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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Auf dem Dach des Hauses der Werbeagentur „Modern Art“ wird das Werbelogo der Firma als dreieckiges Schild $P_{1}P_{2}P_{3}$ montiert.
Es gilt: $1\,\text{LE}=1\,\text{m}.$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
a) Der Punkt $A(10\mid8\mid6)$ ist ein Eckpunkt der rechten Dachfläche.
Geben Sie die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte $B$, $C$ und $D$ dieser Dachfläche an.
Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Ebene, in der die Dachfläche $ABCD$ liegt. Zeigen Sie, dass diese Ebene durch die Gleichung $3y+4z=48$ beschrieben werden kann.
Berechnen Sie den Neigungswinkel dieser Dachfläche gegenüber der Ebene $ABEF$.
(10P)
b) Gegeben ist die Geradenschar
$g_{t}:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6-4t\\7,5+3t\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix} r,\;t\in\mathbb{R}$.
Weisen Sie nach, dass die Geradenschar $g_t$ die Ebene beschreibt, in der die rechte Dachfläche $ABCD$ liegt.
Auf der Dachfläche wird ein Metallträger 30 cm über der Ebene $ABEF$ parallel zur Dachkante $\overline{AB}$ angebracht. Die Lage des Metallträgers kann durch eine Gerade der Schar $g_t$ beschrieben werden.
Berechnen Sie den Parameterwert $t$.
(7P)
c) Der Metallträger ist 3 m lang. Er wird mit einem Ende auf dem Dach im Punkt $P_{1}(5\mid7,6\mid6,3)$ befestigt und parallel zu $\overline{AB}$ ausgerichtet.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P_2$, in dem das andere Ende des Metallträgers befestigt wird.
Der Metallträger bildet die Grundseite des Schildes $P_{1}P_{2}P_{3}$. Der dritte Eckpunkt des Schildes ist $P_{3}(3\mid6,7\mid7,5)$. Er liegt oberhalb der Dachfläche.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Schildes. Bestimmen Sie den Winkel, der von der Dachfläche und diesem Werbeschild eingeschlossen wird.
(9P)
d) Die Gerade $g_{-0,4}$ ist die Schnittgerade einer Ebenenschar.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenenschar in Koordinatenform.
(4P)

(30P)
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Eckpunkte bestimmen
In dieser Aufgabe wird die Dachfläche einer Werbeagentur untersucht.
Gegeben ist der Punkt $A(10\mid8\mid6)$, der einen Eckpunkt der rechten Dachfläche $ABCD$ darstellt.
Du sollst nun die Koordinaten der anderen Eckpunkte dieser Dachfläche bestimmen.
Dazu kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Die hintere Wand liegt auf der $y$–Achse und die linke Wand auf der $x$–Achse.
  • Die Hauswand hat eine Höhe von 6 m.
  • Das Haus ist 10 m lang und 8 m breit.
  • Das Dach ist 3 m hoch.
$\blacktriangleright$ Parametergleichung aufstellen
Hier sollst du zeigen, dass die Ebene $E_{ABCD}$ auch durch die Koordinatengleichung $3y+4z=48$ dargestellt werden kann.
Wandle dazu die Parametergleichung in die Koordinatengleichung um.
Diese hat die allgemeine Form:
$E:\quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=b$
$n_1$, $n_2$ und $n_3$ stellen die $x$–, $y$– und $z$–Komponente des Normalenvektor der Ebene dar. Der Wert $b$ kann ermittelt werden, indem du die Koordinaten eines Punktes einsetzt, der garantiert in der Ebene liegt.
Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene und damit senkrecht auf allen Vektoren steht, die in der Ebene enthalten sind, kannst du $\overrightarrow{n}$ bestimmen, indem du das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von $E_{ABCD}$ bildest.
Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren.
  2. Setze $\vec{n}$ in die allgemeine Form ein.
  3. Setze die Koordinaten eines Punktes, der in $E_{ABCD}$ liegt, in diese Form ein, um $b$ zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Neigungswinkel bestimmen
Im letzten Schritt soll der Neigungswinkel der Dachfläche $ABCD$ gegenüber der Ebene $ABEF$ berechnet werden.
Diese hat die Gleichung $z=6$, da sie die $x-y$–Ebene darstellt, die um 6 Einheiten nach oben verschoben wurde.
