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Analysis 2.2

Aufgaben
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Hormonpflaster

Mit einem Pflaster können einer Person durch die Haut Medikamente zugeführt werden, z.B. Hormone. Diese Pflaster geben über einen langen Zeitraum hinweg Hormone ab.
Eine Arzneimittelfirma hat solche Pflaster an Personen getestet, deren körpereigene Hormonproduktion lediglich $50 \,\% $ des Sollwertes beträgt. Der Sollwert liegt bei $100 \,\%$.
a)
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $t \mapsto + \infty.$
Ermittle, wann der maximale Wert des Hormonspiegels erreicht wird und berechne diesen Wert.
Es genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.
(6 BE)
b)
Wenn der Hormonspiegel stark abfällt, werden vermehrt Nebenwirkungen beobachtet.
Ermittle den Zeitpunkt, an dem der Hormonspiegel am stärksten fällt. (Es genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung).
Berechne für diesen Zeitpunkt den Wert des Hormonspiegels.
Gib für diesen Zeitpunkt die lokale Änderungsrate in $\,\%$ pro Tag an.
Berechne die mittlere Änderungsrate des Hormonspiegels in den ersten sieben Tagen nach Beginn der Behandlung.
(6 BE)
c)
Weise nach, dass $\dfrac{1}{70}\cdot\displaystyle\int_{0}^{70}h(t)\;\mathrm dt> 100$ gilt.
(2 BE)
#integral
d)
Bei einem Patienten wird das Pflaster nach $70$ Tagen entfernt. Der Hormonspiegel kann danach durch eine Gerade $g$ beschrieben werden, die im Punkt $p (70 \mid h(70))$ tangential zum Graphen von $h$ verläuft.
Ermittle eine Gleichung für $g$.
[Kontrollergebnis: $g(t)\approx -0,88 \cdot t +145,4$ ]
Untersuche im Sachzusammenhang, ab welchem Zeitpunkt eine Beschreibung des Hormonspiegels durch die Gerade $g$ nicht mehr sinnvoll sein kann.
(5 BE)
#tangente
e)
Der durch das Hormonpflaster über den Wert $100$ ansteigende Hormonspiegel soll bei manchen Patienten vermieden werden.
Ermittle, wann ein solcher Patient das Pflaster entfernen sollte und gib an, wie viele Tage er sonst einen Hormonspiegel von $100$ oder mehr hätte.
(4 BE)
f)
Patienten, deren Hormonspiegel den Wert $100$ nicht übersteigen soll, erhalten die Anweisung, das Pflaster am $10.$Tag zu entfernen. Ihr Hormonspiegel nimmt ab diesem Moment exponentiell gemäß der Funktion $f(t)=a\cdot e^{b\cdot t}$ ab und erreicht bereits am $30.$ Tag den Wert $h(70)$.
Gib $h(10)$ an und beurteile die Höhe des Hormonspiegels $h(10)$ hinsichtlich eines möglichen Risikos für diese Patienten.
Begründe, dass für die Funktion $f$ die beiden Bedingungsgleichungen $(I)$ und $(II)$ für $a$ und $b$ erfüllt werden müssen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a\cdot e ^{10b} &\approx& 104 \\ \text{II}\quad&a \cdot e^{30b}&\approx& 84 \\ \end{array}$
Berechne $a$ und $b$ und gib den Funktionsterm $f(t)$ an.
(8 BE)
g)
Der Hersteller möchte die Wirkstoffmenge in den Pflastern erhöhen und geht davon aus, dass der Hormonspiegel dann durch eine Funktion $h_k$ mit folgender Gleichung beschrieben werden kann:
$h_k(t)=k\cdot t \cdot e^{-0,04 \cdot t}+50, t\geq 0$ und $k\geq 0$.
Ermittle, ab welchem Wert von $k$ der Hormonspiegel am $70$. Tag noch mindestens den Wert $100$ erreicht.
(3 BE)
h)
Vergleiche den Verlauf des Graphen von
$h(t)=8t \cdot e ^ {-0,04 \cdot t}+50$ mit einem Graphen von
$h_k(t)=k\cdot t \cdot e^{-0,04\cdot t}+50$ für einen frei wählbaren Wert von $k$ mit $k> 8$ und nenne mindestens drei Gemeinsamkeiten der Unterschiede, die Ihnen beim Vergleich auffallen.
