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Flächeninhalt und Umfang

Spickzettel
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Im rechtwinkligen Dreieck wird der Flächeninhalt, wie im allgemeinen Dreieck, mit der Formel:
$A=\frac{1}{2}\cdot$ Grundseite $\cdot$ Höhe berechnet.
Da hier die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen, kann man den Flächeninhalt auch mit der Formel: $A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b$ berechnen.
Der Umfang ist die Summe der drei Seiten. $U=a+b+c$

Beispiel

Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
 Fläche
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot b\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm} \cdot 4,5\,\text{cm}\\[2pt] A=&13,5\,\text{cm}^2\\[2pt] \end{array}$
oder
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 7,5\,\text{cm} \cdot 3,6\,\text{cm}\\[2pt] A=&13,5\,\text{cm}^2\\[2pt] \end{array}$
 Umfang
$\begin{array}{rll} U=&a+b+c\\[2pt] U=&6\,\text{cm}+4,5\,\text{cm}+7,5\,\text{cm}\\[2pt] U=&18\,\text{cm}\\[2pt] \end{array}$
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
1.
Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.
a)
$c=4\,\text{cm}$, $h_c=2\,\text{cm}$
b)
$a=3\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$
c)
$a=4\,\text{cm}$, $c=8\,\text{cm}$
2.
Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks.
a)
$a=5\,\text{cm}$, $b=6\,\text{cm}$
b)
$c=4\,\text{cm}$, $h_c=2\,\text{cm}$, $a=2,8\,\text{cm}$
c)
$c=10\,\text{cm}$, $b=8\,\text{cm}$
3.
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
4.
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
Rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt und Umfang
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Lösungen
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1.
Flächeninhalt berechnen
a)
Die Fläche des Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\begin{array}{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}\\[2pt] A&=&4\,\text{cm}^2\\[2pt] \end{array}$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $4\,\text{cm}^2$.
b)
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche des Dreiecks wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}\\[2pt] A&=&7,5\,\text{cm}^2\\[2pt] \end{array}$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $7,5\,\text{cm}^2$.
c)
Um den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen zu können, musst du zuerst mit dem Sinus den Winkel $\alpha$ und mit dem Kosinus die Länge der Seite $b$ berechnen. Anschließend kannst du den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ mit Hilfe des Sinus berechnen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{a}{c}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \sin\alpha&=&\frac{4}{8}&\scriptsize\mid\;\sin^{-1}\\[2pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\frac{4}{8}\right)\\[2pt] \alpha&=&30^{\circ}\\[2pt] \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $30\,^\circ$.
2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{b}$ mit Hilfe des Kosinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \cos\alpha&=&\frac{b}{c}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] 180\,^\circ&=&\frac{b}{8}&\scriptsize\mid\;\cdot8\\[2pt] b&=&\cos(30^{\circ})\cdot8\\[2pt] b& ≈ &6,93\,\text{cm} \end{array}$
Die Seite $b$ ist ca. $6,93\,\text{cm}$ lang.
3. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ des rechtwinkligen Dreiecks berechnen
$\begin{array}{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot6,93\,\text{cm}\\[2pt] A&=&13,86\,\text{cm}^2 \end{array}$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $13,86\,\text{cm}^2$.
2.
Umfang berechnen
a)
Um den Umfang des Dreiecks berechnen zu können, musst du zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite $c$ berechnen. Danach kannst du dann den Umfang des Dreiecks berechnen.
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{c}$ berechnen
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] c^2&=&(5\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2\\[2pt] c^2&=&61\,\text{cm}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] c& ≈ &7,81\,\text{cm} \end{array}$
Die Seite $c$ beträgt ca. $7,81\,\text{cm}$.
2. Schritt: Umfang des Dreiecks bestimmen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+7,81\,\text{cm}\\[2pt] U&=&18,81\,\text{cm} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Dreieck hat einen Umfang von $18,81\,\text{cm}$.
