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Analysis 1.2

Aufgaben
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Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit der Gleichung $f_{a}(x)=\dfrac{x}{x^{2}+a}$; $a\in \mathbb{R}$, $a\neq0$.
Die Graphen dieser Funktionen sind $G_a$.
a) Alle Graphen $G_a$ schneiden einander in einem Punkt $S$ und besitzen eine gemeinsame Asymptote.
Geben Sie die Koordinaten von $S$ und die Gleichung der gemeinsamen Asymptote an.
Ermitteln Sie, für welche reellen Zahlen $a$ die Graphen $G_a$ zwei senkrechte Asymptoten (Polasymptoten) besitzen.
Geben Sie die Gleichungen dieser beiden senkrechten Asymptoten an.
(5P)
b) Zeigen Sie, dass alle Graphen $G'_{a}$ der Ableitungsfunktionen $f'_{a}$ auf der $y$–Achse einen lokalen Hochpunkt besitzen und geben Sie dessen Koordinaten an.
(6P)
Ein Spielzeughersteller plant, für Modelleisenbahnanlagen neue Landschaftsprofile und Brückenteile zu produzieren, für deren Modellierung sowohl Graphen der Funktionen $f_a$ als auch Graphen der Ableitungsfunktionen $f'_{a}$ herangezogen werden.
c) Begründen Sie, dass bei allen Graphen $G_a$ im Koordinatenursprung ein Wechsel des Krümmungsverhaltens erfolgt.
Es wird der Graph $G_{10}$, der im Intervall $[-3,5;\;3,5]$ je einen Hoch– und Tiefpunkt besitzt, als Profillinie für einen Streckenabschnitt in einem bergigen Gelände ausgewählt.
Berechnen Sie, welchen Höhenunterschied eine Modelleisenbahn auf diesem Streckenabschnitt zwischen dem tiefsten und höchsten Punkt überwindet.
Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Punkte, in denen die Bahnstrecke unter einem Winkel von 5° ansteigt.
(14P)
d) Bestimmen Sie die Größe des Steigungswinkels der mit $G_{10}$ modellierten Bahnstrecke im Koordinatenursprung.
(2P)
e)
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Zur Modellierung eines Brückenbogens wird der Graph der Ableitungsfunktion $f'_{a}$ genutzt (siehe Skizze).
Weisen Sie nach, dass jeder mögliche Graph von $f'_{a}$ symmetrisch zur $y$–Achse verläuft.
Die für Durchfahrten zur Verfügung stehende Querschnittsfläche zwischen $x=-1$ und $x=1$ wird oben von $G'_{a}$ und unten von der Geraden mit der Gleichung $y=-1$ begrenzt. Bestimmen Sie den Parameter $a$ für den Fall, dass der Inhalt dieser Fläche genau 1 FE beträgt.
Zur Kontrolle: $a=-3$
(8P)
f) Man kann den in e) beschriebenen symmetrischen Brückenbogen auch durch den Graphen einer Funktion 4. Grades modellieren. Dabei sollen die symmetrische Querschnittsfläche der Größe 1 FE, die Durchfahrtshöhe und die Durchfahrtsbreite erhalten bleiben.
Ermitteln Sie die zugehörige Funktionsgleichung.
(5P)

(40P)
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ und Gleichung der gemeinsamen Asymptote berechnen
Du hast folgende Funktionsschar gegeben:
$f_a(x)=\dfrac{x}{x^2+a}$
Um den Schnittpunkt $S$ aller Graphen zu bestimmen wählst du zwei Funktionen aus der Funktionsschar aus und schneidest sie. Du kannst zum Beispiel den Schnittpunkt von $f_1$ und $f_2$ bestimmen, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt. Die Bedingung dafür lautet also: $f_1(x)=f_2(x)$ . Verwende dein CAS.
