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Analysis 1.2

Aufgaben
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Aufgabe 1.2: Fischmobile

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\dfrac{1}{16}x^3-\dfrac{5}{8}x^2+\dfrac{25}{16}x$;   $x\in\mathbb{R}$.
Der Graph dieser Funktion ist $G_f$.
a)  Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ an.
Berechne die Nullstellen von $f$.
Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen kann.
(6P)
b)  Bestimme die Art und die Koordinaten lokaler Extrempunkte von $G_f$.
Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Bestimme seine Koordinaten.
Ermittle die Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion $f$ in diesem Wendepunkt.
Zeichne $G_f$ im Intervall $[0;\,8]$ in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem.
(14P)
Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen $G_f$ und den durch Spiegelung von $G_f$ an der $x$-Achse entstandenen Graphen $G_g$ begrenzt.
Im Aufhängepunkt $P$ berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Abbildung.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
c)  Der gespiegelte Graph $G_g$ ist der Graph einer Funktion $g$.
Gib eine Funktionsgleichung von $g$ an.
Zeichne $G_g$ in das Koordinatensystem in der Anlage ein.
(3P)
d)  Im Folgenden gilt: $1\,LE=1\,\text{cm}$.
Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von $P$) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischkörpers (links von $P$) hat.
Bestimme für diesen Fall die Breite $b$ und die Höhe $h$ der Schwanzflosse.
(8P)
e)  Die Position eines Auges des Fisches wird durch den Mittelpunkt einer $\frac{81}{64}\,\text{cm}$ langen Strecke im Intervall $[0;3]$ beschrieben, die parallel zur $y$-Achse verläuft und deren Anfangs- und Endpunkt auf den Graphen $G_f$ und $G_g$ liegen.
Berechne die Koordinaten des Punktes für die Position des beschriebenen Auges.
(3P)
f)  Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verkauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid1)$ und $T_2(1\mid-1)$ sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt.
Ermittle den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel.
(6P)

(40P)
Anlage zu Aufgabe 1.2 CAS: Fischmobile
Analysis 1.2
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Aufgabe 1.2: Fischmobile

a) 
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte von f
Da die Gleichung der Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8} x^2+\frac{25}{16}x$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und die Zahl vor dem größten Exponenten positiv ist, gilt:
Eine andere Möglichkeit wäre, die Grenzwerte der Funktion zu berechnen. Dazu definierst du die Funktion $f$ in deinem CAS und berechnest anschließend den Limes.
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen zu berechnen muss $f(x)=0$ sein. Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Graph von f nicht achsensymmetrisch ist
Ein Graph einer ganzrationalen Funktion kann nur dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen, wenn alle Exponenten geradzahlig sind. In der Funktionsgleichung von $f$ sind zwei Summanden, die keinen geradzahligen Exponenten haben: $\frac{1}{16}x^3$ und $\frac{25}{16}x^1$.
Somit kann der Graph der Funktion f nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein.
Dass der Graph der Funktion nicht achsensymmetrisch ist, kannst du auch mit den ersten beiden Aufgabenteilen begründen. Die beiden Nullstellen und die beiden Grenzwerte deuten schon darauf hin, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch sein kann, denn sonst müsste die $y$-Achse genau zwischen den beiden Nullstellen liegen.
b) 
$\blacktriangleright$  lokale Extrempunkte berechnen
Wende zur Berechnung der lokalen Extrempunkte die beiden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Bilde also als erstes die erste und zweite Ableitung der Funktion $f$.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Die Größe eines Steigungswinkel einer Tangente in einem Punkt kannst du mit Hilfe der Steigung des Graphen berechnen. Die Steigung des Graphen von $f$ wird ja gerade durch die erste Ableitung von $f(x)$ beschrieben. Die Steigung im Wendepunkt kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Wendepunkts in die erste Ableitung von $f$ einsetzt. Die Größe des Steigungswinkel kannst du mit dem Tangens $\text{tan}\;\alpha=m_w$ berechnen.
$\blacktriangleright$  Grapf der Funktion $f$ skizzieren
Berechne als erstes $f(8)$ mit deinem CAS.
Trage die beiden Nullpunkte, den Hochpunkt, den Tiefpunkt (gleich dem zweiten Nullpunkt) und den Endpunkt der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein und skizziere mit Hilfe dieser Punkte den Graphen $G_f$ der Funktion $f$.
c) 
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ spiegeln
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichung von $g$ angeben. Die gesuchte Gleichung der Funktion $g$ erhälst du, indem du die Gleichung der Funktion $f$ mit $-1$ multiplizierst, dadurch wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt.
