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Analysis 1.1

Aufgaben
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Aufgabe 1.1: Medikament

Nach der Einnahme eines Medikaments geht der Wirkstoff des Medikaments in das Blut über, wobei sich die Konzentration des Wirkstoffs im Blut mit der Zeit verändert.
Die Konzentration wird für $0 \leq t \leq 6$ durch die Funktion $f$ mit $f(t)=\dfrac{1}{4}t^3 - 3 t^2 + 9t $ beschrieben (Graph siehe Abbildung 1). Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden seit Beginn der Einnahme und $f(t)$ die Konzentration in μg pro Liter.
#graph
a)
Gib anhand des Graphen die Zeitintervalle an, in denen die Konzentration des Wirkstoffs im Blut zunimmt und in denen sie abnimmt.
Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration des Wirkstoffs im Blut mindestens $3,7$ μg pro Liter beträgt.
Gib ein Zeitintervall an, in dem das Medikament wirksam ist.
Berechne die Nullstellen von $f$.
(6P)
#intervall#nullstelle
b)
Gib anhand des dargestellten Graphen die Koordinaten des Hochpunktes an.
Weise rechnerisch nach, dass die Konzentration des Wirkstoffs nach $6$ Stunden ein Minimum erreicht.
(5P)
#extrempunkt
c)
Bestimme für den Zeitpunkt $t = 4\,$h die momentane Änderungsrate der Konzentration des Wirkstoffs im Blut.
Berechne den Zeitpunkt, in dem die Konzentration des Wirkstoffs im Blut am stärksten abnimmt.
(6P)
d)
Ein Pharmakonzern hat ein anderes Medikament entwickelt, bei dem die Konzentration des Wirkstoffs im Blut im Intervall $[0;5]$ durch die Funktion $k$ mit $k(t)=at^3 + bt^2 + 5t$ bestimmt werden kann.
Bekannt ist, dass bei der vorgesehenen Einnahme
  • die Konzentration nach $5$ Stunden wieder den Wert null erreicht,
  • bei $t = 5$ sich die Konzentration nicht ändert, d. h. die Änderungsrate auf null sinkt.

Ermittle aus diesen Angaben die Parameter der Funktion $k$.
[Zur Kontrolle: $a = 0,2$ ; $b = −2$]
(8P)
#intervall#parameter
e)
Die Änderungsraten der beiden Konzentrationen lassen sich anhand der Ableitungsfunktionen $f′$ bzw. $k′$ beschreiben.
Untersuche, ob es im Intervall $[0;5]$ einen Zeitpunkt gibt, in dem die Änderungsraten der beiden Konzentrationen gleich sind.
(5P)
#ableitung#intervall
f)
Zeichne den Graphen der Funktion $k$ in das gegebene Koordinatensystem.
Beschreibe anhand der Graphen von $f$ und $k$ drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Konzentration der Medikamente.
Der Pharmakonzern behauptet: „Vom Medikament $f$ wird etwa doppelt so viel Wirkstoff aufgenommen wie vom Medikament $k$.“
Erläutere, wie diese Behauptung überprüft werden könnte.
(10P)
(40P)
#graph
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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Aufgabe 1.1: Medikament

a)
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle für Zunahme und Abnahme angeben
Ein markanter Punkt stellt in diesem Zusammenhang der Hochpunkt dar, da nach diesem die Funktion zunächst einmal fällt. Du kannst diesen durch Betrachten des Graphen bestimmen. Ein Zeitintervall, in dem die Konzentration zunimmt, ist der Bereich von Beginn des Definitionsbereich bis zum Hochpunkt.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmen
In diesem Fall ist besonders auf die Wortwahl der Aufagenstellung zu achten. Du kannst hier jedes beliebige Zeitintervall, in dem die Kurve einen Wert von mindestens $f(t)=3,7$ annimmt, angeben.