b)
Berechne zuerst die Seite $b$ mit dem Satz des Pythagoras, um dann den Umfang des Dreiecks berechnen zu können.
1. Schritt: Länge der Seite $b$ berechnen
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (4\,\text{cm})^2&=&(2,8\,\text{cm})^2+b^2\\[2pt] 16\,\text{cm}^2&=&7,84\,\text{cm}^2+b^2&\scriptsize\mid\; -7,84\,\text{cm}^2\\[2pt] b^2&=&16\,\text{cm}^2-7,84\,\text{cm}^2\\[2pt] b^2&=&8,16\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\; \sqrt{\;}\\[2pt] b& ≈ &2,86\,\text{cm} \end{array}$
$ c^2=a^2+b^2 $
Die Seite $b$ beträgt ca. $2,86\,\text{cm}$.
2. Schritt: Umfang des Dreiecks bestimmmen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&2,8\,\text{cm}+2,86\,\text{cm}+4\,\text{cm}\\[2pt] U&=&9,66\,\text{cm} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Dreieck hat einen Umfang von $9,66\,\text{cm}$.
c)
Um den Umfang des Dreiecks berechnen zu können, berechnest du zuerst die Länge der Seite $a$ mit dem Satz des Pythagoras. Nachdem du die Länge der Seite $a$ berechnet hast, kannst du den Umfang des Dreiecks berechnen.
1. Schritt: Länge der Seite $a$ berechnen
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (10\,\text{cm})^2&=&a^2+(8\,\text{cm})^2\\[2pt] 100\,\text{cm}^2&=&a^2+64\,\text{cm}^2&\scriptsize\mid\; -64\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&100\,\text{cm}^2-64\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&36\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\; \sqrt{\;}\\[2pt] a&=&6\,\text{cm} \end{array}$
$ c^2=a^2+b^2 $
Die Seite $a$ ist $6\,\text{cm}$ lang.
2. Schritt: Umfang des Dreiecks bestimmmen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&6\,\text{cm}+8\,\text{cm}+10\,\text{cm}\\[2pt] U&=&24\,\text{cm} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Dreieck hat einen Umfang von $24\,\text{cm}$.
3.
Fläche und Umfang des Segels berechnen
a)
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (denn die Seiten $a$ und $b$ stehen senkrecht aufeinander), kannst du die Fläche des Segels wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot 3\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}\\[2pt] A&=&9\,\text{m}^2 \end{array}$
Das Segel hat eine Fläche von $9\,\text{m}^2$.
b)
Um den Umfang des Segels berechnen zu können, berechnest du zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite $c$. Anschließend kannst du den Umfang des Segels berechnen.
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{c}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] c^2&=&(3\,\text{m})^2+(6\,\text{m})^2\\[2pt] c^2&=&45\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\; \sqrt{\;}\\[2pt] c& ≈ &6,71\,\text{m} \end{array}$
Die Seite $c$ ist ca. $6,71\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Umfang des Segels bestimmmen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&3\,\text{m}+6\,\text{m}+6,71\,\text{m}\\[2pt] U&=&15,71\,\text{m} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Segel hat einen Umfang von $15,71\,\text{m}$.
4.
Länge der Strecke und Waldfläche berechnen
a)
Um die gesamte Strecke, also den Umfang des Dreiecks, berechnen zu können, kannst du zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $\overline{BZiel}=b$ berechnen.
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{c}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AB}^2&=&\overline{StartA}^2+\overline{BZiel}^2\\[2pt] (6\,\text{km})^2&=&(4\,\text{km})^2+b^2\\[2pt] 36\,\text{km}^2&=&16\,\text{km}^2+b^2&\scriptsize\mid\; -16\,\text{km}^2\\[2pt] b^2&=&36\,\text{km}^2-16\,\text{km}^2\\[2pt] b^2&=&20\,\text{km}^2&\scriptsize\mid\; \sqrt{\;}\\[2pt] b& ≈ &4,47\,\text{km} \end{array}$
$ c^2=a^2+b^2 $
Die Strecke $b$ ist ca. $4,47\,\text{km}$ lang.
2. Schritt: Länge der Strecke bzw. Umfang des Dreiecks bestimmmen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&4\,\text{km}+4,47\,\text{km}+6\,\text{km}\\[2pt] U&=&14,47\,\text{km} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Die Strecke hat insgesamt eine Länge von $14,47\,\text{km}$.
b)
Da es sich bei der Strecke um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $\overline{StartA}=a$ und $\overline{BZiel}=b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche des Waldstückes wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot4\,\text{km}\cdot4,47\,\text{km}\\[2pt] A&=&8,94\,\text{km}^2 \end{array}$
Das Waldstück hat einen Flächeninhalt von $8,94\,\text{km}^2$.
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