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Analysis 1.1

Aufgaben
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Verbindungsbrücke

Die Abbildung 2 zeigt eine Überbauung der Französischen Straße zwischen zwei Bürogebäuden aus der Kaiserzeit vor 1914. Der Bogen des Gewölbes, das den darüber liegenden Gang trägt, hat eine Breite von $20\,\text{m}$ und in der Mitte eine Höhe von $4 \,\text{m},$ gemessen ab der Höhe der Sockel, die das Gewölbe an den Häuserwänden halten.
Ein Koordinatensystem wird entsprechend der Abbildung 1 so festgelegt, dass die $x$-Achse in Höhe der Sockel liegt, $1\,\text{LE}= 1\,\text{m}.$
Der Bogen wird mit einer Wurzelfunktion $f$ mit $f(x) =k \cdot \sqrt{a-x^2} ,$ $k > 0 ,$ $a > 0 ,$ modelliert.
a)
Untersuche die Funktion $f$ auf Nullstellen in Abhängigkeit von $a.$
Weise rechnerisch nach, dass die Graphen von $f$ genau einen Hochpunkt an der Stelle $x = 0$ besitzen und berechne dessen Koordinaten.
Weise nach, dass $f$ keine Wendestellen besitzen kann.
Bestimme die Definitionsbereiche für $f$ und für $f '.$
(13 BE)
#nullstelle#extrempunkt#wendepunkt#definitionsbereich
b)
Nenne die drei Bedingungen, die der Graph von $f$ mindestens erfüllen muss, um den Gewölbebogen zu modellieren und berechne die Parameterwerte für $a$ und $k.$
(5 BE)
Im Folgenden wird die Funktion $v$ mit $v(x)=0,4\cdot \sqrt{100-x^2}$ verwendet.
c)
Im Inneren der Brücke laufen die Fußgänger vom Punkt $R(-10\mid y_R)$ aus auf einer schiefen Ebene nach oben, die von der Seite gesehen wie eine Tangente auf dem Bogen aufliegt. Diese Tangente berührt den Bogen im Punkt $B(-6\mid v(-6)).$
Berechne die Größe des Winkels, mit dem die Ebene ansteigt. Ermittle eine Gleichung für die Tangente und $y$-Koordinate des Punktes $R.$ Berechne die Entfernung von Punkt $R$ bis zum Punkt $B.$
(7 BE)
#tangente
d)
Am Gewölbe wird zwischen den Punkten $P(-\sqrt{96}\mid 0,8)$ und $Q(\sqrt{96}\mid 0,8)$ ein Drahtseil gespannt, an dem in der Mitte eine schwere Straßenlaterne im Punkt $L$ angebracht wird. Das Drahtseil hängt durch und bildet ein Dreieck mit den Eckpunkten $P,$ $Q$ und $L.$ In $P$ und $Q$ trifft das Drahtseil orthogonal von unten auf den Gewölbebogen.
Bestimme die Koordinaten von $L$ und den Winkel des Drahtes bei $L.$
(8 BE)
e)
Der Brückenbogen kann auch mit dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $g(x)=\dfrac{5a}{x^2-a}+b$ modelliert werden. Dabei sollen die Höhe und die Breite des Brückenbogens unverändert bleiben.
Ermittle $a$ und $b$ und berechne für $-10\leq x \leq 10$ die sichtbare Fläche der Gebäudebrücke zwischen dem Bogen und der oberen waagerechten Begrenzungslinie mit $y=9.$
(6 BE)
f)
Der Graph von $v$ rotiert um die $x$-Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers.
(3 BE)
#rotationsvolumen
g)
Der Bogen kann auch mit einer Funktion $g$ mit $g(x)=ax^4+bx^2+c$ modelliert werden; $a,b,c \in \mathbb{R}$ mit $a$ und $b$ ungleich null.
Untersuche den Graphen von $g$ auf Punkte mit waagerechter Tangente in Abhängigkeit von $a$ und $b.$
Entscheide und begründe, welche Eigenschaften $a$ und $b$ erfüllen müssen, damit der Graph von $g$ nur einen Extrempunkt besitzt und dies ein Hochpunkt ist. Gib dessen Koordinaten an.
(8 BE)

