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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Bestimme jeweils, ob es sich um exponentielles oder lineares Wachstum handelt. Und ermittle die Änderungsrate oder den Wachstumsfaktor.
a)
$n$$B(n)$
$0$$5$
$1$$12$
$2$$19$
$3$$26$
b)
$n$$B(n)$
$0$$42$
$1$$59$
$2$$82$
$3$$115$
c)
$n$$B(n)$
$0$$12$
$2$$31$
$3$$49$
$4$$79$
2.
Entscheide, ob lineares oder exponentielles Wachstum die Situation beschreibt. Und stelle eine geeignete Funktion auf.
a)
Karl erhält jedes Jahr $3\,\%$ Zinsen auf das Guthaben auf seinem Konto. Sein Guthaben beträgt im Moment $100\,\text{€}$.
b)
Bei einem Hochwasser am Rhein steigt der Wasserspiegel stündlich um $20\,\text{cm}$. Die Pegelhöhe lag zu Beginn der Aufzeichnung bei $500\,\text{cm}$.
c)
Der Mehlpreis steigt jedes Jahr um ein Zehntel. Er liegt jetzt bei $70\,\frac{\text{ct.}}{\text{kg}}$.
3.
Die Immobilienpreise in NewYork steigen jährlich um $15\,\%$. Aktuell kostet der Quadratmeter $12.000\,$$
a)
Stelle eine Funktion $f$ auf, die Immobilienpreise beschreibt.
b)
Wie hoch sind die Kosten pro Quadratmeter in $3$ Jahren?
c)
Nach wie vielen Jahren hat sich der Immobilienpreis verdoppelt?
4.
Ein Topf mit kochendem Wasser wird vom Herd genommen, auf einen Tisch abgestellt und die Temperatur gemessen. Der Temperaturverlauf in $^{\circ}\,\text{C}$ seit Beginn der Aufzeichnung wird durch die Funktion $g(t)=100\cdot 0,78^t$ beschrieben, wobei $t$ in Stunden angegeben wird.
a)
Bestimme den Zerfallsfaktor und den Anfangswert des exponentiellen Zerfalls.
b)
Nach wie vielen Studen hat der Topf $30^{\circ}\,\text{C}$ erreicht?
5.
Löse die folgenden Exponentialfunktionen:
a)
$\;\mathrm e^{2,9\cdot x}=34$
b)
$\; 2^x = 256$
c)
$\;2\cdot \mathrm e^{0,3\cdot x}= 46$
d)
$\; 2,2^x = 133,5$
e)
$\; 3\cdot \mathrm e^{1,3 \cdot x} = 69$
6.
Bestimme jeweils die prozentuale Wachstumsrate:
a)
$n$$B(n)$
$0$$100$
$1$$120$
$2$$144$
$3$$173$
b)
$n$$B(n)$
$0$$60$
$1$$71$
$2$$84$
$3$$99$
c)
$n$$B(n)$
$0$$120$
$1$$162$
$2$$219$
$3$$295$
7.
I
$n$$B(n)$
14
422
II
$n$$B(n)$
3104
9224
III
$t$$B(t)$
01
328
a)
Bestimme jeweils die Wachstumsrate $w$ in der Annahme, dass es sich um lineares Wachstum handelt.
b)
Bestimme jeweils die Wachstumsrate $w$ in der Annahme, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Um zu unterscheiden, ob exponentielles oder lineares Wachstum vorliegt, musst du Differenzen und Quotienten von aufeinanderfolgenden Beständen betrachten.
Sind die Differenzen konstant, liegt lineares Wachstum vor. Sind dahingegen die Quotienten konstant, so handelt es sich um exponentiellen Wachstum.
Bilde die Differenzen, um die Änderungsrate $d$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} B(3)-B(2)&=& 26-19 &=7\\[5pt] B(2)-B(1)&=& 19-12 &=7\\[5pt] B(1)-B(0)&=& 12-5 &=7\\[5pt] \end{array}$
Die Differenz zwischen zwei Beständen ist konstant. Es handelt sich um lineares Wachstum mit einer Änderungsrate $d=7$.
$\blacktriangleright$ b)
Bilde die Quotienten, um den Wachstumsfaktor $a$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(3)}{B(2)}&=&\dfrac{115}{82} &=1,40 \\[5pt] \dfrac{B(2)}{B(1)}&=&\dfrac{82}{59} &=1,39 \\[5pt] \dfrac{B(1)}{B(0)}&=&\dfrac{59}{42} &=1,40 \\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist konstant. Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit einem Wachstumsfaktor $a=1,4$.
