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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung

Aufgaben
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1
Eine Fahrradmanufaktur stellt zwei Typen F1 und F2 von Fahrrädern aus Spezialstahl her. Für F1 werden $11\,\text{kg}$ Spezialstahl je Stück, für F2 $10\,\text{kg}$ je Stück benötigt. Monatlich können höchstens $1.200$ Stück von F1 und $1.600$ Stück von F2 produziert werden. Der Stückpreis beträgt $900\,€$ bei F1 und $600\,€$ bei F2.
1.1
Aus absatztechnischen Gründen darf die Stückzahl von F1 $40\,\%$ der Stückzahl von F2 nicht überschreiten. Der Zulieferer für Spezialstahl kann pro Monat bis zu $18.000\,\text{kg}$ liefern.
Ermittle grafisch die Stückzahlen von F1 und F2, für die der Umsatz maximal wird. Gib das Umsatzmaximum an.
(7P)
#lineareoptimierung
1.2
Die Manufaktur hat einen weiteren Zulieferer für Stahl gefunden und will ein drittes Fahrrad anbieten, für das $15\,\text{kg}$ Stahl je Stück benötigt werden. Mit Hilfe des Simplexverfahrens möchte das Unternehmen die für den Umsatz optimalen Produktionszahlen ermitteln. Die folgende Tabelle zeigt das Anfangstableu für das Rechenverfahren.
$x$$y$$z$$t$$u$$v$$w$$b_1$
$1$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1.200$
$0$$1$$0$$0$$1$$0$$0$$1.600$
$0$$0$$1$$0$$0$$1$$0$$2.000$
$11$$10$$15$$0$$0$$0$$1$$45.000$
$900$$600$$1.200$$0$$0$$0$$0$$U$
$x$ ist die Anzahl der Fahrräder F1, $y$ ist die Anzahl der Fahrräder F2 und $z$ ist die Anzahl der Fahrräder F3. Die Schlupfvariablen heißen $t, u, v$ und $w$.
1.2.1
Beschreibe die Nebenbedingungen, welche bei der Produktion der drei Fahrradtypen F1, F2 und F3 jeden Monat eingehalten werden müssen.
Interpretiere die letzte Zeile dieses Tableaus.
Ermittle das nächste Tableau mit Hilfe des Simplexverfahrens.
(5P)
#lineareoptimierung
1.2.2
Bei der Berechnung des maximalen Umsatzes erhält man folgendes Tableau:
$x$$y$$z$$t$$u$$v$$w$$b_1$
$1$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1.200$
$0$$0$$0$$1,1$$1$$1,5$$-0,1$$1.420$
$0$$0$$1$$0$$0$$1$$0$$2.000$
$0$$1$$0$$-1,1$$0$$-1,5$$0,1$$180$
$0$$0$$0$$-240$$0$$-300$$-60$$U-a$
Woran erkennt man, dass es sich hier um ein mögliches Endtableau handelt? Gib die Stückzahlen für F1, F2 und F3 an, die zu einem maximalen Umsatz führen.
Wie groß ist dieser Umsatz?
(3P)

(15P)
#lineareoptimierung
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1.1
$\blacktriangleright$ Umsatzmaximum graphisch bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Umsatzmaximum graphisch bestimmen. Hierfür hast du verschiedene Einschränkungen und Bedingungen gegeben. Dabei
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Zielfunktion $z$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung
1.2.1
$\blacktriangleright$  Nebenbedingungen beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Nebenbedingungen beschreiben, die bei der Produktion der drei Fahrradtypen $F1$, $F2$ und $F3$ eingehalten werden müssen.
Hierzu musst du dir die Zeilen des Tableaus anschauen. Die Zeilen geben die Nebenbedingungen an. Die Schlupfvariablen sind Variablen die man einführt, um aus den Ungleichungen, welche die Nebenbedingungen angeben Gleichungen entstehen. Für die Schlupfvariablen gilt, dass deren Wert immer positiv ist. Den Wert der Schlupfvariable ist aber in den gesamten Rechnungen nicht von Bedeutung. Nun musst du die jeweiligen Zeilen betrachten, die jeweils eine Gleichung darstellt.
Nächstes Tableau ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du das nächste Tableau mit dem Simplexverfahren bestimmen. Betrachte hierzu das gegebene Anfangstableau.
Im ersten Schritt des Simplex-Verfahrens musst du zuerst bestimmen in welcher Spalte der Zielfunktion sich die größte positive Zahl befindet. Diese Spalte wählst du dann als Pivot-Spalte.