Um die gemeinsame Asymptote zu bestimmen, musst du eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Dafür bestimmt du den Grenzwert: $\lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)$
$\blacktriangleright$ Funktion auf senkrechte Asymptoten untersuchen
Nun sollst du prüfen, für welche reellen Zahlen $a$, die Graphen $G_a$ zwei senkrechte Asymptoten besitzen.
Eine Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke aufweist. Das sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Sie werden Polstellen genannt.
Diese sind an den Nullstellen des Nenners, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
Prüfe nun, für welche Zahlen $a$ der Nenner 0 wird.
b) $\blacktriangleright$ Hochpunkt der Ableitungsfunktionen und Koordinaten bestimmen
Hier sollst du im zeigen, dass alle Graphen $G'_a$ der Ableitungsfunktionen $f'_a$ auf der $y$–Achse, also an der Stelle $x=0$, einen lokalen Hochpunkt aufweisen.
Die Kriterien für die Existenz eines Hochpunktes bei einer Funktion $g$ lauten:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{g'(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{g''(x)<0}$
Beachte, dass hier nach dem Hochpunkt des Graphen der ersten Ableitung gefragt ist. Die Bedingungen, welche du zeigen musst sind:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{f'''(x)<0}$
Anschließend sollst du noch die Koordinaten des Hochpunkts bestimmen.
c) $\blacktriangleright$ Wechsel des Krümmungsverhaltens begründen
Hier sollst du zeigen, dass bei allen Graphen $G_a$ im Ursprung ein Wechsel des Krümmungsverhaltens erfolgt.
Das Krümmungsverhalten einer Funktion wechselt an einem Wendepunkt.
Die Kriterien für die Existenz eines Wendepunktes bei einer Funktion $g$ lauten:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{g''(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{g'''(x)\neq0}$
Die zweite Ableitung stellt das Verhalten der Steigung dar. An Hochpunkten der 1. Ableitung fängt die Steigung an zu sinken, da der höchste Wert der Steigung bereits angenommen wurde.
An dieser Stelle ändert die Steigung somit ihr Verhalten und der Graph der normalen Funktion wechselt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.
Wendepunkte stellen somit Extremwerte der Ableitungsfunktion dar.
Zeige also, dass $x=0$ ein Wendepunkt von $f_a$ vorliegt. Hier hilft die Aufgabenteil b).
$\blacktriangleright$ Höhenunterschied berechnen
Nun wird der Graph $G_{10}$ mit der Funktionsgleichung $f_{10}(x)=\dfrac{x}{x^2+10}$ im Intervall $-3,5\leq x \leq3,5$ betrachtet, der einen Streckenabschnitt für eine Modelleisenbahn darstellt.
In diesem Intervall besitzt der Graph einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt.
Du sollst nun berechnen, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem tiefsten und höchsten Punkt dieser Strecke ist.
Dieser stellt die Differenz der $\boldsymbol{y}$–Werte der beiden globalen Extrempunkte dar, du musst also auch auf Randextrema prüfen.
Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Berechne den lokalen Tief– und Hochpunkt von $G_{10}$ und berechne die Randwerte des Intervalls, bestimme so die globalen Extrema.
  2. Berechne die Differenz der $y$–Werte.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte bestimmen, an denen die Bahnstrecke um $\boldsymbol{5^{\circ}}$ ansteigt
Die Bahnstrecke steigt in zwei Punkten um $5^{\circ}$ an. Du sollst nun deren Koordinaten bestimmen.
Berechne dazu zunächst die Steigung $\boldsymbol{m}$ der Tangente an diesen Punkten. Die Steigung einer Tangenten kannst du mit dem Tangens berechnen.
Die 1. Ableitung einer Funktion stellt den Verlauf der Steigung dar. Setze also die 1. Ableitungsfunktion gleich der Steigung der Tangenten, um zu prüfen, bei welchen $x$–Werten diese Steigung angenommen wird.
d) $\blacktriangleright$ Steigungswinkel im Koordinatenursprung bestimmen
Hier sollst du die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ im Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ berechnen.
