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Extremwertbestimmung mit trigonometrischen Termen

Spickzettel
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Die Extremstellen einer Funktion sind die Punkte, an denen der Funktionswert maximal oder minimal wird. Du kannst die Extremstellen eines trigonometrischen Terms entweder durch Überlegungen oder mithilfe deines grafikfähigen Taschenrechners bestimmen.
Wenn du sie mit deinem Taschenrechner bestimmen willst, dann musst du dir zuerst den Graph der Funktionsgleichung zeichnen lassen. Anschließend kannst du mit den folgenden Befehlen die Maxima bzw. Minima bestimmen.
Maximum:
F5 $\rightarrow$ F2: Max
Minimum:
F5 $\rightarrow$ F3: Min
Maximum:
F5 $\rightarrow$ F2: Max
Minimum:
F5 $\rightarrow$ F3: Min
Dein Taschenrechner zeigt dir auch die dazugehörigen $y$-Werte der Extrempunkte an. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen, gibt es häufig mehr als ein Maximum und mehr als ein Minimum. Mit den Pfeiltasten kannst du zwischen den einzelnen Extremstellen hin- und herschalten.
Wenn du die Extrema durch Überlegungen bestimmen willst, dann musst du die Funktionsgleichung betrachten. Überlege dir, wann die normale trigonometrische Funktion maximal bzw. minimal wird und wie sich der Ausdruck im trigonometrischen Term auswirkt.
#sinusfunktion#kosinusfunktion#extrempunkt
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Bestimme durch logische Überlegungen für welche Winkelmaße im Bereich $[0°;360°]$ der Wert der Funktion $f(\alpha)=\sin(\alpha)-0,5$ maximal oder minimal wird.
b)
Bestimme mithilfe deines grafikfähigen Taschenrechners für welche Winkelmaße im Bereich $[0°;360°]$ der Wert der Funktion $g(\alpha)=3\sin(\alpha-30)$ maximal oder minimal wird.
#extrempunkt#sinusfunktion

Aufgabe 1

Bestimme die Tief- und Hochpunkte der Funktionen im Bereich $[0°;360°]$ mithilfe deines grafikfähigen Taschenrechners.
b)
$f(\alpha)=\cos(2\alpha)^2+0,5$
d)
$f(\alpha)=\cos(\alpha)\cdot\sin(3\alpha)^2$
#sinusfunktion#kosinusfunktion#extrempunkt

Aufgabe 2

Bestimme die Extremstellen der Funktionen im Bereich $[0°;360°]$ durch logische Überlegungen und bestimme die Extrempunkte rechnerisch.
b)
$f(\alpha)=2\cos(\alpha)^2$
d)
$f(\alpha)=6\cdot\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)-3$
#kosinusfunktion#sinusfunktion#extrempunkt

Aufgabe 3

Bestimme die Extremstellen der Funktionen im angegebenen Bereich und überprüfe dein Ergebnis mit dem grafikfähigen Taschenrechner.
a)
$f(\alpha)=\tan(\alpha)$ im Bereich $[30°;60°]$
b)
$f(\alpha)=\sin(\alpha)^2-\sin(\alpha)$ im Bereich $[0°;360°]$
c)
$f(\alpha)=\sin(2\alpha)^2$ im Bereich $[190°;360°]$
#tangens#kosinusfunktion#extrempunkt#sinusfunktion

