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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Der Förderverein einer Schule besteht zu 80 % aus Eltern, zu 15 % aus Lehrkräften und zu 5 % aus Vertretern von Betrieben der Stadt.
a) Die langjährige Erfahrung zeigt, dass 15 % der Eltern, 10 % der Lehrkräfte und 90 % der Betriebe dem Förderverein einmal im Jahr eine Spende zukommen lassen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Ein zufällig ausgewähltes Mitglied des Fördervereins hat eine Spende geleistet.
B: Ein zufällig ausgewähltes Mitglied ist Lehrkraft und hat keine Spende geleistet.
Von einem zufällig ausgewählten Mitglied ist bekannt, dass es zu den Spendern gehört. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein Elternteil ist.
(8P)
b) Eine weitere Einnahmequelle des Fördervereins ist das an zwei Abenden stattfindende Sommerkonzert. An der Pausenversorgung sind insgesamt 20 Personen beteiligt, davon 15 Schüler/innen und 5 Eltern. Die Helfer teilen sich auf die beiden Abende zu je einer Gruppe von 10 Personen auf. Diese Aufteilung erfolgt zufällig.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am ersten Abend 8 Schüler und 2 Eltern zusammen arbeiten.
(4P)
Stochastik 3.2
Stochastik 3.2
Während der Pause werden Getränke und Speisen angeboten. Die Preise werden mithilfe eines Spiels festgelegt. Dazu wird ein Tetraeder, dessen Aufschriften sich aus dem abgebildeten Netz ergeben, zweimal geworfen. Die Zahl auf der Tetraederseite, die unten liegt und die man nicht sieht, gilt als die geworfene. Der Preis ergibt sich aus dem Produkt der beiden geworfenen Augenzahlen in Euro.
c) Mit dem Würfel W1 wird zehnmal das Abstandsspiel gespielt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Höhe der mit dem Tetraeder festgelegten Preise an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ist z. T. in der Tabelle vorgegeben:
$x_i$ in Euro01
$P(X = x_i)$ $\frac{7}{16}$ $\frac{1}{16}$
Weisen Sie die Richtigkeit der vorgegebenen Werte in der Tabelle nach und vervollständigen Sie die Tabelle.
Untersuchen Sie, ob die zu erwartenden Einnahmen pro Spiel im Mittel höher als zwei Euro sind.
(8P)
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
D: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich genau einer, der nichts bezahlen muss.
E: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich höchstens einer, der einen Euro bezahlen muss.
(6P)
e) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
F: Unter 10 zufällig ausgewählten Mitspielern befinden sich genau drei, die nichts bezahlen müssen, und genau zwei, die genau einen Euro bezahlen müssen.
(4P)

(30P)
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen. Schreibe zunächst auf, welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast:
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Elternteil})=0,8$
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Lehrkraft})=0,15$
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Vertreter von Betrieb})=0,05$
  • $P(\text{Elternteil leistet Spende})=0,15$
  • $P(\text{Lehrkraft leistet Spende})=0,10$
  • $P(\text{Betrieb leistet Spende})=0,9$
Du berechnest also die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Gruppen, dass eine Person sowohl Mitglied im Förderverein ist, als auch eine Spende leistet und addierst diese Wahrscheinlichkeiten.
Für das zweite Ereignis benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lehrkraft keine Spende geleitet hat. Das entspricht dem Gegenereignis von „eine Lehrkraft hat eine Spende geleistet“.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Elternteil unter den Spendern berechnen
Verwende folgende Bezeichnungen:
  • $E:$ Ein zufällig ausgewähltes Mitglied ist Elternteil.
  • $S:$ Ein zufällig ausgewähltes Mitglied ist Spender.
Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_S(E).$ Diese kannst du mithilfe des Satz von Bayes bestimmen.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass am ersten Abend 8 Schüler und 2 Eltern zusammen arbeiten. Diese Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Laplace–Experiment:
$P(\text{Ereignis}) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
Überlege dir, wie sich die Anzahl der günstigen Ergebnisse zusammensetzt. Außerdem überlege dir, wie groß die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist, diese entspricht gerade der Anzahl der möglichen Kombinationen aus den 20 Personen 10 Personen auszuwählen.
