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Analysis 1.1

Aufgaben
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Aufgabe 1.1: Bienen

Die Funktion $b$ mit $b(t)=60-54\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot t}$ beschreibt für $0\leq t\leq 12$ näherungsweise die Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist $t$ die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und $b(t)$ die Anzahl der Bienen in Tausend.
a)  Ermittle die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach $4$ Wochen und nach $12$ Wochen.
Begründe, dass die Funktion $b$ für $t\rightarrow\infty$ einen Grenzwert hat. Gib diesen Grenzwert an.
Skizziere den Graphen von $b$ für $0\leq t\leq 12$ mit Hilfe der ermittelten Werte im Koordinatensystem in der Anlage.
(9P)
b)  Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand $f(t)$ besonders schnell wächst ($t$ in Wochen und $f(t)$ in Tausend).
Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in $1.000$ Bienen pro Woche) wird durch die Funktion $v$ mit $v(t)=f'(t)=3\cdot\mathrm e^{0,25\cdot t}$ angegeben.
Ermittle für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn und nach $6$ Wochen und vergleiche das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten.
Berechne den Zeitpunkt, bei dem die Wachstumsgeschwindigkeit bei beiden Bienensorten $12.000$ Bienen pro Woche beträgt.
(9P)
c)  Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn $2.000$ Bienen.
Ermittle die Gleichung der Funktion $f$ , die die Entwicklung des Bienenbestands beschreibt.
[Zur Kontrolle: $f(t)=12\cdot\mathrm e^{0,25\cdot t}-10]$
Berechne, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verfünffacht hat.
Zeichne den Graphen von $f$ für $0\leq t\leq8$ mit Hilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein.
(11P)
d)  Die Funktion $d$ mit $d(t)=b(t)-f(t)$ beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte.
Ermittle den Zeitpunkt $t$ , bei dem der Unterschied in den ersten $6$ Wochen am größten ist.
Begründe, dass der Unterschied zum berechneten Zeitpunkt maximal ist.
(7P)
e)  Weise nach, dass zum Zeitpunkt $t$, bei dem der Unterschied bei der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden.
(4P)

(40P)
Anlage zu Aufgabe 1.1 CAS: Bienen
Analysis 1.1
Analysis 1.1
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Aufgabe 1.1: Bienen

a) 
$\blacktriangleright$  Bienenanzahl ermitteln
Bestimme die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach $4$ Wochen und nach $12$ Wochen. Definiere dazu zunächst die Funktion $b$ in einem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$, $4$ und $12$ ein. Die Ergebnisse multiplizierst du zum Schluss mit $1.000$, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist.
$\blacktriangleright$  Grenzwert der Funktion $b$ bestimmen
Begründen, dass die Funktion $b$ für $t\rightarrow\infty$ einen Grenzwert hat. Den Grenzwert kannst du mit dem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$  Graphen von $b$ skizzieren
Trage als erstes die berechneten Punkte $A(0\mid6)$, $B(4\mid40)$ und $C(12\mid57)$ in das Koordinatensystem ein. Anschließend kannst du einen Graphen durch die Punkte zeichnen, der sich dem Grenzwert $60$ annähert.
b) 
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeit ermitteln
Neue Bienensorte
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der beiden Bienensorten zu Beginn und nach $6$ Wochen. Definiere dazu als erstes die Funktion $v(t)=f'(t)=3\cdot\mathrm e^{-0.25t}$ in deinem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$ und $6$ ein.
Alte Bienensorte
Um die Wachstumsgeschwindigkeit von der alten Bienensorte zu berechnen, leitest du die Funktion b ab, denn die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht gerade der Steigung des Graphen, welche durch die erste Ableitung beschrieben wird. Die erste Ableitung kannst du mit deinem CAS berechnen. Anschließend kannst du für $t$ die Werte $0$ und $6$ in die erste Ableitung einsetzen.
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen
Bei der alten Sorte vermehren sich die Bienen am Anfang sehr schnell. Je mehr Bienen es allerdings werden, desto langsamer vermehren sie sich. Bei der neuen Bienensorte ist es genau anders herum. Am Anfang vermehren sie sich langsamer, aber umso mehr Bienen es werden umso schneller vermehren sie sich.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem Wachstumsgeschwindigkeit $12.000$ Bienen beträgt
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, indem die Wachstumsgeschwinigkeit der beiden Bienensorten $12.000$ Bienen pro Woche beträgt, musst du die beiden Funktionen $b'(t)$ und $v(t)$ mit $12$ gleichsetzen (nicht mit $12.00$ gleichsetzten, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist und anschließend die beiden Gleichungen nach $t$ auflösen.
c) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $f$ ermitteln
Die Funktion $f'(x)$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienensorte. Gesucht ist in dieser Aufgabe aber die Funktion, die die Entwicklung des Bienenbestandes beschreibt. Die gesuchte Funktion ist gerade eine Stammfunktion von $f'(x)$. Bilde als erstes eine allgemeine Stammfunktion von $f'(x)$ und berechne mit Hilfe des Anfangsbestands den Parameter $c$.
