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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Aufgabe 2.2: Berliner Gaslaterne

In Berlin gibt es so genannte Schinkellaternen, die zum Teil noch mit Gas betrieben werden (siehe Foto 1).
Der verglaste Laternenkopf ist ein (umgedrehter) regelmäßiger, sechsseitiger Pyramidenstumpf mit pyramidenförmiger Abdeckung. Die Zierelemente werden nicht beachtet.
Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass der Laternenfuß im Punkt $O(0\mid 0\mid 0)$ liegt. Die Gehwegfläche entspricht der $x$-$y$-Ebene.
Von folgenden Eckpunkten des Pyramidenstumpfes (siehe Foto 2) sind die Koordinaten bekannt: $A(7\mid -7\sqrt{3}\mid 320)$, $B(14\mid 0\mid 320)$, $C(7\mid 7\sqrt{3}\mid 320)$, $D(24\mid 0\mid 360)$. $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$.
a)  Die Geraden, auf denen die schrägen Kanten des verglasten Laternenkopfes liegen, schneiden sich in einem Punkt auf der $z$-Achse. Berechne dessen Koordinaten.
(5P)
b)  Die Glasscheibe mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $D$ liegt in einer Ebene $E_1$.
Die Glasscheibe mit den Eckpunkten $B$, $C$ und $D$ liegt in der Ebene $E_2:\;-4\sqrt{3}\cdot x-4\cdot y+\sqrt{3}\cdot z=264\cdot\sqrt{3}$.
Berechne den Schnittwinkel der Ebenen $E_1$ und $E_2$ und gib den Winkel an, den zwei benachbarte Glasscheiben miteinander bilden.
(8P)
c)  Im Punkt $L(0\mid0\mid360)$ befindet sich die punktförmig gedachte Lichtquelle.
Berechne den Abstand der Ebene $E_2$ von der Lichtquelle.
In der $x$-$y$-Ebene entsteht eine Schattenfläche der von $L$ aus beleuchteten, sechseckigen Grundfläche des Laternenkopfes.
Berechne die Koordinaten des zu $A$ gehörenden Schattenpunktes $A'$.
(9P)
d)  Zur Kontrolle der Lichtintensität werden Messungen im Abstand von $3\,\text{m}$ zur Lichtquelle vorgenommen.
Gib eine Gleichung der Kugel $K$ an, auf der die Messpunkte liegen.
Gib die Koordinaten des Schnittpunktes der Kugel mit der Strecke $OL$ an.
(4P)
e)  In den anfangs beschriebenen regelmäßigen sechsseitigen Pyramidenstumpf wird eine Kugel mit maximalem Radius einbeschrieben.
Bestimme den Radius, den diese Kugel maximal besitzen darf. Runde deine Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
(4P)

(30P)
Bildnachweise [nach oben]
(Foto 1)
commons.wikimedia.org – Bernd Hutschenreuther CC BY-SA 3.0.
(Foto 2)
commons.wikimedia.org – Manfred Brueckels CC BY-SA 3.0.
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Aufgabe 2.2: Berliner Gaslaterne

a) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Da der Schnittpunkt aller Geraden auf der $z$-Achse liegt, ist dies gleichzeitig der Schnittpunkt der Geraden mit eben dieser. Dementsprechend, kannst du den gesuchten Punkt als Schnittpunkt der Geraden $g$ durch die Punkte $B$ und $D$ mit der $z$-Achse bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $g$ auf
  2. Bestimme die Koordinaten durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen, Lösen des linearen Gleichungssystems und Einsetzen eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung
b) 
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen lässt sich über den Schnittwinkel der Normalenvektoren berechnen. Einen Normalenvektor von $E_2$ kannst du direkt aus der Ebenengleichung in Koordinatenform ablesen: $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}$. Einen Normalenvektor von $E_1$ erhältst du über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der gegebenen Punkte, die in der Ebene liegen sollen. Wähle dazu beispielsweise $\overrightarrow{DB}=\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}7\\7\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen zwei Glasscheiben angeben
Der gesuchte Winkel $\beta$ ergibt sich als Nebenwinkel zum oben berechneten Winkel $\alpha$.
