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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Bakterienkultur
Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: $B(t)=12.000\cdot 4^t$, wobei $t$ die Anzahl der Tage nach Beobachtungsbeginn beschreibt und $B(t)$ die Anzahl der Bakterien angibt.
a)
Wie groß ist die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=0$ und $t=2$?
b)
Wie groß ist die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=4$ und $t=7$?
c)
Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate zwischen $t=2$ und $t=4$?
d)
Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate zwischen $t=2$ und $t=5$?
2.
Temperaturverlauf
Der Temperaturverlauf eines Ofens wird durch ein beschränktes Wachstum beschrieben. Die Funktionsgleichung lautet: $T(t)=250-220\cdot \mathrm e^{-0,15\cdot t}$, wobei $t$ in Minuten und $T(t)$ in $^{\circ}\,\text{C}$ angeben ist.
a)
Bestimme die Schranke $S$, den Wachstumsfaktor $k$ und die Anfangstemperatur.
b)
Bestimme die Temperatur nach $5$, $10$ und $12$ Minuten.
c)
Ermittel die Bestandsänderung zwischen $t=1$ und $t=5$, sowie zwischen $t=5$ und $t=7$.
d)
Berechne die durchschnittliche Änderungsrate zwischen $t=0$ und $t=1$, sowie $t=12$ und $t=14$.
e)
Nach wie vielen Minuten erreicht der Ofen $99\,\%$ der Höchsttemperatur?
3.
Kaninchenpopulation
Die Kaninchenpopulation auf einer Wiese wird durch ein logistisches Wachstum beschrieben. Die Funktionsgleichung lautet: $K(t)=700\cdot \dfrac{1}{1+34\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}}$, wobei $t$ in Jahren angegeben ist und $K(t)$ die Anzahl der Kaninchen beschreibt.
a)
Ermittel den Anfangsbestand und die Schranke $S$.
b)
Bestimme die Änderungsrate zwischen $t=1$ und $t=3$, sowie zwischen $t=10$ und $t=13$.
c)
Nach wie vielen Jahren gibt es mehr als $100$ bzw. $500$ Kaninchen?
4.
Konto
Marko möchte für seinen Führerschein sparen, deshalb zahlt er am Ende jeden Jahres $300\,€$ auf sein Konto ein. Von der Bank erhält er jährlich $2\,\%$ Zinsen.
a)
Stelle eine Rekursive Formel auf, die den Kontostand beschreibt.
b)
Wie viel Geld hat Marko nach $2$, $3$ und $4$ Jahren auf seinem Konto?
c)
Marko rechnet mit Kosten von $1.400\,€$. Nach wie vielen Jahren hat er genug Geld für seinen Führerschein? Wie viel Geld bleibt ihm abzüglich der Kosten für den Führerschein übrig?
5.
Radioaktiver Zerfall
Ein radioaktives Isotop zerfällt mit einer Halbwertszeit von $174$ Tagen. Zu Beginn weist es eine Aktivität von $10.000\,\text{Bq}$ auf. Die Funktion $A$ soll den Zerfall beschreiben.
a)
Wann ist die Aktivität auf die Hälfte herabgefallen?
b)
Stelle eine Funktionsgleichung zur Funktion $A$ auf, die die Aktivität des Isotops beschreibt.
c)
Wann ist die Änderungsrate am größten?
d)
Nach wie vielen Tagen ist die Aktivität auf unter $1.000\,\text{Bq}$ gefallen?
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Bestimme zunächst die Bestände zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=2$ und bilde dann die Differenz:
$\begin{array}[t]{rll} B(0)&=& 12.000 \cdot 4^0 &= 12.000 \\[5pt] B(2)&=& 12.000 \cdot 4^2 &= 192.000 \\[5pt] B(2)-B(0)&=& 192.000-12.000 &= 180.000 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(0)&== 12.000 \\[5pt] B(2)&=192.000 \\[5pt] B(2)-B(0)&=180.000 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=0$ und $t=2$ beträgt $180.000$ Bakterien.
