cos(60°)\mid&=&0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ \mid\cos(60°)\mid=0,5 $
Das Ergebnis aus Aufgabenteil b) ist korrekt.
$\begin{array}[t]{rll} \mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \mid\sin(\frac{120°}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-\cos(120°)}{2}} \\[5pt] \mid\sin(60°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-(-0,5)}{2}} \\[5pt] \mid\sin(60°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1,5}{2}} \\[5pt] \mid\sin(60°)\mid&=&\sqrt{0,75} \\[5pt] \mid\sin(60°)\mid&=&0,8660 \\[5pt] \end{array}$
$ \mid\sin(60°)\mid=0,8660 $
Das Ergebnis aus Aufgabenteil a) ist korrekt.
#doppelwinkelfunktionen#additionstheoreme#formelnfürdashalbewinkelmaß

Aufgabe 1

Nutze die Formeln, die in der Aufgabenstellung angegeben sind, und überlege dir, mit welchen Werten aus der Tabelle du den gesuchten Wert ausrechnen kannst. Setze diese Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis.
a)
Du kannst diesen Wert mit den Additionstheoremen des Sinus berechnen. Dabei kannst du entweder die Formel für $\sin(\alpha+\beta)$ mit $\alpha=30°$ und $\beta=15°$ oder die Formel für $\sin(\alpha-\beta)$ mit $\alpha=60°$ und $\beta=15°$ benutzen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(30°+15°)&=&\sin(30°)\cdot\cos(15°)+\cos(30°)\cdot\sin(15°) \\[5pt] \sin(45°)&=&0,5\cdot0,9659+0,8660\cdot0,2588 \\[5pt] \sin(45°)&=&0,48295+0,2241208 \\[5pt] \sin(45°)&=&0,7071 \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(45°)=0,7071 $
Der Sinus von $45°$ beträgt $0,7071$.
b)
Du kannst diesen Wert mit den Additionstheoremen des Kosinus berechnen. Benutze dabei die Formel für $\cos(\alpha+\beta)$ mit $\alpha=60°$ und $\beta=15°$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \cos(60°+15°)&=&\cos(60°)\cdot\cos(15°)-\sin(60°)\cdot\sin(15°) \\[5pt] \cos(75°)&=&0,5\cdot0,9659-0,8660\cdot0,2588 \\[5pt] \cos(75°)&=&0,48295-0,2241208 \\[5pt] \cos(75°)&=&0,2588 \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(75°)=0,2588 $
Der Kosinus von $75°$ beträgt $0,2588$.
c)
Du kannst diesen Wert mit der Doppelwinkelfunktion des Sinus berechnen. Dabei ist $\alpha=120°$.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(2\alpha)&=&2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(2\cdot 120°)&=&2\sin(120°)\cdot\cos(120°) \\[5pt] \sin(240°)&=&2\cdot 0,8660\cdot(-0,5) \\[5pt] \sin(240°)&=&-0,8660 \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(240°)=-0,8660 $
Der Sinus von $240°$ beträgt $-0,8660$.
d)
Du kannst diesen Wert mit der Doppelwinkelfunktion des Kosinus berechnen. Dabei ist $\alpha=180°$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(2\alpha)&=&\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \cos(2\cdot 180°)&=&\cos(180°)^2-\sin(180°)^2 \\[5pt] \cos(360°)&=&(-1)^2-(0)^2 \\[5pt] \cos(360°)&=&1 \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(360°)=1 $
Der Kosinus von $360°$ beträgt $1$.
e)
Du kannst diesen Wert mit der Formel für das halbe Winkelmaß des Sinus berechnen. Dabei ist $\alpha=180°$.
$\begin{array}[t]{rll} \mid\sin(\frac{\alpha}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \mid\sin(\frac{180°}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-\cos(180°)}{2}} \\[5pt] \mid\sin(90°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1-(-1)}{2}} \\[5pt] \mid\sin(90°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{2}{2}} \\[5pt] \mid\sin(90°)\mid&=&\sqrt{1} \\[5pt] \mid\sin(90°)\mid&=&1 \\[5pt] \end{array}$
$ \mid\sin(90°)\mid=1 $
Der Betrag des Sinus von $90°$ beträgt $1$.
f)
Du kannst diesen Wert mit der Formel für das halbe Winkelmaß des Kosinus berechnen. Dabei ist $\alpha=15°$.
