Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BE, Integrierte Sekundarschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur GK (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis 1.2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 1.2: Fischmobile

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\dfrac{1}{16}x^3-\dfrac{5}{8}x^2+\dfrac{25}{16}x$;   $x\in\mathbb{R}$.
Der Graph dieser Funktion ist $G_f$.
a)  Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ an.
Berechne die Nullstellen von $f$.
Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen kann.
(9P)
b)  Bestimme die Art und die Koordinaten lokaler Extrempunkte von $G_f$.
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_W=\frac{10}{3}$ einen Wendepunkt.
Ermittle die Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion $f$ in diesem Wendepunkt.
Zeichne $G_f$ im Intervall $[0;\,8]$ in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem.
(14P)
Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen $G_f$ und den durch Spiegelung von $G_f$ an der $x$-Achse entstandenen Graphen $G_g$ begrenzt. Im Aufhängepunkt $P(5\mid0)$ berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Darstellung.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
c)  Der gespiegelte Graph $G_g$ ist der Graph einer Funktion $g$.
Gib eine Funktionsgleichung von $g$ an.
Zeichne $G_g$ in das Koordinatensystem in der Anlage ein.
(3P)
d)  Im Folgenden gilt: $1\,LE=1\,\text{cm}$.
Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von $P$) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischkörpers (links von $P$) hat.
Zeige, dass für die Breite $b=2,8\,\text{cm}$ der Schwanzflosse die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich sind.
Bestimme die Höhe $h$ dieser Schwanzflosse.
(8P)
e)  Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verkauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid1)$ und $T_2(1\mid-1)$ sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt.
Ermittle den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel.
(6P)

(40P)
Anlage zu Aufgabe 1.2: Fischmobile
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1.2: Fischmobile

a) 
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte von f
Die Gleichung der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8} x^2+\frac{25}{16}x$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und die Zahl vor dem $x$ mit dem größten Exponenten ist positiv.
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen zu berechnen muss $f(x)=0$ sein.
Klammere als erstes ein $x$ aus.
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst du die erste Nullstelle.
Die zweite Nullstelle kannst du mit der Mitternachtsformel berechnen.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Graph von f nicht achsensymmetrisch ist
Ein Graph einer ganzrationalen Funktion kann nur dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen, wenn alle Exponenten geradzahlig sind.
Dass der Graph der Funktion nicht achsensymmetrisch ist, kannst du auch mit den ersten beiden Aufgabenteilen begründen.
b) 
$\blacktriangleright$  lokale Extrempunkte berechnen
Wende zur Berechnung der lokalen Extrempunkte die beiden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Bilde also als erstes die erste und zweite Ableitung der Funktion $f$.
Durch Gleichsetzen der Funktion $f$ mit $0$ erhälst du die möglichen Extremstellen $x_E$ von $f$:
Setze die berechneten $x$-Werte in die zweite Ableitung von $f$ ein.
Als letztes kannst du die $y$-Koordinaten berechnen.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Den Steigungswinkel einer Tangente in einem Punkt kannst du mit Hilfe der Steigung des Graphen berechnen. Die Steigung des Graphen von $f$ wird ja gerade durch die erste Ableitung von $f(x)$ beschrieben. Die Steigung im Wendepunkt kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Wendepunkts in die erste Ableitung von $f$ einsetzt. Die Größe des Steigungswinkel kannst du mit dem Tangens $\text{tan}\;\alpha=m_w$ berechnen.
$\blacktriangleright$  Grapf der Funktion $f$ skizzieren
Berechne als erstes $f(8)$.
Trage die beiden Nullpunkte, den Hochpunkt, den Tiefpunkt (gleich dem zweiten Nullpunkt) und den Endpunkt der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein und skizziere mit Hilfe dieser Punkte den Graphen $G_f$ der Funktion $f$.
c) 
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ spiegeln
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichung von $g$ angeben. Die gesuchte Gleichung der Funktion $g$ erhältst du, indem du die Gleichung der Funktion $f$ mit $-1$ multiplizierst, dadurch wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt.
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_g}$ skizzieren
Die Nullstellen der beiden Graphen sind gleich. Der Hochpunkt des Graphen $G_f$ ist im Graphen $G_g$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\frac{5}{3} \mid -1,16\right)$. Mit diesen Angaben kannst du den Graphen $G_g$ skizzieren.
d) 
$\blacktriangleright$  Zeige, dass der Flächeninhalte des Körpers und der Schwanzflosse des Fisches für $\boldsymbol{b=2,8}$cm, gleich sind.