Aufgabe 4

In Aufgabe 4 im Kapitel über die Additionstheoreme hast du die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit von der Länge seiner Diagonalen und der Größe des Winkels $\beta$, der zwischen der Seite $\overline{AB}$ und der Diagonalen liegt, angegeben. Wenn du diese Aufgabe noch nicht gelöst hast, dann wird empfohlen, dass du sie zuerst bearbeitest. Alternativ kannst du dir am Ende dieses Abschnitts die Formel einblenden lassen.
Formel anzeigen
a)
Für welche Größe des Winkels $\beta$ wird der Flächeninhalt des Rechtecks maximal und für welche Größe des Winkels wird er minimal? Bestimme das Maximum und Minimum durch logische Überlegungen. Überprüfe auch Randextrema. Wie groß bzw. wie klein wird der Flächeninhalt an den Extremstellen?
Im Einheitskreis kannst du ein Dreieck einzeichnen. Der Radius $r$ läuft vom Mittelpunkt $M$ bis zum Rand des Kreises zum Punkt $R$. Von dort aus geht eine vertikale Linie abwärts. Sie schneidet eine horizontale Linie vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises im Punkt $A$. Der Winkel zwischen dem Radius und der horizontalen Linie heißt $\alpha$.
b)
Du kennst die Größe des Winkels $\alpha$. Für welche Größen des Winkels $\alpha$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks $MRA$ maximal? Bestimme das Ergebnis durch logische Überlegungen.
#rechteck#extrempunkt#kreis
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Überlege dir, wie der Sinus verläuft. Welche Werte kann er annehmen und welcher davon ist der größte bzw. der kleinste? Bei welchen Winkelmaßen nimmt der Sinus diese Werte an?
Der Sinus nimmt Werte zwischen $1$ und $-1$ ein. Demnach wird die Funktion ihr Maximum haben, wenn der Sinus $1$ wird und sein Minimum haben, wenn der Sinus $-1$ wird. Das Maximum erreicht die Funktion bei $\alpha=90°$ und das Minimum liegt bei $\alpha=270°$.
b)
Lass dir zuerst den Graphen der Funktion über das Graphikmenü deines Taschenrechners zeichnen. Mit der folgenden Tastenkombination kannst du das Maximum der Funktion suchen:
Das Minimum der Funktion bestimmst du ähnlich. Zuerst musst du wieder den Graphen deiner Funktion zeichnen lassen. Anschließend benutzt du folgende Tastenkombination:
#sinusfunktion#extrempunkt

Aufgabe 1

Lasse dir die Funktionsgraphen mithilfe des Graphikmenüs deines Taschenrechners zeichnen. Das Maximum und Minimum bestimmst du anschließend mit der Tastenkombination:
Maximum:
F5 $\rightarrow$ F2: Max
Minimum:
F5 $\rightarrow$ F3: Min
Maximum:
F5 $\rightarrow$ F2: Max
Minimum:
F5 $\rightarrow$ F3: Min
Suche alle Maxima und Minima innerhalb des angegebenen Bereichs.
a)
Der Hochpunkt liegt bei $H\,(90°\mid1)$ und der Tiefpunkt bei $T\,(270°\mid-5)$.
b)
Die Hochpunkte liegen bei $H_1\,(0°\mid1,5)$, $H_2\,(180°\mid1,5)$ und $H_3\,(360°\mid1,5)$ und die Tiefpunkte liegen bei $T_1\,(90°\mid-0,5)$ und $T_2\,(270°\mid-0,5)$.
c)
Der Hochpunkt liegt bei $H\,(1800°\mid3,5)$ und die Tiefpunkte liegen bei $T_1\,(0°\mid-0,5)$ und $T_2\,(360°\mid-0,5)$.
d)
Die Hochpunkte liegen bei $H_1\,(28,3°\mid0,87)$, $H_2\,(77,6°\mid0,14)$, $H_3\,(120°\mid0)$, $H_4\,(180°\mid0)$, $H_5\,(240°\mid0)$, $H_6\,(282,4°\mid0,14)$ und $H_7\,(331,7°\mid0,87)$.
Die Tiefpunkte liegen bei $T_1\,(0°\mid0)$, $T_2\,(60,6°\mid0)$, $T_3\,(102,4°\mid-0,14)$, $T_4\,(151,7°\mid-0 ,87)$, $T_5\,(208,3°\mid-0,87)$, $T_6\,(257,6°\mid-0,14)$, $T_7\,(300°\mid0)$ und $T_8\,(360°\mid0)$.
#extrempunkt