Setze nun die möglichen und die günstigen Ergebnisse in die Formel für das Laplace–Experiment ein, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
c) $\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen und Richtigkeit der gegebenen Werte nachweisen
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Höhe der mit dem Tetraeder festgelegten Preise an. Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Wurf mit dem Tetraeder. Sei $Y$ die Zufallsgröße, die die angezeigte Augenzahl angibt. Bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und berechne dann die Wahrscheinlichkeit für die möglichen Ereignisse (0€, 1€, 2€ und 4€) von $X$.
$\blacktriangleright$ Erwartete Einnahmen pro Spiel berechnen
Um die Entscheidung treffen zu könne, ob die zu erwartenden Einnahmen pro Spiel im Mittel höher als 2 € sind, berechne den Erwartungswert des Spiels.
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p(X=x_i) \cdot x_i$
Berechne also mit der Formel für den Erwartungswert die erwarteten Einnahmen pro Spiel.
d) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis D bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis bestimmen:
D: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich genau einer, der nichts bezahlen muss.
Sei $Z_1$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen angibt, die nichts bezahlen müssen. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da
  • Entweder eine Person bezahlt nicht oder sie bezahlt für Speisen und Getränke.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Käufer nichts bezahlt, wird bei jedem Käufer als gleich angenommen.
Ist $Z$ binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$, so ist die Wahrscheinlichkeit für $Z=k$ gegeben durch:
$P(Z=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Die Zufallsvariable $Z_1$ ist also binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{7}{16}$. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit für „genau einer muss nichts bezahlen“:
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis E bestimmen
Du soll noch die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis berechnen:
E: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich höchstens einer, der einen Euro bezahlen muss.
Sei $Z_2$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen angibt, die 1€ bezahlen müssen. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da
  • Entweder eine Person bezahlt 1€ oder sie bezahlt einen anderen Betrag für Speisen und Getränke.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Käufer 1€ bezahlt, wird bei jedem Käufer als gleich angenommen.
Die Zufallsvariable $Z_2$ ist also binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{1}{16}$. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit für „höchstens einer muss 1€ bezahlen“:
e) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis F bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses bestimmen:
F: Unter 10 zufällig ausgewählten Mitspielern befinden sich genau drei, die nichts bezahlen müssen, und genau zwei, die genau 1€ bezahlen müssen.
Jeder Pfad, der diesem Ereignis entspricht, muss also
  • genau 3 mal $P(X=0)=\frac{7}{16}$,
  • genau 2 mal $P(X=1)=\frac{1}{16}$ und
  • genau 5 mal $P(X\ne 0, X\ne 1) = P(X=2) + P(X=4) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
enthalten. Überlege dir, wie viele Möglichkeiten jeweils bestehen und multipliziere die Anzahl mit der Wahrscheinlichkeit, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen. Schreibe zunächst auf, welche Wahrscheinlichkeiten du gegeben hast:
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Elternteil})=0,8$
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Lehrkraft})=0,15$
  • $P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Vertreter von Betrieb})=0,05$
  • $P(\text{Elternteil leistet Spende})=0,15$
  • $P(\text{Lehrkraft leistet Spende})=0,10$
  • $P(\text{Betrieb leistet Spende})=0,9$
Du berechnest also die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Gruppen, dass eine Person sowohl Mitglied im Förderverein ist, als auch eine Spende leistet und addierst diese Wahrscheinlichkeiten.
$\begin{array}{rcll} P(A)&=&P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Elternteil})\cdot P(\text{Elternteil leistet Spende})&\\ &&+ P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Lehrkraft}) \cdot P(\text{Lehrkraft leistet Spende})&\\ &&+ P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Vertreter von Betrieb}) \cdot P(\text{Betrieb leistet Spende})&\\ &=& 0,8\cdot 0,15 + 0,15\cdot 0,1 + 0,05 \cdot 0,9& \\ &=& 0,18& \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied des Fördervereins eine Spende geleistet hat, beträgt 18 %.
Für das zweite Ereignis benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lehrkraft keine Spende geleitet hat. Das entspricht dem Gegenereignis von „eine Lehrkraft hat eine Spende geleistet“.
$P(\text{Lehrkraft leistet keine Spende})= 1-P(\text{Lehrkraft leistet Spende}) = 1- 0,10 = 0,90$
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
$\begin{array}{rcll} P(B)&=&P(\text{Mitglied des Fördervereins ist Lehrkraft}) \cdot P(\text{Lehrkraft leistet keine Spende})&\\ & =&0,15\cdot 0,9 & \\ & =&0,135& \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied des Fördervereins eine Lehrkraft ist und keine Spende geleistet hat, beträgt 13,5 %.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Elternteil unter den Spendern berechnen
Verwende folgende Bezeichnungen:
  • $E:$ Ein zufällig ausgewähltes Mitglied ist Elternteil.
