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Analysis 1.2

Aufgaben
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Aufgabe 1.2: Bremsschuh

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=-\mathrm{e}^{x-a} + \mathrm{e}^{2x}$; $a \in \mathbb{R}$.
Die Graphen der Schar $f_a$ sind $G_a$.
#graph#funktionenschar
a)
Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen in Abhängigkeit von $a$.
Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow +\infty$ und $x\rightarrow -\infty$ an.
(5P)
#graph#limes#koordinaten
b)
Weise nach, dass jeder Graph $G_a$ im Punkt $E_a (-a-\mathrm{ln}2 \mid f_a(-a-\mathrm{ln}2))$ eine zur $x$-Achse parallele Tangente besitzt.
Zeige, dass $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.
Bestimme dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.
(8P)
#extrempunkt#koordinaten#parallel#graph#tangente
c)
Genau ein Graph $G_a$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x = -1$.
Berechne den Abstand dieses Wendepunktes zum Koordinatenursprung $O$.
(5P)
#abstand#graph#wendepunkt
d)
(12P)
#geradengleichung#volumen#graph
e)
Ermittle die Größe des Winkels, den $G_1$ und $g$ im Punkt $A\left(0 \mid 1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ einschließen.
(5P)
#winkel#graph
f)
Der Produzent der Bremsschuhe möchte auf der Querschnittsfläche des Bremsschuhs sein rechteckiges Firmenlogo mit den Seitenlängen $5\,\text{cm}$ und $15\,\text{cm}$ so einstanzen lassen, dass die längere der beiden Seiten parallel zur $x$-Achse verläuft.
Untersuche, ob das möglich ist.
(5P)
(40P)
#rechteck#parallel
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Aufgabe 1.2: Bremsschuh

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen
Zur Bestimmung der Nullstellen benutzt du deinen CAS.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen
Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben
Hierfür benötigst du die lim-Funktion in deinem CAS.
b)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt nachweisen
Damit der Graph an einem Punkt eine zur $x$-Achse parallele Tangente hat, muss an dieser Stelle die Steigung der Funktion null sein. Deshalb leitest du die Funktion zunächst ab und setzt $x=-a-ln2$ in die Ableitung ein.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist
Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f'_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f''_0(x_E) \neq 0$
$\blacktriangleright$  Art des Extremums bestimmen
Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.
Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f''_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f''_0(x_H) < 0$
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $E_0$ bestimmen
Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen.
c)
$\blacktriangleright$  Abstand des Wendepunks zum Ursprung berechnen
In dieser Aufgabe ist dir ein $x$-Wert eines Wendepunkts gegeben, für den du den Abstand zum Koordinatenursprung $O$ bestimmen sollst. Um den Abstand zu bestimmen, musst du zunächst die Koordinaten des Wendepunkts bestimmen. Hierfür setzt du den gegebenen Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung von $f_a$ ein und löst diese nach a auf.
Den so ermittelten Wert setzt du als $a$ in die Ursprungsfunktion ein.
d)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$-Achse schneiden
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.
Als nächstes setzt du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ ein.
$\blacktriangleright$  Das Volumen des Bremsschuhs berechnen
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Flächeninhalt des sichbaren Querschnitts des Bremsschuhs zu berechnen. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven und der $x$-Achse handelt, müssen die Integrale der Funktionen $f_1$ und $y$ addiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen $x$-Werte der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.
Hast du die Fläche des Querschnitts bestimmt, multiplizierst du diese mit der Tiefe des Bremsschuhs um das Volumen zu bestimmen.
e)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen
Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$
Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.
f)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt
Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.
Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt.
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Aufgabe 1.2: Bremsschuh

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen
Zur Bestimmung der Nullstellen benutzt du deinen CAS.
Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$
Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$
Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist demnach $S_{x_a}(-a\,|\,0)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen
Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& -e^{0-a} +e^{2 \cdot 0} \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +e^0 \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +1 \end{array}$
Somit ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_{y_a}(0\,|\, -e^{-a} +1)$.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben
Hierfür benötigst du die lim-Funktion in deinem CAS.
Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$
Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$
#schnittpunkt#graph#exponentialfunktion#limes
b)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt nachweisen
Damit der Graph an einem Punkt eine zur $x$-Achse parallele Tangente hat, muss an dieser Stelle die Steigung der Funktion null sein. Deshalb leitest du die Funktion zunächst ab und setzt $x=-a-ln2$ in die Ableitung ein.
Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen
Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen
Wie du siehst ist die Steigung bei $x= -a - ln2$ gleich null.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist
Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f'_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f''_0(x_E) \neq 0$
Die erste Ableitung ist bereits gegeben. Du benötigst also noch die zweite Ableitung von $f_a(t)$. Hast du diese bestimmt, setzt du sie mit Hilfe deines CAS gleich null. Danach setzt du den so gefundenen Wert in die zweite Ableitung ein um eine Aussage darüber treffen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.
Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts
Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts
Da $f_0''(x_{E_0}) > 0$ ist, hast du bewiesen, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.
$\blacktriangleright$  Art des Extremums bestimmen
Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.
Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f''_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f''_0(x_H) < 0$
Da $f_0''(x_{E_0}) = \frac{1}{2} > 0$ ist, handelt es sich bei $E_0$ um eine Tiefstelle.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $E_0$ bestimmen
Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
Abb. 5: Bestimmung des $y$-Werts des Extrempunkts
Abb. 5: Bestimmung des $y$-Werts des Extrempunkts
Damit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $E_0(-\ln(2) \,|\, -\frac{1}{4})$.
#extrempunkt#graph#exponentialfunktion
c)
$\blacktriangleright$  Abstand des Wendepunks zum Ursprung berechnen
In dieser Aufgabe ist dir ein $x$-Wert eines Wendepunkts gegeben, für den du den Abstand zum Koordinatenursprung $O$ bestimmen sollst. Um den Abstand zu bestimmen, musst du zunächst die Koordinaten des Wendepunkts bestimmen. Hierfür setzt du den gegebenen Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung von $f_a$ ein und löst diese nach a auf.
Den so ermittelten Wert setzt du als $a$ in die Ursprungsfunktion ein. Mit dieser Funktion lässt sich der $y$-Wert des Wendepunkts bestimmen.
Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts
Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts
Die Koordinaten des Wendepunkts sind also $W(-1 \mid -3 \cdot e^{-2})$.
#wendepunkt#abstand
d)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$-Achse schneiden
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& -e^{x-1} + e^{2x} \end{array}$
Als nächstes kannst du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_1(0) &=& -e^{0-1} + e^0 \\[5pt] f_1(0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y (x=0) &=& 4 \cdot 0 +1- \frac{1}{e} \\[5pt] y (x=0) &=& 1- e^{-1} \\[5pt] y (x=0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$
Somit ist $f_1(0)=y (x=0)$, was bedeutet, dass beide Graphen die $Y$-Achse an der selben Stelle schneiden und somit einen Schnittpunkt auf der $Y$-Achse besitzen.
$\blacktriangleright$  Das Volumen des Bremsschuhs berechnen
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Flächeninhalt des sichbaren Querschnitts des Bremsschuhs zu berechnen. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven und der X-Achse handelt, müssen die Integrale der Funktionen $f_1$ und $y$ addiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen $X$-Werte der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.
Hast du die Fläche des Querschnitts bestimmt, multiplizierst du diese mit der Tiefe des Bremsschuhs um das Volumen zu bestimmen.
1. Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen
Die Schnittstellen der beiden Graphen mit de $y$-Achse befinden sich jeweils bei $x=0$. Die Schnittstelle des Graphen $G_1$ mit der $x$-Achse kann man aus der Grafik auslesen. Sie befindet sich bei $x=-1$.
Um die Schnittstelle von $g$ mit der $x$-Achse zu bestimmen, kannst du den Funktionsterm $y$ gleich Null setzen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0 \\[5pt] 0 &=& -4x+1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid +4x\;\\[5pt] 4x &=& 1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid :4 \;\\[5pt] x &=& \frac{1}{4} - \frac{1}{4e} \end{array}$
Alternativ kannst du die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen auch mit Hilfe des "solve-Befehls" in deinem CAS berechnen.
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt bestimmst du mit deinem CAS.
Abb. 7: Bestimmung des Integrals
Abb. 7: Bestimmung des Integrals
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{LE} = 25\text{cm}$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& c \cdot (25\text{cm})² \\[5pt] A &=& 156,084 \text{cm}² \end{array}$
3. Schritt: Volumen berechnen
Um das Volumen des Bremsschuhs zu bestimmen, musst du nun lediglich den Flächeninhalt mit der "Tiefe" multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 20\text{cm} \\[5pt] V&=& 156,084 \text{cm}² \cdot 20cm \\[5pt] V&=& 3.121,6875 \text{cm}³ \end{array}$
Das Volumen des Bremsschuhs beträgt also ungefähr $3.122$ cm³.