$\blacktriangleright$ c)
Bilde die Quotienten. Allerdings fehlt der Bestand $B(1)$. Bilde deswegen die Wurzel aus dem Quotienten von $B(2)$ und $B(0)$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{B(4)}{B(3)}&=&\dfrac{79}{49} &= 1,61 \\[5pt] \dfrac{B(3)}{B(2)}&=&\dfrac{49}{31} &= 1,58 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{B(2)}{B(0)}}&=&\sqrt{\dfrac{31}{12}} &= 1,61\\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist konstant. Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit einem Wachstumsfaktor $a=1,6$.
2.
Bei linearem Wachstum wird zum Bestand eine Konstante addiert, bei exponentiellem Wachstum wird jede Zeiteinheit der gesamte Bestand um einen gewissen Prozentsatz erhöht.
$\blacktriangleright$ a)
Hier ist eine prozentuale Änderungsrate $p=0,03$ bzw. $p=3\,\%$ gegeben. Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Die Funktionsgleichung lautet: $G(x) = 100\cdot 1,03^x$.
$\blacktriangleright$ b)
Hier ist eine konstante Änderungsrate von $d=20\,\text{cm}$ gegeben. Es handelt sich um lineares Wachstum. Die Funktionsgleichung lautet: $H(x) = 500 + 20\cdot x$.
$\blacktriangleright$ c)
Hier ist eine prozentuale Änderungsrate $p= \frac{1}{10}=0,1$ bzw. $p=10\,\%$ gegeben. Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Die Funktionsgleichung lautet: $M(x) = 70 \cdot 1,1^x$.
3.
$\blacktriangleright$ a)
Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=12.000+ (1+0,15)^x$.
$\blacktriangleright$ b)
Bestimme den Funktionswert an der Stelle $x=3$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 12.000+ (1+0,15)^x\\[5pt] f(3)&=& 12.000+ (1+0,15)^3 &=18.250,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=18.250,5 \\[5pt] \end{array}$
Der Immobilienpreis beträgt in $3$ Jahren voraussichtlich $18.250,50\,$$ pro Quadratmeter.
$\blacktriangleright$ c)
Der Aktuelle Preis liegt bei $12.000\,$ Dollar pro Quadratmeter, der doppelte Preis ist $24.000\,$ Dollar pro Quadratmeter. Stelle eine Gleichung auf und löse diese:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&24.000\\[5pt] 12.000 \cdot 1,15^x&=& 24.000 \quad&\mid\;\scriptsize :12.000\\[5pt] 1,15^x &=& 2 \quad&\mid\; \scriptsize \log\\[5pt] x \cdot \log(1,15)&=&\log(2) \quad&\mid\;\scriptsize :\log(1,15)\\[5pt] x &=& \dfrac{\log(2)}{\log(1,15)}&\approx 4,96 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &\approx 4,96 \\[5pt] \end{array}$
Nach knapp $5$ Jahren hat sich der Immobilienpreis verdoppelt.
4.
$\blacktriangleright$ a)
Es handelt sich um einen exponentiellen Zerfall. Der Zerfallsfaktor ist $a=0,78$. Das heißt, der Bestand nimmt jede Stunde um $1-0,78=0,22=22\,\%$ ab. Der Anfangswert ist $b=100$.
$\blacktriangleright$ b)
Stelle eine Gleichung auf und löse diese:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 30\\[5pt] 100 \cdot 0,78^t &=& 30 \quad&\mid\; \scriptsize :100\\[5pt] 0,78^t &=& 0,3 \quad&\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] t \cdot \log(0,78) &=& \log(0,3) \quad&\mid\; \scriptsize :\log(0,78)\\[5pt] t &=& \dfrac{\log(0,3)}{\log(0,78)} &\approx 4,85 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t &\approx 4,85 \\[5pt] \end{array}$
Nach fast $5$ Stunden hat der Topf eine Temperatur von $30^{\circ}\,\text{C}$ erreicht.
5.