Der Neigungswinkel entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Die Formel dazu lautet:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$
Beachte, dass der Neigungswinkel immer kleiner als $\boldsymbol{90^{\circ}}$ ist.
Alternativ kannst du den Neigungswinkel mit dem Tangens berechnen.
b) $\blacktriangleright$ Beweisen, dass $\boldsymbol{g_t}$ die Ebene $\boldsymbol{E_{ABCD}}$ beschreibt
Du hast die Gleichung einer Geradenschar $g_t$ gegeben:
$g_t:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-3\\6-4t\\7,5+3t\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$
Du sollst beweisen, dass diese Schar die Ebene $E_{ABCD}$ mit der Gleichung $3y+4z=48$ beschreibt.
Eine Geradenschar stellt eine Ebene dar, da durch unterschiedliche Werte für $t$, die Lage der Geraden entlang einer Ebene verändert wird.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Du kannst aus der Gleichung der Geradenschar eine Ebenengleichung in Parameterform angeben.
Wandle diese dann in die Koordinatenform um. Gehe dazu analog wie in a) vor.
$\blacktriangleright$ Parameterwert $\boldsymbol{t}$ berechnen
Weiterhin wird nun ein Metallträger 30 cm über der Dachfläche $ABEF$ angebracht. Die Lage kann durch eine Gerade der Schar $g_t$ beschrieben werden.
Zuvor hast du bewiesen, dass $g_t$ die Ebene $E_{ABCD}$ beschreibt.
Der Metallträger liegt somit in der Ebene $E_{ABCD}$.
Schneide die Geradenschar mit der Ebene mit der Gleichung $\boldsymbol{z=6,3}$, um $t$ zu erhalten. Diese Ebene entspricht der Ebene $E_{AEBF}$, die um $30\,\mathrm{cm}=0,3\,\mathrm{m}$ nach oben verschoben wurde.
Wenn du den Parameterwert $t$ in die Geradenschar einsetzt, erhältst du die Gleichung der Schnittgeraden, da du zwei Ebenen miteinander schneiden lässt.
c) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{P_2}$ angeben
Der angebrachte Metallträger hat eine Länge von 3 m und stellt die Grundseite eines dreieckigen Schildes $P_1P_2P_3$ dar.
Ein Ende des Metallträgers wird im Punkt $P_1(5\mid7,6\mid6,3)$ befestigt.
Du sollst nun die Koordinaten von $P_2$ angeben, in dem das andere Ende des Metallträgers befestigt wird.
Da der Metallträger parallel zur Dachkante $\overline{AB}$ verläuft, ändern sich die $y$– und $z$–Koordinaten von $P_2$ im Vergleich zu $P_1$ nicht. Lediglich die $x$–Koordinate ist unterschiedlich.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Schildes berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt des Schildes $P_1P_2P_3$ berechnen.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit folgender Formel:
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Die Länge der Grundseite hast du gegeben: $g=3\,\mathrm{m}$
Die Höhe $h$ des Dreiecks kannst du dir mit dem Satz des Pythagoras herleiten, wenn du das Schild von der Seite betrachtest.
Das Schild steht schräg auf dem Dach, was du anhand der unterschiedlichen $y$–Koordinate des Punktes $P_3$ im Vergleich zu $P_1$ oder $P_2$ erkennen kannst.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
$\blacktriangleright$ Eingeschlossenen Winkel berechnen
Hier sollst du nun den Winkel bestimmen, den das Schild mit der Dachfläche einschließt.
Stelle dazu eine Parametergleichung der Ebene $E_{P_1P_2P_3}$ auf, um anschließend den Normalenvektor $\vec{n_3}$ dieser Ebene bestimmen zu können.
Damit kannst du die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen aus Aufgabenteil a) anwenden.
d) $\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Ebenenschar ermitteln
Die Gerade $g_{-0,4}$ stellt die Schnittgerade einer Ebenenschar dar. Deine Aufgabe ist es, die Gleichung zu dieser Ebenenschar in Koordinatenform zu ermitteln.
Ist $g_{-0,4}$ Schnittgerade einer Ebenenschar, so enthält jede Ebene $E_k$ der Schar diese Gerade. Der Vektor $\vec{r}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ stellt den Richtungsvektor von $g_{-0,4}$ dar und damit auch einen Richtungsvektor der Ebene $E_k$. Er zeigt in $x$–Richtung.