(6 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#cas
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte untersuchen
Für $t\to +\infty$ gilt:
$h(t) = 8t\cdot \underbrace{\mathrm e^{\underbrace{-0,04\cdot t}_{\to -\infty}}}_{\to 0} +50 \to 50 $
$\blacktriangleright$  Maximalen Wert des Hormonspiegels ermitteln
Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $h.$
1. Schritt: Ableitung bilden
Definiere $h$ und die zugehörige erste Ableitungsfunktion $h'$ in deinem CAS. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
Mit dem solve-Befehl deines CAS erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] t &=& 25 \end{array}$
Die einzige mögliche Extremstelle von $h$ ist $t=25.$ Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Anwendung der notwendigen Bedingung genügt, kannst du davon ausgehen, dass dies die Stelle mit dem maximalen Funktionswert ist.
$25$ Tage nach Beginn der Behandlung ist der maximale Wert des Hormonspiegels erreicht.
3. Schritt: Maximalen Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(25) &=& 8\cdot 25 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 25}+50 \\[5pt] &\approx& 123,58 \end{array}$
$ h(25)\approx 123,58 $
Der maximale Wert des Hormonspiegels beträgt ca. $123,58$ Prozentpunkte und wird $25$ Tage nach Beginn der Behandlung erreicht.
#cas#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Abfall ermitteln
Die momentane Änderungsrate des Hormonspiegels wird durch die erste Ableitungsfunktion $h'$ beschrieben. Gesucht ist also der minimale Funktionswert von $h'.$
Bestimme also die möglichen Extremstellen von $h'.$
Definiere zunächst die zweite Ableitung $h''$ von $h$ in deinem CAS und wende dann das notwendige Kriterium für Extremstellen von $h'$ an. Die Gleichung kannst du wieder mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} h''(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] t &=& 50 \end{array}$
Da die Verwendung der notwendigen Bedingung genügt, kannst du davon ausgehen, dass es sich hier um den Zeitpunkt mit dem stärksten Gefälle handelt.
$50$ Tage nach Beginn der Behandlung fällt der Wert des Hormonspiegels am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Wert des Hormonspiegels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(50) &=& 8\cdot 50 \cdot \mathrm e{-0,04\cdot 50} +50 \\[5pt] &\approx& 104,13 \end{array}$
$ h(59)\approx 104,13 $
Zu dem Zeitpunkt, zu dem der Wert des Hormonspiegels am stärksten abfällt, beträgt der Wert des Hormonspiegels ca. $104,13$ Prozentpunkte.
$\blacktriangleright$  Lokale Änderungsrate angeben
Die lokale Änderungsrate wird durch die Funktion $h'$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} h'(50)&=& (8-0,32\cdot 50)\cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 50} \\[5pt] &\approx& -1,08 \end{array}$
$ h'(50)\approx -1,08 $
Zu dem Zeitpunkt, zu dem der Wert des Hormonspiegels am stärksten abfällt, fällt der Hormonspiegel um ca. $1,08$ Prozentpunkte pro Tag.
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate berechnen
Die mittlere Änderungsrate lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{h(7) - h(0)}{7-0}\\[5pt] &=& \dfrac{8\cdot 7 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 7} +50 - \left(8\cdot 0 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 0} +50 \right)}{7-0} \\[5pt] &=& \dfrac{56 \cdot \mathrm e^{-0,28}}{7} \\[5pt] &\approx& 6,05 \end{array}$
$ \overline{m}\approx 6,05 $
In den ersten sieben Tagen nach Beginn der Behandlung nimmt der Wert des Hormonspiegels im Mittel um ca. $6,05$ Prozentpunkte pro Tag zu.
