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Analysis 1.1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktionsschar $f_a$ mit $f_a(x)= (ax+1)\cdot \mathrm{e}^{-ax}$; $ x\in \mathbb{R}$; $a\in \mathbb{R}$.
Die Graphen dieser Funktionsschar $f_a$ sind $G_a$.
a) Ermitteln Sie die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die Scharfunktion keine Nullstelle hat, und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.
(3P)
b) Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow \infty$ und $x\rightarrow -\infty$ in Abhängigkeit von $a\; (a\neq 0)$ an.
(4P)
c) Weisen Sie nach, dass alle Graphen $G_a(a\neq 0)$ den lokalen Extrempunkt $E (0\mid 1)$ haben.
Alle Wendepunkte der Graphen $G_a(a\neq 0)$ liegen auf einem parallel zur $x$–Achse verlaufenden Graphen einer Funktion $g$. Geben Sie die Funktionsgleichung von $g$ an.
(9P)
d) In der Anlage sind zwei Graphen der Funktionsschar $f_a$ dargestellt.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt und beschriften Sie die Graphen in der Anlage.
Analysis 1.1 Abbildung zu e) und f)
Analysis 1.1 Abbildung zu e) und f)
Eine Bekleidungsfirma möchte Gesäßtaschen von Jeans wie rechts abgebildet besticken. Zur Modellierung des Motivs werden die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ genutzt (vgl. Anlage). Der untere Rand des Motivs soll ebenfalls durch 2 Graphen dargestellt werden, so dass die $x$– bzw. $y$–Achse Symmetrieachsen des Motivs sind.
Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung an und zeichnen Sie die Graphen möglichst vollständig in der Anlage.
Der in der Abbildung schraffiert dargestellte Teil des Motivs soll bestickt werden. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche im Intervall $[-3;3]$.
(12P)
e) Betrachtet man die Graphen $G_a$ zur Entwicklung des Motivs, ist das Verhältnis zwischen der in der Abbildung schraffierten und der grau gefärbten Teilfläche jeweils unterschiedlich.
Ermitteln Sie, für welche positiven Werte des Parameters $a$ die grau gefärbte Teilfläche größer ist als die schraffierte (Näherungslösung).
(7P)
f) Der Teil der in der Abbildung grau gefärbten Fläche, der oberhalb der $x$–Achse liegt, soll nun durch den Graphen einer quadratischen Funktion $p$ so dargestellt werden, dass die Größe dieser Teilfläche unverändert $(\mathrm{e}-2)$ FE beträgt. Der lokale Extrempunkt bleibt der Punkt $E(0\mid 1)$.
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $p$.
(5P)

(40P)

Material

Anlage zu Aufgabe 1.1: Hosentasche
Analysis 1.1
Analysis 1.1
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a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$
Du hast eine Funktionsschar $f_a$ gegeben:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}&\scriptsize{ x,a\in\mathbb{R}}\\ \end{array}$
Um die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, setzt du den Funktionsterm der Funktionsschar gleich Null.
Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen.
$\blacktriangleright$ Bestimme das $\boldsymbol{a}$ so, dass die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt
Damit die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt, muss gelten:
$\boldsymbol{f_a(x)\neq 0}$
Zuvor hast du gezeigt, dass die Funktionenschar an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen aufweist. Damit eine Funktion der Schar aber keine Nullstelle besitzt, musst du dir besagte Stelle anschauen und überlegen, für welchen Wert für $a$ keine Nullstelle existiert.
b) $\blacktriangleright$ Untersuche das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$
Nun sollst du das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow\pm\infty$ angeben.
Das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ ist außerdem von $a$ abhängig. Betrachte daher das Verhalten von $f_a$ für Werte $\boldsymbol{a<0}$ und $\boldsymbol{a>0}$.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme den lokalen Extrempunkt $\boldsymbol{E}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass alle Graphen $G_a$ mit $a\neq0$ den lokalen Extrempunkt $E(0\mid1)$ haben. Dazu bestimmst du den Extrempunkt $E$ des Graphen $G_a$ und prüfst, ob dieser die Koordinaten $(0\mid1)$ hat.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Ist $\boldsymbol{f''(x_E)<0}$ hat der Graph an der Stelle $x_E$ einen Hochpunkt. Bei $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$ hat der Graph einen Tiefpunkt.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die ersten beiden Ableitungen $f_a'$ und $f_a''$
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten
$\blacktriangleright$ Gib die Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ an
Auf dem Graphen der Funktion $g$ liegen alle Wendepunkte der Graphen $G_a$ mit $a\neq0$. Der Graph $g$ verläuft parallel zur $x$–Achse und ist somit eine Gerade.