Um die Ebenenschar $E_k$ aufstellen zu können, benötigst du einen weiteren Richtungsvektor. Dieser Richtungsvektor muss in mindestens einer Koordinate variabel sein, damit du eine Ebenenschar erhältst.
Du kannst also im Folgenden so vorgehen:
  • Setze $t=-0,4$ in $g_t$ ein, um die Parametergleichung zu $g_{-0,4}$ zu erhalten.
  • Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}_k$ aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren von $E_k$.
  • Um den Parameter $d$ in der Koordinatenform zu bestimmen, benötigst du einen Punkt, der garantiert in der Ebene enthalten ist. Verwende dazu den Stützvektor der Geraden $g_{-0,4}$.
Die Koordinatenform einer Ebene $E$ sieht im Allgemeinen wie folgt aus:
$ E:\; n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d $
Dabei sind $n_1$, $n_2$ und $n_3$ die $x$–, $y$– und $z$–Komponente des Normalenvektors zur Ebene $E$.
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Lösungen TI
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a) $\blacktriangleright$ Eckpunkte bestimmen
In dieser Aufgabe wird die Dachfläche einer Werbeagentur untersucht.
Gegeben ist der Punkt $A(10\mid8\mid6)$, der einen Eckpunkt der rechten Dachfläche $ABCD$ darstellt.
Du sollst nun die Koordinaten der anderen Eckpunkte dieser Dachfläche bestimmen.
Dazu kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Die hintere Wand liegt auf der $y$–Achse und die linke Wand auf der $x$–Achse.
  • Die Hauswand hat eine Höhe von 6 m.
  • Das Haus ist 10 m lang und 8 m breit.
  • Das Dach ist 3 m hoch.
Punkt B:
Die hintere Hauswand liegt auf der $y$–Achse. Der Punkt $B$ liegt am oberen, rechten Ende der hinteren Hauswand.
Dadurch ist er vom Ursprung aus um 6 m entlang der $z$–Achse und um 8 m entlang der $y$–Achse verschoben.
Daraus folgt:
$B(0\mid8\mid6)$
Punkt C:
$C$ liegt vom Punkt $B$ aus 4 m nach links entlang der $y$–Achse und um 3 m nach oben entlang der $z$–Achse verschoben.
Daraus folgt:
$C(0\mid4\mid9)$
Punkt D:
Dieser verhält sich vom Punkt $A$ aus analog wie Punkt $C$ von $B$.
Es folgt:
$D(10\mid4\mid9)$
$\blacktriangleright$ Parametergleichung aufstellen
Nun sollst du eine Parametergleichung der Ebene angeben, in der die Dachfläche $ABCD$ liegt.
Wähle dazu einen der Punkte als Stützvektor der Ebene $E_{ABCD}$ und bestimme mit diesem und zwei anderen Punkten die Richtungsvektoren.
Wir wählen $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor der Ebene $E_{ABCD}$ und $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ als Richtungsvektoren.
$E_{ABCD}:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA}+u\cdot\overrightarrow{AB}+v\cdot\overrightarrow{AC}$$=\begin{pmatrix}10\\8\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}0-10\\8-8\\6-6\end{pmatrix}+v\cdot\begin{pmatrix}0-10\\4-8\\9-6\end{pmatrix}$
$\Longleftrightarrow\quad E_{ABCD}:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\8\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}-10\\0\\0\end{pmatrix}+v\cdot\begin{pmatrix}-10\\-4\\3\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung beweisen
Hier sollst du zeigen, dass die Ebene $E_{ABCD}$ auch durch die Koordinatengleichung $3y+4z=48$ dargestellt werden kann.
Wandle dazu die Parametergleichung in die Koordinatengleichung um.
Diese hat die allgemeine Form:
$E:\quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=b$
$n_1$, $n_2$ und $n_3$ stellen die $x$–, $y$– und $z$–Komponente des Normalenvektor der Ebene dar. Der Wert $b$ kann ermittelt werden, indem du die Koordinaten eines Punktes einsetzt, der garantiert in der Ebene liegt.
Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene und damit senkrecht auf allen Vektoren steht, die in der Ebene enthalten sind, kannst du $\overrightarrow{n}$ bestimmen, indem du das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von $E_{ABCD}$ bildest.
Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren.