#änderungsrate
c)
$\blacktriangleright$  Ungleichung nachweisen
Den Wert des Integrals kannst du mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} & \frac{1}{70}\cdot \displaystyle\int_{0}^{70}h(t)\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] =& \frac{-1.900}{7}\cdot \mathrm e^{-\frac{14}{5}} +\frac{850}{7} \\[5pt] \approx& 104,9\, > 100 \end{array}$
#cas
d)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Bestimme die Gleichung der Tangente $g:\, y= m\cdot x +b$ an den Graphen von $h$ im Punkt $P(70\mid h(70)).$ Diese Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph von $h$ in diesem Punkt. Also folgt mithilfe des CAS:
$m = h'(70) = -14,4 \cdot \mathrm e^{-2,8}$
Mithilfe einer Punktprobe kannst du $b$ berechnen. Bestimme dazu zunächst $h(70):$
$h(70) = 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50$
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $P\left(70\mid 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \right)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g(70) &=& 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \\[5pt] m\cdot 70 + b &=& 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 &\quad \scriptsize \mid\; m = -14,4 \cdot \mathrm e^{-2,8}\\[5pt] -14,4 \cdot \mathrm e^{-2,8}\cdot 70 +b &=& 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \\[5pt] -1.008\cdot \mathrm e^{-2,8} +b &=& 560 \cdot \mathrm e^{-2,8} +50 &\quad \scriptsize \mid\; +1.008\cdot \mathrm e^{-2,8} \\[5pt] b &=& 1.568\cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \end{array}$
$ b= 1.568\cdot \mathrm e^{-2,8} +50 $
Eine Gleichung für $g$ ist also:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& -14,4 \cdot \mathrm e^{-2,8}t +1.568\cdot \mathrm e^{-2,8} +50 \\[5pt] &\approx& -0,88t + 145,4 \end{array}$
$ g(t) \approx -0,88t + 145,4 $
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt untersuchen
Die Pflaster werden an Personen getestet, deren körpereigene Hormonproduktion lediglich $50\,\%$ des Sollwertes beträgt. Sobald die Modellierung also unter $50$ Prozentpunkte fällt, ist die Beschreibung durch die Gerade nicht mehr sinnvoll. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& 50 \\[5pt] -0,88t + 145,4 &=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx& 108,4 \end{array}$
$ t \approx 108,4 $
Etwa ab dem 109. Tag nach Beginn der Behandlung, also $39$ Tage nach Entfernung des Pflasters, ist eine Beschreibung durch die Gerade $g$ nicht mehr sinnvoll.
#tangente#cas
e)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt angeben
Bestimme den Zeitraum, für den $h(t) > 100$ gilt, indem du $h(t)=100$ mit dem solve-Befehl deines CAS löst:
$\begin{array}[t]{rll} h(t) & = & 100 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_1 &\approx& 8,9 \\[5pt] t_2 &\approx& 53,8 \end{array}$
Der Abbildung des Aufgabenblattes kannst du entnehmen, dass der Hormonspiegel in diesem Intervall $[t_1;t_2]$ über $100$ liegt.
Nach ca. $9$ Tagen sollte das Hormonpflaster also entfernt werden. Andernfalls hätte er $53,8-8,9 \approx 45$ Tage lang einen Hormonspiegel von $100$ oder mehr.
#cas
f)
$\blacktriangleright$  Wert des Hormonspiegels angeben
$\begin{array}[t]{rll} h(10) &=& 8\cdot 10 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 10} +50 \\[5pt] &\approx& 103,6 \end{array}$
$ h(10)\approx 103,6 $
Am 10. Tag beträgt der Wert des Hormonspiegels ca. $103,6$ Prozentpunkte. Das liegt mit ca. $3,6$ Prozentpunkten nur leicht über dem Sollwert von $100$ und ist daher vermutlich relativ unbedenklich.
$\blacktriangleright$  Bedingungsgleichungen begründen
Die Funktion $f$ soll durch eine Gleichung der Form $f(t)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot t}$ beschrieben werden.
Zu dem Zeitpunkt, zu dem das Pflaster entfernt wird, muss die Funktion $f$ an die Funktion $h$ anschließen. Es muss also $f(10) = h(10)$ sein. Da $h(10) \approx 104$ und $f(10)= a\cdot \mathrm e^{10b}$ ist, entsteht so die erste Gleichung.
Es ist angegeben, dass der Hormonspiegel gemäß der Funktion $f$ bereits am $30.$ Tag den Wert $h(70)$ erreicht:
$h(70)= 8\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} +50 \approx 84$
$ h(70)\approx 84 $
Es muss also gelten $f(30)= h(70),$ wobei $f(30)= a\cdot \mathrm e^{30b}$ und $h(70)\approx 84$ ist. Daraus entsteht also die zweite Bedingungsgleichung.