#volumen#integral
e)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen
Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$
Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.
Abb. 8: Bestimmung der Steigung
Abb. 8: Bestimmung der Steigung
Nun kannst du diese Werte in die Formel einfügen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|{\frac {1,632+4}{1+1,632\cdot(-4)}}\right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 1,019 \\[5pt] \alpha &=& \arctan(1,019) \\[5pt] \alpha &\approx& 45,5° \end{array}$
Damit beträgt die Größe des Winkels $\alpha$ im Schnittpunkt ungefähr $45,5°$.
#schnittpunkt#tangens#winkel
f)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt
Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{1}{5} \text{LE} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{3}{5} \text{LE} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$
Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt. Dann gilt für diesen Punkt $Q$:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{5} &=& -4x_Q +1 - \frac{1}{e} \\[5pt] x_Q &\approx& 0,1 \end{array}$
Nun kannst du sehen, dass der linke obere Punkt $R$ mindestens bei $x_R=0,1-0,6 = -0,5$ liegen muss. Dann gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(-0,5)&=& -e^{-1,5} + e^{-1} \\[5pt] f_1(-0,5)&\approx& 0,145 \end{array}$
Da $f_1(-0,5) \lt 0,2$, kann das Logo in der angegebenen Weise nicht auf der Querschnittsfläche eingestanzt werden.
#funktionswert#geradengleichung
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Aufgabe 1.2: Bremsschuh

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen
Zur Bestimmung der Nullstellen benutzt du deinen CAS.
Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$
Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$
Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist demnach $S_{x_a}(-a\,|\,0)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen
Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& -e^{0-a} +e^{2 \cdot 0} \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +e^0 \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +1 \end{array}$
Somit ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_{y_a}(0\,|\, -e^{-a} +1)$.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben
Hierfür benötigst du die lim-Funktion in deinem CAS.
Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$
Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$
#schnittpunkt#limes#exponentialfunktion#graph
b)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt nachweisen
Damit der Graph an einem Punkt eine zur $x$-Achse parallele Tangente hat, muss an dieser Stelle die Steigung der Funktion null sein. Deshalb leitest du die Funktion zunächst ab und setzt $x=-a-ln2$ in die Ableitung ein.
Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen
Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen
Wie du siehst ist die Steigung bei $x= -a - ln2$ gleich null.
Hinweis: Je nach Modell deines CAS erhältst du
$f2(-a-ln(2)) $$= 2 \cdot e^{-2 \cdot (a+ln2)} - e^{-2 \cdot a - ln2}$. Dieser Ausdruck ist für alle Werte von $a$ null.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist
Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f'_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f''_0(x_E) \neq 0$
Die erste Ableitung ist bereits gegeben. Du benötigst also noch die zweite Ableitung von $f_a(t)$. Hast du diese bestimmt, setzt du sie mit Hilfe deines CAS gleich null. Danach setzt du den so gefundenen Wert in die zweite Ableitung ein um eine Aussage darüber treffen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.
Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts
Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts
Da $f_0''(x_{E_0}) > 0$ ist, hast du bewiesen, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.
$\blacktriangleright$  Art des Extremums bestimmen
Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.
Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f''_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f''_0(x_H) < 0$
Da $f_0''(x_{E_0}) = \frac{1}{2} > 0$ ist, handelt es sich bei $E_0$ um eine Tiefstelle.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $E_0$ bestimmen
Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
Abb. 5: Bestimmung des $y$-Werts des Extrempunkts
Abb. 5: Bestimmung des $y$-Werts des Extrempunkts
Damit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $E_0(-0,693 \,|\, -\frac{1}{4})$.
#exponentialfunktion#graph#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$  Abstand des Wendepunks zum Ursprung berechnen
In dieser Aufgabe ist dir ein $x$-Wert eines Wendepunkts gegeben, für den du den Abstand zum Koordinatenursprung $O$ bestimmen sollst. Um den Abstand zu bestimmen, musst du zunächst die Koordinaten des Wendepunkts bestimmen. Hierfür setzt du den gegebenen Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung von $f_a$ ein und löst diese nach a auf.