Dafür kannst du wieder folgende Formel verwenden:
$f'_{10}(0)=\tan\alpha$
e) $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$–Achsensymmetrie beweisen
Ein Brückenbogen wird durch einen Graphen $G'_a$ der Ableitungsfunktion $f'_a$ dargestellt.
Hier sollst du nun beweisen, dass alle Graphen $G'_a$ symmetrisch zur $\boldsymbol{y}$–Achse verlaufen.
Das bedeutet, dass jeder Punkt, der auf der Kurve liegt durch Spiegelung an der $\boldsymbol{y}$–Achse wieder in einen Kurvenpunkt übergehen kann.
Die Funktionswerte für $+x$ entsprechen somit den Funktionswerten für $-x$.
$f(x)=f(-x)$
Berechne $f'_a(-x)$ und prüfe, ob dies der Funktionsgleichung von $f'_a(x)$ entspricht.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Im Intervall $-1\leq x\leq1$ beschreibt der Graph $G'_a$ die Durchfahrt des Brückenbogens. Dieser wird unten von der Geraden mit der Gleichung $y=-1$ abgegrenzt.
Nun sollst du berechnen, für welchen Wert $a$ der Flächeninhalt dieser Durchfahrt 1 FE beträgt.
Berechne dazu den Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen in Abhängigkeit von $a$ über ein Integral mit deinem CAS:
$A_{\text{Durchfahrt}}=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(f'_a(x)-(-1)\right)\mathrm dx = 1$
f) $\blacktriangleright$ Funktion 4. Grades ermitteln
Der Brückenbogen, der aus dem Graphen von $f'_{-3}$ hervorgeht, soll nun durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden.
Diese hat die allgemeine Form:
$g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Überlege dir welche Bedingungen gebeben sind und bestimme damit die Unbekannten. Beginne mit der Achsensysmmetrie.
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Lösungen TI
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a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ und Gleichung der gemeinsamen Asymptote berechnen
Du hast eine gebrochenrationale Funktionenschar mit der Gleichung $f_a(x)=\dfrac{x}{x^2+a}$ gegeben.
Alle Graphen $G_a$ dieser Funktionen schneiden sich in einem Punkt $S$, den du im 1. Schritt berechnen sollst.
Stelle dazu zwei Funktionsgleichungen $f_a$ auf, in die du unterschiedliche Werte für $a$ einsetzt.
Setze beide mit dem CAS gleich, um den Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen.
Weiterhin haben alle Graphen $G_a$ eine gemeinsame Asymptote, deren Gleichung du im 2. Schritt bestimmen sollst.
Führe hierzu eine Grenzwertbetrachtung durch.
1. Schritt: Berechne den gemeinsamen Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$
Stelle zunächst zwei Funktionsgleichungen auf, z.B.: $f_1$ und $f_2$
$f_1=\dfrac{x}{x^2+1}$
$f_2=\dfrac{x}{x^2+2}$
Setze nun beide Gleichungen mit dem CAS gleich und löse nach $x$ auf:
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Der Schnittpunkt aller Funktionen $f_a$ liegt also bei $x=0$. Um den $y$-Wert zu erhalten, setzt du $x=0$ in $f_a$ ein:
$f_1(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad S(0\mid 0)$
2. Schritt: Bestimme die Gleichung der gemeinsamen Asymptoten
Führe nun eine Grenzwertbetrachtung durch.
Du kannst erkennen, dass im Nenner die größere Potenz steht. Wenn du nun für $x$ große Werte einsetzt, wird der Nenner immer größer als der Zähler sein. Du teilst somit durch eine größere Zahl.
Dadurch wird der Bruch selbst immer kleiner. Für unendlich große $x$–Werte nähert sich die Funktion dem Wert $0$ an.