Flächeninhalt des Körpers berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Körpers des Fisches. Die Körperfläche des Fisches wird durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen geteilt. Die obere Fläche ist gerade die, die durch den Graph von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Du kannst also das Integral mit den Grenzen $0$ und $5$ (die beiden Nullpunkt) berechnen und diesen Flächeninhalt dann mit $2$ multiplizieren.
Die Fläche Schwanzfloss wird auch durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Flächen geteilt. Die Fläche oberhalb der $x$-Achse soll durch den Nullpunkt $N(5 \mid 0)$ und die Breite $b=2,8$ beschränkt werden. Der $x$-Wert der das Ende der Schwanzflosse beschreibt ist somit $x=5+2,8=7,8$. Du kannst das Integral mit den Grenzen $5$ und $7,8$ berechnen und anschließend den Flächeninhalt mit $2$ multiplizieren.
$\blacktriangleright$  Höhe der Schwanzflosse berechnen
Die Schwanzflosse soll $2,8$cm breit sein, der $x$-Wert ist somit $x=7,8$. Die Höhe erhälst du dann, indem du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Beachte auch hier, dass die Höhe der Schwanzfloss durch die $x$-Achse in der Häfte geteilt wird. Um also die Höhe zu berechnen, musst du das Ergbenis noch mit $2$ multiplizieren.
e) 
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel ermitteln
Die Flächeninhalt der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid 1)$ und $T(1 \mid -1)$ und der Geraden $h$ auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Berechne zuerst eine der beiden Tangenten und die Schnittpunkte der Tangenten mit der $x$-Achse. Anschließend kannst du die Schnittpunkte der beiden Tangenten mit der Geraden $h$ berechnen. Du erhältst drei Punkte. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann gerade der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden $h$ und der Tangenten und die Höhe ist die Länge des Fisches ($7,8$ cm) und dazu musst du dann noch den Abstand des Schnittpunktes mit der $x$-Achse bis zum Ursprung addieren.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1.2: Fischmobile

a) 
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte von f
Da die Gleichung der Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{8} x^2+\frac{25}{16}x$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und die Zahl vor dem größten Exponenten positiv ist, gilt:
für $x\rightarrow-\infty$ geht $f(x)\rightarrow -\infty$ und
für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen zu berechnen muss $f(x)=0$ sein.
Klammere als erstes ein $x$ aus.
$0=x\cdot\left( \frac{1}{16} x^2-\frac{5}{8}x+\frac{25}{16}\right)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhälst du die erste Nullstelle bei $x_1=0$.
Die zweite Nullstelle kannst du mit der Mitternachtsformel berechnen:
$x_{2,3} = \dfrac{{ \frac{5}{8} \pm \sqrt {\left(\frac{5}{8}\right)^2 - 4\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{25}{16}} }}{{2\cdot\frac{1}{16}}}$
$x_{2} = \dfrac{{ \frac{5}{8} + \sqrt {\left(\frac{5}{8}\right)^2 - 4\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{25}{16}} }}{{2\cdot\frac{1}{16}}} = 5$
$x_{3} = \dfrac{{ \frac{5}{8} - \sqrt {\left(\frac{5}{8}\right)^2 - 4\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{25}{16}} }}{{2\cdot\frac{1}{16}}}=5$
Die zweite Nullstelle liegt bei $x_2=5$
Die Koordinaten der Nullstellen lauten also: $\boldsymbol{N_1(0 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{N_2(5 \mid 0)}$.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass Graph von f nicht achsensymmetrisch ist
Ein Graph einer ganzrationalen Funktion kann nur dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen, wenn alle Exponenten geradzahlig sind. In der Funktionsgleichung von $f$ sind zwei Summanden, die keinen geradzahligen Exponenten haben: $\frac{1}{16}x^3$ und $\frac{25}{16}x^1$.
Somit kann der Graph der Funktion f nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein.
Dass der Graph der Funktion nicht achsensymmetrisch ist, kannst du auch mit den ersten beiden Aufgabenteilen begründen. Die beiden Nullstellen und die beiden Grenzwerte deuten schon darauf hin, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch sein kann, denn sonst müsste die $y$-Achse genau zwischen den beiden Nullstellen liegen.
b) 
$\blacktriangleright$  lokale Extrempunkte berechnen
Wende zur Berechnung der lokalen Extrempunkte die beiden Bedingungen an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Bilde also als erstes die erste und zweite Ableitung der Funktion $f$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
  • $f'(x)=3\cdot\frac{1}{16}x^2-2\cdot\frac{5}{8}x+1\cdot\frac{25}{16}= \frac{3}{16}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}$.