In der Aufgabe ist gegeben, dass die neuen Bienensorte zu Beobachtungsbeginn $2\,000$ Bienen hat, also $f(0)=2$. Definiere die Funktion $f$ in deinem CAS, setze die Anfangsbedingungen ein und Löse die Gleichung nach $c$ auf.
$\blacktriangleright$  Graphen von $f$ skizzieren
Berechne zuerst passende Koordianten der Funktion $f$ mit deinem CAS und skizziere anschließend das Schaubild.
d) 
$\blacktriangleright$  Maximum der Funktion $d$ bestimmen
Die Funktion $d$ beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Du sollst nun den Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem der Unterschied in den ersten $6$ Wochen am größten ist. Berechne also das Maximum der Funktion $d$, denn genau im Maximum der Funktion $d$ ist der Unterschied am größten. Es reicht hier die notwendige Bedingung zu zeigen, also dass $\boldsymbol{d'(x)=0}$ ist.
Die Funktion $d$ ist durch die Differenz der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ definiert. Um das Maximum zu bestimmen benötigst du aber die erste Ableitung der Funktion $d$. Die ersten Ableitungen der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ hast du bereits in den vorherigen Aufgaben berechnet. Du kannst somit $d'(t)$ ganz einfach berechnen.
Definiere in deinem CAS die erste Ableitung der Funktion $d$. Das Maximum erhälst du, wenn du die Gleichung $d'(t)=0$ nach $t$ auflöst.
e) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten bei $t=3$ gleich sind
Du weist, dass der Unterschied zwischen der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, wenn die Gleichung $d'(t)=b'(t)-f'(t)=0$ erfüllt ist. Diese Gleichung kannst du umstellen.
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Aufgabe 1.1: Bienen

a) 
$\blacktriangleright$  Bienenanzahl ermitteln
Bestimme die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach $4$ Wochen und nach $12$ Wochen. Definiere dazu zunächst die Funktion $b$ in deinem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$, $4$ und $12$ ein. Die Ergebnisse multiplizierst du zum Schluss mit $1.000$, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Zu Beginn sind es $\boldsymbol{6.000}$ Bienen, nach $4$ Wochen sind es $\boldsymbol{40.000}$ Bienen und nach $12$ Wochen sind es $\boldsymbol{57.000}$ Bienen.
$\blacktriangleright$  Grenzwert der Funktion $b$ bestimmen
Begründen, dass die Funktion $b$ für $t\rightarrow\infty$ einen Grenzwert hat. Den Grenzwert kannst du mit dem CAS berechnen.
menu $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 4: Limes
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Für große Werte nähert sich die Funktion dem Grenzwert $\boldsymbol{60}$ an.
$\blacktriangleright$  Graphen von $b$ skizzieren
Trage als erstes die berechneten Punkte $A(0\mid6)$, $B(4\mid40)$ und $C(12\mid57)$ in das Koordinatensystem ein. Anschließend kannst du einen Graphen durch die Punkte zeichnen, der sich dem Grenzwert $60$ annähert.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
b) 
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeit ermitteln
Neue Bienensorte
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der beiden Bienensorten zu Beginn und nach $6$ Wochen. Definiere dazu als erstes die Funktion $v(t)=f'(t)=3\cdot\mathrm e^{-0.25t}$ in deinem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$ und $6$ ein.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Alte Bienensorte
Um die Wachstumsgeschwindigkeit von der alten Bienensorte zu berechnen, leitest du die Funktion b ab, denn die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht gerade der Steigung des Graphen, welche durch die erste Ableitung beschrieben wird. Die erste Ableitung kannst du mit deinem CAS berechnen. Anschließend kannst du für $t$ die Werte $0$ und $6$ in die erste Ableitung einsetzen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen
Bei der alten Sorte vermehren sich die Bienen am Anfang sehr schnell. Je mehr Bienen es allerdings werden, desto langsamer vermehren sie sich. Bei der neuen Bienensorte ist es genau anders herum. Am Anfang vermehren sie sich langsamer, aber umso mehr Bienen es werden umso schneller vermehren sie sich.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem Wachstumsgeschwindigkeit $12.000$ Bienen beträgt
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, indem die Wachstumsgeschwinigkeit der beiden Bienensorten $12.000$ Bienen pro Woche beträgt, musst du die beiden Funktionen $b'(t)$ und $v(t)$ mit $12$ gleichsetzen (nicht mit $12.00$ gleichsetzten, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist) und anschließend die beiden Gleichungen nach $t$ auflösen.