  2. Setze $\vec{n}$ in die allgemeine Form ein.
  3. Setze die Koordinaten eines Punktes, der in $E_{ABCD}$ liegt, in diese Form ein, um $b$ zu erhalten.
1. Schritt: Normalenvektor $\boldsymbol{\vec{n_1}}$ bestimmen
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Verwende den crossp–Befehl in deinem CAS zur Bestimmung des Vektorproduktes.
Diesen Befehl findest du unter:
Menü$\rightarrow$7:Matrix und Vektor$\rightarrow$C:Vektor$\rightarrow$2:
Gib über Menü$\rightarrow$7:$\rightarrow$1:$\rightarrow$1: die Richtungsvektoren ein.
$\vec{n_1}=\begin{pmatrix}0\\30\\40\end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$
Da bei einem Normalenvektor nicht dessen Länge sondern nur dessen Richtung relevant ist, dürfen wir obige Vereinfachung vornehmen.
2. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen
Einsetzen von $\vec{n_1}$ in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:
$E_{ABCD}:\quad 3y+4z=b$
Die Koordinaten eines Punktes, der in $E_{ABCD}$ liegt, kannst du aus dem Stützvektor ablesen. Setze diesen in die Gleichung ein:
$3\cdot8+4\cdot6=b\quad\Longrightarrow\quad b=48$
Die Koordinatengleichung, die aus der Parametergleichung folgt, lautet somit:
$E_{ABCD}:\quad 3y+4z=48$
Diese entspricht der Gleichung aus der Aufgabe, das heißt, du hast gezeigt, dass die Ebene ebenfalls durch diese Gleichung beschrieben werden kann.
$\blacktriangleright$ Neigungswinkel bestimmen
Im letzten Schritt soll der Neigungswinkel der Dachfläche $ABCD$ gegenüber der Ebene $ABEF$ berechnet werden.
Diese hat die Gleichung $z=6$, da sie die $x-y$–Ebene darstellt, die um 6 Einheiten nach oben verschoben wurde.
Der Neigungswinkel entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Die Formel dazu lautet:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$
Beachte, dass der Neigungswinkel immer kleiner als $\boldsymbol{90^{\circ}}$ ist.
Alternativ kannst du den Neigungswinkel mit dem Tangens berechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A
Die Ebene $ABEF$ hat die Gleichung $z=6$. Der Normalenvektor $\vec{n_2}$ dieser Ebene lautet somit: $\vec{n_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$
Setze nun $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ in die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels ein.
Verwende das CAS. Den Befehl für das Skalarprodukt im Zähler erhältst du über
Menü$\rightarrow$7:Matrix und Vektor$\rightarrow$C:Vektor$\rightarrow$3:
Die Beträge im Nenner berechnest du mit dem norm–Befehl.
Menü$\rightarrow$7:Matrix und Vektor$\rightarrow$7:Normen$\rightarrow$1:
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Das CAS liefert dir, dass $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ gilt und wir rechnen weiter:
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{4}{5}&\scriptsize{ \mid\;\cos^{-1}} \\ \alpha&\approx&36,87^{\circ}& \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Betrachte den Dachgiebel des dargestellten Gebäudes. Du erkennst, dass der gesuchte Neigungswinkel gerade dem Winkel entspricht, den die Strecke $\overline{DA}$ mit der Strecke $\overline{FA}$ einschließt.
Da in der Aufgabenstellung die Längen der Gegen– und Ankathete gegeben sind können wir folgende Rechnung vornehmen:
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
$\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{3\,\mathrm{m}}{4\,\mathrm{m}}=\dfrac{3}{4}$
$\Longrightarrow\quad\alpha\approx 36,87^{\circ}$
Der Neigungswinkel beträgt ca. $36,87^{\circ}$.
b) $\blacktriangleright$ Beweisen, dass $\boldsymbol{g_t}$ die Ebene $\boldsymbol{E_{ABCD}}$ beschreibt
Du hast die Gleichung einer Geradenschar $g_t$ gegeben:
$g_t:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-3\\6-4t\\7,5+3t\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$
Du sollst beweisen, dass diese Schar die Ebene $E_{ABCD}$ mit der Gleichung $3y+4z=48$ beschreibt.
Eine Geradenschar stellt eine Ebene dar, da durch unterschiedliche Werte für $t$, die Lage der Geraden entlang einer Ebene verändert wird.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Du kannst aus der Gleichung der Geradenschar eine Ebenengleichung in Parameterform angeben.
