Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Realschulabschluss
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Grundkurs
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
Formvariable
Stereometrie
Prismen
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Zylinder
Kugel
Pyramide
Kegel
Zusammengesetzte Körp...
Daten
Statistische Erhebung...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme erstellen u...
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Algebra
Schnittwinkel im Koor...
Quadratische Funktion...
Wiederholung lineare ...
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Parabelfor...
Achsenschnittpunkte
Punktberechnung und P...
Schnittstellen zweier...
Herleitung von Funkti...
Modellierungsaufgaben
Wachstum
Lineares Wachstum
Quadratisches Wachstu...
Exponentielles Wachst...
Exponentieller Zerfal...
Sachrechnen
Erhöhter und verminde...
Zinsrechnung
Zinsrechnen
Vermischte Aufgaben
Zuwachssparen und Rat...
Orthogonale Affinität
Daten und Zufall
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Quadratisches Wachstum

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Von quadratischem Wachstum spricht man, wenn ein Wachstumsprozess durch eine Parabel modelliert werden kann. Das heißt, dass die Veränderung einer beobachtete Größe (Bestand) in gleichen Zeitschritten linear zu- beziehungsweise abnimmt:
$t$ $0$ $1$ $2$ $3$
$B(t)$ $ B(0) $ $ B(1) $ $ B(2) $ $B(3)$
Wachstum $ $ $ B(1)-B(0) $ $ B(2)-B(1) $ $B(3)-B(2)$
Wachstumsänderung $ $ $ $ $ k $ $ k $ $ k $
$t$$B(t)$WachstumWachstums- änderung
$ 0 $$ B(0) $$ $$ $
$ 1 $$ B(1) $$ B(1)-B(0) $$ $
$ 2 $$ B(2) $$ B(2)-B(1) $$k $
$ 3 $$ B(3) $$ B(3)-B(2) $$ k $
Die Tabelle kannst du für $t=4,\,5,\,6…$ entsprechend weiter fortführen.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t\geq 0$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit.
  • Bestand $B(t)$: Der Bestand $B(t)$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t$ an.
  • Wachstum: Das Wachstum $B(t+1)-B(t)$ beschreibt die Veränderung des Bestands zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten $t$ und $t+1$.
  • Wachstumsänderung: Die Wachstumsänderung $k$ beschreibt die Änderung (Zunahme oder Abnahme) des Wachstums bei zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.
    Dabei ist $k= B(t)-B(t-1)-(B(t-1)-B(t-2)) $
    Dabei ist $k= B(t)-2\cdot B(t-1)+B(t-2) $

Beispiel

Nach der Betrachtung eines Tierbestandes über einen Zeitraum von $4$ Jahren wurden am Ende jedes Jahres folgende Bestände festgestellt:
$t$$ 0 $$ 1 $$ 2 $$ 3 $$ 4 $
$B(t)$$ 100 $$ 101 $$ 104 $$ 109 $$ 116 $
Wir überprüfen nun, ob hier quadratisches Wachstum vorliegt. Dazu berechnen wir zuerst das Wachstum in den Jahren eins bis vier. Das Wachstum $W_t$ im $t$-ten Jahr erhältst du wenn du vom Bestand nach $t$ Jahren $B(t)$ den Bestand nach $t-1$ Jahren $B(t-1)$ subtrahierst. Somit erhältst du mit $W_t=B(t)-B(t-1)$:
  • Jahr $1$: $W_1=B(1)-B(0)=101-100=1$
  • Jahr $2$: $W_2=B(2)-B(1)=104-101=3$
  • Jahr $3$: $W_3=B(3)-B(2)=109-104=5$
  • Jahr $4$: $W_4=B(4)-B(3)=116-109=7$
  • Jahr $1$: $W_1=B(1)-B(0)=1$
  • Jahr $2$: $W_2=B(2)-B(1)=3$
  • Jahr $3$: $W_3=B(3)-B(2)=5$
  • Jahr $4$: $W_4=B(4)-B(3)=7$
Die Wachstumsänderung $k$ zwischen den Jahren $t$ und $t-1$ erhältst du wie folgt: $k=W_t-W_{t-1}$
Im gegeben Fall gilt:
$k=W_2-W_1=W_3-W_2$$\,\,\,\,$$=W_4-W_3=2$
Da das Wachstum jedes jahr linear um $3$ Einheiten wächst, liegt im gegebenen Fall also quadratisches Wachstum vor.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Gegeben sind dir die drei Funktionen $f,\,g$ und $h$, von denen jede einer speziellen Art des Wachstums zuzuordnen ist:
  • $f(x)=x+1$
  • $g(x)=e^x$
  • $h(x)=x^2+1$
Zeichne die drei Funktionen in ein Schaubild ein und ordne sie exponentiellem, quadratischem und linearem Wachstum zu. Welches ist dabei das stärkste Wachstum? Welches das schwächste?
