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Analysis 1.1

Aufgaben
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Aufgabe 1.1: Kelchglas

In der Abbildung 1 ist ein Trinkglas in Kelchform ohne Stiel und Fuß dargestellt.
Die seitliche Profillinie eines solchen Glases lässt sich mathematisch mithilfe einer Exponentialfunktion $f$ der Form $f(x)=-a\cdot\mathrm {e}^{-bx^{2}}$ modellieren, $a$,   $b\in\mathbb{R}$,   $a>0$,   $b>0$.
Das Koordinatensystem wird gemäß der Abbildung $1$ festgelegt, für die Achseneinheiten gilt: $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$.
Die Profillinie des Glases ändert ihr Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und bei $x=2$. Außerdem ist ein Tiefpunkt $T(0\mid-12)$ erkennbar.
Analysis 1.1 Abbildung 1
Analysis 1.1 Abbildung 1
a)  Untersuche die Graphen aller möglichen Funktionen $f$ in Abhängigkeit von $a$ und $b$ auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte.
Weise nach, dass $f$ für $x<0$ streng monoton fallend ist.
(10P)
b)  Gib alle Bedingungen an, die von der Funktion $f$ erfüllt werden müssen, damit der Graph von $f$ die Profillinie des Glases darstellen kann.
Stelle die zugehörigen Bedingungsgleichungen auf.
Berechne die Parameter $a$ und $b$ für die Profillinie.
[Kontrollergebnis: $f_{\text{Glas}}(x)=-12\cdot\mathrm e^{-0,125x^2}$]
Das Kelchglas hat eine Höhe von $10\,\text{cm}$.
Berechne den Umfang und die Größe der Kreisfläche der Öffnung.
(8P)
c)  Bestimme für die Profillinie des Glases die Gleichungen der zwei Wendetangenten.
Bestimme die Koordinaten ihres Schnittpunkts und die Größe ihres Schnittwinkels.
(10P)
d)  Für $x\geq0$ ist der Graph von $f_{\text{Glas}}$ in der Anlage eingezeichnet.
Für $x\geq0$ besitzt $f_{\text{Glas}}$ eine Umkehrfunktion $f^*_{\text{Glas}}$.
Zeichne als Spiegelachse die Gerade zu $y=x$ in die Anlage ein und zeichne den Graphen der Umkehrfunktion $f^*_{\text{Glas}}$.
(4P)
e)  Bestimme eine Gleichung für $f^*_{\text{Glas}}$.
Ermittle und begründe den Definitionsbereich von $f^*_{\text{Glas}}$.
Der Graph von $f^*_{\text{Glas}}$ rotiert für $-12\leq x\leq-2$ um die $x$-Achse.
Dabei entsteht als Rotationskörper das Kelchglas in waagerechter Lage (siehe Abbildung 2).
Berechne das Volumen des Glases.
Analysis 1.1 Abbildung 2
Analysis 1.1 Abbildung 2
(8P)

(40P)
Anlage zu Aufgabe 1.1: Kelchglas
Analysis 1.1
Analysis 1.1
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Aufgabe 1.1: Kelchglas

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen auf relative Extrempunkte untersuchen
Wende hierzu die beiden Bedingungen für Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
Auch hier gibt es zwei Bedingungen, die du mit Hilfe deines CAS anwenden kannst, um Wendestellen zu bestimmen:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
$\blacktriangleright$  Strenge Monotonie nachweisen
Eine Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung kleiner Null ist, also $f'(x) < 0$ gilt. Sieh dir also den Funktionsterm von $f'$ für $x< 0$ an. Du kannst dir den Funktionsterm in deinem CAS anzeigen lassen.
b) 
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Du kannst die Bedingungen an $f$ dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen und diese mit Hilfe von Gleichungen darstellen:
  • Der Graph von $f$ ändert sein Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und $x =2$, besitzt an diesen Stellen also jeweils einen Wendepunkt.
  • Der Graph von $f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T(0\mid -12)$.