  • $f''(x)=\frac{3}{8}x - \frac{5}{4}=\frac{5}{8}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Durch Gleichsetzen von $f$ mit $0$ erhälst du die möglichen Extremstellen $x_E$ von $f$:
$f'(x)=0=\frac{3}{16}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
$x_{1,2} = \dfrac{{ \frac{5}{4}\pm \sqrt {\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 4\cdot\frac{3}{16}\cdot\frac{25}{16}} }}{{2\cdot\frac{3}{16}}}$
$x_{E_1}=5$ und $x_{E_2}=\frac{5}{3}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Einsetzen von $x_{E_1}=5$ und $x_{E_2}=\frac{5}{3}$ liefert:
  • $f''(5)=\frac{3}{8}\cdot 5- \frac{5}{4}=\frac{5}{8}$
    Da $\frac{5}{8}>0$ ist, hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_{E1}=5$ ein lokales Minimum.
  • $f''\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{6}{16}\cdot\frac{5}{3}-\frac{5}{4}= -\frac{5}{8}$
    Da $-\frac{5}{8}<0$ hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_{E2}=\frac{5}{3}$ ein lokales Maximum.
4. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
  • $f(5)=\frac{1}{16}\cdot5^3-\frac{5}{8}\cdot 5^2+\frac{25}{16}\cdot 5= 0$.
  • $f\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{16}\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^3-\frac{5}{8}\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^2+\frac{25}{16}\cdot\frac{5}{3}\approx1,16$
Mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt sich, dass der Graph der Funktion $f$ einen Tiefpunkt im Punkt $\boldsymbol{T(5 \mid 0)}$ und einen Hochpunkt im Punkt $\boldsymbol{H\left(\frac{5}{3} \mid 1,16\right)}$ hat.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Die Größe eines Steigungswinkel einer Tangente in einem Punkt kannst du mit Hilfe der Steigung des Graphen berechnen. Die Steigung des Graphen von $f$ wird ja gerade durch die erste Ableitung von $f(x)$ beschrieben. Die Steigung im Wendepunkt kannst du berechnen, indem du den $x$-Wert des Wendepunkts in die erste Ableitung von $f$ einsetzt. Die Größe des Steigungswinkel kannst du mit dem Tangens $\text{tan}\;\alpha=m_w$ berechnen.
1. Schritt: Steigung berechnen
$m_w=f'\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{3}{16}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{5}{4}\cdot\frac{10}{3}+\frac{25}{16}=-0,521$
2. Schritt: Steigungswinkel berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}\;\alpha&=&-0,521 \quad \scriptsize \mid \text{tan}^{-1}\; \\[5pt] \alpha&=&-27,52 \end{array}$
Da das Ergebnis eine negative Zahl ist, weißt du, dass der gesuchte Winkel ein stumpfer Winkel ist. Um die richtige Größe des Winkels zu berechnen, musst du noch $180°$ addieren.
$\alpha=-27,52°+180°=152,52°$.
Die Größe des Steigungswinkel der Wendetangente beträgt $\boldsymbol{\alpha=152,52°}$.
$\blacktriangleright$  Graph der Funktion $f$ skizzieren
Berechne als erstes $f(8)$:
$f(8)=\frac{1}{16}\cdot 8^3-\frac{5}{8}\cdot 8^2+\frac{25}{16}\cdot 8=4,5$
Trage die beiden Nullpunkte, den Hochpunkt, den Tiefpunkt (gleich dem zweiten Nullpunkt) und den Endpunkt der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein und skizziere mit Hilfe dieser Punkte den Graphen $G_f$ der Funktion $f$.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
c) 
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ spiegeln
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichung von $g$ angeben. Die gesuchte Gleichung der Funktion $g$ erhälst du, indem du die Gleichung der Funktion $f$ mit $-1$ multiplizierst, dadurch wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt.
$g(x)=-f(x)=-\frac{1}{16}\cdot x^3+\frac{5}{8}\cdot x^2-\frac{25}{16}\cdot x$
$\blacktriangleright$  Graphen $\boldsymbol{G_g}$ skizzieren
Die Nullstellen der beiden Graphen sind gleich. Der Hochpunkt des Graphen $G_f$ ist im Graphen $G_g$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\frac{5}{3} \mid -1,16\right)$. Mit diesen Angaben kannst du den Graphen $G_g$ skizzieren.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
d) 
$\blacktriangleright$  Zeige, dass der Flächeninhalte des Körpers und der Schwanzflosse des Fisches für $\boldsymbol{b=2,8}$cm, gleich sind.
