Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M II
Realschulabschluss M I
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M II
Realschulabschluss M I
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Parameterverfahren

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Mit dem Parameterverfahren bist du in der Lage die Gleichung einer Funktion zu bestimmen, die durch zentrische Streckung aus einer anderen hervorgeht.
Dazu stellst du folgende Vektorgleichung auf:
$\overrightarrow{ZP'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}=\pmatrix{x'-x_z \\ y'-y_z}=k\cdot \pmatrix{x-x_z \\ f(x)-y_z}$
Damit du zwei Gleichungen erhältst, teilst du diese horizontal. Du erhältst ein Gleichungssystem, das du lösen kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \end{array}$
Anschließend formst du die obere Gleichung nach $x$ um und setzt sie in die untere Gleichung ein. Die untere Gleichung kannst du anschließend nach $y'$ umformen und erhältst damit die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion.
#parameterverfahren#zentrischestreckung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

Du hast die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=x+2$ gegeben.
Bestimme die Gleichung der Geraden $h$, die durch zentrische Streckung der Geraden $g$ am Punkt $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $2$ entsteht.
#zentrischestreckung#parameterverfahren

Aufgabe 1

Bestimme die Gleichung einer Geraden $h$ die durch zentrische Streckung am Punkt $Z$ mit dem Streckfaktor $k$ aus der Geraden $g$ entsteht.
a)
$g:y=x-1$; $Z\,(1\mid1)$; $k=-1$
b)
$g:y=2x$; $Z\,(2\mid0)$; $k=1,5$
c)
$g:y=2x-1$; $Z\,(3\mid0,5)$; $k=2,5$
#zentrischestreckung#parameterverfahren

Aufgabe 2

Bestimme die Gleichung der Geraden $g$ und der Geraden $h$ die durch zentrische Streckung am Punkt $Z$ mit dem Streckfaktor $k$ aus der Geraden $g$ entsteht.
a)
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(3\mid4)$ und $B\,(1\mid1)$; $Z\,(2\mid3)$; $k=-1$
b)
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(1\mid2)$ und $B\,(-1\mid3)$; $Z\,(0\mid-1)$; $k=3$
c)
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $A\,(2\mid4)$ und hat die Steigung $m=-1$; $Z\,(2\mid1)$; $k=-2$
d)
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $A\,(3\mid1)$ und hat die Steigung $m=2,5$; $Z\,(4\mid4)$; $k=0,5$
#zentrischestreckung#geradengleichung#parameterverfahren

Aufgabe 3

Die Parabel $b$ entsteht durch zentrische Streckung am Punkt $Z$ mit dem Streckfaktor $k$ aus der Parabel $a$. Bestimme die Gleichung der Parabel $b$.
a)
$a:y=2x^2+3$, $Z\,(0\mid1)$, $k=-1$
b)
$a:y=x^2+1$, $Z\,(2\mid3)$, $k=2$
c)
$a:y=4x^2-1$, $Z\,(-1\mid3)$, $k=4$
#zentrischestreckung#parameterverfahren#parabel

Aufgabe 4

Zentrische Streckung: Parameterverfahren
Abb. 1: Die Taumata Racer, eine der vielen Wasserrutschen im Aquatica in Florida.
Zentrische Streckung: Parameterverfahren
Abb. 1: Die Taumata Racer, eine der vielen Wasserrutschen im Aquatica in Florida.
Die Rutschrinne hat die Form einer Parabel. Beim Designen der Rutsche schlug der Architekt eine Parabel der Form $y=2x^4$ vor, wobei eine Längeneinheit $0,5\,\text{m}$ entsprach. Um genug Platz für eine Person zu bieten, soll die Rutschrinne auf einer Höhe von $25\,\text{cm}$ eine Breite von $1\,\text{m}$ haben.
a)
Ist der Vorschlag des Architekten für die Rutschrinne geeignet?
Alternativ schlägt der Architekt vor die Parabel am Ursprung zu strecken mit dem Streckfaktor $k=1,5$.
b)
Bestimme die Gleichung der gestreckten Parabel und nimm Stellung dazu, ob dieser Vorschlag besser für die Rutschrinne geeignet wäre.
#parameterverfahren#parabel#zentrischestreckung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/VIyyqD – Taumata Racer; Brian Marshall, CC BY 2.0.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