Aufgabe 2

Überlege dir, wie der Verlauf der trigonometrischen Funktion ist. Wo hat sie ihre Maxima bzw. Minima? Manchmal kann es notwendig sein, dass du die Funktionsgleichung vorher umformst.
Wenn du die Extremstellen bestimmt hast, dann setze sie in die Funktionsgleichung ein, um den Punkt rechnerisch zu bestimmen.
a)
Der Sinus hat einen Hochpunkt bei einem Winkelmaß von $90°$ und einen Tiefpunkt bei einem Winkelmaß von $270°$. Bestimme, wann der Ausdruck im Sinus $90°$ annimmt. Im Sinus steht der Ausdruck $0,5\alpha$. Du musst demnach das doppelte von $90°$, also $180°$ einsetzen, damit im Sinus das Winkelmaß $90°$ steht. An dieser Stelle ist das Maximum. Berechne die $y$-Koordinate des Hochpunkts.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&\sin(0,5\alpha)-1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(180°)&=&\sin(0,5\cdot 180°)-1 \\[5pt] f(180°)&=&\sin(90°)-1 \\[5pt] f(180°)&=&1-1 \\[5pt] f(180°)&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ f(180°)=0 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H\,(180°\mid0)$.
Überlege dir, wann der Ausdruck im Sinus zu $270°$ wird. Das passiert wie beim Maximum, beim doppelten dieses Winkelmaßes also bei $540°$. Dieser Wert liegt nicht mehr im angegebenen Bereich. Die Funktion hat also in dem angegebenen Bereich keine Minima.
b)
Der Kosinus kann Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Wenn dieser Wert anschließend quadriert wird, dann kommst du jedesmal auf $1$. Wenn der Kosinus also einen der Ausdrücke annimmt, dann hast du ein Maximum. Der Kosinus nimmt bei $0°$, $180°$ und $360°$ den Wert $1$ bzw $-1$ an. Berechne die dazugehörigen $y$-Werte.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&2\cos(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(0°)&=&2\cos(0°)^2 \\[5pt] f(0°)&=&2\cdot(1)^2 \\[5pt] f(0°)&=&2\cdot1 \\[5pt] f(0°)&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$ f(0°)=2 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H_1\,(0°\mid2)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&2\cos(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(180°)&=&2\cos(180°)^2 \\[5pt] f(0°)&=&2\cdot(-1)^2 \\[5pt] f(0°)&=&2\cdot1 \\[5pt] f(0°)&=&2 \\[5pt] \end{array}$
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H_2\,(180°\mid2)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&2\cos(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(360°)&=&2\cos(360°)^2 \\[5pt] f(360°)&=&2\cdot(1)^2 \\[5pt] f(360°)&=&2\cdot1 \\[5pt] f(360°)&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$ f(360°)=2 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H_3\,(360°\mid2)$.
Der Wert, der nach dem quadrieren am niedrigsten ist, den der Kosinus annehmen kann, ist $0$. Der Kosinus nimmt bei $0°$ und $270°$ diesen Wert an. Berechne die dazugehörigen $y$-Werte.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&2\cos(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(90°)&=&2\cos(90°)^2 \\[5pt] f(90°)&=&2\cdot(0)^2 \\[5pt] f(90°)&=&2\cdot0 \\[5pt] f(90°)&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ f(90°)=0 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_1\,(90°\mid0)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&2\cos(\alpha)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(270°)&=&2\cos(90°)^2 \\[5pt] f(270°)&=&2\cdot(0)^2 \\[5pt] f(270°)&=&2\cdot0 \\[5pt] f(270°)&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ f(270°)=0 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_2\,(270°\mid0)$.
c)
Bei dieser Funktion ist nicht eindeutig klar, wann der Wert Maximal oder Minimal wird, da du zwei verschiedene Ausdrücke mit dem Kosinus hast. Fasse sie durch quadratische Ergänzung zu einer binomischen Formel zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} &\cos(\alpha)^2-\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\pm(0,5)^2 \\[5pt] =&\cos(\alpha)^2-\cos(\alpha)+(0,5)^2-(0,5)^2 &\quad \scriptsize \mid\;2.\,\text{binomische Formel} \\[5pt] =&(\cos(\alpha)-0,5)^2-0,25 \\[5pt] \end{array}$
$ =(\cos(\alpha)-0,5)^2-0,25 $