Damit entspricht die Funktionsgleichung von $g$ der $y$–Koordinate der Wendepunkte. Daher musst du zunächst den Wendepunkt $W$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_W)=0}$
  • hinreichende Bedingung:$\boldsymbol{f'''(x_W)\neq0}$
Gehe wie folgt vor:
  1. Prüfe die notwendige Bedingung
  2. Prüfe die hinreichnde Bedingung
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$
d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass die Graphen $\boldsymbol{G_2}$ und $\boldsymbol{G_{-2}}$ dargestellt sind
Um zu begründen, dass es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt, betrachtest du die Nullstellen, Extrempunkte und das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$.
  • Der Graph, der gestrichelt dargestellt ist, hat die Nullstelle $N_1\left(\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Der Graph mit der durchgezogenen Linie hat die Nullstelle $N_2\left(-\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Außerdem haben beide Graphen einen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Untersuche nun die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ auf Nullstellen. Setze dazu die Funktionsgleichungen gleich Null. Beachte, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Das Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$ ist dir aus Teilaufgabe b) bekannt. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass alle Graphen $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $E(0\mid1)$ haben. Dies gilt demnach auch für die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Die Funktionsgleichungen lauten:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_2(x)&=&(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ f_{-2}(x)&=&(-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beschrifte die Graphen
Du weißt nun zu welchem Graphen die gestrichelt dargestellte Linie und die durchgezogene Linie gehört.
$\blacktriangleright$ Gib jeweils eine Funktionsgleichung für den unteren Rand an
Bei den zwei Graphen, die den unteren Rand des Motivs darstellen, handelt es sich um die an der $x$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Ist der Graph einer Funktion $f$ symmetrisch zur $x$–Achse, so gilt für den Term der entsprechenden Funktion $f$:
$f(x)=-f(x)$
$\blacktriangleright$Zeichne die Graphen $\boldsymbol{H_2}$ und $\boldsymbol{H_{-2}}$
Um die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$ zu zeichnen, legst du dir zunächst eine Wertetabelle an.
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der schraffierten Fläche
Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ der schraffierten Fläche in dem Intervall $[-3;3]$ berechnen. Dieser Flächeninhalt entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ bzw. $f_{-2}$ und $h_2$ bzw. $h_{-2}$ über dem Intervall $\left[-3;3\right]$ abzüglich der grauen Fläche.
Ein Integral einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ berechnest du, indem du eine Stammfunktion $F$ bildest.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx&=&[F(x)]_a^b \\ &=&[F(b)-F(a)] \end{array}$
Zuerst musst du den Inhalt der grün markierten Fläche bestimmen. Diese Fläche wird von den Graphen $G_2$, $G_{-2}$, $H_2$ und $H_{-2}$ im Intervall $\left[-3;3\right]$ eingeschlossen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Diese erhältst du, wenn du die Integrale über die entsprechenden Funktionen bildest. Aus Symmetriegründen genügt es hier aber, das Integral einer Funktion in einem Quadranten zu bilden und dieses anschließend mit $4$ zu multiplizieren.
Danach musst du von dem eben bestimmten Flächeninhalt noch den Flächeninhalt der grau markierten Fläche abziehen, um den gesuchten Inhalt zu erhalten. Die grau markierte Fläche wird jeweils von den Nullstellen begrenzt.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Auch diesen Flächeninhalt kannst du aus Symmetriegründen einfacher berechnen: Bilde das Integral einer Funktion über dem entsprechenden Intervall und multipliziere mit $4$. Subtrahiere den Wert anschließend.
Aus Symmetriegründen genügt es folglich, nur eine Funktion zu verwenden. Das heißt, es reicht, eine Stammfunktion zu bestimmen. Hier wird mit der Funktion $f_2$ gerechnet. Diese hat eine Nullstelle bei $x=-\frac{1}{2}$.
Du erhältst:
$\boldsymbol{\begin{array}{rcll} A&=&4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_2(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-0,5}^{0}f_2(x)\mathrm dx\right] \end{array}}$
Berechnest du den Inhalt mit dem CAS musst du keine Stammfunktion bestimmen.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Definiere die Funktion $f_2$
  2. Berechne den Flächeninhalt $A$
e) $\blacktriangleright$ Ermittle, für welche Werte von $\boldsymbol{a}$ die graue Fläche größer ist
Damit die graue Fläche $A_g$ größer als die schraffierte Fläche $A_s$ ist, muss gelten:
$\dfrac{A_g}{A_s}>1$
Aus Teilaufgabe d) weißt du, wie man die jeweiligen Flächen unter dem Graphen $G_2$ berechnet. Nun benötigst du die Formel für die Berechnung der Flächen unter dem Graphen $G_a$. Du kannst die Formel aus der Teilaufgabe d) übernehmen, allerdings ändert sich die untere Grenze des Integrals der grauen Fläche in Abhängigkeit von $a$. Setze für diese Grenze die Nullstelle $x=-\frac{1}{a}$ von $f_a$, statt der Grenze $-\frac{1}{2}$ ein.