Das Element der letzten Spalten wird nun zeilenweise durch das Element aus der Pivotspalte der jeweiligen Zeile dividiert. Falls das Element der Pivot-Spalte $0$ ist wird dies vernachlässigt.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Endtableau beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst erklären woran man erkennt, dass es sich bei dem angebenem Tableau, um ein Endtableau handelt.
Ein Endtableau liegt dann vor, wenn in der Zielfunktionszeile nur noch negative Zahlen stehen.
Stückzahlen bestimmen
Die Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ kannst du nun aus der letzten Spalte ablesen.
Maximaler Umsatz berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den maximalen Umsatz berechnen. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die einzelnen Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ bestimmt, wenn der maximale Umsatz auftritt. Somit kannst du nun die Stückzahlen in die Zielfunktion einsetzen und den Umsatz berechnen. Die Zielfunktion ist in der letzten Spalte des Anfangstableaus gegeben.
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1.1
$\blacktriangleright$ Umsatzmaximum graphisch bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Umsatzmaximum graphisch bestimmen. Hierfür hast du verschiedene Einschränkungen und Bedingungen gegeben. Dabei
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Zielfunktion $z$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung
1. Schritt: Zielfunktion $\boldsymbol{z}$ bestimmen
Mit der Zielfunktion $z$ kannst du den Umsatz der Fahrradmanufaktur berechnen. Der Umsatz berechnet sich, indem du die Menge $x$ an Fahrrädern vom Typ $F1$ und die Menge $y$ an Fahrrädern vom Typ $F2$ mit dem jeweiligen Stückpreis multiplizierst.
$z= 900 € \cdot x+ 600 € \cdot y $
Damit du die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst, löst du die Funktion $z$ nach $y$ auf. Für $z$ kannst du zunächst einen beliebigen Wert annehmen. Wir verwenden hier den Wert Null.
$\begin{array}[t]{rlll} z&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y \\[5pt] 0&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y &\quad \mid\;-600 € \cdot y \\[5pt] -600 € \cdot y&=&900 € \cdot x&\quad \mid\; :(-600 €)\\[5pt] y&=&-1,5 x \end{array}$
2. Schritt: Nebenbedingungen bestimmen
Für die Mengen der Fahrräder von den beiden Typen wird nun eine Nebenbedingung bestimmt. Dafür verwenden wir die Variablen $x$ (Menge der Fahrräder von Typ $F1$) und $y$ (Menge der Fahrräder von Typ $F2$).
In der Aufgabe hast du die Maximalmengen der Fahrräder angegeben. Die Menge der Fahrräder kann somit kleiner gleich der Maximalmenge sein. Die Nebenbedingungen sind also Ungleichungen.
Du erhältst folgende Nebenbedingungen:
$\begin{array}[t]{rll} (1):&x&\leq&1200 \\[5pt] (2):&y&\leq&1600 \\[5pt] \end{array}$
Außerdem hast du noch gegeben, dass die Stückzahl von $F1$ $40\,\%$ der Stückzahl von $F2$ nicht überschreiten darf. Somit ergibt sich die folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (3):&x&\leq&y \cdot 0,4 \\[5pt] \end{array}$
Zusätzlich ist noch gegeben, dass der Zulieferer für Spezialstahl pro Monat bis zu $18.000$ kg liefern kann. Somit ergibt sich aus den Angaben für den Materialverbrauch für ein Fahrrad folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (4):&x \cdot 11\text{ kg} + y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg}\\[5pt] \end{array}$
Nun musst du die Ungleichungen (3) und (4) nach $y$ auflösen, damit du diese in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst.
Ungleichung (3):
$\begin{array}[t]{rll} x&\leq&y \cdot 0,4 &\quad \mid :0,4\\[5pt] 2,5x&\leq&y \\[5pt] y&\geq&2,5x \end{array}$
Ungleichung (4):
$\begin{array}[t]{rll} x \cdot 11\text{ kg} + y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg} &\quad \mid\ -(x \cdot 11\text{ kg}) \\[5pt] y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg} - x \cdot 11\text{ kg} &\quad \mid\; :10 \text{ kg}\\[5pt] y&\leq&-1,1 \cdot x +1800\\[5pt] \end{array}$
Um das Umsatzmaximum der Fahrradmanufaktur zu bestimmen, zeichnest du die Zielfunktion $z$ und die Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem ein. Verschiebe nun die Zielfunktion $z$ so weit, bis sie alle Nebenbedingungen noch erfüllt und der Umsatz maximal ist. Die Verschiebung erfolgt parallel zu der Zielfunktion $z$.