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Mit den Bedingungen von oben erhältst du ein Gleichungssystem, welches du nach $a$ und $b$ lösen kannst. Verwende dazu dein CAS, indem du das Gleichungssystem zunächst auf die 2. und 3. Gleichung beschränkst. Anschließend kannst du die übrigen Bedingungen überprüfen.
$\blacktriangleright$  Umfang und Größe der Kreisfläche berechnen
Der Radius der Kreisfläche ergibt sich aus dem halben Abstand der beiden oberen Endpunkte der Profillinie des Glases. Die Koordinaten ergeben sich aus der Höhe des Glases $10$ cm und dem tiefsten Punkt bei $T(0\mid-12)$. Da $1\text{LE} = 1$ cm, muss die $y$-Koordinate also $-2$ sein. Berechne die $x$-Koordinaten durch Gleichsetzen mit $f_{\text{Glas}}(x)$.
Der Umfang und die Größe der Kreisfläche ergeben sich mit den entsprechenden Formeln.
c) 
$\blacktriangleright$  Wendetangenten bestimmen
Eine Wendetangente ist eine Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt. Allgemein hat die entsprechende Funktionsgleichung folgende Form:
$t: y = m\cdot x + b $
Dabei ist $m$ die Steigung des Graphen von $f$ im Wendepunkt. $b$ kann durch eine Punktprobe mit den Koordinaten des Wendepunkts bestimmt werden. Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne die Koordinaten der Wendepunkte mit Hilfe von Aufgabenteil a) und b)
  2. Berechne die Steigung des Graphen von $f$ in den Wendepunkten
  3. Führe jeweils eine Punktprobe mit den Koordinaten der Wendepunkte durch
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Anhand der Funktionsgleichungen der Tangenten kannst du erkennen, dass der jeweilige Graph gerade durch Spiegelung des anderen Graphen an der $y$-Achse entsteht. Aus diesem Grund muss der Schnittpunkt auf der $y$-Achse, also bei $x =0$ liegen. Setze also $x=0$ in eine der beiden Tangentengleichungen ein, um die $y$-Koordinate zu bestimmen.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel der beiden Wendetangenten ergibt sich nach der entsprechenden Formel mit Hilfe der beiden Steigungen.
d) 
$\blacktriangleright$  Graph der Umkehrfunktion zeichnen
Zeichne wie in der Aufgabe beschrieben zuerst die Spiegelachse $y =x$ in die Anlage ein und zeichne dann den Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ als Spiegelung des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ für $x\geq0$. Zur Hilfe kannst du auch Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt betrachten.
e) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Eine Umkehrfunktion von $f$ erhältst du durch:
  1. Umformen der Funktionsgleichung nach $x$
  2. Variablentausch
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich ermitteln und begründen
Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist gerade der Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Überlege dir also, welche Werte $f_{\text{Glas}}(x)$ annehmen kann. Dazu kannst du die Informationen über die Extrempunkte nutzen, die du in den ersten Aufgabenteilen gesammelt hast.
$\blacktriangleright$  Volumen des Glases berechnen
Das Volumen eines Rotationskörpers mit den Grenzen $x_1$ und $x_2$ lässt sich mit der entsprechenden Formel berechnen:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$
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Aufgabe 1.1: Kelchglas

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen auf relative Extrempunkte untersuchen
Wende hierzu die beiden Bedingungen für Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Definiere dazu zunächst die Funktion $f$ und die ersten beiden Ableitungen in deinem CAS mit dem define-Befehl. Anschließend kannst du die beiden Bedingungen mit deinem CAS anwenden.
1. Schritt: Funktionen definieren
Den Befehl für eine Ableitung findest du unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis 1.1
Analysis 1.1
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Durch Lösen der Gleichung $f'(x)=0$ mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du mögliche Extremstellen:
$x_E = 0 $
Analysis 1.1
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3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Einsetzen von $x_E = 0$ in $f''(x)$ liefert mit dem CAS:
$f''(x_E)= f''(0) =2ab$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Wegen $a > 0$ und $b> 0$ ist auch $2ab >0$. Damit liegt unabhängig von $a$ und $b$ an der Stelle $x_E=0$ ein Minimum von $f$.
4. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert:
$y_E= f(x_E) = f(0) = -a$ Mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt sich, dass der einzige Extrempunkt aller Graphen von $f$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid -a)$ ist.
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
Auch hier gibt es zwei Bedingungen, die du mit Hilfe deines CAS anwenden kannst, um Wendestellen zu bestimmen:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Hierbei kannst du wieder dein CAS verwenden. Gleichsetzen liefert mögliche Wendestellen:
$x_{W_1} = \sqrt{\dfrac{1}{2b}}$ und $x_{W_2} = -\sqrt{\dfrac{1}{2b}}$
2. Schritt: hinreichende Bedingung überprüfen
Definiere dazu zuerst die dritte Ableitung von $f$ in deinem CAS. Anschließend kannst du die berechneten möglichen Wendestellen einsetzen:
$f'''\left(x_{W_1}\right)= f'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right)$ $= \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot ab^2 \cdot\left(2\sqrt{2}b\cdot\left(\dfrac{1}{b}\right)^{\frac{3}{2}}-6\cdot \sqrt{\dfrac{2}{b}}\right) \neq 0$
$f'''\left(x_{W_2}\right)= f'''\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) $ $= -\mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot ab^2 \cdot\left(2\sqrt{2}b\cdot\left(\dfrac{1}{b}\right)^{\frac{3}{2}}-6\cdot \sqrt{\dfrac{2}{b}}\right) \neq 0$
An den Stellen $x_{W_1}$ und $x_{W_2}$ liegen tatsächlich Wendepunkte des Graphen von $f$.
3. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_1}\right)&=&f\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_2}\right)&=&f\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit den beiden Bedingungen für Wendestellen ergeben sich die beiden Wendepunkte aller Graphen von $f$ mit $W_1\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$ und $W_2\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$.
$\blacktriangleright$  Strenge Monotonie nachweisen
Eine Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung kleiner Null ist, also $f'(x) < 0$ gilt. Sieh dir also den Funktionsterm von $f'$ für $x< 0$ an. Du kannst dir den Funktionsterm in deinem CAS anzeigen lassen.
Es gilt: $f'(x) = 2ab\cdot x \cdot \mathrm e^{-bx^2}$
Weil $a> 0$, $b>0$ und $ \mathrm e^{-bx^2}> 0$, aber $x < 0$, ist auch $2ab\cdot x \cdot \mathrm e^{-bx^2} < 0$. somit hast du gezeigt, dass $f$ für $x < 0$ streng monoton fallend ist.
b) 
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Du kannst die Bedingungen an $f$ dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen und diese mit Hilfe von Gleichungen darstellen:
  • Der Graph von $f$ ändert sein Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und $x =2$, besitzt an diesen Stellen also jeweils einen Wendepunkt.
  • Der Graph von $f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T(0\mid -12)$.
Konkret bedeutet das nun:
  1. $f''(-2) = 0$
  2. $f''(2) = 0$
  3. $f(0) = -12$
  4. $f'(0) =0$
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Mit den Bedingungen von oben erhältst du ein Gleichungssystem, welches du nach $a$ und $b$ lösen kannst. Verwende dazu dein CAS, indem du das Gleichungssystem zunächst auf die 2. und 3. Gleichung beschränkst. Anschließend kannst du die übrigen Bedingungen überprüfen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Die Parameter ergeben sich zu $a = 12$ und $b = \frac{1}{8}$. Damit lautet die Funktionsgleichung der Funktion $f_{\text{Glas}}$, deren Graph die Profillinie des Glases darstellt $f_{\text{Glas}}(x)=-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}$.
$\blacktriangleright$  Umfang und Größe der Kreisfläche berechnen
Der Radius der Kreisfläche ergibt sich aus dem halben Abstand der beiden oberen Endpunkte der Profillinie des Glases. Die Koordinaten ergeben sich aus der Höhe des Glases $10$ cm und dem tiefsten Punkt bei $T(0\mid-12)$. Da $1\text{LE} = 1$ cm, muss die $y$-Koordinate also $-2$ sein. Berechne die $x$-Koordinaten durch Gleichsetzen mit $f_{\text{Glas}}(x)$.