$\begin{array}[t]{rll} \mid\cos(\frac{\alpha}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \mid\cos(\frac{15°}{2})\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+\cos(15°)}{2}} \\[5pt] \mid\cos(7,5°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1+0,9659}{2}} \\[5pt] \mid\cos(7,5°)\mid&=&\sqrt{\dfrac{1,9659}{2}} \\[5pt] \mid\cos(7,5°)\mid&=&\sqrt{0,98295} \\[5pt] \mid\cos(7,5°)\mid&=&0,9914\\[5pt] \end{array}$
$ \mid\cos(7,5°)\mid=0,9914 $
Der Betrag des Kosinus von $7,5°$ beträgt $0,9914$.
Überlege dir bei den folgenden zwei Aufgaben, welche Formeln du verwenden kannst, um die Werte auszurechnen. Du wirst mehr als eine der Formeln brauchen.
g)
Du kannst diesen Wert mit dem Additionstheorem für den Sinus berechnen. Verwende dabei die Formel für $\sin(\alpha+\beta)$. Dabei ist $\alpha=180°$ und $\beta=90°$. $\sin(90°)$ bzw. $\cos(90°)$ kannst du über die Formeln für das halbe Winkelmaß berechnen. Dabei musst du jeweils $180°$ für den Winkel einsetzen. Dabei berechnest du den Betrag. Überlege dir, anhand des Verlaufs des Sinus bzw. des Kosinus, ob das Ergebnis der Formeln für das halbe Winkelmaß negativ ist.
Die Ergebnisse der Formeln für das halbe Winkelmaß sind nicht negativ.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(180°+90°)&=&\sin(180°)\cdot\cos(90°)+\cos(180°)\cdot\sin(90°) \\[5pt] \sin(270°)&=&0\cdot\cos(90°)+(-1)\cdot\sqrt{\dfrac{1-\cos(180°)}{2}} \\[5pt] \sin(270°)&=&-\sqrt{\dfrac{1-(-1)}{2}} \\[5pt] \sin(270°)&=&-\sqrt{\dfrac{2}{2}} \\[5pt] \sin(270°)&=&-\sqrt{1} \\[5pt] \sin(270°)&=&-1 \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(270°)=-1 $
Der Sinus von $270°$ beträgt $-1$.
h)
Du kannst diesen Wert mit dem Additionstheorem für den Kosinus berechnen. Verwende dabei die Formel für $\cos(\alpha-\beta)$. Dabei ist $\alpha=30°$ und $\beta=7,5°$. $\sin(7,5°)$ bzw. $\cos(7,5°)$ kannst du über die Formeln für das halbe Winkelmaß berechnen. Dabei musst du jeweils $15°$ für den Winkel einsetzen. Dabei berechnest du den Betrag. Überlege dir, anhand des Verlaufs des Sinus bzw. des Kosinus, ob das Ergebnis der Formeln für das halbe Winkelmaß negativ ist.
Die Ergebnisse der Formeln für das halbe Winkelmaß sind nicht negativ.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \cos(30°-7,5°)&=&\cos(30°)\cdot\cos(7,5°)+\sin(30°)\cdot\sin(7,5°) \\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,8660\cdot\sqrt{\dfrac{1+\cos(15°)}{2}}+0,5\cdot\sqrt{\dfrac{1-\cos(15°)}{2}} \\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,8660\cdot\sqrt{\dfrac{1+0,9659}{2}}+0,5\cdot\sqrt{\dfrac{1-0,9659}{2}} \\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,8660\cdot\sqrt{\dfrac{1,9659}{2}}+0,5\cdot\sqrt{\dfrac{0,0341}{2}} \\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,8660\cdot\sqrt{0,98295}+0,5\cdot\sqrt{0,01705} \\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,8586+0,0653\\[5pt] \cos(22,5°)&=&0,9239\\[5pt] \end{array}$
$ \cos(22,5°)=0,9239 $
Der Kosinus von $22,5°$ beträgt $0,9239$.
