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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Aufgabe 3.2: Sportfan

Gemäß einer „Studie zur Gesundheit Erwachsener in Deutschland“ zeigt sich in Deutschland ein Trend zu mehr sportlicher Aktivität.
Ein Viertel der Erwachsenen treibt regelmäßig mindestens zwei Stunden Sport pro Woche (Sportfans), wobei der Anteil der Sportfans unter den Männern mit $29,3\,\%$ etwas höher ist als unter den Frauen.
Alle anderen Bundesbürger werden hier als „keine Sportfans“ bezeichnet.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Nur der zweite und sechste von zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern sind Sportfans.
B: Unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
D: Von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens $70$ und weniger als $79$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
(11P)
#wahrscheinlichkeit
b)
Bestimme die Anzahl der Bundesbürger, die mindestens befragt werden müssten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.
(4P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Unter allen Bundesbürgern liegt der Anteil der Männer bei $48,88\,\%$ (Zensus 2011).
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sportfan ein Mann ist.
Bestimme den Anteil der Sportfans unter den Frauen.
(8P)
#wahrscheinlichkeit
d)
In einem Sportstudio trainieren $25$ Bundesbürger, von denen genau acht zur Gruppe der Sportfans gehören. Es werden zufällig sieben Personen „ohne Zurücklegen“ ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$, dass sich unter den sieben ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
e)
In einem Kochkurs befindet sich unter den $n$ Kursteilnehmern genau ein Sportfan. Es werden zehn der Kursteilnehmer zufällig nacheinander und „ohne Zurücklegen“ ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Sportfan unter den ausgewählten Kursteilnehmern befindet, soll mindestens $80\,\%$ betragen.
Bestimme für diesen Fall die maximale Anzahl $n$ der Kursteilnehmer.
(4P)
(30P)
#wahrscheinlichkeit
Anlage zu Aufgabe 3.2: Sportfan
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen,
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen ($\text{p}>0,5$), ist der gesichte Wert 1- (abgelesener Wert).
ABCDEFGHIJKL
1
2
nkpk
3
0,020,050,10 1/6 0,200,250,30 1/3
4
10000,13260,005900000099
5
10,40330,03710,00030000098
6
20,67670,11830,00190000097
7
30,8590,25780,00780000096
8
40,94920,4360,02370,0001000095
9
50,98450,6160,05760,0004000094
10
60,99590,7660,11720,00130,000100093
11
70,99910,8720,20610,00380,000300092
12
80,99980,93690,32090,00950,000900091
13
910,97180,45130,02130,002300090
14
1010,98850,58320,04270,00570,00010089
15
1110,99570,7030,07770,01260,00040088
16
1210,99850,80180,12970,02530,0010087
17
1310,99950,87610,20,04690,00250,0001086
18
1410,99990,92740,28740,08040,00540,0002085
19
15110,96010,38770,12850,01110,0004084
20
16110,97940,49420,19230,02110,0010,000183
21
17110,990,59940,27120,03760,00220,000282
22
18110,99540,69650,36210,0630,00450,000581
23
19110,9980,78030,46020,09950,00890,001180
24
20110,99920,84810,55950,14880,01650,002479
25
21110,99970,89980,6540,21140,02880,004878
26
22110,99990,93690,73890,28640,04790,009177
27
231110,96210,81090,37110,07550,016476
28
241110,97830,86860,46170,11360,028175
29
251110,98810,91250,55350,16310,045874
30
261110,99380,94420,64170,22440,071573
31
271110,99690,96580,72240,29640,106672
32
281110,99850,980,79250,37680,152471
33
291110,99930,98880,85050,46230,209370
34
301110,99970,99390,89620,54910,276669
35
311110,99990,99690,93070,63310,352568
36
3211110,99840,95540,71070,434467
37
3311110,99930,97240,77930,518866
38
3411110,99970,98360,83710,601965
39
3511110,99990,99060,88390,680364
40
3611110,99990,99480,92010,751163
41
37111110,99730,9470,812362
42
38111110,99860,9660,86361
43
39111110,99930,9790,903460
44
40111110,99970,98750,934159
45
41111110,99990,99280,956658
46
42111110,99990,9960,972457
47
431111110,99790,983156
48
441111110,99890,9955
49
451111110,99950,994354
50
461111110,99970,996953
51
471111110,99990,998352
52
481111110,99990,999151
53
4911111110,999650
54
5011111110,999849
55
5111111110,999948
56
521111111147
57
nk0,950,90 5/6 0,800,750,70 2/3 k
58
p
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Aufgabe 3.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$. Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:
$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$. Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich mit der Pfadmultiplikationsregel zusammen.