Die Gleichung kannst du wie zuvor mit deinem CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{Glas}}(x)&=&-2 \quad \scriptsize \\[5pt] x_1 &=& -\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right)}\approx - 3,786 \quad \scriptsize \\ x_2&=&+\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow r= \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786$
Der Umfang und die Größe der Kreisfläche ergeben sich mit den entsprechenden Formeln:
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Kreis}}&=&2\cdot \pi \cdot r \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&23,788\, \text{[cm]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &=&- \pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&45,032\, \text{[cm}^2\text{]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang der Kreisfläche beträgt $U_{\text{Kreis}} = 2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) }$ cm $\approx 23,788 $ cm und die Größe $A_{\text{Kreis}} = -\pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) $ cm$^2 \approx 45,032$ cm$^2$.
c) 
$\blacktriangleright$  Wendetangenten bestimmen
Eine Wendetangente ist eine Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt. Allgemein hat die entsprechende Funktionsgleichung folgende Form:
$t: y = m\cdot x + b $
Dabei ist $m$ die Steigung des Graphen von $f$ im Wendepunkt. $b$ kann durch eine Punktprobe mit den Koordinaten des Wendepunkts bestimmt werden. Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne die Koordinaten der Wendepunkte mit Hilfe von Aufgabenteil a) und b)
  2. Berechne die Steigung des Graphen von $f$ in den Wendepunkten
  3. Führe jeweils eine Punktprobe mit den Koordinaten der Wendepunkte durch
1. Schritt: Koordinaten der Wendepunte bestimmen
Mit $a =12$ und $ b = \dfrac{1}{8}$ ergibt sich:
$W_1\left( 2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right) $ und $W_2\left( -2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right) $
2. Schritt: Steigung berechnen
Die Steigung in den Wendepunkten ergibt sich durch Einsetzen der Wendestellen in $f'(x)$:
$m_1 = f'(x_{W_1}) = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \quad $ und $ \quad m_2 = f'(x_{W_2}) = -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow t_1:\quad y = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_1 \quad$ und $\quad t_2:\quad y= -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_2$
3. Schritt: Punktprobe
Für $W_1$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_1 \quad &\scriptsize W_1\left( 2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)\\[5pt] -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=& 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 +b_1\quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=&b_1 \quad \\[5pt] \end{array}$
Für $W_2$ ergibt sich analog:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_2 \quad &\scriptsize W_2\left( -2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)\\[5pt] -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=& -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2) +b_2 \quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=&b_2 \quad \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichungen der Wendetangenten lauten $t_1: y = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\quad $ und $\quad t_2: y = -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Anhand der Funktionsgleichungen der Tangenten kannst du erkennen, dass der jeweilige Graph gerade durch Spiegelung des anderen Graphen an der $y$-Achse entsteht. Aus diesem Grund muss der Schnittpunkt auf der $y$-Achse, also bei $x =0$ liegen. Setze also $x=0$ in eine der beiden Tangentengleichungen ein, um die $y$-Koordinate zu bestimmen:
$y_S = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 0 -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} = -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Wendetangenten lauten $S\left(0\mid -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel der beiden Wendetangenten ergibt sich nach der entsprechenden Formel mit Hilfe der beiden Steigungen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+ m_1\cdot m_2}\right|\\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}+6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}}{1- 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}}\right|\quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 0,5945 \quad \\[5pt] \alpha&\approx& 30,73^{\circ} \quad \\[5pt] \end{array}$
Die Wendetangenten schneiden sich in einem Winkel von ca. $30,73^{\circ}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Graph der Umkehrfunktion zeichnen
Zeichne wie in der Aufgabe beschrieben zuerst die Spiegelachse $y =x$ in die Anlage ein und zeichne dann den Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ als Spiegelung des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ für $x\geq0$. Zur Hilfe kannst du auch Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt betrachten.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
e) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Eine Umkehrfunktion von $f$ erhältst du durch:
  1. Umformen der Funktionsgleichung nach $x$
  2. Variablentausch
$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_{\text{Glas}}(x) \quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} \quad \scriptsize \mid\; :(-12)\\[5pt] \frac{y}{-12}&=& \quad \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}\scriptsize \mid\; \ln \text{ mit } y < 0 \\[5pt] \ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&-\frac{1}{8}\cdot x^2 \quad \scriptsize \mid\; \cdot(-8) \\[5pt] -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&x^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{-8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)}&=& x \quad \scriptsize \text{mit } y\geq -12 \text{, da sonst }\ln\left(\frac{y}{-12}\right) > 0 \text{ und damit } -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right) < 0 \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln\left(\frac{-12}{y}\right)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-y)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Variablentausch liefert $y = \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$.