#formelnfürdashalbewinkelmaß#additionstheoreme#doppelwinkelfunktionen

Aufgabe 2

Suche nach Elementen aus den Formeln, mit denen du in den bisherigen Aufgaben gerechnet hast, und überlege dir, wie du den Term zusammenfassen kannst. Eventuell musst du die Formeln ein wenig anpassen.
a)
Der Term hat starke Ähnlichkeit mit der Formel für das halbe Winkelmaß des Sinus. Der einzige Unterschied ist, dass im Kosinus der Ausdruck $2\alpha$ steht. Demnach wird, wenn du den Ausdruck mit der Formel ersetzt, auch im Sinus $2\alpha$ anstatts $\alpha$ stehen.
$\begin{array}[t]{rll} &\sqrt{\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Formel für das halbe Winkelmaß}\\[5pt] =&\sin(2\frac{\alpha}{2}) \\[5pt] =&\sin(\alpha) \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(\alpha) $
Der vereinfachte Term lautet $\sin(\alpha)$.
b)
Der Term hat Ähnlichkeit mit der Doppelwinkelfunktion des Sinus. Im Sinus und Kosinus steht nur $\frac{\alpha}{2}$ anstatts $\alpha$. Demnach wird dieser Ausdruck auch in der Doppelwinkelfunktion stehen. Außerdem fehlt der Vorfaktor $2$. Wenn du die Doppelwinkelfunktion umformst, indem du sie durch $2$ teilst, dann erhältst du:
$\dfrac{\sin(\alpha)}{2}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
Demnach wird der vereinfachte Ausdruck auch den Vorfaktor $\dfrac{1}{2}$ haben.
$\begin{array}[t]{rll} &\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha}{2})&\quad \scriptsize \mid\; \text{Doppelwinkelfunktion}\\[5pt] =&\dfrac{1}{2}\sin(2\frac{\alpha}{2}) \\[5pt] =&\dfrac{1}{2}\sin(\alpha) \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{1}{2}\sin(\alpha) $
Der vereinfachte Term lautet $\dfrac{1}{2}\sin(\alpha)$.
c)
Beginne damit, den Term auszumultiplizieren. Vielleicht erkennst du dabei eine dir bekannte Formel, mit der du den Term vereinfachen kannst. Die Anwesenheit von sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ könnten implizieren, dass du eines der Additionstheoreme benötigst.
$\begin{array}[t]{rll} &-\sin(\alpha)\cdot\left(\dfrac{\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}-\cos(\beta)\right)\\[5pt] =&\dfrac{-\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}-(-\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta))\\[5pt] =&\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)&\quad \scriptsize \mid\; \text{Additionstheorem}\\[5pt] =&\sin(\alpha-\beta)\\[5pt] \end{array}$
$ \sin(\alpha-\beta) $
Der vereinfachte Term lautet $\sin(\alpha-\beta)$.
#additionstheoreme#doppelwinkelfunktionen#formelnfürdashalbewinkelmaß

Aufgabe 3

Multipliziere aus und forme die Gleichungen um. Überlege dir dabei, welche trigonometrischen Beziehung du dabei verwenden kannst, um die Gleichung zu vereinfachen. Versuche die Gleichung so umzuformen, dass der Winkel nur noch in einer Art trigonometrischem Term steht. Anschließend kannst du die Gleichung lösen. Bedenke, dass es aufgrund der Symmetrie und Periodizität der trigonometrischen Funktionen mehrere Winkelmaße gibt, die das gleiche Ergebnis liefern. Bestimme alle diese Winkelmaße und überprüfe ihre Richtigkeit durch Einsetzen in die Gleichung.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot(\cos(\frac{\alpha}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\tan(\frac{\alpha}{2}))&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{3\cdot\cos(\frac{\alpha}{2})}\cdot12 &\quad \scriptsize \mid\; \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\frac{\alpha}{2})-\dfrac{\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)&=&4\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\frac{\alpha}{2})-\dfrac{\sin(\frac{\alpha}{2})^2}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)&=&4\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\cos(\frac{\alpha}{2}) \\[5pt] 3\cdot\cos(\frac{\alpha}{2})\cdot\left(\cos(\frac{\alpha}{2})-\dfrac{\sin(\frac{\alpha}{2})^2}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)&=&4\sin(\alpha)\\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\frac{\alpha}{2})^2-\dfrac{\sin(\frac{\alpha}{2})^2\cdot \cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)&=&4\sin(\alpha)\\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\frac{\alpha}{2})^2-\sin(\frac{\alpha}{2})^2\right)&=&4\sin(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \text{Doppelwinkelfunktion} \\[5pt] 3\cdot\cos(2\cdot\frac{\alpha}{2})&=&4\sin(\alpha)\\[5pt] 3\cdot\cos(\alpha)&=&4\sin(\alpha)\\[5pt] 3\cdot\cos(\alpha)&=&4\sin(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; :\cos(\alpha) \\[5pt] 3&=&4\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}&\quad \scriptsize \mid\; \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\[5pt] 3&=&4\tan(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 0,75&=&\tan(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] 36,9°&=&\alpha \\[5pt] \end{array}$