Wandle diese dann in die Koordinatenform um. Gehe dazu analog wie in a) vor.
Du kannst die Geradenschar als Ebene darstellen, indem du den Stützvektor der Geraden aufteilst:
$\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6-4t\\7,5+3t\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-3\\6\\7,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$
Auch hier steht der Normalenvektor wieder senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene enthalten sind. Wir können daher wieder das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden, um den Normalenvektor zu erhalten.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Berechne nun den Normalenvektor mit dem CAS.
Es folgt:
$\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-4\end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$
Auch hier ist nur die Richtung und nicht die Länge des Normalenvektors relevant und wir können obige Umformung vornehmen.
Setzen wir diesen in die allgemeine Gleichung der Ebene in Koordinatenform ein, so erhalten wir:
$E:\quad 3y+4z=b$
Setze dann $\begin{pmatrix}-3\\6\\7,5\end{pmatrix}$ in $E$ ein, um $b$ zu berechnen.
$\begin{array}{rcll} 3\cdot6+4\cdot7,5&=&b& \\ b&=&48& \end{array}$
Daraus folgt:
$E:\quad 3y+4z=48\mathrel{\widehat{=}}E_{ABCD}$
$g_t$ beschreibt somit die Ebene $E_{ABCD}$.
$\blacktriangleright$ Parameterwert $\boldsymbol{t}$ berechnen
Weiterhin wird nun ein Metallträger 30 cm über der Dachfläche $ABEF$ angebracht. Die Lage kann durch eine Gerade der Schar $g_t$ beschrieben werden.
Zuvor hast du bewiesen, dass $g_t$ die Ebene $E_{ABCD}$ beschreibt.
Der Metallträger liegt somit in der Ebene $E_{ABCD}$.
Schneide die Geradenschar mit der Ebene mit der Gleichung $\boldsymbol{z=6,3}$, um $t$ zu erhalten. Diese Ebene entspricht der Ebene $E_{AEBF}$, die um $30\,\mathrm{cm}=0,3\,\mathrm{m}$ nach oben verschoben wurde.
Wenn du den Parameterwert $t$ in die Geradenschar einsetzt, erhältst du die Gleichung der Schnittgeraden, da du zwei Ebenen miteinander schneiden lässt.
Schneide die Geradenschar mit der Ebene $E:\quad z=6,3$.
Setze dazu $g_t$ in $E$ ein.
Die $\boldsymbol{z}$–Koordinate von $g_t$ lautet: $z=7,5+3t$
$\begin{array}{rcll} z&=&6,3&\scriptsize{ \text{Einsetzen von}\;g_t }\\ 7,5+3t&=&6,3&\scriptsize{ \mid\;-7,5} \\ 3t&=&-1,2&\scriptsize{ \mid\;:3 }\\ t&=&-0,4&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} z&=&6,3&\\ 7,5+3t&=&6,3& \\ 3t&=&-1,2&\\ t&=&-0,4&\\ \end{array}$
Die Lage des Metallträgers kann durch die Gerade $g_{-0,4}$ beschrieben werden.
c) $\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{P_2}$ angeben
Der angebrachte Metallträger hat eine Länge von 3 m und stellt die Grundseite eines dreieckigen Schildes $P_1P_2P_3$ dar.
Ein Ende des Metallträgers wird im Punkt $P_1(5\mid7,6\mid6,3)$ befestigt.
Du sollst nun die Koordinaten von $P_2$ angeben, in dem das andere Ende des Metallträgers befestigt wird.
Da der Metallträger parallel zur Dachkante $\overline{AB}$ verläuft, ändern sich die $y$– und $z$–Koordinaten von $P_2$ im Vergleich zu $P_1$ nicht. Lediglich die $x$–Koordinate ist unterschiedlich.
Die $x$–Koordinate unterscheidet sich um die Länge des Metallträgers, also um 3 m. Anhand des Schaubildes kannst du erkennen, dass der Metallträger von $P_1$ aus nach hinten verläuft.
Die $x$–Koordinate wird somit um 3 Einheiten kleiner.