c) 
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Der Abstand $d(x,E)$ zwischen einem Punkt und einer Ebene lässt sich mit Hilfe der Hesseschen Normalenform der Ebene bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Hessesche Normalenform von $E_2$, indem du so umformst, dass auf der rechten Seite Null steht und anschließend mit dem Betrag des Normalenvektors normierst
  2. Setze die Koordinaten von $L$ in die linke Seite der Ebenengleichung ein und berechne so den Abstand
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Der Schattenpunkt von $A$ ist gerade der Schnittpunkt der Geraden $h$, die durch die Punkte $A$ und $L$ verläuft, mit der $x$-$y$-Ebene. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme eine Geradengleichung von $h$ und eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene
  2. Setze die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf $h$ in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter $u$
  3. Setze den Parameter in $h$ ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunkts $A'$
d) 
$\blacktriangleright$  Kugelgleichung angeben
Die Messpunkte mit Abstand $3\,$ m liegen auf einer Kugel mit dem Mittelpunkt $L$ und Radius $r =300$. Setze diese Werte in die allgemeine Kugelgleichung ein.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Da $L$ gerade der Mittelpunkt der Kugel ist und genauso wie $O$ auf der $z$-Achse liegt, entsteht der Schnittpunkt der Kugel mit der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte gerade durch Verschiebung von $L$ in negative $z$-Richtung um $300\,$ LE ($\mathrel{\widehat{=}}3\,$ m).
e) 
$\blacktriangleright$  Maximalen Radius bestimmen
Die Kugel wird durch den Pyramidenstumpf begrenzt, also insbesondere durch die Deckfläche und die Seitenflächen. Der Radius entspricht demnach genau dem Abstand des Mittelpunkts $M$ der Kugel zu den Seitenflächen, aber auch zur Deckfläche. Es muss also gelten
$d(M,E_2)=d(M,\text{Deckfläche})$
Mache dir daher Gedanken zur Lage von $M$. Wegen der Gleichmäßigkeit des Pyramidenstumpfes sind alle Seitenflächen gleichweit von der $z$-Achse entfernt. Daher ist es sinnvoll $M$ direkt auf der $z$-Achse zu positionieren, also gilt $M(0\mid0\mid z)$, wobei $M$ aber auch zwischen der Deckfläche und der Grundfläche liegen muss, also $320\leq z\leq 360$ gelten muss.
Der Abstand von $M$ zur Deckfläche ist dann gegeben durch $d(M,\text{Deckfläche})=360-z$. Den Abstand von $M$ zu der Ebene $E_2$ kannst du mit Hilfe der Hesseschen Normalenform in Abhängigkeit von $z$ darstellen. Durch Gleichsetzen kannst du $z$ berechnen und dann anschließend wiederum in $d(M,\text{Deckfläche})$ einsetzen. So erhältst du den Radius.
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Aufgabe 2.2: Berliner Gaslaterne

a) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Da der Schnittpunkt aller Geraden auf der $z$-Achse liegt, ist dies gleichzeitig der Schnittpunkt der Geraden mit eben dieser. Dementsprechend, kannst du den gesuchten Punkt als Schnittpunkt der Geraden $g$ durch die Punkte $B$ und $D$ mit der $z$-Achse bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $g$ auf
  2. Bestimme die Koordinaten durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen, Lösen des linearen Gleichungssystems und Einsetzen eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{DB}=\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$ als Richtungsvektor, ergibt sich die Geradengleichung:
$g: \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OD} + t\cdot \overrightarrow{DB} = \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$
Eine Geradengleichung der $z$-Achse lautet $z: \overrightarrow{OX} = s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Durch Gleichsetzen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}&=& s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\, - s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix} -s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\, - \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} \\[5pt] t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix} -s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&=& - \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&-24&=&-10t-0s\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&0&=&0t-0s\quad\\ \text{III}\quad&-360&=&-40t-s\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ kannst du direkt einen Wert für $t$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -10t-0s&=& -24&\quad \scriptsize \mid\,:(-10) \\[5pt] t&=&2,4&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\text{II}$ ist immer erfüllt. $t=2,4$ eingesetzt in $\text{III}$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} -40\cdot 2,4 -s&=& -360&\quad \scriptsize \mid\,:+96 \\[5pt] -s&=&-264&\quad \scriptsize \mid\, \cdot (-1)\\[5pt] s&=&264&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich der Schnittpunkt durch Einsetzen von $s =264$ in die Geradengleichung der $z$-Achse zu $S(0\mid 0\mid 264)$.
