Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen
Differenzialrechnung
Einführung
Tangentensteigung
Einführung
h-Schreibweise
Änderungsrate
Differenzenquotient
Ableitungsfunktion
Ableiten von Potenzfu...
Ableiten von Sinus un...
Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Vermischte Aufgaben
Ganzrationale Funktio...
Einführung
Symmetrie
Grenzwerte
Nullstellen
Einführung
Linearfaktorzerlegung
Monotonie
Extremstellen
Vermischte Aufgaben
Wachstum
Einführung
Bestandsänderung
Änderungsrate
Rekonstruktion des Be...
Überlagerung von expo...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Vermischte Aufgaben
Periodische Vorgänge
Einführung
Bogenmaß
Sinus- und Kosinusfun...
Einheitskreis
Eigenschaften
Streckung und Stauchu...
Verschiebung
Modellierung
Vermischte Aufgaben
Daten und Zufall
Arithmetisches Mittel
Zufallsvariable
Erwartungswert
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Abhängigkeit und Unab...
Vermischte Aufgaben
Geometrie
Punkte
Vektoren
Einführung
Addition und Subtrakt...
Vervielfachen
Geraden
Geradengleichung
Punktprobe
Lage von Geraden
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Po...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit neg. Hoc...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Potenzgesetze für rat...
Wissenschaftliche Sch...
Einführung
Ausrechnen und Umform...
Gleichungen
Potenzgleichungen lös...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzel
Irrationale Wurzeln
Intervallhalbierung
Heron-Verfahren
Reelle Zahlen
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtrakt...
Multiplikation und Di...
Teilweise Wurzel zieh...
Wurzelgesetze
Wurzelgleichungen
Vermischte Aufgaben

Intervallhalbierung

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens kannst du eine Näherung von irrationalen Wurzeln bestimmen.
Gesucht ist eine Näherung von $\sqrt{x}$. Gehe dabei in folgenden Schritten vor:
1. Schritt
Wähle eine untere Grenze $a$ und eine obere Grenze $b$, sodass $a^2 < x < b^2.$
2. Schritt
$\sqrt{x}$ befindet sich im Invervall $[a; b]$. Wähle nun $c = \dfrac{a + b}{2}$.
3. Schritt
Ist $c^2 < x$, so wähle das neue $a=c$, ist $c^2 > x$, so wähle das neue $b=c$.
Gehe nun wieder zu Schritt 2 und wiederhole die Schritte 2 und 3 bis die untere und obere Grenze ungefähr gleich sind.

Beispiel

Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt{5}$. Wähle als $a = 2$ und $b = 3$, denn $2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2.$
$c_1 = \dfrac{2 + 3}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5,$ da $2,5^2 = 6,25 > 5,$ wähle das neue $b=2,5.$
$\sqrt{5}$ befindet sich im Intervall $[2; 2.5].$
$c_2 = \dfrac{2+2,5}{2} = 2,25,$ da $2,25^2 = 5,0625 > 5,$ wähle das neue $b = 2,25.$
$\sqrt{5}$ befindet sich im Intervall $[2; 2,25]$.
$c_3 = \dfrac{2+2,25}{2} = 2,125,$ da $2,125^2 = 4,515625 < 5,$ wähle das neue $a = 2,125.$
$\sqrt{5}$ befindet sich im Intervall $[2,125; 2,25]$.
$c_4 = \dfrac{2,125 + 2,25}{2} = 2,1875,$ da $2,1875^2 = 4,78515625 < 5,$ wähle das neue $a = 2,1875.$
$\sqrt{5}$ befindet sich im Intervall $[2,1875; 2,25]$.
$c_5 = \dfrac{2,1875 + 2,25}{2} = 2,21875,$ da $2,21875^2 = 4,9228515625 < 5,$ wähle das neue $a = 2,21875.$
$\sqrt{5}$ befindet sich also im Intervall $[2,21875; 2,25]$, was der Näherung des Taschenrechners
$\sqrt{5} \approx 2,2360679775$ ziemlich nahe kommt.
Wurzeln: Intervallhalbierung
Wurzeln: Intervallhalbierung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1. Bestimme mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens folgende Wurzeln. Wähle dabei die Startwerte für die Grenzen geschickt.
a)  $\sqrt{13,140625}$
b)  $\sqrt{10}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. Bestimme mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens Näherungen folgender Wurzeln. Wähle dabei die Startwerte für die Grenzen geschickt.
a)  Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt{13,140625}$.
Wähle als mögliche Grenzen $a = 3$ und $b = 4$, denn $3^2 = 9 < 13,140625 < 16 = 4^2.$
$c_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5,$ da $3,5^2 = 12,25 < 13,140625,$ wähle das neue $a=3,5.$
$\sqrt{13,140625}$ befindet sich im Intervall $[3,5; 4].$
$c_2 = \dfrac{3,5 + 4}{2} = 3,75,$ da $3,75^2 = 14,0625 > 13,140625,$ wähle das neue $b = 3,75.$
$\sqrt{13,140625}$ befindet sich im Intervall $[3,5; 3,75].$
$c_2 = \dfrac{3,5 + 3,75}{2} = 3,625,$ $3,625^2 = 13,140625.$
Somit haben wir sogar den exakten Wert $3,625$ der rationalen Wurzel $\sqrt{13,140625}$ bestimmt.
Bemerkung: Rationale Wurzeln wie diese kannst du mit dem Intervallhalbierungsverfahren exakt bestimmen, wenn du die Grenzen geschickt wählst. Würde man in der oberen Aufgabe als Grenzen $a=\frac{10}{3}$ und $b=4$ wählen, würden wir nur eine Näherung der Wurzel erhalten.
b)  Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt{10}.$
Wähle als untere Grenze $a=3$, denn $3^2 = 9 < 10.$ Jetzt kannst du als obere Grenze natürlich $b = 4$ wählen, denn $4^2 = 16 > 10.$ Das Quadrat der unteren Grenze $a^2 = 9$ liegt allerdings schon sehr nahe an $10$, sodass es besser ist, die obere Grenze näher an der unteren Grenze zu wählen, um sich Iterationsschritte zu sparen. Wähle z.B. $b = 3,3$, denn $3,3^2 = 10,89 > 10.$
$c_1 = \dfrac{3 + 3,3}{2} = 3,15$, da $3,15^2 = 9,9225 < 10,$ wähle das neue $a = 3,15$
$\sqrt{10}$ befindet sich im Intervall $[3,15; 3,3]$.
$c_2 = \dfrac{3,15 + 3,3}{2} = 3,225$, da $3,225^2 = 10,400625 > 10,$ wähle das neue $b = 3,225$
$\sqrt{10}$ befindet sich im Intervall $[3,15; 3,225]$.
$c_3 = \dfrac{3,15 + 3,225}{2} = 3,1875$, da $3,1875^2 = 10,16015625 > 10,$ wähle das neue $b = 3,1875$
$\sqrt{10}$ befindet sich im Intervall $[3,15; 3,1875]$.
$c_4 = \dfrac{3,15 + 3,1875}{2} = 3,16875$, da $3,16875^2 = 10,0409765625 > 10,$ wähle das neue $b = 3,16875$
$\sqrt{10}$ befindet sich im Intervall $[3,15; 3,16875]$, usw.
Bemerkung: Durch geschicktes Wählen der Grenzen $a$ und $b$, kommst du schneller zu einer guten Näherung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App