Lineare Optimierung
Abb. 1: Umsatzmaximum
Lineare Optimierung
Abb. 1: Umsatzmaximum
In dunkelgrün ist die Fläche dargestellt, in der alle Nebenbedingungen erfüllt sind. Die unverschobene Zielfunktion $z$ liegt bereits zu beginn in der Fläche. Nun soll man den Punkt bestimmen, bei dem der Umsatz maximal wird. Somit ist der äußerste Punkt der Fläche gesucht, also dass die Zielfunktion noch alle Bedingungen erfüllt und einen maximalen Umsatz besitzt. Dieser Punkt liegt etwa bei $A(500\mid 1.250)$. Da die Stückzahlen von $F1$ und $F2$ gesucht sind, bei denen der Umsatz maximal wird, entsprechen die Koordinaten des Punktes den Stückzahlen von $F1$ und $F2$.
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(500\mid1250)$.
Somit ist der Umsatz maximal, sobald $500$ Fahrräder vom Typ $F1$ und $1.250$ Fahrräder vom Typ $F2$ verkauft werden.
$\blacktriangleright$  Umsatzmaximum berechnen
Nun sollst du das Umsatzmaximum berechnen. Zuvor hast du berechnet, dass das Umsatzmaximum auftritt, wenn $500$ Fahrräder vom Typ $F1$ und $1.250$ Fahrräder vom Typ $F2$ verkauft werden. Somit lässt sich das Umsatzmaximum durch die Zielfunktion $z$ mit $x=500$ und $y=1.250$ berechnen.
Dementsprechend gilt:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&900 € \cdot x + 600 € \cdot y \\[5pt] &=&900 € \cdot 500 + 600 € \cdot 1.250\\[5pt] &=&1.200.000 € \end{array}$
Das Umsatzmaximum beträgt somit $1.200.000 €$.
#lineareoptimierung
1.2.1
$\blacktriangleright$  Nebenbedingungen beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Nebenbedingungen beschreiben, die bei der Produktion der drei Fahrradtypen $F1$, $F2$ und $F3$ eingehalten werden müssen.
Hierzu musst du dir die Zeilen des Tableaus anschauen. Die Zeilen geben die Nebenbedingungen an. Die Schlupfvariablen sind Variablen die man einführt, um aus den Ungleichungen, welche die Nebenbedingungen angeben Gleichungen entstehen. Für die Schlupfvariablen gilt, dass deren Wert immer positiv ist. Den Wert der Schlupfvariable ist aber in den gesamten Rechnungen nicht von Bedeutung. Nun musst du die jeweiligen Zeilen betrachten, die jeweils eine Gleichung darstellt.
Aus der ersten Zeile folgt folgende Gleichung:
$x+t=1.200$
Da $t$ hierbei eine Schlupfvariable ist kann $t$ nur positiv sein. Somit folgt folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (1):&x&\leq&1200 \\[5pt] \end{array}$
Für die weiteren Zeilen gilt dies analog und somit folgen die Ungleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} (2):&y&\leq&1600 \\[5pt] (3):&z&\leq&2000 \\[5pt] (4):&11x +10y +15z&\leq&45000 \\[5pt] \end{array}$
Letzte Zeile interpretieren
Die letzte Zeile des Tableau gibt dir die Zielfunktion an. Das heißt es gibt dir für die Mengen $x$, $y$ und $z$ von Fahrrädern vom Typ $F1$, $F2$, und $F3$ den zugehörigen Umsatz an. Somit folgt für den Umsatz $U$ folgende Zielfunktion:
$U=900 € \cdot x + 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z$
Nächstes Tableau ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du das nächste Tableau mit dem Simplexverfahren bestimmen. Betrachte hierzu das gegebene Anfangstableau.
Im ersten Schritt des Simplex-Verfahrens musst du zuerst bestimmen in welcher Spalte der Zielfunktion sich die größte positive Zahl befindet. Diese Spalte wählst du dann als Pivot-Spalte.
In der Zielfunktion ist die größte positive Zahl in der Spalte (3) zu finden. Die Spalte (3) wird demnach als Pivot-Spalte gewählt. Das Element der letzten Spalten wird nun zeilenweise durch das Element aus der 3. Spalte der jeweiligen Zeile dividiert. Falls das Element der Pivot-Spalte $0$ ist wird dies vernachlässigt.