Daraus folgt:
$P_2(2\mid7,6\mid6,3)$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Schildes berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt des Schildes $P_1P_2P_3$ berechnen.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit folgender Formel:
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Die Länge der Grundseite hast du gegeben: $g=3\,\mathrm{m}$
Die Höhe $h$ des Dreiecks kannst du dir mit dem Satz des Pythagoras herleiten, wenn du das Schild von der Seite betrachtest.
Das Schild steht schräg auf dem Dach, was du anhand der unterschiedlichen $y$–Koordinate des Punktes $P_3$ im Vergleich zu $P_1$ oder $P_2$ erkennen kannst.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Wenn du das Schild von der Seite betrachtest, erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe $h$ stellt die Hypotenuse dar.
Die beiden Kathetenlängen erhältst du aus den Koordinaten der Punkte $P_3$ und $P_1$. Da der Punkt $P_3$ höher liegt als $P_1$ ist die Differenz beider Höhen gleich der linken Kathetenlänge.
Weiterhin liegt $P_3$ weiter links als $P_1$. Die Differenz entspricht somit der unteren Kathetenlänge.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Aus dem Satz des Pythagoras folgt:
$\begin{array}{rcll} h^2&=&(1,2\,\mathrm{m})^2+(0,9\,\mathrm{m})^2&\\ h^2&=&2,25\,\mathrm{m}^2&\scriptsize{ \mid\;\sqrt{\hspace{.2cm}}} \\ h&=&1,5\,\mathrm{m}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} h^2&=&(1,2\,\mathrm{m})^2+(0,9\,\mathrm{m})^2&\\ h^2&=&2,25\,\mathrm{m}^2&\\ h&=&1,5\,\mathrm{m}&\\ \end{array}$
Setze $g=3\,\mathrm{m}$ und $h=1,5\,\mathrm{m}$ in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts ein:
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot3\,\mathrm{m}\cdot1,5\,\mathrm{m}=2,25\,\mathrm{m}^2$
Der Flächeninhalt des Schildes beträgt 2,25 m$^2$.
$\blacktriangleright$ Eingeschlossenen Winkel berechnen
Hier sollst du nun den Winkel bestimmen, den das Schild mit der Dachfläche einschließt.
Stelle dazu eine Parametergleichung der Ebene $E_{P_1P_2P_3}$ auf, um anschließend den Normalenvektor $\vec{n_3}$ dieser Ebene bestimmen zu können.
Damit kannst du die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen aus Aufgabenteil a) anwenden.
1. Schritt: Parametergleichung aufstellen
$E_{P_1P_2P_3}:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OP_1}+p\cdot\overrightarrow{P_1P_2}+q\cdot\overrightarrow{P_1P_3}$
$E_{P_1P_2P_3}:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\7,6\\6,3\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}2-5\\7,6-7,6\\6,3-6,3\end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}3-5\\6,7-7,6\\7,5-6,3\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}5\\7,6\\6,3\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}-2\\-0,9\\1,2\end{pmatrix}$
2. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Berechne den Normalenvektor $\vec{n_3}$ mit deinem CAS.
Da dieser senkrecht auf allen Vektoren der Ebene steht, können wir auch hier das Vektorprodukt der Richtungsvektoren bilden, um diesen zu erhalten:
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
$\vec{n_3}=\begin{pmatrix}0\\3,6\\2,7\end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
Da nur die Richtung des Normalenvektors entscheidend ist, dürfen wir obige Umformung vornehmen.
Der Normalenvektor der Ebene $E_{ABCD}$ ist $\overrightarrow{n_1}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$.
3. Schritt: Eingeschlossenen Winkel bestimmen
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Setze beide Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen ein:
$\cos\beta=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_3}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_3}|}$
$\begin{array}{rcll} \cos\beta&=&\dfrac{24}{25}&\scriptsize{ \mid\;\cos^{-1}} \\ \beta&=&16,26^{\circ}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \cos\beta&=&\dfrac{24}{25}&\\ \beta&=&16,26^{\circ}& \end{array}$
Der eingeschlossene Winkel ist $16,26^{\circ}$ groß.
d) $\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Ebenenschar ermitteln
Die Gerade $g_{-0,4}$ stellt die Schnittgerade einer Ebenenschar dar. Deine Aufgabe ist es, die Gleichung zu dieser Ebenenschar in Koordinatenform zu ermitteln.