Der größtmögliche Wert wird erreicht, wenn der Kosinus zu $-1$ wird. Denn dann wird er mit $-0,5$ zu $-1,5$ verrechnet und durch quadrieren anschließend zu einem positiven Wert. Wenn der Kosinus zu $1$ wird, dann bleibt nach dem Verrechnen nur noch $0,5$. Der Kosinus wird bei $180°$ zu $-1$. Berechne den dazugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&(\cos(\alpha)-0,5)^2-0,25 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(180°)&=&(\cos(180°)-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(180°)&=&(-1-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(180°)&=&(-1,5)^2-0,25 \\[5pt] f(180°)&=&2,25-0,25 \\[5pt] f(180°)&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$ f(180°)=2 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H\,(180°\mid2)$.
Die Funktion hat ihren niedrigsten Wert, wenn der Ausdruck in der Klammer $0$ wird. Das passiert, wenn der Kosinus zu $0,5$ wird. Bestimme das Winkelmaß, bei dem das passiert, mit dem Taschenrechner.
Es gibt zwei Winkelmaße, bei denen der Kosinus zu $0,5$ wird. Das ist bei $60°$ und bei $300°$. Bestimme die $y$-Werte der Tiefpunkte.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&(\cos(\alpha)-0,5)^2-0,25 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(60°)&=&(\cos(60°)-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(60°)&=&(0,5-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(60°)&=&(0)^2-0,25 \\[5pt] f(60°)&=&0-0,25 \\[5pt] f(60°)&=&-0,25 \\[5pt] \end{array}$
$ f(60°)=-0,25 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_1\,(60°\mid-0,25)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&(\cos(\alpha)-0,5)^2-0,25 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(300°)&=&(\cos(60°)-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(300°)&=&(0,5-0,5)^2-0,25 \\[5pt] f(300°)&=&(0)^2-0,25 \\[5pt] f(300°)&=&0-0,25 \\[5pt] f(300°)&=&-0,25 \\[5pt] \end{array}$
$ f(300°)=-0,25 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_2\,(300°\mid-0,25)$.
d)
Auch diese Funktionsgleichung musst du noch umformen. Mithilfe der Doppelwinkelfunktionen kannst du aus den beiden unterschiedlichen trigonometrischen Termen einen machen.
$\begin{array}[t]{rll} &6\cdot\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)-3\quad \scriptsize \mid\;\text{Doppelwinkelfunktion} \\[5pt] =&6\cdot0,5\cdot\sin(2\alpha)-3\\[5pt] =&3\cdot\sin(2\alpha)-3\\[5pt] \end{array}$
$ =3\cdot\sin(2\alpha)-3 $
Der Sinus hat sein Maximum bei $90°$. Im Sinus steht jedoch $2\alpha$. Demnach brauchst du nur das halbe Winkelmaß, also $45°$. Aufgrund der Periodizität des Sinus liegt der nächste Hochpunkt bei $450°$. Das liegt eigentlich außerhalb des angegebenen Bereichs, aber da du nur das halbe Winkelmaß von $225°$ benötigst, liegt dieser Hochpunkt noch im angegebenen Bereich. Bestimme die $y$-Werte der Hochpunkte.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&3\cdot\sin(2\alpha)-3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(45°)&=&3\cdot\sin(2\cdot 45°)-3 \\[5pt] f(45°)&=&3\cdot\sin(90°)-3 \\[5pt] f(45°)&=&3\cdot1-3 \\[5pt] f(45°)&=&3-3 \\[5pt] f(45°)&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ f(45°)=0 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H_1\,(45°\mid0)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&3\cdot\sin(2\alpha)-3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(225°)&=&3\cdot\sin(2\cdot 225°)-3 \\[5pt] f(225°)&=&3\cdot\sin(450°)-3 \\[5pt] f(225°)&=&3\cdot1-3 \\[5pt] f(225°)&=&3-3 \\[5pt] f(225°)&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ f(225°)=0 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H_2\,(225°\mid0)$.
Der Sinus hat sein Minimum bei $270°$. Du benötigst wiederum nur das halbe Winkelmaß von $135°$. Ebenso liegt wieder das nächste Minimum der Periode bei $630°$ im Bereich. Die dazugehörige Stelle ist $315°$. Bestimme die $y$-Werte der Tiefpunkte.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&3\cdot\sin(2\alpha)-3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(135°)&=&3\cdot\sin(2\cdot 135°)-3 \\[5pt] f(135°)&=&3\cdot\sin(270°)-3 \\[5pt] f(135°)&=&3\cdot0-3 \\[5pt] f(135°)&=&0-3 \\[5pt] f(135°)&=&-3 \\[5pt] \end{array}$
$ f(135°)=-3 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_1\,(135°\mid-3)$.
$\begin{array}[t]{rll} f(\alpha)&=&3\cdot\sin(2\alpha)-3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] f(315°)&=&3\cdot\sin(2\cdot 315°)-3 \\[5pt] f(315°)&=&3\cdot\sin(630°)-3 \\[5pt] f(315°)&=&3\cdot0-3 \\[5pt] f(315°)&=&0-3 \\[5pt] f(315°)&=&-3 \\[5pt] \end{array}$
$ f(315°)=-3 $
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T_2\,(315°\mid-3)$.
#doppelwinkelfunktionen#kosinusfunktion#quadratischeergänzung#extrempunkt#sinusfunktion