Du erhältst für die schraffierte Fläche die Formel:
$A_s=4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx\right]$
Der zweite Term entspricht der grauen Fläche. Diese wird demnach folgendermaßen berechnet:
$A_g=4\cdot\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx$
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Prüfe, für welchen Wert die Flächen gleich groß sind
  2. Prüfe, ob die gesuchten Werte von $a$ größer oder kleiner als dieser Wert sein müssen
f) $\blacktriangleright$ Ermittle eine Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p}$
Die Funktion $p$ ist eine quadratische Funktion. Da es sich bei der Funktion um eine nach unten geöffneten Parabel handelt, hat die Funktion $p$ folgende allgemeine Gleichung:
$p(x)=-bx^2+c$
Wegen der Symmetrie zur $y$–Achse der Graphen $G_2$ bzw. $G_{-2}$ muss auch der Graph der aufgestellten Funktion $p$ $y$–achsensymmetrisch sein. Und da bei einer $y$–Achsensymmetrie alle Exponenten gerade sein müssen, fällt der Ausdruck $a\cdot x$ weg.
Um eine Gleichung der Funktion $p$ aufstellen zu können, benötigst du Werte für die Parameter $b$ und $c$. Die Berechnung von $b$ und $c$ ist hier in zwei Teile aufgeteilt. In Teil 1 wird das $c$ berechnet, in Teil 2 das $b$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Teil 1
$\blacktriangleright$ Ermittle den Wert von $\boldsymbol{c}$
Du hast eine quadratische Funktion $p$ mit der Gleichung $p(x)=-bx^2+c$gegeben. Der Punkt $E(0\mid1)$ liegt auf dem Graphen von $p$.
Setze die Koordinaten des Punktes $E$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $c$ auf.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Teil 2
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf, aus der das $\boldsymbol{b}$ berechnet werden kann
Da das $c$ bekannt ist, hast du nun folgenden Funktionsterm gegeben:
$p(x)=-bx^2+1$
Die grau eingefärbte Fläche wird durch die Nullstellen der Funktion begrenzt. Du weißt, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $p$ und der $x$–Achse eine Größe von $\mathrm e-2$ FE haben soll.
Um das $b$ zu berechnen, kannst du ein Integral aufstellen, dass der grau eingefärbten Fläche oberhalb der $x$–Achse entspricht. Dazu benötigt du die Nullstellen von $p$, denn sie stellen die obere und untere Grenze des Integrals dar.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Nullstellen
  2. Bilde das Integral
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a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Du hast eine Funktionsschar $f_a$ gegeben:
$f_a(x)=(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}$ $\qquad\scriptsize{ x,a\in\mathbb{R}}$
Um die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, setzt du den Funktionsterm der Funktionsschar gleich Null.
Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen. Definiere dazu den Funktionsterm der Funktionsschar $f_a$. Dann kannst du die Gleichung $f_a(x)=0$ mit dem solve–Befehl lösen.
Die Funktionsschar $f_a$ hat an $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen.
$\blacktriangleright$ Bestimme das $\boldsymbol{a}$ so, dass die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt
Damit die Scharfunktion keine Nullstellen besitzt, muss gelten:
$\boldsymbol{f_a(x)\neq 0}$
Zuvor hast du gezeigt, dass die Funktionenschar an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ Nullstellen aufweist. Damit eine Funktion der Schar aber keine Nullstelle besitzt, musst du dir besagte Stelle anschauen und überlegen, für welchen Wert für $a$ keine Nullstelle existiert.
Da du $a=0$ nicht in $-\frac{1}{a}$ einsetzen darfst – denn sonst teilst du durch Null –, liegt für $a=0$ keine Nullstelle vor.
Die Funktionsgleichung, die keine Nullstelle hat, lautet demnach:
$\begin{array}{rcll} f_0(x)&=&(0\cdot x+1)\cdot\mathrm e^{-0\cdot x}\\ f_0(x)&=&1\\ \end{array}$
b) $\blacktriangleright$ Untersuche das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$
Nun sollst du das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow\pm\infty$ angeben.