Da $a$ als konstant angesehen werden kann, hat er keinen nennenswerten Einfluss.
$\lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+a}=0$
Die Gleichung der gemeinsamen Asymptoten lautet somit $y=0$.
$\blacktriangleright$ Funktion auf senkrechte Asymptoten untersuchen
Nun sollst du prüfen, für welche reellen Zahlen $a$, die Graphen $G_a$ zwei senkrechte Asymptoten besitzen.
Eine Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke aufweist. Das sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Sie werden Polstellen genannt.
Diese sind an den Nullstellen des Nenners, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
Prüfe nun, für welche Zahlen $a$ der Nenner 0 wird.
Die Nennerfunktion lautet $x^2+a$.
Suche nach Nullstellen dieser Funktion:
$x^2+a=0$
Du kannst erkennen, dass die Funktion nur 0 werden kann, wenn $a$ negativ ist, da das Quadrat stets positive Werte liefert.
Daraus folgt:
$\begin{array}{rcll} x^2-a&=&0& \\ x^2&=&a& \\ x&=&\pm\sqrt{a}& \\ \end{array}$
Für $a<0$ existieren somit zwei Polstellen der Funktion und damit zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen $x_1=-\sqrt{|a|}$ und $x_2=\sqrt{|a|}$.
b) $\blacktriangleright$ Hochpunkt der Ableitungsfunktionen und Koordinaten bestimmen
Hier sollst du im zeigen, dass alle Graphen $G'_a$ der Ableitungsfunktionen $f'_a$ auf der $y$–Achse, also an der Stelle $x=0$, einen lokalen Hochpunkt aufweisen.
Die Kriterien für die Existenz eines Hochpunktes bei einer Funktion $g$ lauten:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{g'(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{g''(x)<0}$
Beachte, dass hier nach dem Hochpunkt des Graphen der ersten Ableitung gefragt ist. Die Bedingungen, welche du zeigen musst sind:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{f'''(x)<0}$
Anschließend sollst du noch die Koordinaten des Hochpunkts bestimmen.
1. Schritt: notwendiges Kriterium prüfen
Bestimme mit deinem CAS die erste und zweite Ableitung. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Um das notwendige Kriterium zu prüfen, setzt du jetzt die zweite Ableitung gleich Null. Dafür verwendest du den solve-Befehl deines CAS. So erhältst du alle $x$-Werte, bei denen die erste Ableitung einen Extrempunkt hat.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Du siehst, dass die notwendige Bedingung für $x=\pm \sqrt{3a}$ und $x=0$ erfüllt ist.
2. Schritt: hinreichendes Kriterium prüfen
Für das Extrema bei $x=0$ prüfst du jetzt das hinreichende Kriterium. Dafür bildest du mit deinem CAS die dritte Ableitung und setzt $x=0$ ein.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Du erhältst $f'''(x)=\frac{-6}{a^2} $. Da der Nenner durch das Quadrat immer positiv ist und im Zähler eine negative Zahl steht, gilt: $f'''(x)=\frac{-6}{a^2} \lt 0$. Somit ist das hinreichende Kriterium erfüllt für $x=0$.
3. Schritt: Fehlende Koordinate
Um den passenden $y$-Wert zu $x=0$ in der ersten Ableitung zu bestimmen, setzt du den $x$-Wert in die erste Ableitung von $f_a$ ein. Dafür kannst du wieder dein CAS verwenden.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Die Graphen $G'_a$ der Ableitungsfunktion $f'_a$ haben alle einen lokalen Hochpunkt bei $H\left(0\mid \dfrac{1}{a}\right)$.
c) $\blacktriangleright$ Wechsel des Krümmungsverhaltens begründen
Hier sollst du zeigen, dass bei allen Graphen $G_a$ im Ursprung ein Wechsel des Krümmungsverhaltens erfolgt.
Das Krümmungsverhalten einer Funktion wechselt an einem Wendepunkt.