Den so ermittelten Wert setzt du als $a$ in die Ursprungsfunktion ein. Mit dieser Funktion lässt sich der $y$-Wert des Wendepunkts bestimmen.
Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts
Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts
Die Koordinaten des Wendepunkts sind also $W(-1 \mid -3 \cdot e^{-2})$.
#abstand#wendepunkt
d)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$-Achse schneiden
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& -e^{x-1} + e^{2x} \end{array}$
Als nächstes kannst du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_1(0) &=& -e^{0-1} + e^0 \\[5pt] f_1(0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y (x=0) &=& 4 \cdot 0 +1- \frac{1}{e} \\[5pt] y (x=0) &=& 1- e^{-1} \\[5pt] y (x=0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$
Somit ist $f_1(0)=y (x=0)$, was bedeutet, dass beide Graphen die $Y$-Achse an der selben Stelle schneiden und somit einen Schnittpunkt auf der $Y$-Achse besitzen.
$\blacktriangleright$  Das Volumen des Bremsschuhs berechnen
Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Flächeninhalt des sichbaren Querschnitts des Bremsschuhs zu berechnen. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven und der X-Achse handelt, müssen die Integrale der Funktionen $f_1$ und $y$ addiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen $X$-Werte der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.
Hast du die Fläche des Querschnitts bestimmt, multiplizierst du diese mit der Tiefe des Bremsschuhs um das Volumen zu bestimmen.
1. Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen
Die Schnittstellen der beiden Graphen mit de $y$-Achse befinden sich jeweils bei $x=0$. Die Schnittstelle des Graphen $G_1$ mit der $x$-Achse kann man aus der Grafik auslesen. Sie befindet sich bei $x=-1$.
Um die Schnittstelle von $g$ mit der $x$-Achse zu bestimmen, kannst du den Funktionsterm $y$ gleich Null setzen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0 \\[5pt] 0 &=& -4x+1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid +4x\;\\[5pt] 4x &=& 1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid :4 \;\\[5pt] x &=& \frac{1}{4} - \frac{1}{4e} \end{array}$
Alternativ kannst du die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen auch mit Hilfe des "solve-Befehls" in deinem CAS berechnen.
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt bestimmst du mit deinem CAS.
Abb. 7: Bestimmung des Integrals
Abb. 7: Bestimmung des Integrals
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{LE} = 25\text{cm}$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& c \cdot (25\text{cm})² \\[5pt] A &=& 156,084 \text{cm}² \end{array}$
3. Schritt: Volumen berechnen
Um das Volumen des Bremsschuhs zu bestimmen, musst du nun lediglich den Flächeninhalt mit der "Tiefe" multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 20\text{cm} \\[5pt] V&=& 156,084 \text{cm}² \cdot 20cm \\[5pt] V&=& 3.121,6875 \text{cm}³ \end{array}$
Das Volumen des Bremsschuhs beträgt also ungefähr $3.122$ cm³.
#volumen#integral
e)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen
Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$
Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.
Abb. 8: Bestimmung der Steigung
Abb. 8: Bestimmung der Steigung
Nun kannst du diese Werte in die Formel einfügen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|{\frac {1,632+4}{1+1,632\cdot(-4)}}\right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 1,019 \\[5pt] \alpha &=& \arctan(1,019) \\[5pt] \alpha &\approx& 45,5° \end{array}$
Damit beträgt die Größe des Winkels $\alpha$ im Schnittpunkt ungefähr $45,5°$.
#tangens#winkel#schnittpunkt
f)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt
Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{1}{5} \text{LE} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{3}{5} \text{LE} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$
Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt. Dann gilt für diesen Punkt $Q$:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{5} &=& -4x_Q +1 - \frac{1}{e} \\[5pt] x_Q &\approx& 0,1 \end{array}$
Nun kannst du sehen, dass der linke obere Punkt $R$ mindestens bei $x_R=0,1-0,6 = -0,5$ liegen muss. Dann gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(-0,5)&=& -e^{-1,5} + e^{-1} \\[5pt] f_1(-0,5)&\approx& 0,145 \end{array}$
Da $f_1(-0,5) \lt 0,2$, kann das Logo in der angegebenen Weise nicht auf der Querschnittsfläche eingestanzt werden.
#funktionswert#geradengleichung
Bildnachweise [nach oben]
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