Das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ ist von $a$ abhängig. Betrachte daher das Verhalten von $f_a$ für Werte $\boldsymbol{a<0}$ und $\boldsymbol{a>0}$. Da durch $a$ das Verhalten für besonders große $x$–Werte nur wenig beeinflusst wird, kannst du beispielhaft für $a$ die Werte $1$ bzw $-1$ einsetzen.
$\boldsymbol{a<0}:$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Ist das $a$ negativ, kannst du die Funktionsgleichung vereinfacht so schreiben:
$f(x)=(-x+1)\cdot\mathrm e^{x}$
Um den Grenzwert für $x\rightarrow\pm\infty$ zu bestimmen, definierst du zunächst diese Funktion in deinem CAS. Den Limes kannst du im menu$\rightarrow$ 4 $\rightarrow$4 eingeben.
$\boldsymbol{a>0}:$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Ist das $a$ positiv, kannst du die Funktionsgleichung vereinfacht so schreiben:
$f(x)=(x+1)\cdot\mathrm e^{-x}$
Mit dem CAS kannst du auch für diese Funktionsgleichung einen Grenzwert für $x\rightarrow\pm\infty$ berechnen.
Zusammengefasst:
Für $a<0$ gilt:
  • $\lim\limits_{x\to\infty} f_a=-\infty$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty} f_a=0$
Für $a>0$ gilt:
  • $\lim\limits_{x\to\infty} f_a=0$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty} f_a=-\infty$
c) $\blacktriangleright$ Bestimme den lokalen Extrempunkt $\boldsymbol{E}$
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass alle Graphen $G_a$ mit $a\neq0$ den lokalen Extrempunkt $E(0\mid1)$ haben. Dazu bestimmst du den Extrempunkt $E$ des Graphen $G_a$ und prüfst, ob dieser die Koordinaten $(0\mid1)$ hat.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Ist $\boldsymbol{f''(x_E)<0}$ hat der Graph an der Stelle $x_E$ einen Hochpunkt. Bei $\boldsymbol{f''(x_E)>0}$ hat der Graph einen Tiefpunkt.
Du kannst so vorgehen:
  1. Definiere die ersten beiden Ableitungen $f_a'$ und $f_a''$
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne die vollständigen Koordinaten
1. Schritt: Bilde die erste Ableitung $\boldsymbol{f_a'}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Um die Ableitungen in dem CAS definieren zu können, benötigst du den Befehl zum Ableiten. Diesen findest du so: menu$\rightarrow$4$\rightarrow$1
Die Terme der ersten beiden Ableitungen werden unter $d1f(x,a)$ und $d2f(x,a)$ gespeichert.
2. Schritt: notwendige Bedingung
Setze den Term der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und löse diese mit dem solve–Befehl.
Die notwendige Bedingung ist für $x=0$ erfüllt.
Prüfe nun, ob für diesen Wert von $x$ die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
3. Schritt: hinreichende Bedingung
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Setze nun den Wert $x=0$ in den Term der zweiten Ableitung $f_a''$ ein und prüfe, ob die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
Du erhältst für $x=0$ den Wert $-a^2$. Da das $a\neq0$ ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt.
4. Schritt: Berechne die vollständigen Koordinaten
Um die $y$–Koordinate des lokalen Extrempunktes zu bestimmen, setzt du den Wert $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein.
Alle Graphen $G_a$ haben für $a\neq0$ einen lokalen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$.
$\blacktriangleright$ Gib die Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ an
Auf dem Graphen der Funktion $g$ liegen alle Wendepunkte der Graphen $G_a$ mit $a\neq0$. Der Graph $g$ verläuft parallel zur $x$–Achse und ist somit eine Gerade.
Damit entspricht die Funktionsgleichung von $g$ der $y$–Koordinate der Wendepunkte. Daher musst du zunächst den Wendepunkt $W$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ gelten folgende Bedingungen:
  • notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_W)=0}$
  • hinreichende Bedingung:$\boldsymbol{f'''(x_W)\neq0}$
Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung kannst du bei dieser Aufgabe verzichten.
Gehe wie folgt vor:
  1. Prüfe die notwendige Bedingung
  2. Prüfe die hinreichende Bedingung
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$
1. Schritt: notwendige Bedingung
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Setze den Term der zweiten Ableitung $f_a''$ gleich Null und löse diese mit dem solve–Befehl.