$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:
$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$$\text{unter den befragten Personen.“}$
Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer berechnest du mit der Formel:
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) $$=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$. Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen
In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.
Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$
erfüllt ist. Da die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist, kannst du umformen.
Bei der Umformung verwendest du, dass $\binom{n}{0}=1$ ist.
Um jetzt $n$ zu bestimmen, musst du die folgende Ungleichung nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 1- 0,75^n&\ge&0,96 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen
Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:
$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“
$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“
Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:
$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen.
$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:
$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$, die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:
$P(F)=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) =$
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(E) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) = $
Schritt 1:Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten, aus den $25$ Bundesbürgern $8$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die Personen „gezogen“ werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
Schritt 2:Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn aus den $8$ Sportfans genau drei und aus den $17$ Personen, die keine Sportfans sind, genau 4 ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
e)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$. Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$, mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(Y)}$ in Abhängigkeit von $n$.
Da jedes Mitglied mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus den $n$ Mitgliedern $10$ auszuwählen. Da die Reihenfolge, mit der die Mitglieder ausgewählt werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn der Sportfan und aus den $n-1$ restlichen Mitgliedern genau $9$ ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl aller günstigen Ergebnisse}$$=\binom{1}{1}\cdot \binom{n-1}{9}$
$\text{Anzahl aller …}$
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Aufgabe 3.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$. Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:
$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$. Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich mit der Pfadmultiplikationsregel wie folgt zusammen:
$P(A) = 0,75 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25 \cdot 0,75^4 = 0,0063$
$P(A) = 0,0063$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit $0,63\%$.
$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:
$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$$\text{unter den befragten Personen.“}$
Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer berechnest du mit der Formel:
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) $$=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Die Parametern sind die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p=0,293$ und die Anzahl der Durchführungen $n=20$.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X=3)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{20}{3}\cdot 0,293^3\cdot (1-0,293)^{17} \\ &=&0,079 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&0,079 \end{array}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $7,9 \%$.
$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$. Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(X\le 1) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&P(X=0)+P(X=1)\\ &=&\binom{10}{1}\cdot 0,25^1\cdot (1-0,25)^{9} + \binom{10}{0}\cdot 0,25^0\cdot (1-0,25)^{10}\\ &=& 0,188 + 0,056\\ &=& 0,244 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 0,244 \end{array}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $24,4\%$.
$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$. Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(70 \le X < 79) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& P(X < 79)-P(X \le 69) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& … \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in der Tabelle ablesen:
$P(X < 79) $$= P(X \le 78) $$= 1-0,2114 $$= 0,7886$ und
$P(X \le 69) $$= 1-0,8962 $$=0,1038$
Diese Ergebnisse musst du jetzt in die Gleichung einsetzen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& 0,7886-0,1038 &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&0,6848 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&0,6848 \end{array}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $68,48\%$.
#binomialverteilung#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen
In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.
Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$
erfüllt ist. Da die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist, kannst du wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(x \ge 1)&=&1-P(X < 1) \\ &=& 1- P(X=0)\\ &=& 1- \binom{n}{0}\cdot 0,25^0\cdot (1-0,25)^{n}\\ &=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(x \ge 1)&=& 1- 0,75 ^n \end{array}$
Bei der Umformung verwendest du, dass $\binom{n}{0}=1$ ist.