Der Punkt, in dem sich alle Geraden schneiden, hat die Koordinaten $S(0\mid 0\mid 264)$.
b) 
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen lässt sich über den Schnittwinkel der Normalenvektoren berechnen. Einen Normalenvektor von $E_2$ kannst du direkt aus der Ebenengleichung in Koordinatenform ablesen: $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}$. Einen Normalenvektor von $E_1$ erhältst du über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der gegebenen Punkte, die in der Ebene liegen sollen. Wähle dazu beispielsweise $\overrightarrow{DB}=\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}7\\7\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}$. Das Kreuzprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_1}&=& \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{AB} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}7\\7\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Das Skalarprodukt kannst du mit dem dotP-Befehl und den Vektorbetrag mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\right|}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{35}{67}&\quad \scriptsize \mid\, \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&58,5^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat eine Größe von ca. $58,5^{\circ}$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen zwei Glasscheiben angeben
Der gesuchte Winkel $\beta$ ergibt sich als Nebenwinkel zum oben berechneten Winkel $\alpha$. Damit kannst du ihn wie folgt berechnen:
$\beta = 180^{\circ}- \alpha \approx 180^{\circ}- 58,5 = 121,5^{\circ}$
Zwei Glasscheiben der Laterne bilden einen Winkel der Größe $121,5^{\circ}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Der Abstand $d(x,E)$ zwischen einem Punkt und einer Ebene lässt sich mit Hilfe der Hesseschen Normalenform der Ebene bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Hessesche Normalenform von $E_2$, indem du so umformst, dass auf der rechten Seite Null steht und anschließend mit dem Betrag des Normalenvektors normierst
  2. Setze die Koordinaten von $L$ in die linke Seite der Ebenengleichung ein und berechne so den Abstand
1. Schritt: Hessesche Normalenform bestimmen
Den Betrag von $\overrightarrow{n_2}$ hast du bereits im letzten Aufgabenteil benötigt: $\left|\overrightarrow{n_2} \right| = \sqrt{67}$. Damit lautet die Hessesche Normalenform von $E_2$ nun:
$\dfrac{-4\sqrt{3}\cdot x -4\cdot y +\sqrt{3}\cdot z - 264\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{67}} = 0$
2. Schritt: Abstand bestimmen
Einsetzen der Koordinaten von $L$ in die Hessesche Normalenform von $E_2$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} d(L,E_2)&=& \dfrac{-4\sqrt{3}\cdot 0 -4\cdot 0 +\sqrt{3}\cdot 360 - 264\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{67}}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{96\sqrt{3}}{\sqrt{67}}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&20\, \text{ [LE]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Glasscheibe ist ca. $20\,$ cm von der Lichtquelle entfernt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Der Schattenpunkt von $A$ ist gerade der Schnittpunkt der Geraden $h$, die durch die Punkte $A$ und $L$ verläuft, mit der $x$-$y$-Ebene. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme eine Geradengleichung von $h$ und eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene
  2. Setze die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf $h$ in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter $u$
  3. Setze den Parameter in $h$ ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunkts $A'$
1. Schritt: Geraden- und Ebenengleichung aufstellen
Mit dem Stützvektor $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{LA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix}$ ergibt sich eine Gleichung von $h$:
$h: \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + u\cdot \overrightarrow{LA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix}$
Eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene in Koordinatenform lautet $z = 0$.