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_g}$ skizzieren
Die Nullstellen der beiden Graphen sind gleich. Der Hochpunkt des Graphen $G_f$ ist im Graphen $G_g$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\frac{5}{3} \mid -1,16\right)$. Mit diesen Angaben kannst du den Graphen $G_g$ skizzieren.
d) 
$\blacktriangleright$  Zeige, dass der Flächeninhalte des Körpers und der Schwanzflosse des Fisches für $\boldsymbol{b=2,8}$cm, gleich sind.
Flächeninhalt des Körpers berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Körpers des Fisches. Der Flächeninhalt des Fisches wird durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen geteilt. Die obere Fläche ist gerade die, die durch den Graph von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Du kannst also das Integral mit den Grenzen $0$ und $5$ (die beiden Nullpunkt) berechnen und diesen Flächeninhalt dann mit $2$ multiplizieren. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
Breite $b$ der Schwanzflosse bestimmen
Den Flächeninhalt der Schwanzflosse wird auch durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Flächen geteilt. Der Flächeninhalt oberhalb der $x$-Achse soll durch den Nullpunkt $N(5 \mid 0)$ und die Breite $b$ beschränkt werden. Der $x$-Wert der das Ende der Schwanzflosse beschreibt ist somit $x=5+b$. Du kannst das Integral mit den Grenzen $5$ und $5+b$ mit deinem CAS berechnen. $b$ erhälst du dann, indem du die Gleichung löst, dass zwei mal das berechnete Integral $6,5\text{cm}$ ist.
$\blacktriangleright$  Höhe der Schwanzflosse berechnen
Die Schwanzflosse soll $2,8$cm breit sein, der $x$-Wert ist somit $x=7,8$. Die Höhe erhälst du dann, indem du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Beachte auch hier, dass die Höhe der Schwanzflosse durch die $x$-Achse in der Hälfte geteilt wird. Um also die Höhe zu berechnen, musst du das Ergebnis noch mit $2$ multiplizieren.
e) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Auges bestimmen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass das Auge auf dem Mittelpunkt einer $frac{81}{64}\text{cm}$ langen Strecke liegt, die parallel zur $y$-Achse verläuft und die Anfangs- und Endpunkt auf den Graphen $G_f$ und $G_g$ liegen. Da die $x$-Achse den Fisch genau in der Mitte teilt, muss die das Auges auf der $x$-Achse liegen, die $y$-Koordinate muss also Null sein. Die $x$-Koordinate erhälst du, indem du berechnest, an welcher Stelle die Hälfte der Strecke die Funktion $f$ (oder $g$) berührt (schneidet). Löse mit deinem CAS also die Gleichung: $f(x)=\frac{81}{64}:2$.
f) 
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel ermitteln
Den Flächeninhalt der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid 1)$ und $T(1 \mid -1)$ und der Geraden $h$ auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Berechne zuerst eine der beiden Tangenten und die Schnittpunkte der Tangenten mit der $x$-Achse. Anschließend kannst du die Schnittpunkte der beiden Tangenten mit der Geraden $h$ berechnen. Du erhältst drei Punkte. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann gerade der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden $h$ und der Tangenten und die Höhe ist die Länge des Fisches ($7,8$ cm) und dazu musst du dann noch den Abstand des Schnittpunktes mit der $x$-Achse bis zum Ursprung addieren.
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Aufgabe 1.2: Fischmobile

a) 
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte von f
Da die Gleichung der Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8} x^2+\frac{25}{16}x$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und die Zahl vor dem größten Exponenten positiv ist, gilt:
für $x\rightarrow-\infty$ geht $f(x)\rightarrow -\infty$ und
für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$
Eine andere Möglichkeit wäre, die Grenzwerte der Funktion zu berechnen. Dazu definierst du die Funktion $f$ in deinem CAS und berechnest anschließend den Limes.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen zu berechnen muss $f(x)=0$ sein. Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Die erste Nullstelle liegt bei $x=0$ und die zweite bei $x=5$.
Die Koordinaten der Nullstellen lauten also: $\boldsymbol{N_1(0 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{N_2(5 \mid 0)}$.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Graph von f nicht achsensymmetrisch ist
Ein Graph einer ganzrationalen Funktion kann nur dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen, wenn alle Exponenten geradzahlig sind. In der Funktionsgleichung von $f$ sind zwei Summanden, die keinen geradzahligen Exponenten haben: $\frac{1}{16}x^3$ und $\frac{25}{16}x^1$.