Aufgabe 3

Stelle Überlegungen an, wie du es bereits in Aufgabe 2 gemacht hast. Wenn du denkst, dass du alle Maxima und Minima gefunden hast, dann lasse dir den Graphen der Funktion mit deinem Taschenrechner zeichnen und überprüfe mit den gleichen Tastenfolgen wie in Aufgabe 1, ob du die richtigen Stellen gefunden hast.
a)
Der Tangens verläuft streng monoton steigend. Er hat keine Hoch- bzw. Tiefpunkte. Demnach sollte weder im angegebenen Bereich noch generell ein Maximum oder Minimum zu finden sein.
Wenn du mit dem Taschenrechner überprüfst, findest du keine Maxima oder Minima.
b)
Bei dieser Funktion musst du wieder die Gleichung durch quadratische Ergänzung vereinfachen.
$\begin{array}[t]{rll} & \sin(\alpha)^2-\sin(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\pm (0,5)^2 \\[5pt] =& \sin(\alpha)^2-\sin(\alpha)+(0,5)^2-(0,5)^2 &\quad \scriptsize \mid\;2.\,\text{binomische Formel}\\[5pt] =& (\sin(\alpha)-0,5)^2-0,25 \\[5pt] \end{array}$
$ =(\sin(\alpha)-0,5)^2-0,25 $
Die Funktion wird maximal, wenn der Sinus zu $-1$ wird. Dadurch wird der Ausdruck in der Klammer so klein wie möglich und durch quadrieren wird er maximal positiv. Der Sinus wird bei einem Winkelmaß von $270°$ zu $-1$.
Die Funktion wird minimal, wenn der Sinus zu $0,5$ wird. Dadurch wird der Ausdruck in der Klammer zu $0$. Bestimme die Winkelmaße, bei denen der Sinus zu $0,5$ wird. Das ist der Fall bei $30°$ und $150°$.
Überprüfe nun, ob du alle Maxima und Minima gefunden hast mithilfe deines Taschenrechners.
Es gibt noch ein weiteres Maximum bei $90°$. Bei diesem Wert wird der Sinus zu $1$ und der Ausdruck in der Klammer zu $0,5$. Da der Sinus rechts und links dieser Stelle kleiner als $1$ ist, handelt es sich hierbei um ein lokales Maximum.
c)
Der Sinus wird jedesmal maximal, wenn das Ergebnis $1$ oder $-1$ beträgt. Dadurch, dass der Ausruck im Sinus $2\alpha$ lautet, brauchst du immer nur das halbe Winkelmaß. Die Werte im angegebenen Bereich, für die die Funktion maximal wird, sind $225°$ und $315°$.
Wenn der Sinus zu $0$ wird, dann ist die Funktion minimal. Das geschieht bei den Winkelmaßen $270°$ und $360°$.
Eine Überprüfung mit dem Taschenrechner zeigt, dass es keine weiteren Maxima oder Minima gibt.
#sinusfunktion#extrempunkt#kosinusfunktion#quadratischeergänzung