$\blacktriangleright$ b)
Gehe wie im Aufgabenteil a) vor:
$\begin{array}[t]{rll} B(4)&=& 12.000 \cdot 4^4 &= 3.072.000 \\[5pt] B(7)&=& 12.000 \cdot 4^7 &= 196.608.000 \\[5pt] B(7)-B(4) &=& 196.608.000 - 3.072.000 &= 193.536.000 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(4)&= 3.072.000 \\[5pt] B(7)&= 196.608.000 \\[5pt] B(7)-B(4) &=193.536.000 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=4$ und $t=7$ beträgt $193.536.000$ Bakterien.
$\blacktriangleright$ c)
Bilde die Differenz zwischen den Beständen und Teile dann durch die Differenz der Zeitpunkte:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(4)-B(2)}{4-2}&=&\dfrac{3.072.000 - 192.000}{2} &= 1.440.000 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(4)-B(2)}{4-2}&= 1.440.000 \\[5pt] \end{array}$
Die Änderungsrate zwischen $t=2$ und $t=4$ beträgt $1.440.000$ Bakterien pro Tag.
$\blacktriangleright$ d)
Gehe wie im Aufgabenteil c) vor:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(5)-B(2)}{5-2}&=&\dfrac{12.288.000-192.000}{3} &= 4.032.000 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(5)-B(2)}{5-2}&= 4.032.000 \\[5pt] \end{array}$
Die Änderungsrate zwischen $t=2$ und $t=5$ beträgt $4.032.000$ Bakterien pro Tag.
2.
$\blacktriangleright$ a)
Die Schranke kannst du aus dem Funktionsterm ablesen. Sie ist der von $t$ unabhängige Teil: $S=250$.
Der Wachstumsfaktor $k$ steht im Exponenten $\mathrm e^{-k\cdot t}$: $k=0,15$.
Die Anfangstemperatur kannst du bestimmen, indem du $t=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} T(0)&=& 250-220\cdot \mathrm e^{-0,15\cdot 0} &= 30 \\[5pt] \end{array}$
Die Anfangstemperatur beträgt $30^{\circ}\,\text{C}$.
$\blacktriangleright$ b)
Setze $t=5$, $t=10$ und $t=12$ in die Funktionsgleichung ein, um die gesuchten Temperaturen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} B(5) &=& 250-220 \cdot \mathrm e^{-0,15 \cdot 5} &\approx 146 \\[5pt] B(10)&=& 250-220 \cdot \mathrm e^{-0,15 \cdot 10} &\approx 201 \\[5pt] B(12)&=& 250-220 \cdot \mathrm e^{-0,15 \cdot 12} &\approx 214 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(5) &\approx 146 \\[5pt] B(10)&\approx 201 \\[5pt] B(12) &\approx 214 \\[5pt] \end{array}$
Die Temperatur nach $5$, $10$ und $12$ Minuten betragen $146^{\circ}\,\text{C}$, $201^{\circ}\,\text{C}$ und $214^{\circ}\,\text{C}$.
$\blacktriangleright$ c)
Bestimme zunächst die Bestände zu den Zeitpunkten $t=1$ und $t=5$, bzw. $t=5$ und $t=7$, bilde dann die Differenz:
$\begin{array}[t]{rll} B(5)-B(1)&\approx& 146 - 61 &= 85 \\[5pt] B(7)-B(5)&\approx& 173 - 146 &= 27 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestandsänderungs zwischen den Zeitpunkten $t=5$ und $t=1$ beträgt $85^{\circ}\,\text{C}$. Die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=7$ und $t=5$ beträgt $27^{\circ}\,\text{C}$.
$\blacktriangleright$ d)
Ermittel die Differenz der Bestände zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=1$, bzw. $t=14$ und $t=12$, teile diese dann durch die Differenz $\Delta t$ der Zeitpunkte:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(1)-B(0)}{1-0}&\approx& \dfrac{61-30}{1} &=31 \\[5pt] \dfrac{B(14)-B(12)}{14-12}&\approx& \dfrac{223-214}{2} &=4,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(1)-B(0)}{1-0} &=31 \\[5pt] \dfrac{B(14)-B(12)}{14-12}&=4,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Änderungsrate zwischen den Zeitpunkten $t=1$ und $t=0$ beträgt $31^{\circ}\,\text{C}$ pro Minute. Die Änderungsrate zwischen den Zeitpunkten $t=14$ und $t=12$ beträgt $4,5^{\circ}\,\text{C}$ pro Minute.