  • $S:$ Ein zufällig ausgewähltes Mitglied ist Spender.
Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_S(E).$ Diese kannst du mithilfe des Satz von Bayes bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_S(E)&=& \dfrac{P_E(S)\cdot P(E)}{P(S)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,8\cdot 0,15}{0,8\cdot 0,15+ 0,15\cdot 0,1 +0,05\cdot 0,9} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \\[5pt] &\approx& 66,67\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $66,67\,\%$ ist ein zufällig ausgewählter Spender ein Elternteil.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass am ersten Abend 8 Schüler und 2 Eltern zusammen arbeiten. Diese Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Laplace–Experiment:
$P(\text{Ereignis}) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
In deinem Fall setzt sich die Anzahl der günstigen Ergebnisse zusammen aus:
  • Genau 8 der 15 Schüler arbeiten am ersten Abend: $\binom{15}{8}$
  • Genau 2 der 5 Eltern arbeiten am ersten Abend: $\binom{5}{2}$
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist die Anzahl der möglichen Kombinationen aus den 20 Personen 10 Personen auszuwählen. Das entspricht: $\binom{20}{10}$.
Setze nun die möglichen und die günstigen Ergebnisse in die Formel für das Laplace–Experiment ein, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
$\begin{array}{rcll} \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}&=&\dfrac{\binom{15}{8} \cdot \binom{5}{2}}{\binom{20}{10}}\\ &=&\dfrac{\frac{15!}{8!\cdot 7!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}}{\frac{20!}{10!\cdot 10!}}\\ &=&\dfrac{\frac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12\cdot 11 \cdot10 \cdot9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2\cdot1\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}}{\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12\cdot 11 \cdot10 \cdot9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\cdot 10 \cdot9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\\ &=&\dfrac{15\cdot 13 \cdot 11\cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}{19 \cdot 17\cdot 13 \cdot 11 \cdot4}\\ &=&\dfrac{225}{646}\approx 0,3483 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass am ersten Abend 8 Schüler und 2 Eltern zusammen arbeiten, beträgt 34,83 %.
c) $\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen und Richtigkeit der gegebenen Werte nachweisen
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Höhe der mit dem Tetraeder festgelegten Preise an. Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Wurf mit dem Tetraeder. Sei $Y$ die Zufallsgröße, die die angezeigte Augenzahl angibt.
  • $P(Y=0) = \frac{1}{4}$
  • $P(Y=1) = \frac{1}{4}$
  • $P(Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ermitteln. Mögliche Ergebnisse sind 0€, 1€, 2€ und 4€.
  • $P(X=0)$$=P(Y=0) \cdot P(Y=1)+ P(Y=1) \cdot P(Y=0) + P(Y=2) \cdot P(Y=0) $$+ P(Y=0)\cdot P(Y=2) + P(Y=0) \cdot P(Y=0) $$=2\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} $$+ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} $$= \frac{7}{16}$
  • $P(X=1) = P(Y=1) \cdot P(Y=1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
  • $P(X=2) = P(Y=2) \cdot P(Y=1)+ P(Y=1) \cdot P(Y=2) = 2\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
  • $P(X=4) = P(Y=2) \cdot P(Y=2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
Du hast also die Richtigkeit der beiden gegebenen Werte nachgewiesen und kannst die Tabelle nun vervollständigen.
$x_i$ in Euro0124
$P(X = x_i)$ $\frac{7}{16}$ $\frac{1}{16}$$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
$\blacktriangleright$ Erwartete Einnahmen pro Spiel berechnen
Um die Entscheidung treffen zu könne, ob die zu erwartenden Einnahmen pro Spiel im Mittel höher als 2 € sind, berechne den Erwartungswert des Spiels.
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p(X=x_i) \cdot x_i$
Berechne also mit der Formel für den Erwartungswert die erwarteten Einnahmen pro Spiel.
$E(X) = 0 \cdot \frac{7}{16} + 1 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4}$$ = \frac{1}{16} + \frac{8}{16} + 1 = 1,5625$
Die erwarteten Einnahmen pro Spiel betragen 1,56€, das ist weniger als 2€.
d) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis D bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis bestimmen:
D: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich genau einer, der nichts bezahlen muss.
