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Analysis 2.2

Aufgaben
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Designersessel

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=ax^3-14ax^2+3,42x$;   $a\in\mathbb{R}$, $a>0$.
Drei Graphen der Schar sind in der Abbildung dargestellt.
a)  Weise nach, dass alle Graphen der Schar bei $x_n=0$ dieselbe Steigung haben.
Einer der Graphen der Schar hat außer $x_n=0$ genau eine weitere Nullstelle.
Berechne den Parameterwert dieser Funktion gerundet auf zwei Nachkommastellen.
Analysis 2.2
Analysis 2.2
(9P)
b)  Jeder Graph der Schar hat genau einen Wendepunkt. Bestimme seine Koordinaten und weise damit nach, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen. Gib die Gleichung dieser Geraden an.
Einer der Graphen der Schar hat an der Stelle $x_e=3$ einen Hochpunkt.
Bestimme für die zu diesem Graphen gehörende Funktion $f_a$ die Funktionsgleichung.
(11P)
Der abgebildete Designersessel hat Seitenflächen, die für $0\leq x \leq9$ aus der Fläche unter dem Graphen von $f_{0,06}$ der gegebenen Funktionenschar (oberster Graph in der oberen Abbildung) und für $9< x\leq9,5$ aus einem angesetzten Rechteck von $5\,\text{cm}$ Breite bestehen $(1\,\text{LE}=10\,\text{cm})$.
c)  Bestimme die Gesamthöhe des Sessels und ermittle, wie hoch der Sessel an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ist (Angaben in cm).
Analysis 2.2
Analysis 2.2
(7P)
d)  Berechne die Größe der in der Abbildung sichtbaren Seitenfläche (Angabe in $\text{m}^2$). Diese Seitenfläche enthält auch die $5\,\text{cm}$ breite Rechteckfläche am hinteren Rand.
Die Seitenfläche soll grafisch neu gestaltet werden. Für die Grafik wird ein achsenparalleles Rechteck der Größe $85\,\text{cm}$ x $30\,\text{cm}$ benötigt.
Untersuche, ob ein solches Rechteck auf die Seitenfläche passt.
(8P)
e)  Für jede Stelle $x_1$ im Fußbereich $(x_1<3)$ gibt es eine Stelle $x_2$ im Lehnenbereich $(x_2>6,3)$ mit gleicher Steigung.
Weise für $f_{0,06}$ nach, dass für je zwei $x$-Werte $x_1$ und $x_2$, bei denen die Steigung gleich ist, gilt:
$x_1+x_2=\dfrac{28}{3}$.
(5P)

(40P)
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Tipps
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a) 
$\blacktriangleright$  Dieselbe Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen einer Funktion wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Berechne also $f_a'(0)$. Ist dieses Ergebnis unabhängig von $a$, so ist die Steigung bei allen Graphen an der Stelle $x_n =0$ gleich.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Gesucht ist $a$, sodass die Gleichung $f_a(x) =0$ außer $x_n =0$ nur genau eine weitere Lösung besitzt. Forme die Gleichung soweit um, bis du eine Aussage über $a$ treffen kannst:
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts bestimmen
Wende zur Bestimmung der Wendestelle die entsprechenden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Zum Schluss musst du noch die $y$-Koordinate berechnen.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade der Wendepunkte bestimmen
Damit alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, müssen sie dieselbe $x$-Koordinate besitzen. Betrachte also die $x$-Koordinate von $W_a$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme $a$, sodass die beiden Bedingungen für einen Hochpunkt an der Stelle $x_e=3$ erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) < 0$
c) 
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe bestimmen
Die Gesamthöhe $h_{\text{Gesamt}}$ ergibt sich aus dem größten Funktionswert von $f_{0,06}$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 9$. Der Skizze kannst du entnehmen, dass dieser am Rand des Intervalls bei $x =9$ gegeben ist.
$\blacktriangleright$  Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche bestimmen
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ergibt sich aus der $y$-Koordinate des lokalen Tiefpunktes des Graphen von $f_{0,06}$. Wende zur Berechnung der Koordinaten die beiden Bedingungen für lokale Tiefpunkte an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_T) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_T)> 0$
d) 
$\blacktriangleright$  Größe der Seitenfläche berechnen
Die Seitenfläche des Sessels setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  1. $A_1$: Inhalt der Rechtecksfläche am hinteren Rand
  2. $A_2$: Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{0,06}$ und der $x$-Achse zwischen $x_1 =0$ und $x_2 = 9$
$A_2$ lässt sich mit einem Integral berechnen.