$\blacktriangleright$ e)
Bestimme $99\,\%$ der Höchsttemperatur, stelle eine Gleichung auf und löse diese mit der Logarithmusfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} 0,99\cdot 250 &=& 247,5 \\[5pt] T(t)&=& 247,5 \\[5pt] 250-220\cdot \mathrm e^{-0,15\cdot t} &=& 247,5 &\quad\mid\;\scriptsize -250 \\[5pt] -220\cdot \mathrm e^{-0,15\cdot t} &=& -2,5 &\quad\mid\;\scriptsize :(-220) \\[5pt] \mathrm e^{-0,15\cdot t} &\approx& 0,01136 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] -0,15\cdot t \cdot \log(\mathrm e) &\approx& \log(0,01136) &\quad\mid\;\scriptsize :(-0,15\cdot \log(\mathrm e))\\[5pt] t &\approx& \dfrac{\log(0,01136)}{-0,15\cdot \log(\mathrm e)} \\[5pt] t &\approx& 29,9 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,99\cdot 250 &=& 247,5 \\[5pt] t &\approx& 29,9 \\[5pt] \end{array}$
Nach knapp $30\,\text{min}$ hat der Ofen $99\,\%$ der Höchsttemperatur erreicht.
3.
$\blacktriangleright$ a)
Setze $t=0$ in die Funktionsgleichung ein, um den Anfangsbestand zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} K(0)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0}} &=20 \\[5pt] \end{array}$
Am Anfang sind $20$ Kaninchen vorhanden.
Um die Schranke zu bestimmen, musst du den Grenzwert für $t\to\infty$ bilden:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to\infty}\left(700\cdot\dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot t}}\right)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+0} &= 700 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to\infty}\left(700\cdot\dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot t}}\right)&=&… \\[5pt] \end{array}$
Die Schranke beträgt $700$ Kaninchen. Du siehst, dass das der Faktor ist, der vor dem Bruch steht.
$\blacktriangleright$ b)
Bestimme die Differenz der Bestände zu den Zeitpunkten $t=1$ und $t=3$ bzw, $t=10$ und $t=13$ und teile die Differenz durch die Differenz $\Delta t$ der Zeitpunkte:
$\begin{array}[t]{rll} K(1)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot 1 }} &\approx 32,4 \\[5pt] K(3)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot 3 }} &\approx 81,5 \\[5pt] \dfrac{K(3)-K(1)}{3-1} &\approx& \dfrac{81,5-32,4}{2} &\approx 24,6 \\[5pt] \\[5pt] K(10)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot 10}} &\approx 570\\[5pt] K(13)&=& 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot 13}} &\approx 666\\[5pt] \dfrac{K(13)-K(10)}{13-10} &\approx& \dfrac{666-570}{3} &= 32 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K(1) &\approx 32,4 \\[5pt] \dfrac{K(13)-K(10)}{13-10} &= 32 \\[5pt] \end{array}$
Die Änderungsrate zwischen $t=1$ und $t=3$ beträgt etwa $25$ Kaninchen pro Jahr. Die Änderungsrate zwischen $t=10$ und $t=13$ beträgt etwa $32$ Kaninchen pro Jahr.
$\blacktriangleright$ c)
Stelle eine Gleichung auf und löse diese mit der Logarithmusfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} K(t)&=& 100\\[5pt] 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot t}}&=& 100 &\quad\mid\;\scriptsize \cdot(1+34\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}) \\[5pt] 700 &=& 100 +3.400 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize -100 \\[5pt] 600 &=& 3.400 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize :3.400 \\[5pt] 0,176 &\approx& \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] \log(0,176) &\approx& -0,5 \cdot t \cdot \log(\mathrm e) &\quad\mid\;\scriptsize :(-0,5 \cdot \log(\mathrm e)) \\[5pt] \dfrac{\log(0,176)}{-0,5 \cdot \log(\mathrm e)} &\approx& t \\[5pt] t &\approx& 3,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K(t)&=& 100\\[5pt] t &\approx& 3,5 \\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $3,5$ Jahren sind $100$ Kaninchen vorhanden.