$\blacktriangleright$  Nullstellen von f berechnen
Du kannst als erstes den Funktionsterm von f gleich Null setzen.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunktes angeben
Hierfür kannst du den Graphen zur Hand nehmen und den Hochpunkt ablesen.
$\blacktriangleright$  Rechnerisch ein Minimum nach 6 Stunden nachweisen
Um die Koordinaten der Tiefpunkte zu berechnen, kannst du zunächst die Bedingungen für eine Minimalstelle $t_E$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f'(t_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f''(t_E) > 0$
c)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bei $\boldsymbol{t=4h}$ bestimmen
Um diese zu bestimmen, kannst du $t=4$ in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen, bei dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Um diesen Zeitpunkt zu bestimmen, kannst du die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der ersten Ableitung von $f(t)$ bestimmen.
Notwendige Bedingung: $f''(t_{S_{max}}) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f'''(t_{S_{max}}) > 0$
d)
$\blacktriangleright$  Parameter der Funktion k ermitteln
Die Form der Funktionsgleichung ist hier bereits vorgegeben. Es gibt zwei Funktionsparameter $a$ und $b$, die bestimmt werden müssen. Dafür brauchst du zwei eindeutige Funktionswerte.
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleicher Änderungsrate der beiden Funktionen bestimmen
Um dies zu überprüfen, kannst du die Ableitungen der beiden Funktionen gleichsetzen.
f)
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion k zeichnen
Du kannst hier mit Hilfe der Bestimmung markanter Punkte des Graphen beginnen, um schließlich den Graphen in das gegebene Koordinatensystem einzuzeichnen.
$\blacktriangleright$  Drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Graphen f und k beschreiben
Für diese Aufgabe kannst du die beiden Graphen nochmals betrachten und drei beliebige Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung beschreiben.
$\blacktriangleright$  Behauptung des Pharmakonzerns überprüfen
Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist.
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Aufgabe 1.1: Medikament

a)
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle für Zunahme und Abnahme angeben
Ein markanter Punkt stellt in diesem Zusammenhang der Hochpunkt dar, da nach diesem die Funktion zunächst einmal fällt. Du kannst diesen durch Betrachten des Graphen bestimmen. Ein Zeitintervall, in dem die Konzentration zunimmt, ist der Bereich von Beginn des Definitionsbereich bis zum Hochpunkt.
Der Punkt $H (2\,|\,8)$ stellt den Hochpunkt dar.
Der Bereich, in dem die Konzentration zunimmt, ist $0.
Das Zeitintervall vom Hochpunkt bis zum Ende des Definitionsbereichs stellt hier den Bereich dar, in dem die Konzentration abnimmt.
Der Bereich, in dem die Konzentration abnimmt, ist $2.
Wichtig: Beachte den Definitionsbereich $0 \le t \le 6$ der Funktion $f(t)$.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist, bestimmen
In diesem Fall ist besonders auf die Wortwahl der Aufagenstellung zu achten. Du kannst hier jedes beliebige Zeitintervall, in dem die Kurve einen Wert von mindestens $f(t)=3,7$ annimmt, angeben.
Ein Beispiel hierfür wäre das Intervall $1.
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du kannst als erstes den Funktionsterm von f gleich Null setzen.
$f(t) = \frac{1}{4}t^3 - 3t^2 + 9t = 0 $
Zunächst ist es sinnvoll, ein t auszuklammern.
$t\cdot(\frac{1}{4}t^2-3t+9) = 0 $
Mit dem Satz des Nullprodukts erhältst du die erste Nullstelle bei $t_1 = 0$.
Die zweite und dritte Nullstelle kannst du mit der PQ-Formel bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}t^2-3t+9=0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot4 \\[5pt] t^2-12t+36=0 \end{array}$
Du erhältst nun für $p=-12$ und für $q=36$.

$\begin{array}[t]{rll} t_{2,3} &=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}\\[5pt] t_{2,3} &=& - \dfrac{(-12)}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{(-12)}{2}} \right)^2 - 36} \\[5pt] t_2&=& 6\quad \scriptsize \\[5pt] t_3&=& 6\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_2&=& 6\quad \scriptsize \\[5pt] t_3&=& 6\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst eine doppelte Nullstelle bei $t_{2,3} = 6$.
