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Exponentieller Zerfall

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Exponentieller Zerfall beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor schrumpft.
Exponentiellen Zerfall kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
  • Zerfallsfaktor $a$: Der Zerfallsfaktor ist die Größe, die den Zerfall (deshalb gilt $a < 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Anfangswert/Anfangsbestand $b$: Der Anfangsbestand gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)=b$ an.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.

Beispiel

Ein radioaktiver Stoff verliert jährlich $10\%$ der ursprünglich vorhandenen Masse von $1\,\text{kg}$:
  • Der Anfangsbestand $b$ zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt $1\,\text{kg}$.
  • Da sich die Masse des Stoffes jährlich um den selben Faktor ($10\%$) verringert, liegt bei dem betrachteten Prozess exponentieller Zerfall vor und es gilt: $a=1-0,1=0,9$.
  • Somit erhältst du: $B(t)=1\cdot 0,9^t$.
  • Die Menge des Stoffes nach $5$ Jahren kannst du zum Beispiel bestimmen, indem du $t=5$ in $B(t)$ einsetzt:
    Somit sind nach $5$ Jahren noch $B(5)=1\cdot 0,9^5=0,59\,\text{kg}$ des Stoffes vorhanden.
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Aufgaben
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1.
Radioaktiver Zerfallsprozess
Die Halbwertszeit von Caesium beträgt circa $30$ Jahre. $30$ Jahre nach Beobachtungsbeginn liegen noch $0,5\,\text{kg}$ Caesium vor.
a)
Berechne den Anfangsbestand $B(0)=b$ des Caesiums und gib die Funktionsgleichung für $B$ an.
b)
Wie verändert sich der Bestand an Caesium in $10$ Jahren?
c)
Nach wie vielen Jahren sind nur noch $0,1\,\text{kg}$ Caesium vorhanden?
2.
Bierschaumzerfall
Nach dem Einschenken eines Bieres beträgt die Schaumhöhe $10\,\text{cm}$. Diese halbiert sich minütlich.
a)
Stelle mit Hilfe der Aufgabenstellung die Funktionsgleichung für $B$ auf.
b)
Gib die Schaumhöhe nach $5$ Minuten an.
c)
Nach wie vielen Minuten beträgt die Schaumhöhe $1\,\text{cm}$?
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Lösungen
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1.
Radioaktiver Zerfallsprozess
a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
Da du weißt, dass sich die Menge an Caesium alle $30$ Jahre halbiert, kannst du zunächst den Zerfallsfaktor über den Ansatz $a^{30}=0,5$ angeben. Aufgelöst nach $a$ liefert dies:
$\begin{array}[t]{rll} a^{30}&=&0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[30]{\;} \\[5pt] a&=&\sqrt[30]{0,5}\\[5pt] a&\approx&0,9772 \end{array}$
Folglich sieht die vorläufige Zerfallsgleichung $B(t)$ wie folgt aus:
$B(t)=b\cdot 0,9772^t$
Da $B(30)=0,5$ und $t=1$ bekannt sind, kannst du diese in die obige Gleichung einsetzen und nach $b$ auflösen, um den Anfangsbestand $b$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} B(30)&=&0,5\\[5pt] 0,5&=&b\cdot 0,9772^{30} &\quad \scriptsize \mid\;:0,9772^{30} \\[5pt] b&=&\dfrac{0,5}{0,9772^{30}}& \\[5pt] b&=&1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(30)&=&0,5\\[5pt] b&=&1 \end{array}$
Somit liegt zu Beginn $1$ Kilogramm Caesium vor und für die Zerfallsfunktion $B$ gilt:
$B(t)=1\cdot 0,9772^t$
b)
$\blacktriangleright$ Veränderung bestimmen
Um die prozentuale Veränderung in $t=10$ Jahren zu berechnen, musst du $t=10$ nun nur noch in $a^t=0,9772^{10}$ einsetzen und erhältst:
$0,9772^{10}\approx 0,79$
Das heißt, dass alle $10$ Jahre $1-0,79=0,21\mathrel{\widehat{=}}21\%$ des Caesiums zerfallen.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, zu dem nur noch $0,1\,\text{kg}$ Caesium vorhanden sind, stellst du die Gleichung $B(t)=0,1$ auf, und löst diese Gleichung nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&0,1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,1&=&1\cdot 0,9772^t&\quad \scriptsize\mid\log{()} \\[5pt] \log{(0,1)}&=&\log{(0,9772^t)} &\quad \scriptsize \log{(0,9772^t)}=t\cdot \log{(0,9772)} \\[5pt] \log{(0,1)}&=&t\cdot \log{(0,9772)}&\quad \scriptsize\mid\;:\log{(0,9772)}\\[5pt] t&=&\dfrac{\log{(0,1)}}{\log{(0,9772)}} \\[5pt] t&\approx&99,83 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&0,1 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&99,83 \end{array}$
Nach circa $99,83$ Jahren sind also $0,1\,\text{kg}$ Caesium vorhanden.
2.
Bierschaumzerfall
a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
Da du den Zeitraum, in dem sich die Schaumkrone halbiert aus der Aufgabenstellung ableiten kannst, gilt für den Zerfallsfaktor $a$:
$a=1-0,5=0,5$
Da du den Anfangsbestand $B(0)=10\,\text{cm}$ ebenso aus der Aufgabenstellung ablesen kannst, gilt für die Funktionsgleichung von $B$:
$B(t)=10\cdot 0,5^t$
Dabei beschreibt $t$ den Zeitraum seit dem Einschenken in Minuten.
b)
$\blacktriangleright$ Schaumhöhe bestimmen
Um die Schaumhöhe nach $5$ Minuten zu bestimmen, setzt du $t=5$ in $B(t)$ ein und berechnest das Ergebnis:
$B(5)=10\cdot 0,5^5=0,3125$
Somit beträgt die Schaumhöhe nach $5$ Minuten circa $0,3\,\text{cm}$ .
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, zu dem die Schaumhöhe $1\,\text{cm}$ beträgt, stellst du die Gleichung $B(t)=1$ auf und löst diese Gleichung nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=&10\cdot 0,5^t&\quad \scriptsize\mid\;:10 \\[5pt] 0,1&=& 0,5^t &\quad \scriptsize\mid\log{()} \\[5pt] \log{(0,1)}&=&\log{(0,5^t)} &\quad \scriptsize \log{(0,5^t)}=t\cdot \log{(0,5)} \\[5pt] \log{(0,1)}&=&t\cdot \log{(0,5)} &\quad \scriptsize\mid\;:\log{(0,5)} \\[5pt] t&=&\dfrac{\log{(0,1)}}{\log{(0,5)}} \\[5pt] t&\approx&3,32 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&3,32 \end{array}$
Nach circa $3,32$ Minuten beträgt die Schaumhöhe $1\,\text{cm}$.
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