$x$$y$$z$$t$$u$$v$$w$$b_i$Rechnung
(1)$1$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1.200$$1.200:0$
(2)$0$$1$$0$$0$$1$$0$$0$$1.600$$1.600:0$
(3)$0$$0$$1$$0$$0$$1$$0$$2.000$$2.000:1=2.000$
(4)$11$$10$$15$$0$$0$$0$$1$$45.000 $$45.000:15=3.000$
(5)$900$$600$$1.200$$0$$0$$0$$0$$U$
Der kleinste Quotient steht in Zeile (3). Die Zeile (3) ist somit die Pivotzeile. Das Pivot-Element steht somit in Zeile (3) und Spalte (3). Das Pivot-Element ist somit $1$ und anschließend musst die die Zeilen so umformen, dass in Spalte (3), also in der Pivot-Spalte bis auf das Pivot-Element sonst nur $0$ steht. Durch weitere Umformungen kannst du desweiteren das Endtableau bestimmen, welches in der Aufgabenstellung bereits gegeben ist.
#lineareoptimierung
1.2.2
$\blacktriangleright$  Endtableau beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst erklären woran man erkennt, dass es sich bei dem angebenem Tableau, um ein Endtableau handelt.
Ein Endtableau liegt dann vor, wenn in der Zielfunktionszeile nur noch negative Zahlen stehen. Dies ist bei dem angegebenem Tableau der Fall und es handelt sich somit um ein Endtableau.
Stückzahlen bestimmen
Die Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ kannst du nun aus der letzten Spalte ablesen. Die Stückzahl von $F1$ beträgt somit $1.200$, die Stückzahl von $F2$ $1.420$ und die Stückzahl von $F3$ $2.000$.
Maximaler Umsatz berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den maximalen Umsatz berechnen. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die einzelnen Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ bestimmt, wenn der maximale Umsatz auftritt. Somit kannst du nun die Stückzahlen in die Zielfunktion einsetzen und den Umsatz berechnen. Die Zielfunktion ist in der letzten Spalte des Anfangstableaus gegeben. Für die Zielfunktion gilt:
$U= 900 € \cdot x + 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z$
$x$ entspricht hierbei der Stückzahl von $F1$, $y$ der Stückzahl von $F2$ und $z$ entspricht der Stückzahl von $F3$. Somit gilt für den maximalen Umsatz:
$\begin{array}[t]{rlll} U&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z \\[5pt] &=&900 € \cdot 1.200 + 600 € \cdot 1.420 + 1.200 € \cdot 2.000\\[5pt] &=&4.332.000 € \end{array}$
Der maximale Umsatz beträgt somit $4.332.000 €$.
#lineareoptimierung
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1.1
$\blacktriangleright$ Umsatzmaximum graphisch bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du das Umsatzmaximum graphisch bestimmen. Hierfür hast du verschiedene Einschränkungen und Bedingungen gegeben. Dabei
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Zielfunktion $z$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung
1. Schritt: Zielfunktion $\boldsymbol{z}$ bestimmen
Mit der Zielfunktion $z$ kannst du den Umsatz der Fahrradmanufaktur berechnen. Der Umsatz berechnet sich, indem du die Menge $x$ an Fahrrädern vom Typ $F1$ und die Menge $y$ an Fahrrädern vom Typ $F2$ mit dem jeweiligen Stückpreis multiplizierst.
$z= 900 € \cdot x+ 600 € \cdot y $
Damit du die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst, löst du die Funktion $z$ nach $y$ auf. Für $z$ kannst du zunächst einen beliebigen Wert annehmen. Wir verwenden hier den Wert Null.
$\begin{array}[t]{rlll} z&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y \\[5pt] 0&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y &\quad \mid\;-600 € \cdot y \\[5pt] -600 € \cdot y&=&900 € \cdot x&\quad \mid\; :(-600 €)\\[5pt] y&=&-1,5 x \end{array}$
2. Schritt: Nebenbedingungen bestimmen
Für die Mengen der Fahrräder von den beiden Typen wird nun eine Nebenbedingung bestimmt. Dafür verwenden wir die Variablen $x$ (Menge der Fahrräder von Typ $F1$) und $y$ (Menge der Fahrräder von Typ $F2$).
In der Aufgabe hast du die Maximalmengen der Fahrräder angegeben. Die Menge der Fahrräder kann somit kleiner gleich der Maximalmenge sein. Die Nebenbedingungen sind also Ungleichungen.