$ 36,9°=\alpha $
Der Tangens ist nicht achsensymmetrisch. Deshalb gibt es innerhalb einer Periode kein zweites Winkelmaß, das den selben Wert ergibt. Eine Periode des Tangens geht über $180°$. Demnach gibt es innerhalb des in der Aufgabenstellung gegebenen Bereichs kein zweites Winkelmaß, das den selben Wert liefert. Überprüfe nun das Ergebnis durch Einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot(\cos(\frac{\alpha}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\tan(\frac{\alpha}{2}))&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{3\cdot\cos(\frac{\alpha}{2})}\cdot12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 3\cdot(\cos(\frac{36,9°}{2})-\sin(\frac{36,9°}{2})\cdot\tan(\frac{36,9°}{2}))&=&4\dfrac{\sin(36,9°)}{\cos(\frac{36,9°}{2})} \\[5pt] 3\cdot(\cos(18,45°)-\sin(18,45°)\cdot\tan(18,45°))&=&4\dfrac{\sin(36,9°)}{\cos(18,45°)} \\[5pt] 3\cdot(0,9486-0,3165\cdot0,3336)&=&4\dfrac{0,6004}{0,9486} \\[5pt] 3\cdot0,8430&=&4\cdot0,6329 \\[5pt] 2,5290&\approx&2,5316 \\[5pt] \end{array}$
$ 2,5290\approx2,5316 $
Die Gleichung ist erfüllt. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet $\mathbb{L}=\{36,9°\}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot\left(\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{\tan(\alpha)}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}+3\cdot\dfrac{\cos(2\alpha)}{6}\right)&=&27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\left(\cos(\alpha)+\dfrac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}\right)\right) &\quad \scriptsize \mid\; \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\[5pt] 3\cdot\left(\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(2\alpha)}{2}\right)&=&27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\left(\cos(\alpha)+\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)\right) \\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\alpha)^2-\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)&=&27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\left(\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\right)\right) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Formel für das halbe Winkelmaß} \\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\alpha)^2-\sin(2\frac{\alpha}{2})^2\right)&=&27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\right) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Additionstheorem} \\[5pt] 3\cdot\left(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2\right)&=&27\cdot\sin(\alpha+\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \text{Doppelwinkelfunktion} \\[5pt] 3\cdot\cos(2\alpha)&=&27\cdot\sin(2\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; :\cos(2\alpha)\\[5pt] 3&=&27\cdot\dfrac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}&\quad \scriptsize \mid\; \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\[5pt] 3&=&27\cdot\tan(2\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; :27\\[5pt] \dfrac{1}{9}&=&\tan(2\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] 6,3°&=&2\alpha&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 3,2°&\approx&\alpha\\[5pt] \end{array}$
Der Tangens ist nicht achsensymmetrisch. Deshalb gibt es innerhalb einer Periode kein zweites Winkelmaß, das den selben Wert ergibt. Eine Periode des Tangens geht über $180°$. Demnach gibt es innerhalb des in der Aufgabenstellung gegebenen Bereichs kein zweites Winkelmaß, das den selben Wert liefert. Überprüfe nun das Ergebnis durch Einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot\left(\dfrac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{\tan(\alpha)}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}+3\cdot\dfrac{\cos(2\alpha)}{6}\right)&=&27\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot\left(\cos(\alpha)+\dfrac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}\right)\right) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 3\cdot\left(\dfrac{\sin(3,2°)\cdot\cos(3,2°)}{\tan(3,2°)}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}+3\cdot\dfrac{\cos(2\cdot3,2°)}{6}\right)&=&27\cdot\left(\sin(3,2°)\cdot\left(\cos(3,2°)+\dfrac{\sin(3,2°)}{\tan(3,2°)}\right)\right) \\[5pt] 3\cdot\left(\dfrac{\sin(3,2°)\cdot\cos(3,2°)}{\tan(3,2°)}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}+3\cdot\dfrac{\cos(2\cdot3,2°)}{6}\right)&=&27\cdot\left(\sin(3,2°)\cdot\left(\cos(3,2°)+\dfrac{\sin(3,2°)}{\tan(3,2°)}\right)\right) \\[5pt] 3\cdot\left(\dfrac{0,0558\cdot0,9984}{0,0559}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(6,4°)}{2}\right)&=&27\cdot\left(0,0558\cdot\left(0,9984+\dfrac{0,0558}{0,0559}\right)\right) \\[5pt] 3\cdot\left(0,9969-\dfrac{1}{2}+\dfrac{0,9938}{2}\right)&=&27\cdot0,1115 \\[5pt] 2,9814&\approx&3,0105 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet $\mathbb{L}=\{3,2°\}$.