Die Bedingung ist für $x=\frac{1}{a}$ erfüllt.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung
Definiere zunächst die dritte Ableitung $f_a'''$. Hier wird diese als $d3f(x,a)$ gespeichert. Um die hinreichende Bedingung zu überprüfen, setzt du den Wert $x=\frac{1}{a}$ in den Term der dritten Ableitung $f_a'''$ ein.
Du erhältst einen Wert von $\dfrac{a^3}{\mathrm e}$. Da das $a$ ungleich Null ist, gilt $\dfrac{a^3}{\mathrm e}\neq0$ und die hinreichende Bedingung ist damit erfüllt. An der Stelle $\boldsymbol{x=\frac{1}{a}}$ befindet sich tatsächlich eine Wendestelle.
3. Schritt: Berechne die vollständigen Koordinaten
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Setze nun den Wert für $x=\frac{1}{a}$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$ zu bestimmen.
Der Wendepunkt $W$ hat die Koordinaten $W\left(\frac{1}{a}\mid\frac{2}{\mathrm e}\right)$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass die Wendepunkte des Graphen von $f_a$ auf einer Geraden liegen.
Die Gerade $g$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} g(x)&=&\frac{2}{\mathrm e}\\ \end{array}$
d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass die Graphen $\boldsymbol{G_2}$ und $\boldsymbol{G_{-2}}$ dargestellt sind
Um zu begründen, dass es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ handelt, betrachtest du die Nullstellen, Extrempunkte und das Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$.
  • Der Graph, der gestrichelt dargestellt ist, hat die Nullstelle $N_1\left(\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Der Graph mit der durchgezogenen Linie hat die Nullstelle $N_2\left(-\frac{1}{2}\mid0\right)$
  • Außerdem haben beide Graphen einen Extrempunkt $E$ mit den Koordinaten $E(0\mid1)$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Untersuche nun die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$ auf Nullstellen. Setze dazu die Funktionsgleichungen gleich Null. Beachte, dass der Term mit der $\mathrm e$–Funktion nicht Null ergeben kann. Das Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$ ist dir aus Teilaufgabe b) bekannt. Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass alle Graphen $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $E(0\mid1)$ haben. Dies gilt demnach auch für die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Die Funktionsgleichungen lauten:
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&(ax+1)\cdot\mathrm e^{-ax}\\ f_2(x)&=&(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ f_{-2}(x)&=&(-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$
Graph $\boldsymbol{G_2}$:
Nullstellen von $\boldsymbol{f_2}$:
$\begin{array}{rcll} f_2(x)&=&0 \\ (2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ 2x+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ 2x&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :2}\\ x&=&-\frac{1}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_2(x)&=&0 \\ (2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}&=&0&\\ 2x+1&=&0&\\ 2x&=&-1&\\ x&=&-\frac{1}{2}\\ \end{array}$
Der Graph der Funktion $f_2$ hat an der Stelle $x=-\frac{1}{2}$ eine Nullstelle.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$:
Das $a$ ist bei der Funktion $f_2$ gleich $2$ und damit größer Null. Der Graph $G_2$ konvergiert daher für $x\rightarrow\infty$ gegen $0$ und für $x\rightarrow-\infty$ gegen $-\infty$.
Bei dem Graphen $G_2$ handelt es sich demnach um den Graph mit der durchgezogenen Linie.
Graph $\boldsymbol{G_{-2}}$:
Nullstellen von $\boldsymbol{f_{-2}}$:
$\begin{array}{rcll} f_{-2}(x)&=&0 \\ (-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}&=&0&\scriptsize{ \text{Satz vom Nullprodukt}}\\ -2x+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ -2x&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :(-2)}\\ x&=&\frac{1}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_{-2}(x)&=&0 \\ (-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}&=&0&\\ -2x+1&=&0&\\ -2x&=&-1&\\ x&=&\frac{1}{2}\\ \end{array}$
Der Graph der Funktion $f_{-2}$ hat an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ eine Nullstelle.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow\pm\infty}$:
Das $a$ ist bei der Funktion $f_{-2}$ gleich $-2$ und damit kleiner Null. Der Graph $G_{-2}$ konvergiert daher für $x\rightarrow\infty$ gegen $-\infty$ und für $x\rightarrow-\infty$ gegen $0$.
Bei dem Graphen $G_{-2}$ handelt es sich demnach um den Graph mit der gestrichelten Linie.
Bei den Graphen, die in der Anlage abgebildet sind, handelt es sich um die Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
$\blacktriangleright$ Beschrifte die Graphen
Du weißt nun zu welchem Graphen die gestrichelt dargestellte Linie und die durchgezogene Linie gehört.
