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Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung 2

Vektorgeometrie

Aufgaben
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1
Ein Maibaum auf einem ebenen Dorfplatz soll mit drei Seilen in den Punkten $A$, $B$ und $C$ am Boden gesichert werden. Die Seile werden außerdem in einem Punkt $S\;(0\;|\;0\;|\;h)$ in der Höhe $h$ über dem Dorfplatz an dem Baum befestigt.
Der Maibaum steht senkrecht zum Dorfplatz.
In einem passenden Koordinatensystem ( 1 Einheit = 1 Meter) steht der Maibaum im Ursprung $O$ und es sind $A\;(1\;|\;2\;|\;0)$ und $B\;(-2\;|\;-1\;|0)$.
Skizze Maibaum:
1.1
$S$ soll nun in $3\,\text{m}$ Höhe liegen.
Bestimme eine Gleichung der Ebene, die das Dreieck $BSA$ enthält.
An dem Seil $AS$ werden farbige Bändchen befestigt. Jeweils zwei benachbarte Bändchen sind an Stellen angebracht, die einen Abstand von $30\,\text{cm}$ haben.
Wie viele Bändchen können maximal angebracht werden?
(5P)
#ebenengleichung
1.2
In welcher Höhe $h$ müssen die Seile $AS$ und $BS$ am Baum befestigt werden, damit sie in $S$ einen rechten Winkel einschließen?
(4P)
1.3
Zeige, dass jeder Punkt der Geraden $m$ mit $\overrightarrow{x}=k\cdot \pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0}$ für $k \in \mathbb{R}$ zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand hat.
Sei $h = 3$. Bestimme die Koordinaten möglicher Punkte $C$ am Boden, sodass $C$ von $A$ und $B$ jeweils den gleichen Abstand hat und alle drei Seile $AS$, $BS$ und $CS$ die gleiche Länge haben.
Für welchen dieser Punkte $C$ liegt $O$ im Inneren des Dreiecks $ABC$?
(6P)

(15P)
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung aufstellen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Gleichung der Ebene aufstellen, welche die Punkte $BSA$ enthält. Dazu wählst du einen beliebigen Ortsvektoren der drei Punkte als Stützvektor der Ebene. Zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten kannst du als Spannvektoren wählen. Du kannst beispielsweise den Punkt $S$ als Stützpunkt wählen.
$\begin{array}[t]{rll} E(x)&=& \overrightarrow{OS} + r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{S}\right)+t\cdot\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ E(x)= … $
$\blacktriangleright$  Bändchenanzahl bestimmen
Du sollst bestimmen, wie viele farbige Bändchen am Seil $AS$ befestigt werden können. Der Abstand der Bändchen beträgt je $30$ cm.
Berechne also die Länge der Strecke $AS$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
1.2
$\blacktriangleright$  Höhe $h$ bestimmen
Du sollst die Höhe $h$ so bestimmen, dass die Seile $AS$ und $BS$ am Punkt $S$ einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren ist Null. Also kannst du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden und dies Null setzen.
Zuerst bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $BS$ in abhängigkeit von $h$.
Dann bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $AS$ in abhängigkeit von $h$.
Jetzt stellst du das Skalarprodukt auf und setzt es gleich Null.
1.3
$\blacktriangleright$  Abstand der Geraden m zu A und B bestimmen
Du sollst zeigen das alle Punkte auf der Geraden $m$ den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Dies kannst du zeigen, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bestimmst und zeigst, dass er senkrecht auf der Geraden $m$ steht.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $C$ bestimmen
Du sollst die Koordinaten möglicher Punkte $C$ so bestimmen, das sie den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Außerdem sollen die Vektoren $\overrightarrow{AS}$, $\overrightarrow{BS}$ und $\overrightarrow{CS}$ die gleiche Länge haben.
  1. Den gleichen Abstand von $A$ und $B$ erhältst du, wenn der Punkt auf der Geraden $m$ liegt. Das hast du im vorherigen Aufgabenteil gezeigt. Die Gerade $m$ ist genau die 2. Hauptdiagonale. Also gilt für alle Punkte auf $m$: $x= -y$ was du auch aus der Geradengleichung ablesen kannst.
  2. Du bestimmst die Länge des Vektors $\overrightarrow{CS}$ indem du $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ bzw. $\mid \overrightarrow{BS}\mid$ bestimmst. Die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$ kennst du aus Aufgabenteil 1.1. sie lautet: $\mid \overrightarrow{AS}\mid = \sqrt{14}$
  3. Du kannst den Vektor $\overrightarrow{CS}$ aufstellen und deren Betrag mit $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ gleichsetzen.