Die Kriterien für die Existenz eines Wendepunktes bei einer Funktion $g$ lauten:
  • notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{g''(x)=0}$
  • hinreichendes Kriterium: $\boldsymbol{g'''(x)\neq0}$
Die zweite Ableitung stellt das Verhalten der Steigung dar. An Hochpunkten der 1. Ableitung fängt die Steigung an zu sinken, da der höchste Wert der Steigung bereits angenommen wurde.
An dieser Stelle ändert die Steigung somit ihr Verhalten und der Graph der normalen Funktion wechselt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.
Wendepunkte stellen somit Extremwerte der Ableitungsfunktion dar.
Zeige also, dass $x=0$ ein Wendepunkt von $f_a$ vorliegt.
In Aufgabenteil $b)$ wurde gezeigt, dass bei $x=0$ ein Hochpunkt der Ableitungsfunktion $f'_a$ vorliegt und damit ein Wendepunkt von $f_a$.
Setze $x=0$ in $f_a$ ein, um die $y$–Koordinate zu erhalten.
$f_a(0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad W(0\mid0)$
Dadurch, dass im Ursprung ein Wendepunkt vorliegt, erfolgt dort bei allen Graphen $G_a$ ein Wechsel des Krümmungsverhalten.
$\blacktriangleright$ Höhenunterschied berechnen
Nun wird der Graph $G_{10}$ mit der Funktionsgleichung $f_{10}(x)=\dfrac{x}{x^2+10}$ im Intervall $-3,5\leq x \leq3,5$ betrachtet, der einen Streckenabschnitt für eine Modelleisenbahn darstellt.
In diesem Intervall besitzt der Graph einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt.
Du sollst nun berechnen, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem tiefsten und höchsten Punkt dieser Strecke ist.
Dieser stellt die Differenz der $\boldsymbol{y}$–Werte der beiden globalen Extrempunkte dar, du musst also auch auf Randextrema prüfen.
Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Berechne den lokalen Tief– und Hochpunkt von $G_{10}$ und berechne die Randwerte des Intervalls, bestimme so die globalen Extrema.
  2. Berechne die Differenz der $y$–Werte.
1. Schritt: Hoch- und Tiefpunkt
Gib im CAS die Funktion $f_{10}$ ein und bestimme das Maximum und Minimum. Um die Randwerte zu berechnen setzt du $x=-3.5$ und $x=3.5$ in $f_{10}(x)$ ein.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Den $y$-Wert des Hoch- und Tiefpunkts erhältst du indem du $x=\sqrt{10}$ und $x=-\sqrt{10}$ in $f_{10}(x)$ einsetzt. Verwende das CAS.
$f_{10}(\sqrt{10})=\frac{\sqrt{10}}{20} \approx 0,15811$ und $\;f_{10}(-\sqrt{10})=\frac{\sqrt{10}}{20} \approx -0,15811$
Die mit dem CAS berechneten Extrema sind also auch globale Hoch- und Tiefpunkte.
2. Schritt: Differenz der $y$-Werte
Um den Höhenunterschied, den die Modelleisenbahn überwinden muss zu bestimmen, bildest du die Differenz der $y$-Werte:
$\dfrac{\sqrt{10}}{20} - \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{20}\right) = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \approx 0,316228$
Der Höhenunterschied zwischen dem tiefsten und dem höchsten Punkt der Strecke beträgt ca. $0,316\text{LE}$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte bestimmen, an denen die Bahnstrecke um $\boldsymbol{5^{\circ}}$ ansteigt
Die Bahnstrecke steigt in zwei Punkten um $5^{\circ}$ an. Du sollst nun deren Koordinaten bestimmen.
Berechne dazu zunächst die Steigung $\boldsymbol{m}$ der Tangente an diesen Punkten. Die Steigung einer Tangenten kannst du mit dem Tangens berechnen.