  • gestrichelte Linie: $G_{-2}$
  • durchgezogene Linie: $G_2$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$ Gib jeweils eine Funktionsgleichung für den unteren Rand an
Bei den zwei Graphen, die den unteren Rand des Motivs darstellen, handelt es sich um die an der $x$–Achse gespiegelten Graphen $G_2$ und $G_{-2}$.
Ist der Graph einer Funktion $f$ symmetrisch zur $x$–Achse, so gilt für den Term der entsprechenden Funktion $f$:
$f(x)=-f(x)$
Spiegelung des Graphen $\boldsymbol{G_2}$:
Der Graph, der entsteht, wenn man $G_2$ an der $x$–Achse spiegelt sei $H_2$. Der gespiegelte Graph $H_2$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} h_2(x)&=&-f_2(x) \\ h_2(x)&=&-(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ \end{array}$
Spiegelung des Graphen $\boldsymbol{G_{-2}}$:
Der Graph, der entsteht, wenn man $G_{-2}$ an der $x$–Achse spiegelt sei $H_{-2}$. Der gespiegelte Graph $H_{-2}$ hat demnach folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}{rcll} h_{-2}(x)&=&-f_{-2}(x) \\ h_{-2}(x)&=&-(-2x+1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ h_{-2}(x)&=&(2x-1)\cdot\mathrm e^{2x}\\ \end{array}$
Die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$, die den unteren Rand des Motivs darstellen, haben folgende Funktionsgleichungen:
$\begin{array}{rcll} h_2(x)&=&-(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}\\ h_{-2}(x)&=&(2x-1)\cdot\mathrm e^{2x} \end{array}$
$\blacktriangleright$Zeichne die Graphen $\boldsymbol{H_2}$ und $\boldsymbol{H_{-2}}$
Um die Graphen $H_2$ und $H_{-2}$ zu zeichnen, legst du dir zunächst eine Wertetabelle an.
Wertetabelle für $\boldsymbol{h_2}$:
$\begin{array}[t]{l|*{8}{c}} x&-1&-0,5&0&0,5&1&1,5&2&2,5\\\hline y&7,39&0&-1&-0,74&-0,41&-0,20&-0,09&-0,04 \end{array}$
Wertetabelle für $\boldsymbol{h_{-2}}$:
$\begin{array}[t]{l|*{8}{c}} x&-2,5&-2&-1,5&-1&-0,5&0&0,5&1\\\hline y&-0,04&-0,09&-0,20&-0,41&-0,74&-1&0&7,39 \end{array}$
Du kannst dir auch die Wertetabelle mit dem CAS anzeigen lassen. Lasse dir dazu zunächst im Graph–Modus die Graphen der Funktionen zeichnen. Über den Befehl menu$\rightarrow$2$\rightarrow$A erhältst du die gewünschte Wertetabelle.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Analysis 1.1
$\blacktriangleright$ Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der schraffierten Fläche
Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ der schraffierten Fläche in dem Intervall $[-3;3]$ berechnen. Dieser Flächeninhalt entspricht dem Integral der Funktion $f_2$ bzw. $f_{-2}$ und $h_2$ bzw. $h_{-2}$ über dem Intervall $\left[-3;3\right]$ abzüglich der grauen Fläche.
Ein Integral einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ berechnest du, indem du eine Stammfunktion $F$ bildest.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx&=&[F(x)]_a^b \\ &=&[F(b)-F(a)] \end{array}$
Zuerst musst du den Inhalt der grün markierten Fläche bestimmen. Diese Fläche wird von den Graphen $G_2$, $G_{-2}$, $H_2$ und $H_{-2}$ im Intervall $\left[-3;3\right]$ eingeschlossen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Diese erhältst du, wenn du die Integrale über die entsprechenden Funktionen bildest. Aus Symmetriegründen genügt es hier aber, das Integral einer Funktion in einem Quadranten zu bilden und dieses anschließend mit $4$ zu multiplizieren.
Danach musst du von dem eben bestimmten Flächeninhalt noch den Flächeninhalt der grau markierten Fläche abziehen, um den gesuchten Inhalt zu erhalten. Die grau markierte Fläche wird jeweils von den Nullstellen begrenzt.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Auch diesen Flächeninhalt kannst du aus Symmetriegründen einfacher berechnen: Bilde das Integral einer Funktion über dem entsprechenden Intervall und multipliziere mit $4$. Subtrahiere den Wert anschließend.
Aus Symmetriegründen genügt es folglich, nur eine Funktion zu verwenden. Das heißt, es reicht, eine Stammfunktion zu bestimmen. Hier wird mit der Funktion $f_2$ gerechnet. Diese hat eine Nullstelle bei $x=-\frac{1}{2}$.