$\blacktriangleright$  Für welchen Punkt $C$ liegt $O$ im Dreieck
Du sollst bestimmen für welchen Punkt $C$ der Punkt $O$ $\left(0\mid 0 \mid 0 \right)$ im inneren des Dreiecks liegt. Dazu kannst du einfach eine Skizze anfertigen.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung aufstellen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Gleichung der Ebene aufstellen, welche die Punkte $BSA$ enthält. Dazu wählst du einen beliebigen Ortsvektoren der drei Punkte als Stützvektor der Ebene. Zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten kannst du als Spannvektoren wählen. Du kannst beispielsweise den Punkt $S$ als Stützpunkt wählen.
$\begin{array}[t]{rll} E(x)&=& \overrightarrow{OS} + r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{S}\right)+t\cdot\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}\right) \\[5pt] E(x)&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r\cdot \left(\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}\right)+t\cdot\left(\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 0}-\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}\right) \\[5pt] E(x)&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r\cdot \pmatrix{1 \\ 2 \\ -3}+t\cdot\pmatrix{-2 \\ -1 \\ -3} \\[5pt] \end{array}$
$ E(x)= … $
$\blacktriangleright$  Bändchenanzahl bestimmen
Du sollst bestimmen, wie viele farbige Bändchen am Seil $AS$ befestigt werden können. Der Abstand der Bändchen beträgt je $30$ cm.
Berechne also die Länge der Strecke $AS$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{A}-\overrightarrow{S} \\[5pt] &=&\pmatrix{1-0 \\ 2-0 \\ 0-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 2 \\ -3}\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Strecke bestimmst du, indem du den Betrag des Richtungsvektors bestimmst.
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AS}|&=& \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} \\[5pt] |\overrightarrow{AS}|&=&\sqrt{14} \\[5pt] \end{array}$
Die Bändchen werden im Abstand von $30\,\text{cm}$ angebracht. Die Länge des Seils hast du in Metern berechnet, da eine Längeneinheit einem Meter entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} n&=&\sqrt{14}: 0,3 \\[5pt] n&\approx& 12,47 \\[5pt] \end{array}$
Es können maximal 12 Bändchen am Seil $AS$ befestigt werden.
#ebenengleichung
1.2
$\blacktriangleright$  Höhe $h$ bestimmen
Du sollst die Höhe $h$ so bestimmen, dass die Seile $AS$ und $BS$ am Punkt $S$ einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren ist Null. Also kannst du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden und dies Null setzen.
Zuerst bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $BS$ in abhängigkeit von $h$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BS}&=& \overrightarrow{S}+r\cdot\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{BS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2-0 \\ -1-0 \\ 0-h}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{BS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{BS}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} $
Dann bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $AS$ in abhängigkeit von $h$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{S}+r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{1-0 \\ 2-0 \\ 0-h}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{1 \\ 2 \\ -h} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt stellst du das Skalarprodukt auf und setzt es gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BS}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} \cdot\pmatrix{1 \\ 2 \\ -h}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left( (-2)\cdot 1+(-1)\cdot 2 + (-h)\cdot (-h)\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (-4) + (-h)^2&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (-h)^2&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] h&=& \sqrt{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] h&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ h = 2 $
Die beiden Seile schließen also für $h$=2 einen rechten Winkel ein.
#skalarprodukt
1.3
$\blacktriangleright$  Abstand der Geraden m zu A und B bestimmen
Du sollst zeigen das alle Punkte auf der Geraden $m$ den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Dies kannst du zeigen, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bestimmst und zeigst, dass er senkrecht auf der Geraden $m$ steht.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OA}+r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{1-(-2) \\ 2-(-1) \\ 0-0}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0 }&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}=\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0 } $
Jetzt stellst du das Skalarprodukt $\overrightarrow{AB}\cdot m$ auf und schaust ob es Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0} \cdot\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& \left( 3\cdot (-1)+3\cdot 1 + 0\cdot 0\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}=0 $
Da die Geraden senkrecht aufeinander stehen ist der Abstand von jedem Geradenpunkt zu $A$ und $B$ gleich.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $C$ bestimmen
Du sollst die Koordinaten möglicher Punkte $C$ so bestimmen, das sie den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Außerdem sollen die Vektoren $\overrightarrow{AS}$, $\overrightarrow{BS}$ und $\overrightarrow{CS}$ die gleiche Länge haben.
  1. Den gleichen Abstand von $A$ und $B$ erhältst du, wenn der Punkt auf der Geraden $m$ liegt. Das hast du im vorherigen Aufgabenteil gezeigt. Die Gerade $m$ ist genau die 2. Hauptdiagonale. Also gilt für alle Punkte auf $m$: $x= -y$ was du auch aus der Geradengleichung ablesen kannst.