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob das Rechteck auf die Seitenfläche passt
Legt man das Rechteck so tief wie möglich, liegt es direkt auf der $x$-Achse und wird nach oben hin durch die Gerade mit der Gleichung $y = 3$ begrenzt. Weil die Sitzfläche mit $32\,$ cm gerade hoch genug liegt, kann nur noch der linke Rand des Sessels das Rechteck schneiden.
Legt man das Rechteck so weit nach rechts wie möglich, wird es durch die Gerade zu $x = 9,5 $ begrenzt und darf dann nur bis zur Gerade zu $x = 1$ reichen. Konkret bedeutet dies, dass $f_{0,06}$ an der Stelle $x =1$ mindestens einen Funktionswert von $3$ annehmen muss.
e) 
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Laut Aufgabenstellung soll gelten $f_{0,06}'(x_1) = f_{0,06}'(x_2)$. Forme diese Gleichung so weit um, bis du das gewünschte Ergebnis erhältst.
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a) 
$\blacktriangleright$  Dieselbe Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen einer Funktion wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Berechne also $f_a'(0)$. Ist dieses Ergebnis unabhängig von $a$, so ist die Steigung bei allen Graphen an der Stelle $x_n =0$ gleich.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&ax^3-14ax^2+3,42x \quad \scriptsize \\[10pt] f'_a(x)&=& 3ax^2-28ax+3,42 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Steigung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(0)&=& 3a\cdot 0^2-28a\cdot 0+3,42\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3,42 \end{array}$
Die Steigung aller Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_n=0$ beträgt $3,42$. Da dieser Wert nicht abhängig vom Parameter $a$ ist, ist die Steigung also bei jedem Graph an dieser Stelle gleich.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Gesucht ist $a$, sodass die Gleichung $f_a(x) =0$ außer $x_n =0$ nur genau eine weitere Lösung besitzt. Forme die Gleichung soweit um, bis du eine Aussage über $a$ treffen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] ax^3-14ax^2+3,42x&=&0 \quad \scriptsize\\[5pt] x\cdot \left(ax^2-14ax+3,42\right)&=& 0\quad \scriptsize x_n =0 \\[5pt] ax^2-14ax+3,42&=&0 \quad \scriptsize \mid\; :a (> 0) \\[5pt] x^2-14x+\dfrac{3,42}{a} &=& 0\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{-14}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-14}{2}\right)^2-\dfrac{3,42}{a} } \quad \scriptsize \\[5pt] x_{1/2}&=&7\pm \sqrt{49-\dfrac{3,42}{a} } \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Schau dir diese Gleichung nun genau an:
$x_1$ und $x_2$ sind genau dann gleich, wenn der Ausdruck unter der Wurzel insgesamt $0$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 49-\dfrac{3,42}{a}&=&0 \quad & \scriptsize \mid\; + \dfrac{3,42}{a} \\[5pt] 49&=&\dfrac{3,42}{a} \quad &\scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] 49\cdot a&=& 3,42\quad &\scriptsize \mid\;: 49 \\[5pt] a&\approx 0,07& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Parameterwert für $a$, für den der Graph von $f_a$ außer $x_n=0$ noch genau eine weitere Nullstelle besitzt beträgt $a \approx 0,07$
b) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts bestimmen
Wende zur Bestimmung der Wendestelle die entsprechenden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Zum Schluss musst du noch die $y$-Koordinate berechnen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 3ax^2-28ax+3,42\quad \scriptsize \\[10pt] f_a''(x)&=&6ax-28a \quad \scriptsize \\[10pt] f_a'''(x)&=&6a \quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ liefert mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f_a''(x_W) \quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&6ax_W-28a \quad &\scriptsize \mid\;:a (> 0) \\[5pt] 0&=&6x_W-28 \quad &\scriptsize \mid\;+28 \\[5pt] 28&=&6x_W \quad &\scriptsize \mid\; :6\\[5pt] \dfrac{14}{3}&=&x_W \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Hier ist es nicht notwendig die hinreichende Bedingung zu überprüfen, da es nur eine mögliche Wendestelle gibt und in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph von $f_a$ genau einen Wendepunkt besitzt. Du kannst die Bedingungen allerdings trotzdem nachrechnen, um gegebenenfalls dein Ergebnis zu überprüfen:
Einsetzen von $x_W= \dfrac{14}{3}$ in $f_a'''(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x_W)&=&6a \quad \scriptsize \mid\; a > 0 \\[5pt] &> &0 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f_a(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x_W)&=&f_a\left(\dfrac{14}{3}\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &=&a\left(\dfrac{14}{3}\right)^3-14a\left(\dfrac{14}{3}\right)^2+3,42\cdot\dfrac{14}{3} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& -\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ergeben sich zu $W_a\left(\dfrac{14}{3}\mid -\dfrac{5.488}{27}\cdot a + \dfrac{399}{25}\right)$.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade der Wendepunkte bestimmen
Damit alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, müssen sie dieselbe $x$-Koordinate besitzen. Betrachte also die $x$-Koordinate von $W_a$.