Da durch Spiegelung des Teilgraphen von $f_{\text{Glas}}$ der Teil des Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ entsteht, der oberhalb der $x$-Achse liegt, sollte die entsprechende Gleichung wie folgt lauten:
$f^*_{\text{Glas}}(x) = \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich ermitteln und begründen
Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist gerade der Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Überlege dir also, welche Werte $f_{\text{Glas}}(x)$ annehmen kann. Dazu kannst du die Informationen über die Extrempunkte nutzen, die du in den ersten Aufgabenteilen gesammelt hast.
Da der Tiefpunkt des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ bei $T(0 \mid -12 )$ liegt und dies der einzige Extrempunkt ist, ist $-12$ der kleinste Funktionswert, der angenommen werden kann. Außerdem weißt du, dass wegen $a > 0$ und $\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} > 0$ gilt $f_{\text{Glas}}(x)<0 $ für alle x. Die Funktionswerte nähern sich für $x\to -\infty$ und $x\to \infty$ Null an. Daher ergibt sich der Wertebereich von $f_{\text{Glas}}$ und damit der Definitionsbereich von $f^*_{\text{Glas}}$ zu:
$D\left(f^*_{\text{Glas}}\right) = W\left(f_{\text{Glas}}\right)= \{-12\leq x < 0\}$
$\blacktriangleright$  Volumen des Glases berechnen
Das Volumen eines Rotationskörpers mit den Grenzen $x_1$ und $x_2$ lässt sich mit der entsprechenden Formel berechnen:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$
Dies kannst du mit deinem CAS berechnen, indem du zunächst die Funktion $f^*_{\text{Glas}}$ definierst. Den Befehl für ein Integral findest du dann unter
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Dann erhältst du folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Glas}}&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-12}^{-2} \left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2 \;\mathrm dx \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi\cdot\left(-16\ln(3)-16\ln(2)+80\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&161\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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Das Volumen des Glases beträgt ca. $161\,$ cm$^3$.
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Aufgabe 1.1: Kelchglas

a) 
$\blacktriangleright$  Graphen auf relative Extrempunkte untersuchen
Wende hierzu die beiden Bedingungen für Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ und $b$ an:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E) =0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f''(x_E) >0 \Rightarrow$ bei $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt
    • $f''(x_E) < 0 \Rightarrow $ bei $x_E$ befindet sich ein Hochpunkt
Definiere dazu zunächst die Funktion $f$ und die ersten beiden Ableitungen in deinem CAS mit dem define-Befehl. Anschließend kannst du die beiden Bedingungen mit deinem CAS anwenden.
1. Schritt: Funktionen definieren
Den Befehl für eine Ableitung findest du unter
keyboard $\to$ math2
Analysis 1.1
Analysis 1.1
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Durch Lösen der Gleichung $f'(x)=0$ mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du mögliche Extremstellen:
$x_E = 0 $
Analysis 1.1
Analysis 1.1
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Einsetzen von $x_E = 0$ in $f''(x)$ liefert mit dem CAS:
$f''(x_E)= f''(0) =2ab$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Wegen $a > 0$ und $b> 0$ ist auch $2ab >0$. Damit liegt unabhängig von $a$ und $b$ an der Stelle $x_E=0$ ein Minimum von $f$.
4. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert:
$y_E= f(x_E) = f(0) = -a$ Mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt sich, dass der einzige Extrempunkt aller Graphen von $f$ ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid -a)$ ist.
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
Auch hier gibt es zwei Bedingungen, die du mit Hilfe deines CAS anwenden kannst, um Wendestellen zu bestimmen:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) =0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
1. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
Hierbei kannst du wieder dein CAS verwenden. Gleichsetzen liefert mögliche Wendestellen:
$x_{W_1} = \sqrt{\dfrac{1}{2b}}$ und $x_{W_2} = -\sqrt{\dfrac{1}{2b}}$
2. Schritt: hinreichende Bedingung überprüfen
Definiere dazu zuerst die dritte Ableitung von $f$ in deinem CAS. Anschließend kannst du die berechneten möglichen Wendestellen einsetzen:
$f'''\left(x_{W_1}\right)= f'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right)$ $= \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot ab^2 \cdot\left(2\sqrt{2}b\cdot\left(\dfrac{1}{b}\right)^{\frac{3}{2}}-6\cdot \sqrt{\dfrac{2}{b}}\right) \neq 0$
$f'''\left(x_{W_2}\right)= f'''\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) $ $= -\mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot ab^2 \cdot\left(2\sqrt{2}b\cdot\left(\dfrac{1}{b}\right)^{\frac{3}{2}}-6\cdot \sqrt{\dfrac{2}{b}}\right) \neq 0$
An den Stellen $x_{W_1}$ und $x_{W_2}$ liegen tatsächlich Wendepunkte des Graphen von $f$.
3. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
Einsetzen in $f(x)$ liefert mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_1}\right)&=&f\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x_{W_2}\right)&=&f\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &=&-a\cdot \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit den beiden Bedingungen für Wendestellen ergeben sich die beiden Wendepunkte aller Graphen von $f$ mit $W_1\left(\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$ und $W_2\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2b}}\mid -a\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$.
$\blacktriangleright$  Strenge Monotonie nachweisen
Eine Funktion $f$ ist genau dann streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung kleiner Null ist, also $f'(x) < 0$ gilt. Sieh dir also den Funktionsterm von $f'$ für $x< 0$ an. Du kannst dir den Funktionsterm in deinem CAS anzeigen lassen.
Es gilt: $f'(x) = 2ab\cdot x \cdot \mathrm e^{-bx^2}$
Weil $a> 0$, $b>0$ und $ \mathrm e^{-bx^2}> 0$, aber $x < 0$, ist auch $2ab\cdot x \cdot \mathrm e^{-bx^2} < 0$. somit hast du gezeigt, dass $f$ für $x < 0$ streng monoton fallend ist.
b) 
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Du kannst die Bedingungen an $f$ dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen und diese mit Hilfe von Gleichungen darstellen:
  • Der Graph von $f$ ändert sein Krümmungsverhalten bei $x=-2$ und $x =2$, besitzt an diesen Stellen also jeweils einen Wendepunkt.
  • Der Graph von $f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T(0\mid -12)$.
Konkret bedeutet das nun:
  1. $f''(-2) = 0$
  2. $f''(2) = 0$
  3. $f(0) = -12$
  4. $f'(0) =0$
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Mit den Bedingungen von oben erhältst du ein Gleichungssystem, welches du nach $a$ und $b$ lösen kannst. Verwende dazu dein CAS, indem du das Gleichungssystem zunächst auf die 2. und 3. Gleichung beschränkst. Anschließend kannst du die übrigen Bedingungen überprüfen.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Die Parameter ergeben sich zu $a = 12$ und $b = \frac{1}{8}$. Damit lautet die Funktionsgleichung der Funktion $f_{\text{Glas}}$, deren Graph die Profillinie des Glases darstellt $f_{\text{Glas}}(x)=-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}$.