  2. Du bestimmst die Länge des Vektors $\overrightarrow{CS}$ indem du $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ bzw. $\mid \overrightarrow{BS}\mid$ bestimmst. Die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$ kennst du aus Aufgabenteil 1.1. sie lautet: $\mid \overrightarrow{AS}\mid = \sqrt{14}$
  3. Du kannst den Vektor $\overrightarrow{CS}$ aufstellen und deren Betrag mit $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CS}&=& \overrightarrow{OS}+r\cdot\left(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{x-0 \\ y-0 \\ 0-3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{x \\ -x \\ -3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt bestimmst du den Betrag $\mid \overrightarrow{CS} \mid$.
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{CS} \mid&=& \sqrt{x^2+(-x)^2+(-3)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \mid \overrightarrow{CS} \mid=0 $
Nun setzten wir $\mid AS\mid$ und $\mid CS\mid$ gleich.
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{AS} \mid&=& \mid \overrightarrow{CS} \mid &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{14}&=&\sqrt{x^2+(-x)^2+9} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{14}&=&\sqrt{2x^2+9} &\quad \scriptsize \\[5pt] 14&=& 2x^2+9 &\quad \scriptsize \\[5pt] 5&=& 2x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2&=&\frac{5}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=&\pm \sqrt{\frac{5}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kennst nun die $x$-Koordinate von $C$, die $y$-Koordinate ist gerade $-x$.
Der Punkt $C_1$ hat die Koordinaten $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\left | -\sqrt{\frac{5}{2}}\right | 0\right)$
Der Punkt $C_2$ hat die Koordinaten $\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\left | \sqrt{\frac{5}{2}}\right | 0\right)$
$\blacktriangleright$  Für welchen Punkt $C$ liegt $O$ im Dreieck
Du sollst bestimmen für welchen Punkt $C$ der Punkt $O$ $\left(0\mid 0 \mid 0 \right)$ im inneren des Dreiecks liegt. Dazu kannst du einfach eine Skizze anfertigen.
Vektorgeometrie
Abb. 1 Skizze der Grundfläche
Vektorgeometrie
Abb. 1 Skizze der Grundfläche
Du kannst erkennen, dass der Punkt $O$ für $C_1$ = $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\mid -\sqrt{\frac{5}{2}}\mid 0\right)$ im Inneren des Dreiecks liegt.
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$\blacktriangleright$  Ebenengleichung aufstellen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Gleichung der Ebene aufstellen, welche die Punkte $BSA$ enthält. Dazu wählst du einen beliebigen Ortsvektoren der drei Punkte als Stützvektor der Ebene. Zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten kannst du als Spannvektoren wählen. Du kannst beispielsweise den Punkt $S$ als Stützpunkt wählen.
$\begin{array}[t]{rll} E(x)&=& \overrightarrow{OS} + r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{S}\right)+t\cdot\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}\right) \\[5pt] E(x)&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r\cdot \left(\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}\right)+t\cdot\left(\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 0}-\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}\right) \\[5pt] E(x)&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r\cdot \pmatrix{1 \\ 2 \\ -3}+t\cdot\pmatrix{-2 \\ -1 \\ -3} \\[5pt] \end{array}$
$ E(x)= … $
$\blacktriangleright$  Bändchenanzahl bestimmen
Du sollst bestimmen, wie viele farbige Bändchen am Seil $AS$ befestigt werden können. Der Abstand der Bändchen beträgt je $30$ cm.
Berechne also die Länge der Strecke $AS$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{A}-\overrightarrow{S} \\[5pt] &=&\pmatrix{1-0 \\ 2-0 \\ 0-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 2 \\ -3}\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Strecke bestimmst du, indem du den Betrag des Richtungsvektors bestimmst.
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AS}|&=& \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} \\[5pt] |\overrightarrow{AS}|&=&\sqrt{14} \\[5pt] \end{array}$
Die Bändchen werden im Abstand von $30\,\text{cm}$ angebracht. Die Länge des Seils hast du in Metern berechnet, da eine Längeneinheit einem Meter entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} n&=&\sqrt{14}: 0,3 \\[5pt] n&\approx& 12,47 \\[5pt] \end{array}$
Es können maximal 12 Bändchen am Seil $AS$ befestigt werden.
#ebenengleichung
1.2
$\blacktriangleright$  Höhe $h$ bestimmen
Du sollst die Höhe $h$ so bestimmen, dass die Seile $AS$ und $BS$ am Punkt $S$ einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren ist Null. Also kannst du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden und dies Null setzen.