2. Schritt: Allgemeine Koordinaten einsetzen
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden $h$ lauten : $\left(7+7u\mid -7\sqrt{3}-7\sqrt{3}u\mid 320 -40u \right)$. Eingesetzt in die Ebenengleichung ergibt sich nun für $u$:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] 320 -40u&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\, +40u \\[5pt] 320&=&40u &\quad \scriptsize\mid\, :40\\[5pt] 8&=&u \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Parameter einsetzen
Mit $u=8$ ergibt sich:
$\overrightarrow{OA'} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}63\\-63\sqrt{3}\\ 0\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Schattenpunktes $A'$ von $A$ lauten $A'(63\mid -63\sqrt{3}\mid 0)$.
d) 
$\blacktriangleright$  Kugelgleichung angeben
Die Messpunkte mit Abstand $3\,$ m liegen auf einer Kugel mit dem Mittelpunkt $L$ und Radius $r =300$. Setze diese Werte in die allgemeine Kugelgleichung ein. Dann erhältst du:
$K: (x-0)^2+(y-0)^2+(z-360)^2= 300^2$ $\Leftrightarrow K: x^2+y^2+(z-360)^2=90.000$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Da $L$ gerade der Mittelpunkt der Kugel ist und genauso wie $O$ auf der $z$-Achse liegt, entsteht der Schnittpunkt der Kugel mit der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte gerade durch Verschiebung von $L$ in negative $z$-Richtung um $300\,$ LE ($\mathrel{\widehat{=}}3\,$ m). Die Koordinaten lauten daher $S_K(0\mid 0\mid 60)$.
Der Schnittpunkt der Kugel mit der Strecke $OL$ besitzt die Koordinaten $S_K(0\mid 0\mid 60)$.
e) 
$\blacktriangleright$  Maximalen Radius bestimmen
Die Kugel wird durch den Pyramidenstumpf begrenzt, also insbesondere durch die Deckfläche und die Seitenflächen. Der Radius entspricht demnach genau dem Abstand des Mittelpunkts $M$ der Kugel zu den Seitenflächen, aber auch zur Deckfläche. Es muss also gelten
$d(M,E_2)=d(M,\text{Deckfläche})$
Mache dir daher Gedanken zur Lage von $M$. Wegen der Gleichmäßigkeit des Pyramidenstumpfes sind alle Seitenflächen gleichweit von der $z$-Achse entfernt. Daher ist es sinnvoll $M$ direkt auf der $z$-Achse zu positionieren, also gilt $M(0\mid0\mid z)$, wobei $M$ aber auch zwischen der Deckfläche und der Grundfläche liegen muss, also $320\leq z\leq 360$ gelten muss.
Der Abstand von $M$ zur Deckfläche ist dann gegeben durch $d(M,\text{Deckfläche})=360-z$. Den Abstand von $M$ zu der Ebene $E_2$ kannst du mit Hilfe der Hesseschen Normalenform in Abhängigkeit von $z$ darstellen. Durch Gleichsetzen kannst du $z$ berechnen und dann anschließend wiederum in $d(M,\text{Deckfläche})$ einsetzen. So erhältst du den Radius:
$\begin{array}[t]{rll} d(M,E_2)&=&d(M,\text{Deckfläche})\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\left|-4\sqrt{3}\cdot 0 -4\cdot 0 +\sqrt{3}\cdot z - 264\cdot \sqrt{3}\right|}{\sqrt{67}} &=& 360-z\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\sqrt{3}\cdot (z - 264)}{\sqrt{67}} &=& 360-z\quad \scriptsize \\[5pt] z&\approx&343,2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
$\Rightarrow \quad r = 360 -z \approx 360- 343,2=16,8$.
Die Kugel kann maximal einen Radius von ca. $16,8\,$ cm besitzen.
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Aufgabe 2.2: Berliner Gaslaterne

a) 
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Da der Schnittpunkt aller Geraden auf der $z$-Achse liegt, ist dies gleichzeitig der Schnittpunkt der Geraden mit eben dieser. Dementsprechend, kannst du den gesuchten Punkt als Schnittpunkt der Geraden $g$ durch die Punkte $B$ und $D$ mit der $z$-Achse bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $g$ auf
  2. Bestimme die Koordinaten durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen, Lösen des linearen Gleichungssystems und Einsetzen eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{DB}=\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$ als Richtungsvektor, ergibt sich die Geradengleichung:
$g: \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OD} + t\cdot \overrightarrow{DB} = \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$
Eine Geradengleichung der $z$-Achse lautet $z: \overrightarrow{OX} = s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Durch Gleichsetzen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}&=& s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\, - s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix} -s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\, - \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix} \\[5pt] t\cdot \begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix} -s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&=& - \begin{pmatrix}24\\0\\360\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&-24&=&-10t-0s\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&0&=&0t-0s\quad\\ \text{III}\quad&-360&=&-40t-s\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ kannst du direkt einen Wert für $t$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -10t-0s&=& -24&\quad \scriptsize \mid\,:(-10) \\[5pt] t&=&2,4&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\text{II}$ ist immer erfüllt. $t=2,4$ eingesetzt in $\text{III}$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} -40\cdot 2,4 -s&=& -360&\quad \scriptsize \mid\,:+96 \\[5pt] -s&=&-264&\quad \scriptsize \mid\, \cdot (-1)\\[5pt] s&=&264&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich der Schnittpunkt durch Einsetzen von $s =264$ in die Geradengleichung der $z$-Achse zu $S(0\mid 0\mid 264)$.