2.
Ein bekanntes Beispiel für quadratisches Wachstum ist die Zunahme des Bremsweges bei zunehmender Geschwindigkeit. Mathematisch lässt sich die Länge des Bremswegs $W$ in Metern in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $v$ folgendermaßen darstellen:
$W(v)=\left(\dfrac{v}{10}\right)^2$
a)
Berechne den Bremsweg für die Geschwindigkeiten von $10$, $20$, $30$ und $40$ Kilometern pro Stunde. Gib das Wachstum des Bremswegs für die verschiedenen Geschwindigkeiten an.
b)
Berechne die Wachstumsänderung $k$.
3.
Ein Fallschirmspringer befindet sich bis zur Öffnung seines Fallschirms im freien Fall. Die Beziehung zwischen der Zeit, in der sich der Fallschirmspringer im freien Fall befindet und der dabei zurückgelegten Fallstrecke, kann man mit quadratischen Wachstum beschreiben. Die Wachstumsänderung $k$ beträgt in diesem Falle $10\,\text{m/s}$ und die zurückgelegte Fallstrecke beträgt nach $1$ Sekunde $5\,\text{m}$. Wie viele Meter hat ein Fallschirmspringer nach $4$ Sekunden im freien Fall zurückgelegt?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Wachstum
Um die Funktionen $f$, $g$ und $h$ in ein Schaubild einzuzeichnen kannst du zunächst für die $3$ Funktionen eine Wertetabelle anlegen:
$x$$ 0 $$ 1 $$ 2 $$ 3 $$4 $
$f(x)$$ 1 $$ 2 $$ 3 $$ 4 $$5 $
$g(x)$$ 1 $$ 2 $$ 5 $$ 10 $$17 $
$h(x)$$ 1 $$ e $$ e^2 $$ e^3$$ e^4 $
Nun kannst du die Funktionen in ein Schaubild einzeichnen:
Wachstum: Quadratisches Wachstum
Wachstum: Quadratisches Wachstum
Als nächstes ordnest du die Begriffe lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum den drei Funktionen zu:
  • Die Funktionsgleichung $f(x)=x+1$ beschreibt eine Gerade. Somit handelt es sich dabei um lineares Wachstum
  • Die Funktionsgleichung $g(x)=e^x$ ist eine Exponentialfunktion. Somit liegt hier exponentielles Wachstum vor
  • Die Funktionsgleichung $h(x)=x^2+1$ beschreibt einen Parabel. Das heißt, dass hier quadratisches Wachstum vorliegt
Wie du dem Schaubild entnehmen kannst, ist das lineare Wachstum mit fortschreitender Zeit die schwächste Form des Wachstums. Die stärkste Form des Wachstums liegt bei exponentiellem Wachstum vor, da eine Exponentialfunktion bei hinreichend großen $x$-Werten immer schneller wächst als eine quadratische Funktion.
2.