Du erhältst:
$\boldsymbol{\begin{array}{rcll} A&=&4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_2(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-0,5}^{0}f_2(x)\mathrm dx\right] \end{array}}$
Berechnest du den Inhalt mit dem CAS musst du keine Stammfunktion bestimmen.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Definiere die Funktion $f_2$
  2. Berechne den Flächeninhalt $A$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
1. Schritt: Definiere die Funktion $\boldsymbol{f_2}$
Die Funktion $f_2$ hat folgende Funktionsgleichung:
$f_2(x)=(2x+1)\cdot\mathrm e^{-2x}$
2. Schritt: Berechne den Flächeninhalt
Gib die Formel zur Berechnung der Fläche in das CAS ein. Die Vorlage für das Integral findest du unter menu$\rightarrow$4$\rightarrow$3
Die schraffierte Fläche hat einen Flächeninhalt von etwa $2,52$ FE.
e) $\blacktriangleright$ Ermittle, für welche Werte von $\boldsymbol{a}$ die graue Fläche größer ist
Damit die graue Fläche $A_g$ größer als die schraffierte Fläche $A_s$ ist, muss gelten:
$\dfrac{A_g}{A_s}>1$
Aus Teilaufgabe d) weißt du, wie man die jeweiligen Flächen unter dem Graphen $G_2$ berechnet. Nun benötigst du die Formel für die Berechnung der Flächen unter dem Graphen $G_a$. Du kannst die Formel aus der Teilaufgabe d) übernehmen, allerdings ändert sich die untere Grenze des Integrals der grauen Fläche in Abhängigkeit von $a$. Setze für diese Grenze die Nullstelle $x=-\frac{1}{a}$ von $f_a$, statt der Grenze $-\frac{1}{2}$ ein.
Du erhältst für die schraffierte Fläche die Formel:
$A_s=4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx\right]$
Der zweite Term entspricht der grauen Fläche. Diese wird demnach folgendermaßen berechnet:
$A_g=4\cdot\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx$
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Prüfe, für welchen Wert die Flächen gleich groß sind
  2. Prüfe, ob die gesuchten Werte von $a$ größer oder kleiner als dieser Wert sein müssen
1. Schritt: Bestimme $\boldsymbol{a}$ so, dass die Flächen gleich groß sind
Damit die Flächen gleich groß sind, muss gelten:
$\begin{array}{rcll} A_s&=&A_g\\ 4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx\right]&=&4\cdot\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx&\scriptsize{ \mid\; :4}\\ \displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx \end{array}$
$\begin{array}{rcll} A_s&=&A_g\\ 4\cdot\left[\displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx\right]&4\cdot\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx&\\ \displaystyle\int_{0}^{3}f_a(x)\mathrm dx-\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{0}f_a(x)\mathrm dx \end{array}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Du kannst mit dem solve–Befehl die Gleichung nach $a$ auflösen. Definiere dazu zunächst die Funktionsgleichung von der Funktion $f_a$.
Du erhältst zwei Lösungen. Da du jedoch positive Werte von $a$ suchst, gilt $a=0,6488$.
Nun kennst du den Wert, bei dem die Flächen $A_s$ und $A_g$ gleich groß sind. Prüfe nun, ob die Werte kleiner oder größer als dieser Wert sein müssen, damit die Fläche $A_g$ größer als die schraffierte ist.
2. Schritt: Bestimme den Wert von $\boldsymbol{a}$
Um die Werte von $a$ zu bestimmen, berechnest du den Quotient der Flächeninhalte $\dfrac{A_g}{A_s}$. Setze dabei für das $a$ einen größeren oder kleineren Wert als $0,6488$ ein. Ist der Quotient größer als $1$ bedeutet dies, dass die graue Fläche größer ist als die schraffierte. Ist der Quotient kleiner als $1$, ist die schraffierte Fläche größer.
Setze beispielsweise für $a$ den Wert $0,7$ ein. Definiere zunächst die Funktion $f_{0,7}$:
$f_{0,7}(x)=(0,7x+1)\cdot\mathrm e^{-0,7x}$
Berechne den Quotient der Flächeninhalte $\frac{A_g}{A_s}$ unter Verwendung der Funktion $f_{0,7}$ mit Hilfe des CAS.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Du erhältst ein Flächenverhältnis kleiner als $1$. Das bedeutet, dass der Wert von $a$ kleiner als $0,6488$ sein muss, damit die graue Fläche $A_g$ größer als die schraffierte Fläche $A_s$ ist.