Alte Bienensorte
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Nach ungefähr einer halben Woche beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der alten Bienensorte $12.000$ Bienen pro Woche.
Neue Bienensorte
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Nach ungefähr fünfeinhalb Wochen beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der neuen Bienensorte $12.000$ Bienen pro Wochen.
c) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $f$ ermitteln
Die Funktion $f'(x)$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienensorte. Gesucht ist in dieser Aufgabe aber die Funktion, die die Entwicklung des Bienenbestandes beschreibt. Die gesuchte Funktion ist gerade eine Stammfunktion von $f'(x)$. Bilde als erstes eine allgemeine Stammfunktion von $f'(x)$ und berechne mit Hilfe des Anfangsbestands den Parameter $c$.
$f(t)=\displaystyle\int\;\mathrm v(t)\;dt = 3:(0,25)\cdot\mathrm e^{0,25t} +c= 12\cdot\mathrm e^{0,25t} +c$
In der Aufgabe ist gegeben, dass die neuen Bienensorte zu Beobachtungsbeginn $2\,000$ Bienen hat, also $f(0)=2$. Definiere die Funktion $f$ in deinem CAS, setze die Anfangsbedingungen ein und Löse die Gleichung nach $c$ auf.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet: $\boldsymbol{f(x)=12\cdot\mathrm e^{0,25t} -10 }$
$\blacktriangleright$  Graphen von $f$ skizzieren
Berechne zuerst passende Koordianten der Funktion $f$ mit deinem CAS und skizziere anschließend das Schaubild.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$ \Rightarrow D(0 \mid2), E(5\mid32), F(8 \mid79)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
d) 
$\blacktriangleright$  Maximum der Funktion $d$ bestimmen
Die Funktion $d$ beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Du sollst nun den Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem der Unterschied in den ersten $6$ Wochen am größten ist. Berechne also das Maximum der Funktion $d$, denn genau im Maximum der Funktion $d$ ist der Unterschied am größten. Es reicht hier die notwendige Bedingung zu zeigen, also dass $\boldsymbol{d'(x)=0}$ ist.
Die Funktion $d$ ist durch die Differenz der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ definiert. Um das Maximum zu bestimmen benötigst du aber die erste Ableitung der Funktion $d$. Die ersten Ableitungen der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ hast du bereits in den vorherigen Aufgaben berechnet. Du kannst somit $d'(t)$ ganz einfach berechnen:
$d'(t)=b'(t)-v(t)=13,5\cdot\mathrm e^{-0,25t}-3\cdot\mathrm e^{0.25t}$
Definiere in deinem CAS die erste Ableitung der Funktion $d$. Das Maximum erhälst du, wenn du die Gleichung $d'(t)=0$ nach $t$ auflöst.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Der Unterschied ist bei $\boldsymbol{t=3}$, also nach $\boldsymbol{3}$ Wochen, am größten.
e) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten bei $t=3$ gleich sind
Du weist, dass der Unterschied zwischen der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, wenn die Gleichung $d'(t)=b'(t)-f'(t)=0$ erfüllt ist. Diese Gleichung kannst du umstellen:
$\begin{array}[t]{rll} b'(t)-f'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \mid+f'(t)\; \\[5pt] b'(t)&=&f'(t)=v(t) \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Bienensorten bei $t=3$ gleich groß sind.
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Aufgabe 1.1: Bienen

a) 
$\blacktriangleright$  Bienenanzahl ermitteln
Bestimme die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach $4$ Wochen und nach $12$ Wochen. Definiere dazu zunächst die Funktion $b$ in deinem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$, $4$ und $12$ ein. Die Ergebnisse multiplizierst du zum Schluss mit $1.000$, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Zu Beginn sind es $\boldsymbol{6.000}$ Bienen, nach $4$ Wochen sind es $\boldsymbol{40.000}$ Bienen und nach $12$ Wochen sind es $\boldsymbol{57.000}$ Bienen.
$\blacktriangleright$  Grenzwert der Funktion $b$ bestimmen
Begründen, dass die Funktion $b$ für $t\rightarrow\infty$ einen Grenzwert hat. Den Grenzwert kannst du mit dem CAS berechnen.
Interaktiv $\rightarrow$ Berechnungen $\rightarrow$ lim
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Für große Werte nähert sich die Funktion dem Grenzwert $\boldsymbol{60}$ an.