Um jetzt $n$ zu bestimmen, musst du die folgende Ungleichung nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 1- 0,75^n&\ge&0,96 &\quad \scriptsize \mid\; -0,96 +0,75^n \\[5pt] 0,04&\ge& 0,75^n &\quad \scriptsize \mid\; \ln() \\ \ln(0,04)&\ge& n\cdot \ln(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,75) < 0 \\ 11,189 & \le & n \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 11,189 & \le & n \end{array}$
Achtung: Im letzten Umformungsschritt dreht sich das Ungleichheitszeichen um, da $\ln(0,75)$ negativ ist.
Es müssen also mindestens $12$ Bundesbürger befragt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit und mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen
Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:
$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“
$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“
Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:
$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&=&\dfrac{P(F \mid M)\cdot P(M)}{P(F)} \\ &=& \dfrac{0,293 \cdot 0,4888}{0,25}\\ &\approx& 0,573 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&\approx& 0,573 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sprotfan ein Mann ist, beträgt also $57,3 \%$.
$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen
Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:
$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“
Mit der Wahrscheinlichkeit: $P(\overline{M})=1-P(M)=0,5112$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$, die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:
$P(F)=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$
$P(F) = …$
Dafür musst du die Formel nach $P(F \mid \overline{M})$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&=&\dfrac{P(F)-P(F\mid M)\cdot P(M)}{P(\overline{M})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,25-0,293\cdot 0,4888}{0,5112}\\ &\approx& 0,209 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&\approx& 0,209 \end{array}$
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen beträgt somit $20,9\%$.
#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(E) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) = …$
Schritt 1:Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten, aus den $25$ Bundesbürgern $8$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die Personen „gezogen“ werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{25}{7}$
$\text{Anzahl aller …}$
Schritt 2:Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn aus den $8$ Sportfans genau drei und aus den $17$ Personen, die keine Sportfans sind, genau 4 ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} $$= \binom{8}{3}\cdot \binom{17}{4}$
$\text{Anzahl der …} $
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P(E)=\dfrac{\binom{8}{3} \cdot \binom{17}{4}}{\binom{25}{7}} = 0,277$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter sieben zufällig ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden, beträgt $27,7\%$.
#binomialverteilung#laplaceexperiment
e)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$. Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:
  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$, mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$.
  2. Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf
Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(Y)}$ in Abhängigkeit von $n$.
Da jedes Mitglied mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.
Also
$P(Y) =\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
$P(Y) = …$
Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen
In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus den $n$ Mitgliedern $10$ auszuwählen. Da die Reihenfolge, mit der die Mitglieder ausgewählt werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.
$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{n}{10}$
$\text{Anzahl aller …}$
Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen
Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn der Sportfan und aus den $n-1$ restlichen Mitgliedern genau $9$ ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.
Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:
$\text{Anzahl aller günstigen Ergebnisse}$$=\binom{1}{1}\cdot \binom{n-1}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $n$ ist also:
$P(E)=\dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}$
Schritt 2: Bestimmen von $\boldsymbol{n}$
Um $n$ zu bestimmen, musst du die Gleichung $P(Y)\le0,8$ nach $n$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y)&\le& 0,8& \\[5pt] \dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}&\le& 0,8 \\[5pt] \dfrac{(n-1)!}{9!\cdot(n-10)!} : \dfrac{n!}{10!\cdot(n-10)!}&\le& 0,8 \\ \dfrac{(n-1)!\cdot 10!}{9!\cdot n!} &\le& 0,8 \\ \dfrac{10}{n}&\le& 0,8\scriptsize &\mid\; : 0,8 \cdot n\\ n&\le& 12,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&\le& 12,5 \end{array}$
Es dürfen somit maximal $12$ Teilnehmer im Kochkurs sein.
#binomialverteilung#laplaceexperiment
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