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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Zufallsexperimente

Lisa und Tom haben im Fundus der Schule einen Würfel und zwei Glücksräder (siehe Abbildung) gefunden. Sie führen damit verschiedene Zufallsexperimente durch.
Stochastik 3.2
Abb. 1: $W$
Stochastik 3.2
Abb. 1: $W$
Stochastik 3.2
Abb. 3: $G2$
Stochastik 3.2
Abb. 3: $G2$
#zufallsexperiment
a)
Im ersten Experiment würfelt Tom zunächst mit dem Würfel $W,$ anschließend dreht Lisa dasjenige Glücksrad, das der Würfel anzeigt (zeigt $W$ z. B. „1“, so wird $G1$ gedreht).
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Der Würfel $W$ zeigt „2“ und das Glücksrad $G2$ zeigt anschließend „Rot“.
Das Glücksrad, das entsprechend dem Würfelergebnis gedreht wird, zeigt „Weiß“ oder „Rot“.
(5 BE)
b)
In einem neuen Experiment wirft Tom den Würfel $W$ und Lisa dreht gleichzeitig das Glücksrad $G2.$ Von den jetzt möglichen sechs Ergebnissen haben drei die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ermittle diese drei Ergebnisse.
(3 BE)
c)
Jetzt dreht Lisa das Glücksrad $G1$ zehnmal. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Das Glücksrad $G1$ zeigt genau viermal „Rot“.
Das Glücksrad $G1$ zeigt mindestens fünfmal „Rot“.

[Zur Kontrolle: $P(C_2)\approx 0,3669$ ]
(5 BE)
d)
Tom spielt das $10$-malige Drehen des Glücksrades $G1$ (also das Experiment aus c) in Gedanken $30$-mal durch und bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $C_2$ in genau der Hälfte aller Fälle eintritt. Er behauptet, dass diese Wahrscheinlichkeit unter $5\,\%$ liegt.
Prüfe, ob seine Behauptung zutrifft.
(3 BE)
e)
Das Glücksrad $G1$ soll $20$-mal gedreht werden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn Drehungen genau fünfmal „Rot“ das Ergebnis ist und insgesamt höchstens neunmal „Rot“ das Ergebnis ist.
(4 BE)