Da du nur die positiven Werte von $a$ bestimmen sollst, gilt: $0<a<0,6488$
Die graue Fläche ist für die Werte $0<a<0,6488$ größer als die schraffierte Fläche.
f) $\blacktriangleright$ Ermittle eine Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p}$
Die Funktion $p$ ist eine quadratische Funktion. Da es sich bei der Funktion um eine nach unten geöffneten Parabel handelt, hat die Funktion $p$ folgende allgemeine Gleichung:
$p(x)=-bx^2+c$
Wegen der Symmetrie zur $y$–Achse der Graphen $G_2$ bzw. $G_{-2}$ muss auch der Graph der aufgestellten Funktion $p$ $y$–achsensymmetrisch sein. Und da bei einer $y$–Achsensymmetrie alle Exponenten gerade sein müssen, fällt der Ausdruck $a\cdot x$ weg.
Um eine Gleichung der Funktion $p$ aufstellen zu können, benötigst du Werte für die Parameter $b$ und $c$. Die Berechnung von $b$ und $c$ ist hier in zwei Teile aufgeteilt. In Teil 1 wird das $c$ berechnet, in Teil 2 das $b$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Teil 1
$\blacktriangleright$ Ermittle den Wert von $\boldsymbol{c}$
Du hast eine quadratische Funktion $p$ mit der Gleichung $p(x)=-bx^2+c$gegeben. Der Punkt $E(0\mid1)$ liegt auf dem Graphen von $p$.
Setze die Koordinaten des Punktes $E$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{rcll} p(x)&=&-bx^2+c\\ 1&=&-b\cdot0^2+c\\ 1&=&c\\ \end{array}$
Das $c$ hat den Wert $c=1$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Teil 2
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf, aus der das $\boldsymbol{b}$ berechnet werden kann
Da das $c$ bekannt ist, hast du nun folgenden Funktionsterm gegeben:
$p(x)=-bx^2+1$
Die grau eingefärbte Fläche wird durch die Nullstellen der Funktion begrenzt. Du weißt, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $p$ und der $x$–Achse eine Größe von $\mathrm e-2$ FE haben soll.
Um das $b$ zu berechnen, kannst du ein Integral aufstellen, dass der grau eingefärbten Fläche oberhalb der $x$–Achse entspricht. Dazu benötigt du die Nullstellen von $p$, denn sie stellen die obere und untere Grenze des Integrals dar.
Du kannst so vorgehen:
  1. Berechne die Nullstellen
  2. Bilde das Integral
1. Schritt: Berechne die Nullstellen
Setze die Funktionsgleichung von $p$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} p(x)&=&0\\ -bx^2+1&=&0&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ -bx^2&=&-1&\scriptsize{ \mid\; :(-b)}\\ x^2&=&\frac{-1}{-b}&\scriptsize{ \mid\; \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\frac{1}{b}} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} p(x)&=&0\\ -bx^2+1&=&0&\\ -bx^2&-1&=&\\ x^2&=&\frac{-1}{-b}&\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\frac{1}{b}} \end{array}$
Die Funktion $p$ hat Nullstellen bei $x_1=-\sqrt{\frac{1}{b}}$ und $x_2=\sqrt{\frac{1}{b}}$. Diese Nullstellen entsprechen den Grenzen des Integrals.
2. Schritt: Bilde das Integral
Du kennst die Grenzen des Integrals und weißt, dass die Fläche $\mathrm e-2$ groß sein soll.
Du erhältst also:
$\begin{array}{rcll} \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}p(x)\mathrm dx&=&\mathrm e-2\\ \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}\left(-bx^2+1\right)\mathrm dx&=&\mathrm e-2\\ \end{array}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Eine Gleichung, aus der das $b$ berechnet werden kann, lautet:
$\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{1}{b}}}^{\sqrt{\frac{1}{b}}}\left(-bx^2+1\right)\mathrm dx=\mathrm e-2$
Diese Gleichung kannst du nun mit dem CAS mit Hilfe des solve–Befehls lösen. Gib an, dass nach dem Parameter $b$ aufgelöst werden soll. Den Befehl für ein Integral findest du unter menu$\rightarrow$4$\rightarrow$3.
Das $b$ hat einen Wert von $b=\dfrac{16}{9\cdot(\mathrm e-2)^2}$.
Setze diesen Wert nun in die Funktionsgleichung von $p$ ein.
Eine Funktionsgleichung von $p$ lautet:
$p(x)=-\dfrac{16}{9\cdot(\mathrm e-2)^2}\cdot x^2+1$
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