Gehe von folgender Formel aus:
$\overrightarrow{ZP'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}$
Setze die die allgemeinen Koordinaten der Vektoren ein, wobei du die $y$ Koordinate des Punktes $P$ durch die Funktionsgleichung der Geraden ersetzt.
Anschließend teilst du die Gleichung horizontal in zwei Gleichungen und setzt die dir bekannten Angaben ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem.
Dieses Gleichungssystem kannst du nun so umformen, dass du in einer Gleichung das $x$ auf einer Seite allein hast. Diesen Ausdruck setzt du anschließend in die zweite Gleichung ein und formst nach $y$ um. Du erhältst dadurch die Funktionsgleichung der gestreckten Geraden.
$\pmatrix{x'-x_z \\ y'-y_z}=k\cdot \pmatrix{x-x_z \\ f(x)-y_z}$
Wenn du die Vektorgleichung in einzelne Gleichungen zerlegst, dann erhältst du folgende Gleichungen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-0&=&2\cdot (x-0)\\ \text{II}\quad&y'-0&=&2\cdot (x+2-0)\\ \hline \text{I}\quad&x'&=&2x& \quad\scriptsize\mid\; :2\\ \text{II}\quad&y'&=&2x+4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2}&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&2x+4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2} \\ \text{II}\quad&y'&=&2(\frac{x'}{2})+4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2} \\ \text{II}\quad&y'&=&x'+4\\ \end{array}$
Die Gleichung der gestreckten Gerade lautet $y=x+4$.
#lgs#einsetzungsverfahren#vektoren

Aufgabe 1

Gehe hier wie in der Einführungsaufgabe vor. Stelle zuerst das Gleichungssystem auf und löse die eine Gleichung anschließend nach $x$ auf. Durch Einsetzen in die andere Gleichung und Umformung nach $y'$ erhältst du die Gleichung der gestreckten Gerade.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-1&=&-1\cdot (x-1)\\ \text{II}\quad&y'-1&=&-1\cdot (x-1-1)\\ \hline \text{I}\quad&x'-1&=&-x+1& \quad\scriptsize\mid\; +x;\; +1;\;-x'\\ \text{II}\quad&y'-1&=&-x+2& \quad\scriptsize\mid\; +1\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+2& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&-x+3\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+2& \\ \text{II}\quad&y'&=&-(-x'+2)+3\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+2& \\ \text{II}\quad&y'&=&x'-2+3\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+2& \\ \text{II}\quad&y'&=&x'+1\\ \end{array}$
Die Gleichung der gestreckten Gerade lautet $y=x+1$.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&1,5\cdot (x-2)\\ \text{II}\quad&y'-0&=&1,5\cdot (2x-0)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&1,5x-3& \quad\scriptsize\mid\; +3\\ \text{II}\quad&y'&=&3x&\\ \hline \text{I}\quad&x'+1&=&1,5x& \quad\scriptsize\mid\; :1,5\\ \text{II}\quad&y'&=&3x&\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}+\frac{2}{3}&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&3x\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}+\frac{2}{3}&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&3\cdot(\frac{x'}{1,5}+\frac{2}{3})\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}+\frac{2}{3}&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&2x'+2\\ \end{array}$
Die Gleichung der gestreckten Gerade lautet $y=2x+2$.
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-3&=&2,5\cdot (x-3)\\ \text{II}\quad&y'-0,5&=&2,5\cdot (2x-1-0,5)\\ \hline \text{I}\quad&x'-3&=&2,5x-7,5& \quad\scriptsize\mid\; +7,5\\ \text{II}\quad&y'-0,5&=&5x-3,75& \quad\scriptsize\mid\; +0,5\\ \hline \text{I}\quad&x'+4,5&=&2,5x& \quad\scriptsize\mid\; :2,5\\ \text{II}\quad&y'&=&5x-3,25& \\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2,5}+1,8&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&5x-3,25&\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2,5}+1,8&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&5(\frac{x'}{2,5}+1,8)-3,25&\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2,5}+1,8&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&2x'+9-3,25&\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{2,5}+1,8&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&2x'+5,75&\\ \end{array}$
Die Gleichung der gestreckten Gerade lautet $y=2x+5,75$.
#lgs#einsetzungsverfahren

Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe musst zu zuerst eine Geradengleichung aufstellen, bevor du wie in den vorherigen Aufgaben eine zentrische Streckung durchführen kannst.
Zum Bestimmen der Geradengleichungen brauchst du entweder die Punkt-Steigungs-Form, welche lautet:
$m=\dfrac{y-y_a}{x-x_a}$
$m=\dfrac{y-y_a}{x-x_a}$
oder die Zweipunktformel:
$\dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\dfrac{y-y_a}{x-x_a}$
$\dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\dfrac{y-y_a}{x-x_a}$
Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden, $y$ und $x$ die allgemeinen Variablen und $x_a$, $x_b$, $y_a$ und $y_b$ die Koordinaten von Punkten auf der Geraden.
Nachdem du alle bekannten Werte in die Formel eingesetzt und nach $y$ aufgelöst hast, erhältst du die Gleichung der Geraden. Anschließend kannst du wie bei der Einführungsaufgabe und Aufgabe 1 vorgehen, um die zweite Geradengleichung zu bestimmen.
Stelle das Gleichungssystem auf, löse eine Gleichung nach $x$ und setze sie in die zweite Gleichung ein. Anschließend löst du diese nach $y'$ auf und erhältst die zweite Geradengleichung.
a)
Du hast zwei Punkte der Geraden gegeben. Benutze deshalb die Zweipunktformel zur Bestimmung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a}&=&\dfrac{y-y_a}{x-x_a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4-1}{3-1}&=&\dfrac{y-1}{x-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x-1) \\[5pt] \dfrac{3}{2}\cdot(x-1)&=&y-1&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 1,5x-1,5+1&=&y \\[5pt] 1,5x-0,5&=&y \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $g$ lautet $f(x)=1,5x-0,5$. Bestimme nun die Gleichung der Geraden $h$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&-1\cdot (x-2)\\ \text{II}\quad&y'-3&=&-1\cdot (1,5x-0,5-3)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&-x+2& \quad\scriptsize\mid\; +x;\; +2;\;-x'\\ \text{II}\quad&y'-3&=&-1,5x+3,5& \quad\scriptsize\mid\; +3\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+4& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&-1,5x+6,5\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+4& \\ \text{II}\quad&y'&=&-1,5(-x'+4)+6,5\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+4& \\ \text{II}\quad&y'&=&1,5x'-6+6,5\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-x'+4& \\ \text{II}\quad&y'&=&1,5x'+0,5\\ \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $h$ lautet $f(x)=1,5x+0,5$.
b)
Du hast zwei Punkte der Geraden gegeben. Benutze deshalb die Zweipunktformel zur Bestimmung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a}&=&\dfrac{y-y_a}{x-x_a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2-3}{1-(-1)}&=&\dfrac{y-3}{x-(-1)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x+1) \\[5pt] \dfrac{-1}{2}\cdot(x+1)&=&y-3&\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] -0,5x-0,5+3&=&y \\[5pt] -0,5x+2,5&=&y \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $g$ lautet $f(x)=-0,5x+2,5$. Bestimme nun die Gleichung der Geraden $h$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-0&=&3\cdot (x-0)\\ \text{II}\quad&y'-(-1)&=&3\cdot (-0,5x+2,5-(-1))\\ \hline \text{I}\quad&x'&=&3x& \quad\scriptsize\mid\; :3\\ \text{II}\quad&y'+1&=&-1,5x+10,5& \quad\scriptsize\mid\; -1\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{3}&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&-1,5x+9,5\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{3}&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&-1,5(-\frac{x'}{3})+9,5\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{3}&=&x& \\ \text{II}\quad&y'&=&-0,5x'+9,5\\ \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $h$ lautet $f(x)=-0,5x+9,5$.