Zuerst bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $BS$ in abhängigkeit von $h$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BS}&=& \overrightarrow{S}+r\cdot\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{BS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2-0 \\ -1-0 \\ 0-h}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{BS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{BS}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} $
Dann bestimmst du den Richtungsvektor der Strecke $AS$ in abhängigkeit von $h$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{S}+r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{1-0 \\ 2-0 \\ 0-h}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{1 \\ 2 \\ -h} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt stellst du das Skalarprodukt auf und setzt es gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BS}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{-2 \\ -1 \\ -h} \cdot\pmatrix{1 \\ 2 \\ -h}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left( (-2)\cdot 1+(-1)\cdot 2 + (-h)\cdot (-h)\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (-4) + (-h)^2&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (-h)^2&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] h&=& \sqrt{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] h&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ h = 2 $
Die beiden Seile schließen also für $h$=2 einen rechten Winkel ein.
#skalarprodukt
1.3
$\blacktriangleright$  Abstand der Geraden m zu A und B bestimmen
Du sollst zeigen das alle Punkte auf der Geraden $m$ den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Dies kannst du zeigen, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bestimmst und zeigst, dass er senkrecht auf der Geraden $m$ steht.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OA}+r\cdot\left(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{1-(-2) \\ 2-(-1) \\ 0-0}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0 }&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}=\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0}+r \cdot \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0 } $
Jetzt stellst du das Skalarprodukt $\overrightarrow{AB}\cdot m$ auf und schaust ob es Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& \pmatrix{3 \\ 3 \\ 0} \cdot\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& \left( 3\cdot (-1)+3\cdot 1 + 0\cdot 0\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{m}=0 $
Da die Geraden senkrecht aufeinander stehen ist der Abstand von jedem Geradenpunkt zu $A$ und $B$ gleich.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $C$ bestimmen
Du sollst die Koordinaten möglicher Punkte $C$ so bestimmen, das sie den gleichen Abstand von $A$ und $B$ haben. Außerdem sollen die Vektoren $\overrightarrow{AS}$, $\overrightarrow{BS}$ und $\overrightarrow{CS}$ die gleiche Länge haben.
  1. Den gleichen Abstand von $A$ und $B$ erhältst du, wenn der Punkt auf der Geraden $m$ liegt. Das hast du im vorherigen Aufgabenteil gezeigt. Die Gerade $m$ ist genau die 2. Hauptdiagonale. Also gilt für alle Punkte auf $m$: $x= -y$ was du auch aus der Geradengleichung ablesen kannst.
  2. Du bestimmst die Länge des Vektors $\overrightarrow{CS}$ indem du $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ bzw. $\mid \overrightarrow{BS}\mid$ bestimmst. Die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$ kennst du aus Aufgabenteil 1.1. sie lautet: $\mid \overrightarrow{AS}\mid = \sqrt{14}$
  3. Du kannst den Vektor $\overrightarrow{CS}$ aufstellen und deren Betrag mit $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CS}&=& \overrightarrow{OS}+r\cdot\left(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{S}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{x-0 \\ y-0 \\ 0-3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ 3}+r \cdot \pmatrix{x \\ -x \\ -3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt bestimmst du den Betrag $\mid \overrightarrow{CS} \mid$.
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{CS} \mid&=& \sqrt{x^2+(-x)^2+(-3)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \mid \overrightarrow{CS} \mid=0 $
Nun setzten wir $\mid AS\mid$ und $\mid CS\mid$ gleich.
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{AS} \mid&=& \mid \overrightarrow{CS} \mid &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{14}&=&\sqrt{x^2+(-x)^2+9} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{14}&=&\sqrt{2x^2+9} &\quad \scriptsize \\[5pt] 14&=& 2x^2+9 &\quad \scriptsize \\[5pt] 5&=& 2x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2&=&\frac{5}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=&\pm \sqrt{\frac{5}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kennst nun die $x$-Koordinate von $C$, die $y$-Koordinate ist gerade $-x$.
Der Punkt $C_1$ hat die Koordinaten $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\left | -\sqrt{\frac{5}{2}}\right | 0\right)$
Der Punkt $C_2$ hat die Koordinaten $\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\left | \sqrt{\frac{5}{2}}\right | 0\right)$
$\blacktriangleright$  Für welchen Punkt $C$ liegt $O$ im Dreieck
Du sollst bestimmen für welchen Punkt $C$ der Punkt $O$ $\left(0\mid 0 \mid 0 \right)$ im inneren des Dreiecks liegt. Dazu kannst du einfach eine Skizze anfertigen.
Vektorgeometrie
Abb. 1 Skizze der Grundfläche
Vektorgeometrie
Abb. 1 Skizze der Grundfläche
Du kannst erkennen, dass der Punkt $O$ für $C_1$ = $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\mid -\sqrt{\frac{5}{2}}\mid 0\right)$ im Inneren des Dreiecks liegt.
Bildnachweise [nach oben]
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