$\blacktriangleright$  Graphen von $b$ skizzieren
Trage als erstes die berechneten Punkte $A(0\mid6)$, $B(4\mid40)$ und $C(12\mid57)$ in das Koordinatensystem ein. Anschließend kannst du einen Graphen durch die Punkte zeichnen, der sich dem Grenzwert $60$ annähert.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
b) 
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeit ermitteln
Neue Bienensorte
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der beiden Bienensorten zu Beginn und nach $6$ Wochen. Definiere dazu als erstes die Funktion $v(t)=f'(t)=3\cdot\mathrm e^{-0.25t}$ in deinem CAS und setze anschließend für $t$ die Werte $0$ und $6$ ein.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Alte Bienensorte
Um die Wachstumsgeschwindigkeit von der alten Bienensorte zu berechnen, leitest du die Funktion b ab, denn die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht gerade der Steigung des Graphen, welche durch die erste Ableitung beschrieben wird. Die erste Ableitung kannst du mit deinem CAS berechnen. Anschließend kannst du für $t$ die Werte $0$ und $6$ in die erste Ableitung einsetzen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$  Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen
Bei der alten Sorte vermehren sich die Bienen am Anfang sehr schnell. Je mehr Bienen es allerdings werden, desto langsamer vermehren sie sich. Bei der neuen Bienensorte ist es genau anders herum. Am Anfang vermehren sie sich langsamer, aber umso mehr Bienen es werden umso schneller vermehren sie sich.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem Wachstumsgeschwindigkeit $12.000$ Bienen beträgt
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, indem die Wachstumsgeschwinigkeit der beiden Bienensorten $12.000$ Bienen pro Woche beträgt, musst du die beiden Funktionen $b'(t)$ und $v(t)$ mit $12$ gleichsetzen (nicht mit $12.00$ gleichsetzten, da die Anzahl der Bienen in Tausend gegeben ist) und anschließend die beiden Gleichungen nach $t$ auflösen.
Alte Bienensorte
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Nach ungefähr einer halben Woche beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der alten Bienensorte $12.000$ Bienen pro Woche.
Neue Bienensorte
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Nach ungefähr fünfeinhalb Wochen beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der neuen Bienensorte $12.000$ Bienen pro Wochen.
c) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $f$ ermitteln
Die Funktion $f'(x)$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienensorte. Gesucht ist in dieser Aufgabe aber die Funktion, die die Entwicklung des Bienenbestandes beschreibt. Die gesuchte Funktion ist gerade eine Stammfunktion von $f'(x)$. Bilde als erstes eine allgemeine Stammfunktion von $f'(x)$ und berechne mit Hilfe des Anfangsbestands den Parameter $c$.
$f(t)=\displaystyle\int\;\mathrm v(t)\;dt = 3:(0,25)\cdot\mathrm e^{0,25t} +c= 12\cdot\mathrm e^{0,25t} +c$
In der Aufgabe ist gegeben, dass die neuen Bienensorte zu Beobachtungsbeginn $2\,000$ Bienen hat, also $f(0)=2$. Definiere die Funktion $f$ in deinem CAS, setze die Anfangsbedingungen ein und Löse die Gleichung nach $c$ auf.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet: $\boldsymbol{f(x)=12\cdot\mathrm e^{0,25t} -10 }$
$\blacktriangleright$  Graphen von $f$ skizzieren
Berechne zuerst passende Koordianten der Funktion $f$ mit deinem CAS und skizziere anschließend das Schaubild.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$ \Rightarrow D(0 \mid2), E(5\mid32), F(8 \mid79)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
d) 
$\blacktriangleright$  Maximum der Funktion $d$ bestimmen
Die Funktion $d$ beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Du sollst nun den Zeitpunkt $t$ berechnen, bei dem der Unterschied in den ersten $6$ Wochen am größten ist. Berechne also das Maximum der Funktion $d$, denn genau im Maximum der Funktion $d$ ist der Unterschied am größten. Es reicht hier die notwendige Bedingung zu zeigen, also dass $\boldsymbol{d'(x)=0}$ ist.
Die Funktion $d$ ist durch die Differenz der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ definiert. Um das Maximum zu bestimmen benötigst du aber die erste Ableitung der Funktion $d$. Die ersten Ableitungen der Funktionen $f(t)$ und $b(t)$ hast du bereits in den vorherigen Aufgaben berechnet. Du kannst somit $d'(t)$ ganz einfach berechnen:
$d'(t)=b'(t)-v(t)=13,5\cdot\mathrm e^{-0,25t}-3\cdot\mathrm e^{0.25t}$
Definiere in deinem CAS die erste Ableitung der Funktion $d$. Das Maximum erhälst du, wenn du die Gleichung $d'(t)=0$ nach $t$ auflöst.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Der Unterschied ist bei $\boldsymbol{t=3}$, also nach $\boldsymbol{3}$ Wochen, am größten.
e) 
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten bei $t=3$ gleich sind
Du weist, dass der Unterschied zwischen der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, wenn die Gleichung $d'(t)=b'(t)-f'(t)=0$ erfüllt ist. Diese Gleichung kannst du umstellen:
$\begin{array}[t]{rll} b'(t)-f'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \mid+f'(t)\; \\[5pt] b'(t)&=&f'(t)=v(t) \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Bienensorten bei $t=3$ gleich groß sind.
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