Die $x$-Koordinate $x_W = \dfrac{14}{3}$ der Wendepunkte der Graphen von $f_a$ ist unabhängig von $a$ und damit bei allen Graphen gleich. Die Punkte $W_a$ liegen demnach alle auf der Geraden mit der Gleichung $x = \dfrac{14}{3}$, welche parallel zur $y$-Achse verläuft.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme $a$, sodass die beiden Bedingungen für einen Hochpunkt an der Stelle $x_e=3$ erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) < 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen mit $0$ und Einsetzen von $x_e = 3$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(3)&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] 3a\cdot 3^2-28a\cdot 3+3,42&=& 0 \quad \scriptsize \\[5pt] -57a+3,42&=& \quad &\scriptsize \mid\;+57a \\[5pt] 3,42&=& 57a\quad& \scriptsize \mid\; :57 \\[5pt] 0,06&=&a \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Da laut Aufgabenstellung ein Graph einen Hochpunkt an der Stelle $x_e=3$ besitzt, muss hier die hinreichende Bedingung nicht mehr überprüft werden.
Zur Überprüfung kannst du diese Bedingung aber nachrechnen und erhältst:
$f_{0,06}''(3) = 6\cdot 0,06\cdot 3-28\cdot 0,06 = -0,6 < 0$
Die Funktionsgleichung der Funktion $f_a$, deren Graph bei $x_e=3$ einen Hochpunkt besitzt, lautet:
$f_{0,06}(x) = 0,06x^3-14\cdot 0,06x^2+3,42x = 0,06x^3-0,84x^2+3,42x$
c) 
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe bestimmen
Die Gesamthöhe $h_{\text{Gesamt}}$ ergibt sich aus dem größten Funktionswert von $f_{0,06}$ im angegebenen Intervall $0\leq x \leq 9$. Der Skizze kannst du entnehmen, dass dieser am Rand des Intervalls bei $x =9$ gegeben ist.
$f_{0,06}(9) = 0,06\cdot 9^3-0,84\cdot 9^2+3,42\cdot 9 = 6,48$
Mit dem angegebenen Maßstab ergibt sich:
$h_{\text{Gesamt}} = 6,48 \cdot 10 \,$cm $ = 64,8\,$ cm
Die Gesamthöhe des Sessels beträgt $64,8\,$ cm.
$\blacktriangleright$  Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche bestimmen
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ergibt sich aus der $y$-Koordinate des lokalen Tiefpunktes des Graphen von $f_{0,06}$. Wende zur Berechnung der Koordinaten die beiden Bedingungen für lokale Tiefpunkte an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_T) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_T)> 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&f'_{0,06}(x) \quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& 3\cdot 0,06\cdot x^2-28\cdot 0,06\cdot x+3,42 \quad \scriptsize\\[5pt] 0&=& 0,18x^2-1,68x+3,42\quad &\scriptsize \mid\; :0,18\\[5pt] 0&=&x^2-\frac{28}{3}x+19 \quad &\scriptsize p-q-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=&\frac{\frac{28}{3}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\frac{28}{3}}{2}\right)^2-19 } \quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\frac{14}{3}+\frac{5}{3} = \frac{19}{3}\\ x_2&=&\frac{14}{3}-\frac{5}{3}= \frac{9}{3} = 3 = x_e\end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Da sich an der Stelle $x_e = 3$ laut Aufgabenteil a) ein Hochpunkt des Graphen von $f_{0,06}$ befindet, muss nun nur noch die andere Nullstelle überprüft werden:
$\begin{array}[t]{rll} f''_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)&=& 6\cdot 0,06\cdot \frac{19}{3}-28\cdot 0,06 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,6 >0\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f_{0,06}(x)$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,06}\left(\frac{19}{3}\right)&=& 0,06\left(\frac{19}{3}\right)^3-0,84\left(\frac{19}{3}\right)^2+3,42\left(\frac{19}{3}\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 3,2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Höhe ergibt sich dann mit Hilfe des Maßstabs:
$h = 3,2 \cdot 10\,$ cm $=32\,$ cm.