c)
Du hast einen Punkt der Geraden und ihre Steigung gegeben gegeben. Benutze deshalb die Punkt-Steigungs-Form zur Bestimmung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y-y_a}{x-x_a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] -1&=&\dfrac{y-4}{x-2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x-2) \\[5pt] -1\cdot(x-2)&=&y-4&\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] -x+2+4&=&y \\[5pt] -x+6&=&y \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $g$ lautet $f(x)=-x+6$. Bestimme nun die Gleichung der Geraden $h$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-1&=&-2\cdot (x-1)\\ \text{II}\quad&y'-1&=&-2\cdot (-x+6-1)\\ \hline \text{I}\quad&x'-1&=&-2x+2& \quad\scriptsize\mid\; +2x;\, +1;\,-x'\\ \text{II}\quad&y'-1&=&2x-10& \quad\scriptsize\mid\; +1\\ \hline \text{I}\quad&2x&=&-x'+3& \quad\scriptsize\mid\; :2\\ \text{II}\quad&y'&=&2x-9\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-0,5x'+1,5& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&-1,5x+9,5\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-0,5x'+1,5 \\ \text{II}\quad&y'&=&2(-0,5x+1,5)+9\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-0,5x'+1,5 \\ \text{II}\quad&y'&=&-x'+3+9\\ \hline \text{I}\quad&x&=&-0,5x'+1,5 \\ \text{II}\quad&y'&=&-x'+12\\ \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $h$ lautet $f(x)=-x+12$.
d)
Du hast einen Punkt der Geraden und ihre Steigung gegeben gegeben. Benutze deshalb die Punkt-Steigungs-Form zur Bestimmung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y-y_a}{x-x_a} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 2,5&=&\dfrac{y-1}{x-3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x-3) \\[5pt] 2,5\cdot(x-3)&=&y-1&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 2,5x-7,5+1&=&y \\[5pt] 2,5x-6,5&=&y \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $g$ lautet $f(x)=2,5x-6,5$. Bestimme nun die Gleichung der Geraden $h$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-4&=&0,5\cdot (x-4)\\ \text{II}\quad&y'-4&=&0,5\cdot (2,5x-6,5-4)\\ \hline \text{I}\quad&x'-4&=&0,5x-2& \quad\scriptsize\mid\; +2\\ \text{II}\quad&y'-4&=&1,25x-5,25& \quad\scriptsize\mid\; +4\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&0,5x& \quad\scriptsize\mid\; \cdot2\\ \text{II}\quad&y'&=&1,25x-1,25\\ \hline \text{I}\quad&2x'-4&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&1,25x-1,25\\ \hline \text{I}\quad&2x'-4&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&1,25(2x'-4)-1,25\\ \hline \text{I}\quad&2x'-4&=&x\\ \text{II}\quad&y'&=&2,5x'-5-1,25\\ \hline \text{I}\quad&2x'-4&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&2,5x'-6,25\\ \end{array}$
Die Gleichung der Geraden $h$ lautet $f(x)=2,5x-6,25$.
#geradengleichung#lgs#einsetzungsverfahren