Der Punkt, in dem sich alle Geraden schneiden, hat die Koordinaten $S(0\mid 0\mid 264)$.
b) 
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen lässt sich über den Schnittwinkel der Normalenvektoren berechnen. Einen Normalenvektor von $E_2$ kannst du direkt aus der Ebenengleichung in Koordinatenform ablesen: $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}$. Einen Normalenvektor von $E_1$ erhältst du über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der gegebenen Punkte, die in der Ebene liegen sollen. Wähle dazu beispielsweise $\overrightarrow{DB}=\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}7\\7\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}$. Das Kreuzprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_1}&=& \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{AB} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-10\\0\\-40\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}7\\7\sqrt{3}\\0\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Das Skalarprodukt kannst du mit dem dotP-Befehl und den Vektorbetrag mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}280\sqrt{3}\\-280\\-70\sqrt{3}\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}\\-4\\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\right|}\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{35}{67}&\quad \scriptsize \mid\, \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&58,5^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat eine Größe von ca. $58,5^{\circ}$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen zwei Glasscheiben angeben
Der gesuchte Winkel $\beta$ ergibt sich als Nebenwinkel zum oben berechneten Winkel $\alpha$. Damit kannst du ihn wie folgt berechnen:
$\beta = 180^{\circ}- \alpha \approx 180^{\circ}- 58,5 = 121,5^{\circ}$
Zwei Glasscheiben der Laterne bilden einen Winkel der Größe $121,5^{\circ}$.
c) 
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Der Abstand $d(x,E)$ zwischen einem Punkt und einer Ebene lässt sich mit Hilfe der Hesseschen Normalenform der Ebene bestimmen. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bilde die Hessesche Normalenform von $E_2$, indem du so umformst, dass auf der rechten Seite Null steht und anschließend mit dem Betrag des Normalenvektors normierst
  2. Setze die Koordinaten von $L$ in die linke Seite der Ebenengleichung ein und berechne so den Abstand
1. Schritt: Hessesche Normalenform bestimmen
Den Betrag von $\overrightarrow{n_2}$ hast du bereits im letzten Aufgabenteil benötigt: $\left|\overrightarrow{n_2} \right| = \sqrt{67}$. Damit lautet die Hessesche Normalenform von $E_2$ nun:
$\dfrac{-4\sqrt{3}\cdot x -4\cdot y +\sqrt{3}\cdot z - 264\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{67}} = 0$
2. Schritt: Abstand bestimmen
Einsetzen der Koordinaten von $L$ in die Hessesche Normalenform von $E_2$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} d(L,E_2)&=& \dfrac{-4\sqrt{3}\cdot 0 -4\cdot 0 +\sqrt{3}\cdot 360 - 264\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{67}}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{96\sqrt{3}}{\sqrt{67}}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&20\, \text{ [LE]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Glasscheibe ist ca. $20\,$ cm von der Lichtquelle entfernt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Der Schattenpunkt von $A$ ist gerade der Schnittpunkt der Geraden $h$, die durch die Punkte $A$ und $L$ verläuft, mit der $x$-$y$-Ebene. Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme eine Geradengleichung von $h$ und eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene
  2. Setze die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf $h$ in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter $u$
  3. Setze den Parameter in $h$ ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunkts $A'$
1. Schritt: Geraden- und Ebenengleichung aufstellen
Mit dem Stützvektor $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{LA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix}$ ergibt sich eine Gleichung von $h$:
$h: \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + u\cdot \overrightarrow{LA} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix}$
Eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene in Koordinatenform lautet $z = 0$.