(20 BE)
Anlage zu Aufgabe 3.2: Zufallsexperimente
Summierte Binomialverteilung
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0,$“, alle freien Plätze enthalten $1,0000.$
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5),$ ist der richtige Wert $1-$ (abgelesener Wert).
ABCDEFGHIJKLMNO
1
2
3
nkpkn
4
0,050,1 1/6 0,20,250,3 1/3 0,40,450,5
5
6
500,77380,59050,40190,32770,23730,16810,13170,07780,05030,031345
7
10,97740,91850,80380,73730,63280,52820,46090,3370,25620,18753
8
20,99880,99140,96450,94210,89650,83690,79010,68260,59310,52
9
310,99950,99670,99330,98440,96920,95470,9130,86880,81251
10
4110,99990,99970,9990,99760,99590,98980,98150,96880
11
12
1000,59870,34870,16150,10740,05630,02820,01730,0060,00250,001910
13
10,91390,73610,48450,37580,2440,14930,1040,04640,02330,01078
14
20,98850,92980,77520,67780,52560,38280,29910,16730,09960,05477
15
30,9990,98720,93030,87910,77590,64960,55930,38230,2660,17196
16
40,99990,99840,98450,96720,92190,84970,78690,63310,50440,3775
17
510,99990,99760,99360,98030,95270,92340,83380,73840,6234
18
6110,99970,99910,99650,98940,98030,94520,8980,82813
19
71110,99990,99960,99840,99660,98770,97260,94532
20
8111110,99990,99960,99830,99550,98931
21
911111110,99990,99970,9990
22
23
1500,46330,20590,06490,03520,01340,00470,00230,00050,000101415
24
10,8290,5490,25960,16710,08020,03530,01940,00520,00170,000513
25
20,96380,81590,53220,3980,23610,12680,07940,02710,01070,003712
26
30,99450,94440,76850,64820,46130,29690,20920,09050,04240,017611
27
40,99940,98730,91020,83580,68650,51550,40410,21730,12040,059210
28
50,99990,99780,97260,93890,85160,72160,61840,40320,26080,15099
29
610,99970,99340,98190,94340,86890,7970,60980,45220,30368
30
7110,99870,99580,98270,950,91180,78690,65350,57
31
8110,99980,99920,99580,98480,96920,9050,81820,69646
32
91110,99990,99920,99630,99150,96620,92310,84915
33
1011110,99990,99930,99820,99070,97450,94084
34
11111110,99990,99970,99810,99370,98243
35
1211111110,99970,99890,99632
36
13111111110,99990,99951
37
38
2000,35850,12160,02610,01150,00320,00080,00030001920
39
10,73580,39170,13040,06920,02430,00760,00330,00050,0001018
40
20,92450,67690,32870,20610,09130,03550,01760,00360,00090,000217
41
30,98410,8670,56650,41140,22520,10710,06040,0160,00490,001316
42
40,99740,95680,76870,62960,41480,23750,15150,0510,01890,005915
43
50,99970,98870,89820,80420,61720,41640,29720,12560,05530,020714
44
610,99760,96290,91330,78580,6080,47930,250,12990,057713
45
710,99960,98870,96790,89820,77230,66150,41590,2520,131612
46
810,99990,99720,990,95910,88670,80950,59560,41430,251711
47
9110,99940,99740,98610,9520,90810,75530,59140,411910
48
10110,99990,99940,99610,98290,96240,87250,75070,58819
49
111110,99990,99910,99490,9870,94350,86920,74838
50
1211110,99980,99870,99630,9790,9420,86847
51
13111110,99970,99910,99350,97860,94236
52
141111110,99980,99840,99360,97935
53
1511111110,99970,99850,99414
54
16111111110,99970,99873
55
171111111110,99982
56
57
nk0,950,9 5/6 0,80,750,7 2/3 0,60,550,5kn
58
p
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel „1“ zeigt, beträgt $\frac{2}{6} = \frac{1}{3},$ für eine „2“ beträgt sie entsprechend $\frac{2}{3}.$ Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[5pt] &\approx& 33,33\,\% \\[10pt] P(A_2)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{10} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{8}{15} \\[5pt] &\approx& 53,33\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel $W$ „2“ zeigt und das Glücksrad $G2$ anschließend „Rot“ zeigt, beträgt ca. $33,33\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad, das entsprechend dem Würfelergebnis gedreht wird,„Weiß“ oder „Rot“ zeigt, beträgt ca. $53,33\,\%.$
#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ermitteln
Mit den Bezeichnungen $r$ für ein rotes Feld, $b$ für ein blaues Feld und $s$ für ein schwarzes Feld, sind nun folgende Ergebnisse möglich:
$\{1 - b; 1 - r; 1 - s; 2-b; 2 -r; 2 - s\}$
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wie zuvor mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(1-b)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \\[10pt] P(1-r)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] P(1-s)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \\[10pt] P(2-b)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] P(2-r)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(2-s)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] \end{array}$
Die drei Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit sind:
  • $1-r:$ Der Würfel zeigt eine „1“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Rot“.
  • $2-b:$ Der Würfel zeigt eine „2“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Blau“.
  • $2-s:$ Der Würfel zeigt eine „2“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Schwarz“.
#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die unter $10$ Drehungen die Anzahl der Drehungen mit dem Ergebnis „Rot“ beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=10$ und $p = \frac{4}{10} = 0,4$ angenommen werden.
Mit der Formel für die Binomialverteilung und der Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(C_1)&=& P(X=4) \\[5pt] &=& \binom{10}{4}\cdot 0,4^4\cdot 0,6^{6} \\[5pt] &\approx& 0,2508 \\[5pt] &=& 25,08\,\%\\[5pt] P(C_2)&=& P(X\geq 5) \\[5pt] &=&1-P(X\leq 4) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle}\\[5pt] &\approx& 1- 0,6331\\[5pt] &=&0,3669 \\[5pt] &=& 36,69\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(C_1)&\approx& 25,08\,\%\\[5pt] P(C_2)&\approx&36,69\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $25,08\,\%$ zeigt das Glücksrad $G1$ genau viermal „Rot“.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $36,69\,\%$ zeigt das Glücksrad $G1$ mindestens fünfmal „Rot“.
#gegenereignis#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der $30$ Durchgänge beschreibt, bei denen Ereignis $C_2$ eintritt.
Diese kann als binomialverteilt mit $n=30$ und $p= P(C_2) \approx 0,3669$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann wie oben mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=15)&=& \binom{30}{15}\cdot 0,3669^{15}\cdot 0,6331^{15} \\[5pt] &\approx& 0,0480 \\[5pt] &=& 4,80\,\% \end{array}$
$ P(Y=15)\approx 4,80\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $C_2$ in genau der Hälfte aller Fälle eintritt, beträgt ca. $4,80\,\%$ und liegt daher unter $5\,\%.$ Die Behauptung trifft also zu.
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Das genannte Ereignis wird mit $E$ bezeichnet und tritt genau dann ein, wenn in den ersten zehn Drehungen genau fünfmal „Rot“ und in den letzten zehn Drehungen höchstens viermal „Rot“ gedreht wird. Mit den Pfadregeln und der Zufallsgröße aus Teilaufgabe c) ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(X=5)\cdot P(X\leq 4) \\[5pt] &=& P(X=5) \cdot \left(1-P(C_2)\right) \\[5pt] &=& \binom{10}{5}\cdot 0,4^5 \cdot 0,6^5\cdot (1-0,3669) \\[5pt] &\approx& 0,1270 \\[5pt] &=&12,70\,\% \end{array}$
$ P(E) \approx 12,70\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $12,70\,\%.$
#pfadregeln
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