Aufgabe 3

Gehe bei dieser Aufgabe wie in den vorherigen Aufgaben vor. Beachte dabei jedoch, dass du keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen darfst.
Stelle das Gleichungssystem auf und löse eine Gleichung nach $x$ auf. Anschließend setzt du diese in die andere Gleichung ein und löst nach $y'$.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-0&=&-1\cdot (x-0)\\ \text{II}\quad&y'-1&=&-1\cdot (2x^2+3-1)\\ \hline \text{I}\quad&x'&=&-x& \quad\scriptsize\mid\; \cdot -1\\ \text{II}\quad&y'-1&=&-2x^2-2& \quad\scriptsize\mid\; +1\\ \hline \text{I}\quad&-x'&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&-2x^2-1\\ \hline \text{I}\quad&-x'&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&-2(-x')^2-1\\ \hline \text{I}\quad&-x'&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&-2x'^2-1\\ \end{array}$
Die Gleichung der Parabel lautet $f(x)=-2x^2-1$.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&2\cdot (x-2)\\ \text{II}\quad&y'-3&=&2\cdot (x^2+1-3)\\ \hline \text{I}\quad&x'-2&=&2x-4& \quad\scriptsize\mid\; +4\\ \text{II}\quad&y'-3&=&2x^2-4& \quad\scriptsize\mid\; +3\\ \hline \text{I}\quad&x'+2&=&2x& \quad\scriptsize\mid\; :2\\ \text{II}\quad&y'&=&2x^2-1\\ \hline \text{I}\quad&0,5x'+1&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&2x^2-1\\ \hline \text{I}\quad&0,5x'+1&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&2(0,5x'+1)^2-1\\ \hline \text{I}\quad&0,5x'+1&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&2\cdot(0,25x'^2+1)-1\\ \hline \text{I}\quad&0,5x'+1&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&0,5x'^2+2-1\\ \hline \text{I}\quad&0,5x'+1&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&0,5x'^2+1\\ \end{array}$
Die Gleichung der Parabel lautet $f(x)=0,5x^2+1$.
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-(-1)&=&4\cdot (x-(-1))\\ \text{II}\quad&y'-3&=&4\cdot (4x^2-1-3)\\ \hline \text{I}\quad&x'+1&=&4x+4& \quad\scriptsize\mid\; -4\\ \text{II}\quad&y'-3&=&16x^2-16& \quad\scriptsize\mid\; +3\\ \hline \text{I}\quad&x'-3&=&4x& \quad\scriptsize\mid\; :4\\ \text{II}\quad&y'&=&16x^2-16\\ \hline \text{I}\quad&0,25x'-0,75&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&16x^2-16\\ \hline \text{I}\quad&0,25x'-0,75&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&16(0,25x'-0,75)^2-16\\ \hline \text{I}\quad&0,25x'-0,75&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&16\cdot(0,0625x'^2-0,5625)-16\\ \hline \text{I}\quad&0,25x'-0,75&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&x'^2-9-16\\ \hline \text{I}\quad&0,25x'-0,75&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&x'^2-25\\ \end{array}$
Die Gleichung der Parabel lautet $f(x)=x^2-25$.
#quadratischefunktion#gleichungssystem#einsetzungsverfahren