$\blacktriangleright$  Parameterwerte berechnen
Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a\cdot \mathrm e^{10b} &=& 104 \\ \text{II}\quad& a\cdot \mathrm e^{30b} &=& 84 \\ \end{array}$
Forme beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ um:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad a\cdot \mathrm e^{10b} &=& 104 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{10b} \\[5pt] a &=& \dfrac{104}{\mathrm e^{10b}} \\[5pt] \end{array}$
$ a=\dfrac{104}{\mathrm e^{10b}} $
Setze dies in die zweite Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad a\cdot \mathrm e^{30b} &=& 84 &\quad \scriptsize \mid\;a=\dfrac{104}{\mathrm e^{10b}} \\[5pt] \dfrac{104}{\mathrm e^{10b}} \cdot \mathrm e^{30b} &=& 84 \\[5pt] 104 \cdot \mathrm e^{20b} &=& 84 &\quad \scriptsize \mid\; :104 \\[5pt] \mathrm e^{20b} &=& \dfrac{84}{104}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] 20b &=& \ln \left( \dfrac{84}{104}\right) &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] b &=& \frac{1}{20} \cdot \ln \left( \dfrac{84}{104}\right) \\[5pt] &\approx & -0,01 \end{array}$
$ b\approx -0,01 $
Für $a$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{104}{\mathrm e^{10b}} &\quad \scriptsize \mid\;b=\frac{1}{20} \cdot \ln \left( \dfrac{84}{104}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{104}{\mathrm e^{10\cdot \frac{1}{20} \cdot \ln \left( \frac{84}{104}\right)}} \\[5pt] &=& \dfrac{104}{\left(\frac{84}{104} \right)^{\frac{1}{2}}} \\[5pt] &=& 104\cdot \sqrt{\frac{26}{21}} \\[5pt] &\approx& 115,72 \end{array}$
$ a\approx 115,72 $
Eine Gleichung der Funktion $f$ lautet:
$f(t) \approx 115,72 \cdot \mathrm e^{-0,01t}$
g)
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Es soll $h_k(70)\geq 100$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} h_k(70) &\geq& 100 \\[5pt] k\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} +50 & \geq & 100 &\quad \scriptsize \mid\; -50 \\[5pt] k\cdot 70 \cdot \mathrm e^{-0,04\cdot 70} & \geq & 50 &\quad \scriptsize \mid\; :70 \\[5pt] k\cdot \mathrm e^{-2,8}&\geq& \frac{5}{7} &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-2,8} \\[5pt] k &\geq& \frac{5\cdot \mathrm e^{2,8}}{7} \approx 11,7 \end{array}$
$ k\geq \frac{5\cdot \mathrm e^{2,8}}{7} \approx 11,7 $
Ab $k\approx 11,7$ erreicht der Hormonspiegel am $70.$ Tag noch mindestens den Wert $100.$
h)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Graphen vergleichen
Du sollst mindestens drei Gemeinsamkeiten oder Unterschiede angeben. Vergleiche also:
$h(t) = 8t\cdot \mathrm e^{-0,04t}+50$
$h_k(t) = kt\cdot \mathrm e^{-0,04t}+50;$ $k>8$
Der einzige Unterschied der beiden Funktionsterme ist der Faktor $k.$ Es gilt $h(t) = h_8(t).$
Ein Vergrößerung dieses Faktors führt zu einer Streckung des Graphen entlang der $y$-Achse.
Je größer der Faktor $k$ ist, desto größer können generell auch die Funktionswerte werden. Es ergeben sich beispielsweise folgende Punkte:
  • Es gilt $h(0) = 50$ und auch $h_k(0) = 50$ unabhängig von $k.$ Die Graphen von $h$ und $h_k$ verlaufen also durch den Punkt $P(0\mid 50).$
  • Da $k>8$ vorgegeben ist, nimmt $h_k$ für $t> 0$ größere Funktionswerte als $h$ an. Für $t> 0$ verläuft der Graph von $h_k$ also oberhalb des Graphen von $h.$
  • Durch den positiven Faktor $k$ wird die Anzahl und die Art der Extrempunkte nicht verändert. Der Graph von $h$ und der Graph von $h_k$ besitzen also die gleiche Anzahl und Art von Extrempunkten.
  • Beide Graphen besitzen eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=50.$
#extrempunkt#asymptote
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