$\blacktriangleright$  Umfang und Größe der Kreisfläche berechnen
Der Radius der Kreisfläche ergibt sich aus dem halben Abstand der beiden oberen Endpunkte der Profillinie des Glases. Die Koordinaten ergeben sich aus der Höhe des Glases $10$ cm und dem tiefsten Punkt bei $T(0\mid-12)$. Da $1\text{LE} = 1$ cm, muss die $y$-Koordinate also $-2$ sein. Berechne die $x$-Koordinaten durch Gleichsetzen mit $f_{\text{Glas}}(x)$.
Die Gleichung kannst du wie zuvor mit deinem CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{Glas}}(x)&=&-2 \quad \scriptsize \\[5pt] x_1 &=& -\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right)}\approx - 3,786 \quad \scriptsize \\ x_2&=&+\sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow r= \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \approx 3,786$
Der Umfang und die Größe der Kreisfläche ergeben sich mit den entsprechenden Formeln:
$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{Kreis}}&=&2\cdot \pi \cdot r \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&23,788\, \text{[cm]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) } \quad \scriptsize \\[5pt] &=&- \pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&45,032\, \text{[cm}^2\text{]} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang der Kreisfläche beträgt $U_{\text{Kreis}} = 2\cdot \pi \cdot \sqrt{-8\ln\left(\frac{1}{6}\right) }$ cm $\approx 23,788 $ cm und die Größe $A_{\text{Kreis}} = -\pi \cdot 8\ln\left(\frac{1}{6}\right) $ cm$^2 \approx 45,032$ cm$^2$.
c) 
$\blacktriangleright$  Wendetangenten bestimmen
Eine Wendetangente ist eine Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt. Allgemein hat die entsprechende Funktionsgleichung folgende Form:
$t: y = m\cdot x + b $
Dabei ist $m$ die Steigung des Graphen von $f$ im Wendepunkt. $b$ kann durch eine Punktprobe mit den Koordinaten des Wendepunkts bestimmt werden. Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne die Koordinaten der Wendepunkte mit Hilfe von Aufgabenteil a) und b)
  2. Berechne die Steigung des Graphen von $f$ in den Wendepunkten
  3. Führe jeweils eine Punktprobe mit den Koordinaten der Wendepunkte durch
1. Schritt: Koordinaten der Wendepunte bestimmen
Mit $a =12$ und $ b = \dfrac{1}{8}$ ergibt sich:
$W_1\left( 2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right) $ und $W_2\left( -2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right) $
2. Schritt: Steigung berechnen
Die Steigung in den Wendepunkten ergibt sich durch Einsetzen der Wendestellen in $f'(x)$:
$m_1 = f'(x_{W_1}) = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \quad $ und $ \quad m_2 = f'(x_{W_2}) = -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow t_1:\quad y = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_1 \quad$ und $\quad t_2:\quad y= -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_2$
3. Schritt: Punktprobe
Für $W_1$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_1 \quad &\scriptsize W_1\left( 2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)\\[5pt] -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=& 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 +b_1\quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=&b_1 \quad \\[5pt] \end{array}$
Für $W_2$ ergibt sich analog:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x +b_2 \quad &\scriptsize W_2\left( -2\mid -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)\\[5pt] -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=& -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2) +b_2 \quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}&=&b_2 \quad \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichungen der Wendetangenten lauten $t_1: y = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\quad $ und $\quad t_2: y = -6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}x -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Anhand der Funktionsgleichungen der Tangenten kannst du erkennen, dass der jeweilige Graph gerade durch Spiegelung des anderen Graphen an der $y$-Achse entsteht. Aus diesem Grund muss der Schnittpunkt auf der $y$-Achse, also bei $x =0$ liegen. Setze also $x=0$ in eine der beiden Tangentengleichungen ein, um die $y$-Koordinate zu bestimmen:
$y_S = 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 0 -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} = -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Wendetangenten lauten $S\left(0\mid -24\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Der Schnittwinkel der beiden Wendetangenten ergibt sich nach der entsprechenden Formel mit Hilfe der beiden Steigungen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+ m_1\cdot m_2}\right|\\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}+6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}}{1- 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot 6\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}}\right|\quad &\scriptsize \mid\; -12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 0,5945 \quad \\[5pt] \alpha&\approx& 30,73^{\circ} \quad \\[5pt] \end{array}$
Die Wendetangenten schneiden sich in einem Winkel von ca. $30,73^{\circ}$.