Aufgabe 4

a)
Um zu überprüfen, ob die vorgeschlagene Form passt, musst du den richtigen $y$-Wert in die Funktion einsetzen und überprüfen, ob die passenden $x$-Werte weit genug voneinander entfernt sind.
Dazu musst du dir zuerst überlegen, welchem $x$-Wert die Höhe von $25\,\text{cm}$ entspricht.
Wenn eine Längeneinheit $50\,\text{cm}$ entspricht, dann entspricht $25\,\text{cm}$ der Hälfte, also $0,5$. Das ist der $y$-Wert, den du in die Formel einsetzen musst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,5&=&2x^4 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,25&=&x^4 &\quad \scriptsize \mid\; -0,25\\[5pt] 0&=&x^4-0,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Substitution:}\,a=x^2\\[5pt] 0&=&a^2-0,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] a_{1,2} &=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}\\[5pt] a_{1,2} &=& -\dfrac{0}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{0}{2}} \right)^2 - (-0,25)}\\[5pt] a_{1,2} &=& 0\pm0,5\\[5pt] a_{1} &=& 0+0,5\\[5pt] a_{1} &=& 0,5\\[5pt] a_{2} &=& 0-0,5\\[5pt] a_{2} &=& -0,5\\[5pt] \end{array}$
Jetzt musst du noch resubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0,5&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm0,71&=&x_{1,2} \\[15pt] a_2&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] -0,5&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{-0,5}&=&x_{3,4} &\quad \scriptsize \mid\;\text{negativer Wert unter der Wurzel}\\[5pt] \end{array}$
Bei $x=0,71$ und $x=-0,71$ hat die Rutschrinne eine Höhe von $25\,\text{cm}$, d.h. die Wände der Rutsche liegen $0,71-(-0,71)=1,42$ Längeneinheiten und damit $1,42\cdot0,5\,\text{m}=0,71\,\text{m}$ auseinander.
Die berechnete Breite der Rutschrinne liegt unter den geforderten $1\,\text{m}$ Breite. Dieser Vorschlag für die Rutschrinne ist deshalb nicht geeignet.
b)
Strecke zuerst die Gleichung für die Rutschrinne mit dem Streckfaktor $1,5$ am Ursprung $U\,(0\mid0)$. Gehe dabei wie in den vorherigen Aufgaben vor. Stelle ein Gleichungssystem auf und forme eine Gleichung nach $x$ um. Setze sie anschließend in die andere Gleichung ein und löse nach $y'$. Wenn du so die neue Funktionsgleichung bestimmt hast, dann überprüfe wie in Aufgabenteil a), ob dieser Vorschlag geeignet ist.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x'-x_z&=&k\cdot (x-x_z)\\ \text{II}\quad&y'-y_z&=&k\cdot (f(x)-y_z)\\ \hline \text{I}\quad&x'-0&=&1,5\cdot (x-0)\\ \text{II}\quad&y'-0&=&1,5\cdot (2x^4-0)\\ \hline \text{I}\quad&x'&=&1,5x& \quad\scriptsize\mid\; :1,5\\ \text{II}\quad&y'&=&3x^4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}&=&x& \quad\scriptsize\mid\; \text{I in II einsetzen}\\ \text{II}\quad&y'&=&3x^4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&3(\frac{x'}{1,5})^4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&\frac{3}{5,0625}x'^4\\ \hline \text{I}\quad&\frac{x'}{1,5}&=&x \\ \text{II}\quad&y'&=&0,6x'^4\\ \end{array}$
Die Formel des zweiten Vorschlags lautet $f(x)=0,6x^4$. Überprüfe nun wie in Aufgabenteil a), ob dieser Vorschlag geeignet ist.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,6x^4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,5&=&0,6x^4 &\quad \scriptsize \mid\; :0,6\\[5pt] 0,83&=&x^4 &\quad \scriptsize \mid\; -0,83\\[5pt] 0&=&x^4-0,83 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Substitution:}\,a=x^2\\[5pt] 0&=&a^2-0,83 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] a_{1,2} &=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}\\[5pt] a_{1,2} &=& -\dfrac{0}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{0}{2}} \right)^2 - (-0,83)}\\[5pt] a_{1,2} &=& 0\pm0,91\\[5pt] a_{1} &=& 0+0,91\\[5pt] a_{1} &=& 0,91\\[5pt] a_{2} &=& 0-0,91\\[5pt] a_{2} &=& -0,91\\[5pt] \end{array}$
Jetzt musst du noch resubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0,91&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm0,95&=&x_{1,2} \\[15pt] a_2&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] -0,91&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{-0,91}&=&x_{3,4} &\quad \scriptsize \mid\;\text{negativer Wert unter der Wurzel}\\[5pt] \end{array}$
Bei $x=0,95$ und $x=-0,95$ hat die Rutschrinne eine Höhe von $25\,\text{cm}$, d.h. die Wände der Rutsche liegen $0,95-(-0,95)=1,9$ Längeneinheiten und damit $1,9\cdot0,5\,\text{m}=0,95\,\text{m}$ auseinander.
Die berechnete Breite der Rutschrinne liegt immer noch unter den geforderten $1\,\text{m}$ Breite, jedoch ist die Differenz zwischen der geforderten Breite und der berechneten Breite nicht mehr ganz so groß.
#quadratischefunktion#einsetzungsverfahren#gleichungssystem
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App