Die Höhe an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche beträgt ca. $32\,$ cm.
d) 
$\blacktriangleright$  Größe der Seitenfläche berechnen
Die Seitenfläche des Sessels setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  1. $A_1$: Inhalt der Rechtecksfläche am hinteren Rand
  2. $A_2$: Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{0,06}$ und der $x$-Achse zwischen $x_1 =0$ und $x_2 = 9$
$A_2$ lässt sich mit einem Integral berechnen.
1. Schritt: $A_1$ berechnen
Die Breite der Rechtsecksfläche ist laut Aufgabenstellung $b = 5\,$ cm. Die Länge ergibt sich aus der Gesamthöhe des Sessels $a = 64,8\,$ cm.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&5\,\text{cm}\cdot 64,8\,\text{cm} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&324\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: $A_2$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{9}f_{0,06}(x)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{9}\left(0,06x^3-0,84x^2+3,42x\right)\;\mathrm dx \quad \scriptsize \\[5pt] &=&[0,015x^4-0,28x^3+1,71x^2]_0^9 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&0,015\cdot 9^4-0,28\cdot9^3+1,71\cdot9^2 - \left(0,015\cdot0^4-0,28\cdot0^3+1,71\cdot0^2\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &=&32,805 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt ergibt sich also mit $A_2 = 32,805\,$ [FE] $= 3.280,5\,$cm$^2$:
$A = A_1 +A_2 = 324 \,\text{cm}^2+ 3.280,5\,\text{cm}^2 $ $=3.604,5\,$ cm$^2 \approx 0,36\,$m$^2$
Die Seitenfläche hat eine Größe von ca. $0,36\,$m$^2$.
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob das Rechteck auf die Seitenfläche passt
Legt man das Rechteck so tief wie möglich, liegt es direkt auf der $x$-Achse und wird nach oben hin durch die Gerade mit der Gleichung $y = 3$ begrenzt. Weil die Sitzfläche mit $32\,$ cm gerade hoch genug liegt, kann nur noch der linke Rand des Sessels das Rechteck schneiden.
Legt man das Rechteck so weit nach rechts wie möglich, wird es durch die Gerade zu $x = 9,5 $ begrenzt und darf dann nur bis zur Gerade zu $x = 1$ reichen. Konkret bedeutet dies, dass $f_{0,06}$ an der Stelle $x =1$ mindestens einen Funktionswert von $3$ annehmen muss.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,06}(1)&=& 0,06\cdot1^3-0,84\cdot 1^2+3,42\cdot1 \quad \scriptsize\\[5pt] &=&0,06-0,84+3,42 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,64 < 3\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da $f_{0,06}(1) = 2,64 > 3 $ ist, passt das Rechteck nicht auf die Seitenfläche.
e) 
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Laut Aufgabenstellung soll gelten $f_{0,06}'(x_1) = f_{0,06}'(x_2)$. Forme diese Gleichung so weit um, bis du das gewünschte Ergebnis erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,06}'(x_1)&=&f_{0,06}'(x_2) \quad \scriptsize \\[5pt] \scriptsize 3\cdot0,06\cdot x_1^2-28\cdot 0,06\cdot x_1+3,42&=& \scriptsize 3\cdot 0,06\cdot x_2^2-28\cdot0,06\cdot x_2+3,42 \quad &\scriptsize \mid\;-3,42 \\[5pt] 0,18x_1^2-1,68x_1&=& 0,18x_2^2-1,68x_2\quad &\scriptsize \mid\; -0,18x_2^2\quad  +1,68x_2\\[5pt] 0,18(x_1^2-x_2^2)-1,68(x_1-x_2)&=&0 \quad &\scriptsize \\[5pt] \scriptsize 0,18\left((x_1+x_2)\cdot (x_1-x_2)\right)-1,68(x_1-x_2)&=& \scriptsize0 \quad &\scriptsize \mid\;:(x_1-x_2)\neq 0 \\[5pt] 0,18(x_1+x_2)-1,68&=&0 \quad &\scriptsize \mid\; +1,68\\[5pt] 0,18(x_1 +x_2)&=&1,68 \quad &\scriptsize \mid\; : 0,18\\[5pt] x_1 +x_2&=&\frac{28}{3} \quad &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit ist die Gleichung nachgewiesen.
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