Bremsweg
a)
$\blacktriangleright$ Bremsweg berechnen und vergleichen
Im Spickzettel zu quadratischen Wachstum haben wir immer Bestände betrachtet, die sich in Abhängigkeit von der Zeit verändern. In dieser Aufgabe betrachten wir anstatt eines Bestandes den Bremsweg und anstatt der Zeit Geschwindigkeitsintervalle von $10$ Kilometern pro Stunde.
Um den Bremsweg für die gegebenen Geschwindigkeiten zu berechnen, musst du diese nur in die gegebene Formel für den Bremsweg einsetzen.
$W(v)=\left(\dfrac{v}{10}\right)^2$
$W(v)=\left(\dfrac{v}{10}\right)^2$
  • $W(10)=\left(\frac{10}{10}\right)^2=1$
  • $W(20)=\left(\frac{20}{10}\right)^2=4$
  • $W(30)=\left(\frac{30}{10}\right)^2=9$
  • $W(40)=\left(\frac{40}{10}\right)^2=16$
Die Zunahme des Bremsweges bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit um $10$ Kilometer pro Stunde erhältst du, indem du die Differenz über die errechneten Bremswege bildest. So wächst der Bremsweg bei Erhöhung der Geschwindigkeit von $10$ auf $20$ Stundenkilometer um $w_1=W(20)-W(10)=4-1=3$ um $3$ Meter. Analog erhältst du:
  • $w_2=W(30)-W(20)=9-4=5$
  • $w_3=W(40)-W(30)=16-9=7$
  • $w_2=5$
  • $w_3=7$
b)
$\blacktriangleright$ Wachstumsänderung bestimmen
Die Wachstumsänderung $k$ beschreibt in diesem Fall das Wachstum von $w_i$, wenn man die Geschwindigkeit erhöht. Da es sich in diesem Beispiel um quadratisches Wachstum handelt, ist $k$ sofern nur Geschwindigkeitsintervalle von $10$ Stundenkilometern betrachtet werden, konstant. Berechnen kannst du $k$ wiederum als Differenz der im vorigen Aufgabenteil berechneten $w_i$:
$w_2-w_1=2\;\text{und}\; w_3-w_2=2$
Das heißt, dass die Zunahme des Bremsweg bei Erhöhung der Geschwindigkeit um $10$ Kilometer pro Stunde um $2$ Meter größer ist, als im vorigen Geschwindigkeitsintervall.
3.
Freier Fall
In dieser Aufgabe betrachten wir anstatt eines Bestandes die Fallstrecke $s$, welche mit fortschreitender Zeit wächst. Gesucht ist die Fallstrecke $s$ nach 4 Sekunden. Gegeben sind dir zu deren Berechnung:
  • Die Fallstrecke nach $1$ Sekunde: $s(1)=5$
  • Die Wachstumsänderung $k=10\,\text{m/s}$
Da die zurückgelegte Fallstrecke nach $1$ Sekunde $5$ Meter beträgt, weißt du, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit $v_1$ in der ersten Sekunde $v_1=5\frac{m}{s}$ beträgt. Diese beschreibt sozusagen das "Wachstum" der Fallstrecke in der ersten Sekunde. Da du zudem die Wachstumsänderung $k$ kennst, kannst du das "Wachstum" der Fallstrecke für jedes Zeitintervall von einer Sekunde wie folgt berechnen:
  • $v_2=v_1+k=5+10=15$
  • $v_3=v_2+k=15+10=25$
  • $v_4=v_3+k=25+10=35$
Somit kennst du nun die Fallstrecke in der zweiten, dritten und vierten Sekunde. Die Fallstrecke $s$ nach $4$ Sekunden erhältst du nun wie folgt:
$s=v_1+v_2+v_3+v_4=5+15+25+35=80$
$s=80$
Nach $4$ Sekunden hat ein Fallschirmspringer also $80$ Meter im freien fall zurückgelegt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App