Die Koordinaten der Nullstelle lauten also $N_1(0\,|\,0)$, $N_2(6\,|\,0)$ und $N_3(6\,|\,0)$.
#extrempunkt#definitionsbereich#satzvomnullprodukt#pq-formel
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunktes angeben
Hierfür kannst du den Graphen zur Hand nehmen und erkennen, dass der Hochpunkt bei $H (2\,|\,8)$ liegt.
$\blacktriangleright$  Rechnerisch ein Minimum nach 6 Stunden nachweisen
Um die Koordinaten der Tiefpunkte zu berechnen, kannst du zunächst die Bedingungen für eine Minimalstelle $t_E$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f'(t_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f''(t_E) > 0$
Zuerst benötigt man also die erste und zweite Ableitung von $f(t)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=&\frac{3}{4}t^2-6t+9 \\[5pt] f''(t)&=&\frac{3}{2}t-6 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 0 \\[5pt] 0&=&\frac{3}{4}t^2-6t+9 & \mid \cdot\frac{4}{3} \\[5pt] 0&=&t^2-8t+12 \end{array}$
Nun kann man die PQ-Formel anwenden.
$t_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$t_{1,2} = - \dfrac{(-8)}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{(-8)}{2}} \right)^2 - 12}$
$t_{E_1}=6$ und $t_{E_2}=2$
$t_{E_1}=6$ und $t_{E_2}=2$
3. Schritt: Hinreichende Bedingungen überprüfen
Einsetzen von $t_{E_1}=6$ ergibt:
$f''(6) = \frac{3}{2}\cdot6-6 = 3 > 0$
Da $3>0$ ist, hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $t_{E_1}=6$ ein lokales Minimum.
#ableitung#pq-formel
c)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bei $\boldsymbol{t=4h}$ bestimmen
Um diese zu bestimmen, kannst du $t=4$ in die 1. Ableitung der Funktion einsetzen:
$f'(4) $$= \frac{3}{4}\cdot4^2-6\cdot4+9 $$= -3$
Die momentane Änderungsrate des bei $t $$= 4$ beträgt also $-3$ µg pro Liter pro Stunde.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen, bei dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Um diesen Zeitpunkt zu bestimmen, kannst du die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der ersten Ableitung von $f(t)$ bestimmen.
Notwendige Bedingung: $f''(t_{S_{max}}) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f'''(t_{S_{max}}) > 0$
Die zweite Ableitung hast du bereits im Aufgabenteil b) gebildet.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$f''(t_{S_{max}}) = \frac{3}{2}t_{S_{max}}-6$
$f'''(t_{S_{max}}) = \frac{3}{2}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(t_{S_{max}})&=& 0 \\[5pt] \frac{3}{2}t_{S_{max}}-6&=& 0 &\mid\; +6 \\[5pt] \frac{3}{2}t_{S_{max}} &=& 6 &\mid\; \cdot \frac{2}{3} \\[5pt] t_{S_{max}} &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
$f'''(t) = \frac{3}{2}$, unabhängig von $t$.
Da $\frac{3}{2}>0$ ist, hat der Graph der Funktion $f'$ an der Stelle $t_{S_{max}}=4$ ein lokales Minimum.
Damit nimmt die Konzentration des Wirkstoffs im Blut $4$ Stunden nach Einnahme am stärksten ab.
#ableitung#extrempunkt
d)
$\blacktriangleright$  Parameter der Funktion k ermitteln
Die Form der Funktionsgleichung ist hier bereits vorgegeben. Es gibt zwei Funktionsparameter $a$ und $b$, die bestimmt werden müssen. Dafür brauchst du zwei eindeutige Funktionswerte.