2. Schritt: Allgemeine Koordinaten einsetzen
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden $h$ lauten : $\left(7+7u\mid -7\sqrt{3}-7\sqrt{3}u\mid 320 -40u \right)$. Eingesetzt in die Ebenengleichung ergibt sich nun für $u$:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&0 \quad \scriptsize \\[5pt] 320 -40u&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\, +40u \\[5pt] 320&=&40u &\quad \scriptsize\mid\, :40\\[5pt] 8&=&u \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Parameter einsetzen
Mit $u=8$ ergibt sich:
$\overrightarrow{OA'} = \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\320\end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix}7\\-7\sqrt{3}\\ -40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}63\\-63\sqrt{3}\\ 0\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Schattenpunktes $A'$ von $A$ lauten $A'(63\mid -63\sqrt{3}\mid 0)$.
d) 
$\blacktriangleright$  Kugelgleichung angeben
Die Messpunkte mit Abstand $3\,$ m liegen auf einer Kugel mit dem Mittelpunkt $L$ und Radius $r =300$. Setze diese Werte in die allgemeine Kugelgleichung ein. Dann erhältst du:
$K: (x-0)^2+(y-0)^2+(z-360)^2= 300^2$ $\Leftrightarrow K: x^2+y^2+(z-360)^2=90.000$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Da $L$ gerade der Mittelpunkt der Kugel ist und genauso wie $O$ auf der $z$-Achse liegt, entsteht der Schnittpunkt der Kugel mit der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte gerade durch Verschiebung von $L$ in negative $z$-Richtung um $300\,$ LE ($\mathrel{\widehat{=}}3\,$ m). Die Koordinaten lauten daher $S_K(0\mid 0\mid 60)$.
Der Schnittpunkt der Kugel mit der Strecke $OL$ besitzt die Koordinaten $S_K(0\mid 0\mid 60)$.
e) 
$\blacktriangleright$  Maximalen Radius bestimmen
Die Kugel wird durch den Pyramidenstumpf begrenzt, also insbesondere durch die Deckfläche und die Seitenflächen. Der Radius entspricht demnach genau dem Abstand des Mittelpunkts $M$ der Kugel zu den Seitenflächen, aber auch zur Deckfläche. Es muss also gelten
$d(M,E_2)=d(M,\text{Deckfläche})$
Mache dir daher Gedanken zur Lage von $M$. Wegen der Gleichmäßigkeit des Pyramidenstumpfes sind alle Seitenflächen gleichweit von der $z$-Achse entfernt. Daher ist es sinnvoll $M$ direkt auf der $z$-Achse zu positionieren, also gilt $M(0\mid0\mid z)$, wobei $M$ aber auch zwischen der Deckfläche und der Grundfläche liegen muss, also $320\leq z\leq 360$ gelten muss.
Der Abstand von $M$ zur Deckfläche ist dann gegeben durch $d(M,\text{Deckfläche})=360-z$. Den Abstand von $M$ zu der Ebene $E_2$ kannst du mit Hilfe der Hesseschen Normalenform in Abhängigkeit von $z$ darstellen. Durch Gleichsetzen kannst du $z$ berechnen und dann anschließend wiederum in $d(M,\text{Deckfläche})$ einsetzen. So erhältst du den Radius:
$\begin{array}[t]{rll} d(M,E_2)&=&d(M,\text{Deckfläche})\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\left|-4\sqrt{3}\cdot 0 -4\cdot 0 +\sqrt{3}\cdot z - 264\cdot \sqrt{3}\right|}{\sqrt{67}} &=& 360-z\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\sqrt{3}\cdot (z - 264)}{\sqrt{67}} &=& 360-z\quad \scriptsize \\[5pt] z&\approx&343,2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
Analytische Geometrie 2.2
$\Rightarrow \quad r = 360 -z \approx 360- 343,2=16,8$.
Die Kugel kann maximal einen Radius von ca. $16,8\,$ cm besitzen.
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