Du erhältst folgende Nebenbedingungen:
$\begin{array}[t]{rll} (1):&x&\leq&1200 \\[5pt] (2):&y&\leq&1600 \\[5pt] \end{array}$
Außerdem hast du noch gegeben, dass die Stückzahl von $F1$ $40\,\%$ der Stückzahl von $F2$ nicht überschreiten darf. Somit ergibt sich die folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (3):&x&\leq&y \cdot 0,4 \\[5pt] \end{array}$
Zusätzlich ist noch gegeben, dass der Zulieferer für Spezialstahl pro Monat bis zu $18.000$ kg liefern kann. Somit ergibt sich aus den Angaben für den Materialverbrauch für ein Fahrrad folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (4):&x \cdot 11\text{ kg} + y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg}\\[5pt] \end{array}$
Nun musst du die Ungleichungen (3) und (4) nach $y$ auflösen, damit du diese in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst.
Ungleichung (3):
$\begin{array}[t]{rll} x&\leq&y \cdot 0,4 &\quad \mid :0,4\\[5pt] 2,5x&\leq&y \\[5pt] y&\geq&2,5x \end{array}$
Ungleichung (4):
$\begin{array}[t]{rll} x \cdot 11\text{ kg} + y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg} &\quad \mid\ -(x \cdot 11\text{ kg}) \\[5pt] y \cdot 10\text{ kg}&\leq&18000 \text{ kg} - x \cdot 11\text{ kg} &\quad \mid\; :10 \text{ kg}\\[5pt] y&\leq&-1,1 \cdot x +1800\\[5pt] \end{array}$
Um das Umsatzmaximum der Fahrradmanufaktur zu bestimmen, zeichnest du die Zielfunktion $z$ und die Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem ein. Verschiebe nun die Zielfunktion $z$ so weit, bis sie alle Nebenbedingungen noch erfüllt und der Umsatz maximal ist. Die Verschiebung erfolgt parallel zu der Zielfunktion $z$.
Lineare Optimierung
Abb. 1: Umsatzmaximum
Lineare Optimierung
Abb. 1: Umsatzmaximum
In dunkelgrün ist die Fläche dargestellt, in der alle Nebenbedingungen erfüllt sind. Die unverschobene Zielfunktion $z$ liegt bereits zu beginn in der Fläche. Nun soll man den Punkt bestimmen, bei dem der Umsatz maximal wird. Somit ist der äußerste Punkt der Fläche gesucht, also dass die Zielfunktion noch alle Bedingungen erfüllt und einen maximalen Umsatz besitzt. Dieser Punkt liegt etwa bei $A(500\mid 1.250)$. Da die Stückzahlen von $F1$ und $F2$ gesucht sind, bei denen der Umsatz maximal wird, entsprechen die Koordinaten des Punktes den Stückzahlen von $F1$ und $F2$.
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(500\mid1250)$.
Somit ist der Umsatz maximal, sobald $500$ Fahrräder vom Typ $F1$ und $1.250$ Fahrräder vom Typ $F2$ verkauft werden.
$\blacktriangleright$  Umsatzmaximum berechnen
Nun sollst du das Umsatzmaximum berechnen. Zuvor hast du berechnet, dass das Umsatzmaximum auftritt, wenn $500$ Fahrräder vom Typ $F1$ und $1.250$ Fahrräder vom Typ $F2$ verkauft werden. Somit lässt sich das Umsatzmaximum durch die Zielfunktion $z$ mit $x=500$ und $y=1.250$ berechnen.
Dementsprechend gilt:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&900 € \cdot x + 600 € \cdot y \\[5pt] &=&900 € \cdot 500 + 600 € \cdot 1.250\\[5pt] &=&1.200.000 € \end{array}$
Das Umsatzmaximum beträgt somit $1.200.000 €$.
#lineareoptimierung
1.2.1
$\blacktriangleright$  Nebenbedingungen beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Nebenbedingungen beschreiben, die bei der Produktion der drei Fahrradtypen $F1$, $F2$ und $F3$ eingehalten werden müssen.
Hierzu musst du dir die Zeilen des Tableaus anschauen. Die Zeilen geben die Nebenbedingungen an. Die Schlupfvariablen sind Variablen die man einführt, um aus den Ungleichungen, welche die Nebenbedingungen angeben Gleichungen entstehen. Für die Schlupfvariablen gilt, dass deren Wert immer positiv ist. Den Wert der Schlupfvariable ist aber in den gesamten Rechnungen nicht von Bedeutung. Nun musst du die jeweiligen Zeilen betrachten, die jeweils eine Gleichung darstellt.
