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Heron-Verfahren

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Mithilfe des Heron-Verfahrens kannst du die Quadratwurzel einer Zahl annähern. Gesucht ist also, wie beim Intervallhalbierungsverfahren, der Wert von $\sqrt{q}$, dabei ist $q$ eine positive Zahl. Die Iterationsvorschrift des Heron-Verfahrens lautet:
$x_{n+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_n + \dfrac{q}{x_n} \right).$
Dabei kannst du den Startwert $x_0 \neq 0$ beliebig wählen.
D.h. du errechnest das neue $x_{n+1}$ mithilfe der alten Näherung $x_n$. Je mehr Schritte du durchführst, desto genauer wird deine Näherung.
Bemerkung: Je näher du den Startwert $x_0$ an $\sqrt{q}$ wählst, desto schneller kommst du zu einer guten Näherung.

Beispiel

Gesucht ist eine Näherung von $\sqrt{2}$, somit ist unser $q=2.$ Wähle als Startwert $x_0 = 1.$
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1 + \dfrac{2}{1}\right) = \dfrac{3}{2} = 1,5 ,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} + \dfrac{2}{\frac{3}{2}}\right) = \dfrac{17}{12} \approx 1,41666667,$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{17}{12} + \dfrac{2}{\frac{17}{12}}\right) = \dfrac{577}{408} \approx 1,41421569,$
$x_4 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_3 + \dfrac{q}{x_3}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{577}{408} + \dfrac{2}{\frac{577}{408}}\right) = \dfrac{665857}{470832} \approx 1.41421356.$
Schon nach $4$ Schritten kommen wir der Näherung des Taschenrechners $\sqrt{2} \approx 1.41421356237$ sehr nahe.
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1. Erkläre in eigenen Worten das Heron-Verfahren.
2. Berechne mithilfe des Heron-Verfahrens $\sqrt{5}$.
3. Berechne mithilfe des Heron-Verfahrens $\sqrt{75}$ bis bei aufeinanderfolgenden $x ~~4$ Nachkommastellen gleich sind. Wähle als Startwert $x_0 = 9.$
4. Führe $4$ Schritte des Heron-Verfahrens durch, um eine Näherung von $\sqrt{9}$ zu berechnen. Wähle dabei als Startwerte für $x$ einmal
a) $x_0 = 2$
                              und
b)  $x_0 = 90$.
Vergleiche dabei die Genauigkeit nach $4$ Schritten.
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1. Erkläre in eigenen Worten das Heron-Verfahren.
Das Heron-Verfahren ist ein Näherungsverfahren mit dem man eine Näherung einer Wurzel erhält, indem man folgende Vorschrift wiederholt:
$\begin{array}[t]{c} x_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_n + \dfrac{q}{x_n} \right). \end{array}$
2. Berechne mithilfe des Heron-Verfahrens $\sqrt{5}$.
Wir wissen, dass $2^2 = 4$ und $3^2 = 9$, d.h. die Wurzel von $5$ liegt zwischen $2$ und $3$. Wähle also als Startwert $2,5$.
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2,5 + \dfrac{5}{2,5} \right) = 2,25,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2,25 + \dfrac{5}{2,25} \right) \approx 2,236111,$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2,236111 + \dfrac{5}{2,236111} \right) \approx 2,236068,$
$x_4 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2,236068 + \dfrac{5}{2,236068} \right) \approx 2,236068,$
$x_3$ und $x_4$ sind gleich, d.h. $\sqrt{5} \approx 2,236068.$
3. Berechne mithilfe des Heron-Verfahrens $\sqrt{75}$.
$x_0 = 9$
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 9 + \dfrac{75}{9} \right) \approx 8,666667,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 8,666667 + \dfrac{75}{8,666667} \right) \approx 8.653846,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 8.653846 + \dfrac{75}{8.653846} \right) \approx 8,660256,$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 8,660256 + \dfrac{75}{8,660256} \right) \approx 8,660254,$
Bei $x_2$ und $x_3$ sind $4$ Nachkommastellen gleich. Die Wurzel von $75$ beträgt also ungefähr $8,660254$.
1. Berechne mithilfe des Heronverfahrens eine Näherung von $\sqrt{9}$.
a)  $x_0 = 2$
Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt{9}$. Also ist $q=9$ und der Startwert $x_0 = 2$.
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 2 + \dfrac{9}{2} \right) = \dfrac{13}{4} = 3,25,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{13}{4} + \dfrac{9}{\frac{13}{4}} \right) = \dfrac{313}{104} \approx 3,00961538,$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{313}{104} + \dfrac{9}{\frac{313}{104}} \right) = \dfrac{195.313}{65.104} \approx 3,00001536,$
$x_4 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_3 + \dfrac{q}{x_3} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \frac{195.313}{65.104} + \dfrac{9}{\frac{195.313}{65.104}} \right) = \dfrac{76.293.945.313}{12.715.657.552} \approx 3,00000000.$
Nach $4$ Schritten wird schon eine Näherung für $\sqrt{9}$ erreicht, die auf $8$ Nachkommastellen genau ist.
b)  $x_0 = 90$
Nun ist der Startwert $x_0 = 90$ ($q$ bleibt natürlich gleich).
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 90 + \dfrac{9}{90} \right) = \dfrac{901}{20} = 45,05,$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\frac{901}{20} + \dfrac{9}{\frac{901}{20}} \right) = \dfrac{815.401}{36.040} = 22,6248890,$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\frac{815.401}{36.040} + \dfrac{9}{\frac{815.401}{36.040}} \right) \approx 11,5113405,$
$x_4 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_3 + \dfrac{q}{x_3} \right) \approx \dfrac{1}{2} \cdot \left( 11,5113405 + \dfrac{9}{11,5113405} \right) \approx 6,14658910.$
Nach $4$ Schritten wird eine Näherung erreicht, die einen Abstand von $\left| 3 - 6,14658910 \right| = 3,14658910$ von dem tatsächlichen Wert $3$ hat.
Vergleich: Anhand dieser Aufgabe kann man erkennen, dass die Wahl des Startwerts $x_0$ entscheidend dafür ist, wie schnell eine gute Näherung erreicht wird. Wähle den Startwert $x_0$ nach Möglichkeit also möglichst nahe an dem gesuchten Wert.
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