#goniometrischegleichung#formelnfürdashalbewinkelmaß#additionstheoreme#doppelwinkelfunktionen

Aufgabe 4

a)
Am einfachsten ist es, wenn du dir die Situation zuerst mit einer kurzen Skizze verdeutlichst. Deine Skizze sieht aus aus:
In dieser Skizze wurde nur eine der beiden Diagonalen eingezeichnet. Sie teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden unterschiedlich langen Seiten des Rechtecks wurden mit $a$ und $b$ bezeichnet. Die Diagonale heißt $d$.
Du sollst eine Funktionsgleichung aufstellen, mit der du den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen kannst. Dabei kennst du nur die Länge der Diagonalen $d$ und die Größe des Winkels $\beta$. Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet $A_R=a\cdot b$. Du kennst $a$ und $b$ jedoch nicht. Überlege dir, wie du diese Längenangaben mit Angaben ersetzen kannst, die du bereits kennst.
Du kannst die Seitenlängen ersetzen, wenn du sie mithilfe von Sinus und Kosinus darstellst. Das darfst du, weil die Diagonale aus dem Rechteck zwei rechtwinklige Dreiecke macht. Dabei ist die Diagonale jeweils die Hypotenuse. Du kannst mithilfe des Sinus folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{b}{d} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot d \\[5pt] \sin(\beta)\cdot d&=&b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\beta)\cdot 8\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(\beta)\cdot 8\,\text{cm}=b $
Mithilfe des Kosinus kannst du folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{a}{d} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot d \\[5pt] \cos(\beta)\cdot d&=&a &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot 8\,\text{cm}&=&a \\[5pt] \end{array}$
$ \cos(\beta)\cdot 8\,\text{cm}=a $
Mit diesen beiden Gleichungen kannst du die Seitenlängen in der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks ersetzen.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&8\,\text{cm}\cdot\sin(\beta)\cdot8\,\text{cm}\cdot\cos(\beta) \\[5pt] A_R&=&64\,\text{cm}^2\cdot\sin(\beta)\cdot\cos(\beta) \\[5pt] \end{array}$
$ A_R=64\,\text{cm}^2\cdot\sin(\beta)\cdot\cos(\beta) $
Mit dieser Formel kannst du nun den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen, wenn du die Länge der Diagonale und die Größe des Winkels $\beta$ kennst.
b)
Setze die Winkelangabe in deine Formel aus Aufgabenteil a) ein und berechne die Größe des Flächeninhalts des Rechtecks.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&64\,\text{cm}^2\cdot\sin(\beta)\cdot\cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&64\,\text{cm}^2\cdot\sin(30°)\cdot\cos(30°) \\[5pt] A_R&=&64\,\text{cm}^2\cdot 0,5\cdot0,8660 \\[5pt] A_R&=&27,7\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_R=27,7\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $27,7\,\text{cm}^2$.
#rechtwinkligesdreieck#rechteck#sinusfunktion#doppelwinkelfunktionen
Bildnachweise [nach oben]
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