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Quadratisches Wachstum

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Von quadratischem Wachstum spricht man, wenn ein Wachstumsprozess durch eine Parabel modelliert werden kann. Das heißt, dass die Veränderung einer beobachtete Größe (Bestand) in gleichen Zeitschritten linear zu- beziehungsweise abnimmt:
$t$ $0$ $1$ $2$ $3$
$B(t)$ $ B(0) $ $ B(1) $ $ B(2) $ $B(3)$
Wachstum $ $ $ B(1)-B(0) $ $ B(2)-B(1) $ $B(3)-B(2)$
Wachstumsänderung $ $ $ $ $ k $ $ k $ $ k $
$t$$B(t)$WachstumWachstums- änderung
$ 0 $$ B(0) $$ $$ $
$ 1 $$ B(1) $$ B(1)-B(0) $$ $
$ 2 $$ B(2) $$ B(2)-B(1) $$k $
$ 3 $$ B(3) $$ B(3)-B(2) $$ k $
Die Tabelle kannst du für $t=4,\,5,\,6…$ entsprechend weiter fortführen.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t\geq 0$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit.
  • Bestand $B(t)$: Der Bestand $B(t)$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t$ an.
  • Wachstum: Das Wachstum $B(t+1)-B(t)$ beschreibt die Veränderung des Bestands zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten $t$ und $t+1$.
  • Wachstumsänderung: Die Wachstumsänderung $k$ beschreibt die Änderung (Zunahme oder Abnahme) des Wachstums bei zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.
    Dabei ist $k= B(t)-B(t-1)-(B(t-1)-B(t-2)) $
    Dabei ist $k= B(t)-2\cdot B(t-1)+B(t-2) $

Beispiel

Nach der Betrachtung eines Tierbestandes über einen Zeitraum von $4$ Jahren wurden am Ende jedes Jahres folgende Bestände festgestellt:
$t$$ 0 $$ 1 $$ 2 $$ 3 $$ 4 $
$B(t)$$ 100 $$ 101 $$ 104 $$ 109 $$ 116 $
Wir überprüfen nun, ob hier quadratisches Wachstum vorliegt. Dazu berechnen wir zuerst das Wachstum in den Jahren eins bis vier. Das Wachstum $W_t$ im $t$-ten Jahr erhältst du wenn du vom Bestand nach $t$ Jahren $B(t)$ den Bestand nach $t-1$ Jahren $B(t-1)$ subtrahierst. Somit erhältst du mit $W_t=B(t)-B(t-1)$:
  • Jahr $1$: $W_1=B(1)-B(0)=101-100=1$
  • Jahr $2$: $W_2=B(2)-B(1)=104-101=3$
  • Jahr $3$: $W_3=B(3)-B(2)=109-104=5$
  • Jahr $4$: $W_4=B(4)-B(3)=116-109=7$
  • Jahr $1$: $W_1=B(1)-B(0)=1$
  • Jahr $2$: $W_2=B(2)-B(1)=3$
  • Jahr $3$: $W_3=B(3)-B(2)=5$
  • Jahr $4$: $W_4=B(4)-B(3)=7$
Die Wachstumsänderung $k$ zwischen den Jahren $t$ und $t-1$ erhältst du wie folgt: $k=W_t-W_{t-1}$
Im gegeben Fall gilt:
$k=W_2-W_1=W_3-W_2$$\,\,\,\,$$=W_4-W_3=2$
Da das Wachstum jedes jahr linear um $3$ Einheiten wächst, liegt im gegebenen Fall also quadratisches Wachstum vor.
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