Somit kann der Graph der Funktion f nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein.
Dass der Graph der Funktion nicht achsensymmetrisch ist, kannst du auch mit den ersten beiden Aufgabenteilen begründen. Die beiden Nullstellen und die beiden Grenzwerte deuten schon darauf hin, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch sein kann, denn sonst müsste die $y$-Achse genau zwischen den beiden Nullstellen liegen.
b) 
$\blacktriangleright$  lokale Extrempunkte berechnen
Wende zur Berechnung der lokalen Extrempunkte die beiden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Bilde also als erstes die erste und zweite Ableitung der Funktion $f$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Berechne die erste und zweite Ableitung mit deinem CAS.
menu $\rightarrow$ 4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableitung
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Durch Gleichsetzen von $f$ mit $0$ erhälst du die möglichen Extremstellen $x_E$ von $f$. Löse mit deinem CAS die Gleichung $f'(x)=0$.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
$x_{E_1}=5$ und $x_{E_2}=\frac{5}{3}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Einsetzen von $x_{E_1}=5$ und $x_{E_2}=\frac{5}{3}$ in die zweite Ableitung liefert:
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Da $\frac{5}{8}>0$ ist, hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_{E1}=5$ ein lokales Minimum.
Da $-\frac{5}{8}<0$ hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_{E2}=\frac{5}{3}$ ein lokales Maximum.
4. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
Setzte die berechneten $x$-Werte in die Funktion $f$ ein.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt sich, dass der Graph der Funktion $f$ einen Tiefpunkt im Punkt $\boldsymbol{T(5 \mid 0)}$ und einen Hochpunkt im Punkt $\boldsymbol{H\left(\frac{5}{3} \mid 1,16\right)}$ hat.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Die Größe eines Steigungswinkel einer Tangente in einem Punkt kannst du mit Hilfe der Steigung des Graphen berechnen. Die Steigung des Graphen von $f$ wird ja gerade durch die erste Ableitung von $f(x)$ beschrieben. Die Steigung im Wendepunkt kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Wendepunkts in die erste Ableitung von $f$ einsetzt. Die Größe des Steigungswinkel kannst du mit dem Tangens $\text{tan}\;\alpha=m_w$ berechnen.
1. Schritt: Steigung berechnen
$m_w=f'\left(\frac{10}{3}\right)$
Analysis 1.2
Analysis 1.2
2. Schritt: Steigungswinkel berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}\;\alpha&=&-0,521 \quad \scriptsize \mid \text{tan}^{-1}\; \\[5pt] \alpha&=&-27,52 \end{array}$
Da das Ergebnis eine negative Zahl ist, weißt du, dass der gesuchte Winkel ein stumpfer Winkel ist. Um die richtige Größe des Winkels zu berechnen, musst du noch $180°$ addieren.
$\alpha=-27,52°+180°=152,52°$.
Die Größe des Steigungswinkel der Wendetangente beträgt $\boldsymbol{\alpha=152,52°}$.
$\blacktriangleright$  Grapf der Funktion $f$ skizzieren
Berechne als erstes $f(8)$ mit deinem CAS.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Trage die beiden Nullpunkte, den Hochpunkt, den Tiefpunkt (gleich dem zweiten Nullpunkt) und den Endpunkt der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein und skizziere mit Hilfe dieser Punkte den Graphen $G_f$ der Funktion $f$.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
c) 
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ spiegeln
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichung von $g$ angeben. Die gesuchte Gleichung der Funktion $g$ erhälst du, indem du die Gleichung der Funktion $f$ mit $-1$ multiplizierst, dadurch wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt.
$g(x)=-f(x)=-\frac{1}{16}\cdot x^3+\frac{5}{8}\cdot x^2-\frac{25}{16}\cdot x$
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_g}$ skizzieren
Die Nullstellen der beiden Graphen sind gleich. Der Hochpunkt des Graphen $G_f$ ist im Graphen $G_g$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\frac{5}{3} \mid -1,16\right)$. Mit diesen Angaben kannst du den Graphen $G_g$ skizzieren.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
d) 
$\blacktriangleright$  Zeige, dass der Flächeninhalte des Körpers und der Schwanzflosse des Fisches für $\boldsymbol{b=2,8}$cm, gleich sind.
Flächeninhalt des Körpers berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Körpers des Fisches. Der Flächeninhalt des Fisches wird durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen geteilt. Die obere Fläche ist gerade die, die durch den Graph von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Du kannst also das Integral mit den Grenzen $0$ und $5$ (die beiden Nullpunkt) berechnen und diesen Flächeninhalt dann mit $2$ multiplizieren. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Der Flächeninhalt des Körper beträgt ungefähr $6,5\text{cm}$.