1. Schritt: Die gegebenen "Tipps" mathematisch darstellen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&k(5)&=\quad 0 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&k'(5)&=\quad0\\ \end{array}$
Du brauchst also den Funktionsterm der Ableitung $k'(t)$.
$\begin{array}[t]{rll} k'(t) &=& 3 \cdot a \cdot t^2 + 2 \cdot b \cdot t+5 &\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k'(t) &=& … \end{array}$
Nun kannst du mit der Aufstellung des Gleichungssystems fortfahren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=\quad a\cdot5^3+b\cdot5^2+25 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&0&= \quad 3a\cdot5^2+2b\cdot5+5 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=\quad 125a+25b+25 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{II}\quad&0&=\quad 75a+10b+5 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=\quad … \\ \text{II}\quad&0&= \quad … \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0&=\quad … \\ \text{II}\quad&0&=\quad … \\ \end{array}$
2. Schritt: Lineares Gleichungssystem lösen
Zunächst ist es sinnvoll, die Gleichung $I$ nach $b$ aufzulösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&b&=\quad (-5)a-1 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \end{array}$
Dann kannst du $b$ in Gleichung $II$ ersetzen und denn Funktionsterm nach $a$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{IIa}\quad&0&= \quad 75a+10\cdot(-5a-1)+5 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{IIa}\quad&a&= \quad 0,2 \\ \end{array}$
$ IIa \quad a \quad = \quad 0,2 $
Zu guter Letzt kannst du den errechneten Wert für $a$ in Gleichung $I$ einsetzen und somit $b$ bestimmen.
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad&b&=\quad (-5)\cdot0,2-1 \scriptsize\text{}\text{}\text{}\\ \text{Ia}\quad&b&= \quad -2 \\ \end{array}$
Die Parameter der Funktion $k$ sind also $a=0,2$ und $b=-2$.
#ableitung#funktionswert#lgs
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit gleicher Änderungsrate der beiden Funktionen bestimmen
Um dies zu überprüfen, kannst du die Ableitungen der beiden Funktionen gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=&k'(t) \\[5pt] \frac{3}{4}t^2-6t+9&=& 0,6t^2-4t+5 \\[5pt] 0,15t^2-2t+4 &=& 0 &\mid\; ÷ 0,15 \\[5pt] t^2-13,33t+26,67 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ t^2-13,33t+26,67 = 0 $
Die Gleichung kann mithilfe der PQ-Formel gelöst werden:
$t_{1,2} = - \dfrac{-13,33}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-13,33}{2}} \right)^2 - 26,67}$
$t_1 = 2,45$
($t_2 = 10,883$)
$ t_1 = 2,45 $
Damit ergibt sich genau ein Zeitpunkt im Intervall $[0;5]$, in dem die Änderungsraten der beiden Funktionen gleich sind.
#pq-formel
f)
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion k zeichnen
Analysis 1.1
Abb. 1: f(t) und k(t)
Analysis 1.1
Abb. 1: f(t) und k(t)
$\blacktriangleright$  Drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der Graphen f und k beschreiben
Für diese Aufgabe kannst du die beiden Graphen nochmals betrachten und drei beliebige Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung beschreiben, beispielsweise:
  1. Die Konzentration steigt beim Medikament f im Zeitraum $0 schneller an, als beim Medikament k.
  2. Der Hochpunkt der Konzentration wird beim Medikament f zum Zeitpunkt $t_H=2$, beim Medikament k bereits früher, erreicht.
  3. Beim Medikament k ist bereits nach 5 Stunden die Konzentration auf 0 µg pro Liter abgesunken, beim Medikament f dauert dies 6 Stunden.
$\blacktriangleright$  Behauptung des Pharmakonzerns überprüfen
Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist. Eine mögliche Lösung wäre also:
Man kann die Behauptungen überprüfen, in dem man für beide Funktionsterme über den Definitionsbereich das Integral bestimmt. Sollte das Ergebnis von $∫f(t)$ hier etwa doppelt so groß wie $∫k(t)$ ausfallen, wäre die Behauptung richtig.
#integral
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