Ist $g_{-0,4}$ Schnittgerade einer Ebenenschar, so enthält jede Ebene $E_k$ der Schar diese Gerade. Der Vektor $\vec{r}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ stellt den Richtungsvektor von $g_{-0,4}$ dar und damit auch einen Richtungsvektor der Ebene $E_k$. Er zeigt in $x$–Richtung.
Um die Ebenenschar $E_k$ aufstellen zu können, benötigst du einen weiteren Richtungsvektor. Dieser Richtungsvektor muss in mindestens einer Koordinate variabel sein, damit du eine Ebenenschar erhältst.
Mögliche Richtungen wären also $s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\k\end{pmatrix}$ und $t\cdot\begin{pmatrix}0\\k\\1\end{pmatrix}$.
Du kannst also im Folgenden so vorgehen:
  • Setze $t=-0,4$ in $g_t$ ein, um die Parametergleichung zu $g_{-0,4}$ zu erhalten.
  • Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}_k$ aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren von $E_k$.
  • Um den Parameter $d$ in der Koordinatenform zu bestimmen, benötigst du einen Punkt, der garantiert in der Ebene enthalten ist. Verwende dazu den Stützvektor der Geraden $g_{-0,4}$.
Die Koordinatenform einer Ebene $E$ sieht im Allgemeinen wie folgt aus:
$ E:\; n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d $
Dabei sind $n_1$, $n_2$ und $n_3$ die $x$–, $y$– und $z$–Komponente des Normalenvektors zur Ebene $E$.
1. Schritt: Parametergleichung zur Geraden $\boldsymbol{g_{-0,4}}$ bestimmen
Um die Parametergleichung zu $g_{-0,4}$ zu erhalten, musst du $t=-0,4$ in die Gleichung von $g_{-0,4}$ einsetzen:
$g_{-0,4}: \vec{x} = \begin{pmatrix}-3\\6-4\cdot (-0,4)\\7,5+3\cdot (-0,4)\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}-3\\7,6\\6,3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$
2. Schritt: Normalenvektor $\boldsymbol{n_{k}}$ der Ebenenschar $\boldsymbol{E_k}$ bestimmen
Du erhältst den Normalenvektor $\vec{n}_k$ aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von $E_k$.
Verwende den crossP–Befehl in deinem CAS:
Menü$\to$7:Matrix und Vektor$\to$C:Vektor$\to$2:Kreuzprodukt
Gib die Vektoren wie dargestellt ein.
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Je nachdem, welchen zweiten Richtungsvektor du für $E_k$ gewählt hast, erhältst du nun einen Normalenvektor $\vec{n}_k$.
  • $\vec{n}_k=\begin{pmatrix}0\\k\\-1\end{pmatrix}$ oder
  • $\vec{n}_k=\begin{pmatrix}0\\-1\\k\end{pmatrix}$
3. Schritt: Parameter $\boldsymbol{d}$ der Ebenengleichung zu $\boldsymbol{E_k}$ bestimmen
Im Schritt zuvor hast du den Normalenvektor bestimmt, den du nun in die Gleichung der Ebenenschar in Koordinatenform einsetzen kannst:
  • $E_{k1}:\quad 0\cdot x +ky - z = d$ oder
  • $E_{k2}:\quad 0\cdot x -y + kz = d$
Zuletzt musst du noch den Parameter $d$ bestimmen. Dazu kannst du in einer Punktprobe einen Punkt einsetzen, der garantiert in der Ebene liegt. Wir verwenden hier den Stützvektor der Geraden $g_{-0,4}$ also $P(-3\mid 7,6\mid 6,3)$:
Für $E_{k1}$ folgt:
$\begin{array}{rcll} k \cdot 7,6 - 1\cdot 6,3&=&d&\\ d&=&7,6k-6,3&\\ \end{array}$
$\Longleftrightarrow\quad E_{k1}:\quad ky - z =7,6k-6,3 $
Für $E_{k2}$ folgt:
$\begin{array}{rcll} -1\cdot 7,6 + k\cdot 6,3&=&d&\\ d&=&6,3k-7,6&\\ \end{array}$
$\Longleftrightarrow\quad E_{k2}:\quad -y + kz =6,3k-7,6 $
$\boldsymbol{E_{k1}:\; ky - z =7,6k-6,3}$ und $\boldsymbol{E_{k2}:\; -y + kz =6,3k-7,6}$ sind mögliche Gleichungen der Ebenenschar in Koordinatenform.
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