Aufgabe 4

a)
Die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks lautet $A_R=64\,\text{cm}^2\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$. Um die Extrema bestimmen zu können, musst du sie zuerst umformen.
$\begin{array}[t]{rll} & 64\,\text{cm}^2\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\;\text{Doppelwinkelfunktion} \\[5pt] =& 64\,\text{cm}^2\cdot0,5\cdot\sin(2\alpha) \\[5pt] =& 32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha) \\[5pt] \end{array}$
Nun musst du dir noch überlegen, welcher Bereich für den Winkel möglich ist. Die Formel bezieht sich auf den Winkel $\alpha$, der in einem rechtwinkligen Dreieck liegt. Die Winkelsumme in diesem Dreieck ist $180°$. Da bereits ein anderer Winkel der rechte Winkel ist, müssen die verbleibenden Winkel zusammen $90°$ groß sein. Da jeder Winkel mindestens $1°$ groß sein muss, kann der Winkel $\alpha$ nicht größer als $89°$ werden. Demnach musst du die Maxima und Minima im Bereich $[1°;89°]$ betrachten.
Der Sinus hat sein Maximum bei $90°$. Im Sinus steht der Ausdruck $2\alpha$. Demnach benötigst du ein Winkelmaß von $45°$, um $\sin(90°)$ zu erhalten. Das liegt noch im Bereich. Das Minimum des Sinus liegt eigentlich bei $270°$. Das nötige Winkelmaß von $135°$ liegt aber außerhalb des Bereichs. Deshalb musst du den Verlauf des Sinus betrachten. Er ist achsensymmetrisch zur Stelle $\alpha=90°$. Rechts und links dieser Stelle fällt er durchgehend. Demnach wird der Sinus am geringstens an seinen Ränden sein, also für $\alpha=1°$ und $\alpha=89°$. Das sind die Randextreme
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks für die drei Extremstellen.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\cdot45°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(90°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot1 \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks wird maximall $32\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\cdot1°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot0,0349 \\[5pt] A_R&=&1,1\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks wird im Grenzfall $1,1\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(2\cdot89°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot\sin(178°) \\[5pt] A_R&=&32\,\text{cm}^2\cdot0,0349 \\[5pt] A_R&=&1,1\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks wird im Grenzfall $1,1\,\text{cm}^2$.
b)
Das schwierigste an dieser Aufgabe ist es, dir die Situation vorzustellen. Zeichne dir eine passende Skizze. Sie sieht so aus:
Nun musst du dir überlegen, wie du den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen kannst. Du kannst davon ausgehen, dass du die Größe des Winkels $\alpha$ kennst. Was weißt du noch über den Kreis?
In der Aufgabenstellung steht, dass es sich um einen Einheitskreis handelt, demnach ist der Radius des Kreises $1\,\text{cm}$. Die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lautet $A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$. Die Seitenlängen $a$ und $b$ kannst du über den Sinus und Kosinus bestimmen. Die Seite $a$ ist dabei die Strecke $\overline{MA}$ und die Seite $b$ ist die Strecke $\overline{RA}$. Der Radius $r$ ist die Hypotenuse des Dreiecks.
Du kannst die beiden Seitenlängen so ausdrücken:
$a=\cos(\alpha)\cdot r\quad$$b=\sin(\alpha)\cdot r$
Setze die beiden Ausdrücke in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot \cos(\alpha)\cdot r\cdot \sin(\alpha)\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;r=1\,\text{cm} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot \cos(\alpha)\cdot 1\,\text{cm}\cdot \sin(\alpha)\cdot 1\,\text{cm} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot \cos(\alpha)\cdot 1\,\text{cm}^2\cdot \sin(\alpha) \\[5pt] A_D&=&0,5\,\text{cm}^2\cdot \cos(\alpha)\cdot \sin(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{Doppelwinkelfunktion} \\[5pt] A_D&=&0,5\,\text{cm}^2\cdot 0,5\cdot \sin(2\alpha) \\[5pt] A_D&=&0,25\,\text{cm}^2\cdot \sin(2\alpha) \\[5pt] \end{array}$
Die Formel gleicht der aus Aufgabenteil a). Du kannst deine Überlegungen also von dort übernehmen.
Dein Maximum liegt bei $\alpha=45°$ und deine Minima sind am Rand bei $1°$ und $89°$.
#kreis#rechteck#sinusfunktion#doppelwinkelfunktionen#extrempunkt
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