$\begin{array}[t]{rll} K(t)&=& 500\\[5pt] 700 \cdot \dfrac{1}{1+34\cdot\mathrm e^{-0,5 \cdot t}}&=& 500 &\quad\mid\;\scriptsize \cdot(1+34\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}) \\[5pt] 700 &=& 500 +15.200 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize -500 \\[5pt] 200 &=& 15.200 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize :15.200 \\[5pt] 0,0132 &\approx& \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] \log(0,0132) &\approx& -0,5 \cdot t \cdot \log(\mathrm e) &\quad\mid\;\scriptsize :(-0,5 \cdot \log(\mathrm e)) \\[5pt] \dfrac{\log(0,0132)}{-0,5 \cdot \log(\mathrm e)} &\approx& t \\[5pt] t &\approx& 8,7 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K(t)&=& 500\\[5pt] t &\approx& 8,7 \\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $9$ Jahren sind $500$ Kaninchen vorhanden.
4.
$\blacktriangleright$ a)
Die rekursive Formel ist $B(n+1)=B(n)\cdot 1,02 +300$, $B(0)=0$.
  • $B(n)\cdot 1,02$ ist der vom Bestand abhängige Zuwachs
  • $300$ ist der konstante Zuwachs
  • Der Anfangsbestand ist $0$
$\blacktriangleright$ b)
Bestimme die Bestände $B(2)$, $B(3)$ und $B(4)$. Dazu musst du schrittweise vorgehen.
$\begin{array}[t]{rll} B(1)&=& 0 \cdot 1,02 + 300 &= 300 \\[5pt] B(2)&=& 300 \cdot 1,02 + 300 &= 606 \\[5pt] B(3)&=& 606 \cdot 1,02 + 300 &= 918,12 \\[5pt] B(4)&=& 918,12 \cdot 1,02 +300 &= 1.236,48 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(1)&= 300 \\[5pt] B(2)&= 606 \\[5pt] B(3)&= 918,12 \\[5pt] B(4)&= 1.236,48 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestände sind $B(2)=606$, $B(3)=918,12$ und $B(4)=1.236,48$.
$\blacktriangleright$ c)
Nach $4$ Jahren hat er noch nicht genügend Geld, bestimme deshalb den Bestand für das darauffolgende Jahr:
$\begin{array}[t]{rll} B(5)&=& 1.236,48 \cdot 1,02 +300 &=1.561,21\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(5)&=1.561,21\\[5pt] \end{array}$
Am Ende des Jahres hat Marko genügend Geld für seinen Führerschein. Er hat sogar noch $1.561,21-1.400=161,21\,\text{€}$ übrig.
5.
$\blacktriangleright$ a)
Nach $174$ Tagen ist die Aktivität auf die Hälfte herabgefallen, denn genau das beschreibt die Halbwertszeit.
$\blacktriangleright$ b)
Die Funktionsgleichung hat die Form $A(t)=A_0 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{t}{T_{1/2}}}$. Die Anfangsaktivität beträgt $A_0=10.000$, die Halbwertszeit ist $T_{1/2}=174$. Die Funktionsgleichung lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} A(t)&=& 10.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{t}{174}} \end{array}$
Wobei $t$ in Tagen angegeben ist und $A(t)$ in $Bq$.
$\blacktriangleright$ c)
Da es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt, ist die Änderungsrate zu Beginn bei $t=0$ am größten.
$\blacktriangleright$ d)
Stelle eine Gleichung auf und löse diese mit der Logarithmusfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} A(t)&=& 1.000\\[5pt] 10.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{t}{174}}&=& 1.000 &\quad\mid\;\scriptsize :10.000 \\[5pt] \dfrac{1}{2}^{\frac{t}{174}}&=& 0,1 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] \dfrac{t}{174} \cdot \log\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& \log(0,1) &\quad\mid\;\scriptsize \cdot \dfrac{174}{\log\left(\frac{1}{2}\right)} \\[5pt] t&=&\dfrac{174\cdot \log(0,1)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)}\\[5pt] t&\approx& 578 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A(t)&=& 1.000\\[5pt] t&\approx& 578 \\[5pt] \end{array}$
Nach etwa $578$ Tagen ist die Aktivität auf $1.000\,\text{Bq}$ abgefallen.
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