d) 
$\blacktriangleright$  Graph der Umkehrfunktion zeichnen
Zeichne wie in der Aufgabe beschrieben zuerst die Spiegelachse $y =x$ in die Anlage ein und zeichne dann den Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ als Spiegelung des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ für $x\geq0$. Zur Hilfe kannst du auch Abbildung 2 auf dem Aufgabenblatt betrachten.
Analysis 1.1
Analysis 1.1
e) 
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Eine Umkehrfunktion von $f$ erhältst du durch:
  1. Umformen der Funktionsgleichung nach $x$
  2. Variablentausch
$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_{\text{Glas}}(x) \quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-12\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} \quad \scriptsize \mid\; :(-12)\\[5pt] \frac{y}{-12}&=& \quad \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2}\scriptsize \mid\; \ln \text{ mit } y < 0 \\[5pt] \ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&-\frac{1}{8}\cdot x^2 \quad \scriptsize \mid\; \cdot(-8) \\[5pt] -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)&=&x^2 \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{-8\ln\left(\frac{y}{-12}\right)}&=& x \quad \scriptsize \text{mit } y\geq -12 \text{, da sonst }\ln\left(\frac{y}{-12}\right) > 0 \text{ und damit } -8\ln\left(\frac{y}{-12}\right) < 0 \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln\left(\frac{-12}{y}\right)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-y)}&=& x \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Variablentausch liefert $y = \pm \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$.
Da durch Spiegelung des Teilgraphen von $f_{\text{Glas}}$ der Teil des Graphen von $f^*_{\text{Glas}}$ entsteht, der oberhalb der $x$-Achse liegt, sollte die entsprechende Gleichung wie folgt lauten:
$f^*_{\text{Glas}}(x) = \sqrt{8}\cdot \sqrt{\ln(12)-\ln(-x)}$ mit $-12\leq x < 0$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich ermitteln und begründen
Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist gerade der Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Überlege dir also, welche Werte $f_{\text{Glas}}(x)$ annehmen kann. Dazu kannst du die Informationen über die Extrempunkte nutzen, die du in den ersten Aufgabenteilen gesammelt hast.
Da der Tiefpunkt des Graphen von $f_{\text{Glas}}$ bei $T(0 \mid -12 )$ liegt und dies der einzige Extrempunkt ist, ist $-12$ der kleinste Funktionswert, der angenommen werden kann. Außerdem weißt du, dass wegen $a > 0$ und $\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} > 0$ gilt $f_{\text{Glas}}(x)<0 $ für alle x. Die Funktionswerte nähern sich für $x\to -\infty$ und $x\to \infty$ Null an. Daher ergibt sich der Wertebereich von $f_{\text{Glas}}$ und damit der Definitionsbereich von $f^*_{\text{Glas}}$ zu:
$D\left(f^*_{\text{Glas}}\right) = W\left(f_{\text{Glas}}\right)= \{-12\leq x < 0\}$
$\blacktriangleright$  Volumen des Glases berechnen
Das Volumen eines Rotationskörpers mit den Grenzen $x_1$ und $x_2$ lässt sich mit der entsprechenden Formel berechnen:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$
Dies kannst du mit deinem CAS berechnen, indem du zunächst die Funktion $f^*_{\text{Glas}}$ definierst. Den Befehl für ein Integral findest du dann unter
keyboard $\to$ math2
Dann erhältst du folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Glas}}&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-12}^{-2} \left(f^*_{\text{Glas}}\right)^2 \;\mathrm dx \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi\cdot\left(-16\ln(3)-16\ln(2)+80\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&161\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analysis 1.1
Analysis 1.1
Das Volumen des Glases beträgt ca. $161\,$ cm$^3$.
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