Sei $Z_1$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen angibt, die nichts bezahlen müssen. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da
  • Entweder eine Person bezahlt nicht oder sie bezahlt für Speisen und Getränke.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Käufer nichts bezahlt, wird bei jedem Käufer als gleich angenommen.
Ist $Z$ binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$, so ist die Wahrscheinlichkeit für $Z=k$ gegeben durch:
$P(Z=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Die Zufallsvariable $Z_1$ ist also binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{7}{16}$. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit für „genau einer muss nichts bezahlen“:
$\begin{array}{rcll} P(Z_1 = 1)&=&\binom{10}{1}\cdot \left(\dfrac{7}{16}\right)^1 \cdot \left(1-\dfrac{7}{16}\right)^{10-1}\\ &=&\binom{10}{1}\cdot \dfrac{7}{16} \cdot \left(\dfrac{9}{16}\right)^{9} \\ &=&\dfrac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1 \cdot 1}\cdot \dfrac{7}{16} \cdot \left(\dfrac{9}{16}\right)^{9}\\ &=& 10 \cdot \dfrac{7}{16} \cdot \left(\dfrac{9}{16}\right)^{9}\\ &=&0,025 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern genau einer befindet, der nichts bezahlen muss, beträgt 2,5 %.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis E bestimmen
Du soll noch die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis berechnen:
E: Unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern befindet sich höchstens einer, der einen Euro bezahlen muss.
Sei $Z_2$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen angibt, die 1€ bezahlen müssen. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da
  • Entweder eine Person bezahlt 1€ oder sie bezahlt einen anderen Betrag für Speisen und Getränke.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Käufer 1€ bezahlt, wird bei jedem Käufer als gleich angenommen.
Die Zufallsvariable $Z_2$ ist also binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{1}{16}$. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit für „höchstens einer muss 1€ bezahlen“:
$\begin{array}{rcll} P(Z_2 \leq 1)&=&P(Z_2 =0) + P(Z_2 =1) \\ &=&\binom{10}{0}\cdot \left(\dfrac{1}{16}\right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{1}{16}\right)^{10-0} + \binom{10}{1}\cdot \left(\dfrac{1}{16}\right)^1 \cdot \left(1-\dfrac{1}{16}\right)^{10-1} \\ &=&\binom{10}{0}\cdot \left(\dfrac{15}{16}\right)^{10} + \binom{10}{1}\cdot \dfrac{1}{16} \cdot \left(\dfrac{15}{16}\right)^{9} \\ &=&\left(\dfrac{15}{16}\right)^{10} + 10\cdot \dfrac{1}{16} \cdot \left(\dfrac{15}{16}\right)^{9} \\ &=&0,874 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter zehn zufällig ausgewählten Mitspielern höchstens einer befindet, der 1€ bezahlen muss, beträgt 87,4 %.
e) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis F bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses bestimmen:
F: Unter 10 zufällig ausgewählten Mitspielern befinden sich genau drei, die nichts bezahlen müssen, und genau zwei, die genau 1€ bezahlen müssen.
Jeder Pfad, der diesem Ereignis entspricht, muss also
  • genau 3 mal $P(X=0)=\frac{7}{16}$,
  • genau 2 mal $P(X=1)=\frac{1}{16}$ und
  • genau 5 mal $P(X\ne 0, X\ne 1) = P(X=2) + P(X=4) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
enthalten.
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses F ergibt sich somit:
$\scriptsize{\begin{array}{rcll} P(F)&=&\binom{10}{3}\cdot \left(\frac{7}{16}\right)^{3} \cdot \binom{7}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{2} \cdot \binom{5}{5}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\\ &=&\dfrac{10!}{3!\cdot 7!}\left(\frac{7}{16}\right)^{3} \cdot \dfrac{7!}{2!\cdot 5!}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{2} \cdot \dfrac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\\ &=&\dfrac{10 \cdot9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\cdot\left(\frac{7}{16}\right)^{3} \cdot \dfrac{7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{2} \cdot \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \\ &=&\dfrac{10 \cdot9 \cdot 8 }{3 \cdot 2 }\cdot\left(\frac{7}{16}\right)^{3} \cdot \dfrac{7 \cdot6}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{2} \cdot 1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\\ &=&120\cdot\left(\frac{7}{16}\right)^{3} \cdot 21\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\\ &\approx&0,026 \end{array}}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 10 zufällig ausgewählten Mitspielern genau drei, die nichts bezahlen müssen, und genau zwei, die genau 1€ bezahlen müssen, befinden beträgt 2,6 %.
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