Aus der ersten Zeile folgt folgende Gleichung:
$x+t=1.200$
Da $t$ hierbei eine Schlupfvariable ist kann $t$ nur positiv sein. Somit folgt folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (1):&x&\leq&1200 \\[5pt] \end{array}$
Für die weiteren Zeilen gilt dies analog und somit folgen die Ungleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} (2):&y&\leq&1600 \\[5pt] (3):&z&\leq&2000 \\[5pt] (4):&11x +10y +15z&\leq&45000 \\[5pt] \end{array}$
Letzte Zeile interpretieren
Die letzte Zeile des Tableau gibt dir die Zielfunktion an. Das heißt es gibt dir für die Mengen $x$, $y$ und $z$ von Fahrrädern vom Typ $F1$, $F2$, und $F3$ den zugehörigen Umsatz an. Somit folgt für den Umsatz $U$ folgende Zielfunktion:
$U=900 € \cdot x + 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z$
Nächstes Tableau ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du das nächste Tableau mit dem Simplexverfahren bestimmen. Betrachte hierzu das gegebene Anfangstableau.
Im ersten Schritt des Simplex-Verfahrens musst du zuerst bestimmen in welcher Spalte der Zielfunktion sich die größte positive Zahl befindet. Diese Spalte wählst du dann als Pivot-Spalte.
In der Zielfunktion ist die größte positive Zahl in der Spalte (3) zu finden. Die Spalte (3) wird demnach als Pivot-Spalte gewählt. Das Element der letzten Spalten wird nun zeilenweise durch das Element aus der 3. Spalte der jeweiligen Zeile dividiert. Falls das Element der Pivot-Spalte $0$ ist wird dies vernachlässigt.
$x$$y$$z$$t$$u$$v$$w$$b_i$Rechnung
(1)$1$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1.200$$1.200:0$
(2)$0$$1$$0$$0$$1$$0$$0$$1.600$$1.600:0$
(3)$0$$0$$1$$0$$0$$1$$0$$2.000$$2.000:1=2.000$
(4)$11$$10$$15$$0$$0$$0$$1$$45.000 $$45.000:15=3.000$
(5)$900$$600$$1.200$$0$$0$$0$$0$$U$
Der kleinste Quotient steht in Zeile (3). Die Zeile (3) ist somit die Pivotzeile. Das Pivot-Element steht somit in Zeile (3) und Spalte (3). Das Pivot-Element ist somit $1$ und anschließend musst die die Zeilen so umformen, dass in Spalte (3), also in der Pivot-Spalte bis auf das Pivot-Element sonst nur $0$ steht. Durch weitere Umformungen kannst du desweiteren das Endtableau bestimmen, welches in der Aufgabenstellung bereits gegeben ist.
#lineareoptimierung
1.2.2
$\blacktriangleright$  Endtableau beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst erklären woran man erkennt, dass es sich bei dem angebenem Tableau, um ein Endtableau handelt.
Ein Endtableau liegt dann vor, wenn in der Zielfunktionszeile nur noch negative Zahlen stehen. Dies ist bei dem angegebenem Tableau der Fall und es handelt sich somit um ein Endtableau.
Stückzahlen bestimmen
Die Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ kannst du nun aus der letzten Spalte ablesen. Die Stückzahl von $F1$ beträgt somit $1.200$, die Stückzahl von $F2$ $1.420$ und die Stückzahl von $F3$ $2.000$.
Maximaler Umsatz berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den maximalen Umsatz berechnen. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die einzelnen Stückzahlen für $F1$, $F2$ und $F3$ bestimmt, wenn der maximale Umsatz auftritt. Somit kannst du nun die Stückzahlen in die Zielfunktion einsetzen und den Umsatz berechnen. Die Zielfunktion ist in der letzten Spalte des Anfangstableaus gegeben. Für die Zielfunktion gilt:
$U= 900 € \cdot x + 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z$
$x$ entspricht hierbei der Stückzahl von $F1$, $y$ der Stückzahl von $F2$ und $z$ entspricht der Stückzahl von $F3$. Somit gilt für den maximalen Umsatz:
$\begin{array}[t]{rlll} U&=&900 € \cdot x+ 600 € \cdot y + 1.200 € \cdot z \\[5pt] &=&900 € \cdot 1.200 + 600 € \cdot 1.420 + 1.200 € \cdot 2.000\\[5pt] &=&4.332.000 € \end{array}$
Der maximale Umsatz beträgt somit $4.332.000 €$.
#lineareoptimierung
Bildnachweise [nach oben]
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