$\blacktriangleright$ a)
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{2,9 \cdot x}&=& 34 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] 2,9 \cdot x \cdot \log(\mathrm e)&=& \log(34) &\quad\mid\;\scriptsize :2,9 \cdot \log(\mathrm e) \\[5pt] x &=& \dfrac{\log(34)}{2,9 \cdot \log(\mathrm e)}\\[5pt] x &\approx& 1,22 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &\approx& 1,22 \end{array}$
$\blacktriangleright$ b)
$\begin{array}[t]{rll} 2^x&=&256 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] x \cdot \log(2) &=& log(256) &\quad\mid\;\scriptsize :\log(2) \\[5pt] x &=& \dfrac{\log(256)}{\log(2)}\\[5pt] x &=& 8 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &=& 8 \end{array}$
$\blacktriangleright$ c)
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \mathrm e^{0,3\cdot x}&=& 46 &\quad\mid\;\scriptsize :2 \\[5pt] \mathrm e^{0,3 \cdot x}&=& 23 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] 0,3 \cdot x \cdot \log(\mathrm e)&=& \log(23) &\quad\mid\;\scriptsize :0,3 \cdot \log(\mathrm e)\\[5pt] x &=& \dfrac{\log(23)}{0,3 \cdot \log(\mathrm e)}\\[5pt] x &\approx& 10,45 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &\approx& 10,45 \end{array}$
$\blacktriangleright$ d)
$\begin{array}[t]{rll} 2,2^x &=& 133,5 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] x \cdot \log(2,2) &=& \log(133,5) &\quad\mid\;\scriptsize :\log(2,2) \\[5pt] x &=& \dfrac{\log(133,5)}{\log(2,2)}\\[5pt] x&\approx& 6,21 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&\approx& 6,21 \end{array}$
$\blacktriangleright$ e)
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot \mathrm e^{1,3 \cdot x}&=& 69 &\quad\mid\;\scriptsize :3 \\[5pt] \mathrm e^{1,3 \cdot x}&=& 23 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] 1,3\cdot x \cdot \log(\mathrm e)&=& \log(23) &\quad\mid\;\scriptsize : 1,3 \cdot \log(\mathrm e) \\[5pt] x &=& \dfrac{\log(23)}{1,3 \cdot \log(\mathrm e)}\\[5pt] x &\approx& 2,41 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &\approx& 2,41 \end{array}$
6.
Bilde jeweils die Quotienten und bestimme daraus die prozentuale Wachstumsrate.
$\blacktriangleright$ a)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{120}{100}&=&1,20 \\[5pt] \dfrac{144}{120}&=&1,20 \\[5pt] \dfrac{173}{144}&\approx&1,20\\[5pt] \end{array}$
Die prozentuale Wachstumsrate ist $1,20-1 = 0,20 = 20 \,\%$.
$\blacktriangleright$ b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{71}{60}&\approx& 1,18 \\[5pt] \dfrac{84}{71}&\approx& 1,18 \\[5pt] \dfrac{99}{84}&\approx& 1,18 \\[5pt] \end{array}$
Die prozentuale Wachstumsrate ist $1,18-1= 0,18 = 18 \,\%$.
$\blacktriangleright$ c)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{162}{120}&=& 1,35\\[5pt] \dfrac{219}{162}&\approx& 1,35\\[5pt] \dfrac{295}{219}&\approx& 1,35 \\[5pt] \end{array}$
Die prozentuale Wachstumsrate ist $1,35-1 = 0,35 = 35\,\%$.
7.
$\blacktriangleright$ a)
Verwende diese Formel, um die Wachstumsrate zu bestimmen: $w=\dfrac{B(n_2)-B(n_1)}{n_2-n_1}$.
I: $\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{22-4}{4-1}\\[5pt] =\dfrac{18}{3}&=& 6 \\[5pt] \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w=6$.
II:$\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{224-104}{9-3}\\[5pt] =\dfrac{120}{6}&=& 20\\[5pt] \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w=20$.
III:$\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{28-1}{3-0}\\[5pt] =\dfrac{27}{3}&=&9\\[5pt] \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w=9$.
$\blacktriangleright$ b)
Verwende diese Formel, um die Wachstumsrate zu bestimmen: $w=\left(\dfrac{B(n_2)}{B(n_1)}\right)^{\left(\frac{1}{n_2-n_1}\right)}$
I:$\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{22}{4}^{\frac{1}{4-1}}\\[5pt] &\approx& 1,77 \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w\approx 1,77$.
II:$\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{224}{104}^{\frac{1}{9-3}}\\[5pt] &\approx& 1,14\\[5pt] \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w\approx 1,14$.
III:$\begin{array}[t]{rll} w&=&\dfrac{28}{1}^{\frac{1}{3-0}}\\[5pt] &\approx& 3,04 \end{array}$
Die Wachstumsrate ist $w\approx 3,03$.
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