Breite $b$ der Schwanzflosse bestimmen
Den Flächeninhalt der Schwanzflosse wird auch durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Flächen geteilt. Der Flächeninhalt oberhalb der $x$-Achse soll durch den Nullpunkt $N(5 \mid 0)$ und die Breite $b$ beschränkt werden. Der $x$-Wert der das Ende der Schwanzflosse beschreibt ist somit $x=5+b$. Du kannst das Integral mit den Grenzen $5$ und $5+b$ mit deinem CAS berechnen. $b$ erhälst du dann, indem du die Gleichung löst, dass zwei mal das berechnete Integral $6,5\text{cm}$ ist.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Mit Hilfe der Skizze siehst du, dass die Breite $b$ ein positiver Wert sein muss, da die die Schwanzflosse des Fisches auf der positive $x$-Achse liegt. Für die Breite $b=2,8\text{cm}$ der Schwanzflosse sind die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich.
$\blacktriangleright$  Höhe der Schwanzflosse berechnen
Die Schwanzflosse soll $2,8$cm breit sein, der $x$-Wert ist somit $x=7,8$. Die Höhe erhälst du dann, indem du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Beachte auch hier, dass die Höhe der Schwanzflosse durch die $x$-Achse in der Hälfte geteilt wird. Um also die Höhe zu berechnen, musst du das Ergebnis noch mit $2$ multiplizieren.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Da eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht, ist die Höhe der Schwanzflosse $\boldsymbol{7,6}$ cm.
e) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Auges bestimmen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass das Auge auf dem Mittelpunkt einer $\frac{81}{64}\text{cm}$ langen Strecke liegt, die parallel zur $y$-Achse verläuft und die Anfangs- und Endpunkt auf den Graphen $G_f$ und $G_g$ liegen. Da die $x$-Achse den Fisch genau in der Mitte teilt, muss das Auges auf der $x$-Achse liegen, die $y$-Koordinate muss also Null sein. Die $x$-Koordinate erhälst du, indem du berechnest, an welcher Stelle die Hälfte der Strecke die Funktion $f$ (oder $g$) berührt (schneidet). Löse mit deinem CAS also die Gleichung: $f(x)=\frac{81}{64}:2$.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Da das Auge im Intervall $\left[0;3\right]$ liegt, ist die $x$-Koordinate $0,5$.
Das Auge des Fisches liegt im Punkt $\boldsymbol{(0,5\mid 0)}$.
f) 
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel ermitteln
Den Flächeninhalt der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid 1)$ und $T(1 \mid -1)$ und der Geraden $h$ auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Berechne zuerst eine der beiden Tangenten und die Schnittpunkte der Tangenten mit der $x$-Achse. Anschließend kannst du die Schnittpunkte der beiden Tangenten mit der Geraden $h$ berechnen. Du erhältst drei Punkte. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann gerade der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden $h$ und der Tangenten und die Höhe ist die Länge des Fisches ($7,8$ cm) und dazu musst du dann noch den Abstand des Schnittpunktes mit der $x$-Achse bis zum Ursprung addieren.
1. Schritt: Tangenten berechnen
Bestimme dazu als erstes mit deinem CAS die Steigung im Punkt $T_1(1\mid1)$ und berechne den Parameter $c$ indem du die Koordinaten des Punktes $T_1$ in die Tangentengleichung einsetzt und die Gleichung nach $c$ auflöst.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
$t: y=0,5x+0,5$.
2. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse kannst du mit deinem CAS die Gleichung $0=0,5x+0,5$ löst.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Die Tangente schneidet die $x$-Achse im Punk $Q(-1\mid 0)$.
3. Schritt: Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden $\boldsymbol{h}$ berechnen
$h:=7,8$
$y=0,5\cdot 7,8+0,5= 4,4$
Die Tangente schneidet die Gerade $x=7,8$ im Punkt $R(7,8 \mid 4,4)$.
4. Schritt: Fläche berechnen
Die Grundseite des Dreiecks beträgt somit: $g=2\cdot y_R=2\cdot 4,4=8,8$
Höhe des Dreiecks:
$h=1+7,8=8,8$LE.
$A=\frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{h}= \frac{1}{2}\cdot 8,8 \cdot 8,8=38,72$ FE.
Da eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht, beträgt der Flächeninhalt der Grundseite der Schachtel rund $\boldsymbol{39\text{cm}^2}$.
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