Die 1. Ableitung einer Funktion stellt den Verlauf der Steigung dar. Setze also die 1. Ableitungsfunktion gleich der Steigung der Tangenten, um zu prüfen, bei welchen $x$–Werten diese Steigung angenommen wird.
1. Schritt: Berechne die Steigung $\boldsymbol{m}$ der Tangenten
$m=\tan\alpha=\tan 5^{\circ}\approx 0,0875$
2. Schritt: Prüfe, an welchen Punkten diese Steigung angenommen wird
Setze $f'_{10}(x)=0,0875$ und löse die Gleichung mit dem CAS mit solve-Befehl nach $x$ auf. Da in der Aufgabe nach den Punkten gefragt ist, musst du noch den $y$-Wert berechnen. Dazu setzt du die $x$-Werte in die Funktion $f_{10}(x)$ ein.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
In den Punkten $P_1(-0,67\mid -0,064)$ und $P_2(0,67\mid0,064)$ steigt die Bahnstrecke unter einem Winkel von $5^\circ$ an.
d) $\blacktriangleright$ Steigungswinkel im Koordinatenursprung bestimmen
Hier sollst du die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ im Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ berechnen.
Dafür kannst du wieder folgende Formel verwenden:
$f'_{10}(0)=\tan\alpha$
Mit dem CAS kannst du den Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=0$ bestimmen.
$f'(0)=\frac{1}{10}= \tan \alpha$, also $\;\tan^{-1} \left( \frac{1}{10}\right)=\alpha$. Beachte beim Berechnen, dass dein CAS auf Grad und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist.
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Im Koordinatenursprung ist der Steigungswinkel $\alpha=5,71^{\circ}$ groß.
e) $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{y}$–Achsensymmetrie beweisen
Ein Brückenbogen wird durch einen Graphen $G'_a$ der Ableitungsfunktion $f'_a$ dargestellt.
Hier sollst du nun beweisen, dass alle Graphen $G'_a$ symmetrisch zur $\boldsymbol{y}$–Achse verlaufen.
Das bedeutet, dass jeder Punkt, der auf der Kurve liegt durch Spiegelung an der $\boldsymbol{y}$–Achse wieder in einen Kurvenpunkt übergehen kann.
Die Funktionswerte für $+x$ entsprechen somit den Funktionswerten für $-x$.
$f(x)=f(-x)$
Berechne $f'_a(-x)$ und prüfe, ob dies der Funktionsgleichung von $f'_a(x)$ entspricht.
$\begin{array}{rcll} f'_a(-x)&=&\dfrac{-((-x)^2-a)}{((-x)^2+a)^2}&\scriptsize{\text{Aus einem Quadrat gehen stets positive Werte hervor}}\\ &=&\dfrac{-(x^2-a)}{(x^2+a)^2}& \\ f'_a(-x)&=&f'_a(x)& \\ \end{array}$
Alle Graphen $G'_a$ sind somit symmetrisch zur $y$–Achse.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Im Intervall $-1\leq x\leq1$ beschreibt der Graph $G'_a$ die Durchfahrt des Brückenbogens. Dieser wird unten von der Geraden mit der Gleichung $y=-1$ abgegrenzt.
Nun sollst du berechnen, für welchen Wert $a$ der Flächeninhalt dieser Durchfahrt 1 FE beträgt.
Berechne dazu den Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen in Abhängigkeit von $a$ über ein Integral und setzte es gleich mit dem geforderten Flächeninhalt von $1$FE:
$A_{\text{Durchfahrt}}=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(f'_a(x)-(-1)\right)\mathrm dx=1$
Verwende wieder dein CAS und löse so die Gleichung:
Analysis 1.2
Analysis 1.2
Für $a=-3$ beträgt der Inhalt der betrachteten Fläche genau $1$ FE.
f) $\blacktriangleright$ Funktion 4. Grades ermitteln
Der Brückenbogen, der aus dem Graphen von $f'_{-3}$ hervorgeht, soll nun durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden.