Flächeninhalt des Körpers berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Körpers des Fisches. Der Flächeninhalt des Fisches wird durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen geteilt. Die obere Fläche ist gerade die, die durch den Graph von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Du kannst also das Integral mit den Grenzen $0$ und $5$ (die beiden Nullpunkt) berechnen und diesen Flächeninhalt dann mit $2$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5}\hspace{-.15cm}\mathrm{f(x)}\;dx \\ &=&2\cdot\left[\frac{1}{64}x^4-\frac{5}{24}x^3+\frac{25}{32}x^2\right]^5_0\\[5pt] &=&0\cdot\left(\left(\frac{1}{64}\cdot 5^4-\frac{5}{24}\cdot 5^3+\frac{25}{32}\cdot 5^2\right)-\left(\frac{1}{64}\cdot 0^4-\frac{5}{24}\cdot 0^3+\frac{25}{32}\cdot 0^2\right)\right)\\[5pt] &=&2\cdot 3,26\approx 6,5 \end{array}$
Flächeninhalt der Schwanzflosse berechnen
Den Flächeninhalt der Schwanzflosse wird auch durch die $x$-Achse in zwei gleichgroße Flächen geteilt. Der Flächeninhalt oberhalb der $x$-Achse soll durch den Nullpunkt $N(5 \mid 0)$ und die Breite $b=2,8$ beschränkt werden. Der $x$-Wert der das Ende der Schwanzflosse beschreibt ist somit $x=5+2,8=7,8$. Du kannst das Integral mit den Grenzen $5$ und $7,8$ berechnen und anschließend den Flächeninhalt mit $2$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&2 \cdot \displaystyle\int_{5}^{7,8}\hspace{-.2cm}\mathrm f(x)\;dx \\ &=&2\cdot\left[\frac{1}{64}x^4-\frac{5}{24}x^3+\frac{25}{32}x^2\right]^{7,8}_5 \\[5pt] &=&2\cdot\left(\left(\frac{1}{64}\cdot 7,8^4-\frac{5}{24}\cdot 7,8^3+\frac{25}{32}\cdot 7,8^2\right)-\left(\frac{1}{64}\cdot 5^4-\frac{5}{24}\cdot 5^3+\frac{25}{32}\cdot 5^2\right)\right) \\[5pt] &=&2\cdot 3,25\approx 6,5 \end{array}$
Für die Breite $b=2,8\text{cm}$ der Schwanzflosse sind die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich.
$\blacktriangleright$  Höhe der Schwanzflosse berechnen
Die Schwanzflosse soll $2,8$cm breit sein, der $x$-Wert ist somit $x=7,8$. Die Höhe erhälst du dann, indem du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Beachte auch hier, dass die Höhe der Schwanzflosse durch die $x$-Achse in der Hälfte geteilt wird. Um also die Höhe zu berechnen, musst du das Ergebnis noch mit $2$ multiplizieren.
$f(7,8)=3,82$
$h=2\cdot 3,82=7,6$
Da eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht, ist die Höhe der Schwanzflosse $\boldsymbol{7,6}$ cm.
e) 
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel ermitteln
Den Flächeninhalt der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen $G_f$ und $G_g$ in den Punkten $T_1(1\mid 1)$ und $T(1 \mid -1)$ und der Geraden $h$ auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Berechne zuerst eine der beiden Tangenten und die Schnittpunkte der Tangenten mit der $x$-Achse. Anschließend kannst du die Schnittpunkte der beiden Tangenten mit der Geraden $h$ berechnen. Du erhältst drei Punkte. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann gerade der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden $h$ und der Tangenten und die Höhe ist die Länge des Fisches ($7,8$ cm) und dazu musst du dann noch den Abstand des Schnittpunktes mit der $x$-Achse bis zum Ursprung addieren.
1. Schritt: Tangenten berechnen
$m_t=f'(1)=0,5$
$1=0,5\cdot x +c \rightarrow c=0,5$
$t: y=0,5x+0,5$.
2. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&0,5x+0,5& \quad \scriptsize \mid -0,5\; \\[5pt] -0,5&=&0,5x &\quad \scriptsize \mid :0,5\; \\[5pt] -1&=&x& \end{array}$
Die Tangente schneidet die $x$-Achse im Punk $Q(-1\mid 0)$.
3. Schritt: Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden $\boldsymbol{h}$ berechnen
$h:=7,8$
$y=0,5\cdot 7,8+0,5= 4,4$
Die Tangente schneidet die Gerade $x=7,8$ im Punkt $R(7,8 \mid 4,4)$.
4. Schritt: Fläche berechnen
Die Grundseite des Dreiecks beträgt somit: $g=2\cdot y_R=2\cdot 4,4=8,8$
Höhe des Dreiecks:
$h=1+7,8=8,8$LE.
$A=\frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{h}= \frac{1}{2}\cdot 8,8 \cdot 8,8=38,72$ FE.
Da eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht, beträgt der Flächeninhalt der Grundseite der Schachtel rund $\boldsymbol{39\text{cm}^2}$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App