Diese hat die allgemeine Form:
$g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Folgende Eigenschaften sind dir bekannt:
  • Die Funktion bleibt $y$–Achsensymmetrisch.
  • Die Durchfahrtshöhe bleibt gleich.
  • Die Durchfahrtsbreite bleibt gleich.
  • Der Flächeninhalt der Durchfahrt beträgt 1 FE.
1. Eigenschaft:
Die Symmetrie der Funktion soll erhalten bleiben. Daraus folgt, dass die Funktionsgleichung nur Potenzen mit geraden Hochzahlen enthalten darf.
Die allgemeine Gleichung der Funktion 4. Grades lautet folglich:
$g(x)=ax^4+bx^2+c \quad \Rightarrow\quad g'(x)= 4ax^3+2bx \quad$ und $ \quad G(x) = \frac{a}{5}\cdot x^5 + \frac{b}{3}\cdot x^3 + c\cdot x$
2. Eigenschaft:
Da die Durchfahrtshöhe gleich bleibt, ist der Funktionswert des Hochpunktes bei $x=0$ gleich dem der Ableitungsfunktion $f'_{-3}$.
$g(0)=f'_{-3}(0)=-\dfrac{1}{3}$
Wenn du diese Bedingung in die allgemeine Gleichung einsetzt, kannst du direkt die Unbekannte $c$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)=a \cdot 0^4+ b\cdot 0^2+c&=& -\frac{1}{3}\\ c&=&-\frac{1}{3}\\ \end{array}$
Für $g$ gilt also : $g(x)=ax^4+bx^2-\frac{1}{3}$
Die zwei fehlenden Unbekannten $a$ und $b$ bestimmst du mit Eigenschaft 3 und 4.
3. Eigenschaft:
Da auch die Durchfahrtsbreite gleich bleibt, sind die Funktionswerte an den Intervallgrenzen $x=-1$ und $x=1$ gleich denen der Ableitungsfunktion $f'_{-3}$.
  • $g(-1)=f'_{-3}(-1)=-1$
  • $g(1)=f'_{-3}(1)=-1$
Somit erhältst du folgende Bedingung für $a$ und $b$:
$\begin{array} a \cdot 1^4+b \cdot 1^2-\frac{1}{3}&=&-1\\ a+b-\frac{1}{3}&=&-1 \end{array}$
4. Eigenschaft:
Der Flächeninhalt der Durchfahrt soll weiterhin 1 FE betragen.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(g(x)-(-1)\right)\mathrm dx&=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(ax^4+bx^2-\frac{1}{3}-(-1)\right)\mathrm dx&=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(ax^4+bx^2+\frac{2}{3}\right)\mathrm dx&=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] [\frac{1}{5}ax^5-\frac{1}{3}bx^3+\frac{2}{3}x]_{-1}^1 &=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{5}a\cdot 1^5-\frac{1}{3}b\cdot 1^3+\frac{2}{3}\cdot 1 -\left(\frac{1}{5}a\cdot (-1)^5-\frac{1}{3}b\cdot (-1)^3+\frac{2}{3}\cdot (-1)\right)&=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{2a}{5}+ \dfrac{2b}{3} +\dfrac{4}{3} &=&1 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da du nur noch zwei Unbekannte hast, kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen:
$\begin{array}{} \text{I} \quad a+b -\dfrac{1}{3} &=&-1\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad \dfrac{2a}{5}+ \dfrac{2b}{3} +\dfrac{4}{3} &=&1\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du jetzt mit Hilfe deines CAS lösen. Setze die Parameter in die allgemeine Gleichung für $g(x)$ ein um die Unbekannten $a$ und $b$ zu erhalten:
Analysis 1.2
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Die gesuchte Funktionsgleichung ist: $g(x)=-\dfrac{5}{12}x^4-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{3}$
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