(50 BE)
#extrempunkt#tangente
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/UEaDAU – Own work, Jörg Zägel, CC BY-SA 3.0.
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
Analysis 1.1
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
Es ist $a>0$ vorgegeben. Die Funktion $f$ besitzt zwei Nullstellen $x_1 = -\sqrt{a}$ und $x_2=\sqrt{a}.$
$\blacktriangleright$  Hochpunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für einen Hochpunkt muss das notwendige Kriterium für einen Extrempunkt $f'(x)=0$ erfüllt sein. Mit dem solve-Befehl des CAS werden nun mögliche Extremstellen von $f$ durch Gleichsetzen bestimmt:
Analysis 1.1
Abb. 2: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2
Analysis 1.1
Abb. 2: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2
Die Graphen von $f$ besitzen also tatsächlich genau einen Hochpunkt an der Stelle $x=0.$
3. Schritt: Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& k\cdot \sqrt{a} \end{array}$
Die Koordinaten des Hochpunkts lauten $H\left(0\mid k\cdot \sqrt{a}\right).$
$\blacktriangleright$  Fehlende Wendestellen nachweisen
Für eine Wendestelle $x_W$ von $f$ muss das notwendige Kriterium $f''(x_W)=0$ erfüllt sein. Mit dem CAS ergibt sich aus der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \dfrac{-\left(k\cdot x^2\cdot \sqrt{-x^2+a}+k\cdot \left(-x^2+a\right)^{\frac{3}{2}} \right)}{\left(-x^2+a\right)^{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{-x^2+a}}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{-\left(k\cdot x^2+k\cdot \left(-x^2+a\right) \right)}{\left(-x^2+a\right)^{\frac{3}{2}}}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(-x^2+a\right)^{\frac{3}{2}}\\[5pt] -\left(k\cdot x^2+k\cdot \left(-x^2+a\right) \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-k)\neq 0 \\[5pt] x^2+\left(-x^2+a\right)&=& 0 \\[5pt] x^2-x^2+a &=& 0 \\[5pt] a&=& 0 \end{array}$
$ a=0 $
Analysis 1.1
Abb. 3: Anzeigen der zweiten Ableitungsfunktion
Analysis 1.1
Abb. 3: Anzeigen der zweiten Ableitungsfunktion
Da $a>0$ in der Aufgabenstellung vorausgesetzt wird, gibt es kein $x,$ das das notwendige Kriterium für Wendestellen erfüllt. $f$ kann daher keine Wendestelle besitzen.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereiche angeben
Bei $f$ darf der Term unter der Wurzel nicht negativ werden. Dies ist der Fall, wenn $x^2 >a$ ist, also wenn $x< -\sqrt{a}$ oder $x>\sqrt{a}$ ist. Alle $x$ für die das nicht der Fall ist, sind im Definitionsbereich enthalten:
$D_f$ $= \{ x\in \mathbb{R} \mid -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} \}$
Da bei $f'$ zusätzlich die Variable $x$ im Nenner des Bruchs steht, muss hier noch darauf geachtet werden, dass dieser nicht null wird.
Das ist der Fall, wenn $x= \pm\sqrt{a}.$
$D_{f'}$ $= \{ x\in\mathbb{R} \mid -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}\}$
b)
$\blacktriangleright$  Bedingungen angeben
Aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Bedingungen:
  • Die Brücke ist $4\,\text{m}$ hoch, also muss wegen $1\,\text{LE}= 1\,\text{m}$ für die $y$-Koordinate des Hochpunkts gelten $f(0) = 4.$
  • Die Brücke ist $20\,\text{m}$ breit, also müssen die beiden Nullstellen von $f$ bei $x_1= -10$ und $x_2 = 10$ liegen.
Es folgt:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& f(0)&=& 4 \\ \text{II}\quad& f(-10) &=& 0 \\ \text{III}\quad& f(10) &=& 0 \\ \end{array}$
Analysis 1.1
Abb. 4: Lösen mit dem CAS
Analysis 1.1
Abb. 4: Lösen mit dem CAS
Aus den drei Bedingungen ergeben sich also die Parameterwerte $a=100$ und $k=0,4.$
c)
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Die Steigung $m$ der Ebene entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $v$ im Punkt $B(-6\mid v(-6)).$ Diese Steigung entspricht der Steigung des Graphen in diesem Punkt, also $m = v'(-6).$
Mit dem CAS ergibt sich folgende Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} v'(-6)&=& 0,3 \\[5pt] \end{array}$
Der Steigungswinkel $\alpha$ ergibt sich nun mit dem Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha) &=& m \\[5pt] \tan(\alpha) &=& 0,3 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&16,7^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 16,7^{\circ} $
Die Ebene steigt mit ca. $16,7^{\circ}$ an.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente bestimmen
Die Steigung der Tangente wurde oben bereits berechnet $m = 0,3.$ Der $y$-Achsenabschnitt folgt mithilfe einer Punktprobe:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\;m =0,3 \\[5pt] y&=& 0,3\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; B(-6\mid v(-6)) \\[5pt] v(-6)&=& 0,3\cdot (-6) + b \\[5pt] 3,2&=& -1,8 +b &\quad \scriptsize \mid\; +1,8\\[5pt] 5&=& b \end{array}$
$ 5 = b $
Eine Gleichung der Tangente ist $t: \, y = 0,3\cdot x + 5.$
$\blacktriangleright$  Entfernung berechnen
Die Koordinaten des Punkts $B$ lauten $B(-6\mid 3,2).$ Die $y$-Koordinate von $R$ ergibt sich anhand der Tangentengleichung zu:
$y_R = 0,3\cdot (-10) + 5 = 2$
Die Entfernung der beiden Punkte ergibt sich dann mit der entsprechenden Formel zu:
$\begin{array}[t]{rll} d(B,R)&=& \sqrt{(3,2-2)^2 +(-6-(-10))^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1,44 + 16}\\[5pt] &\approx& 4,18 \end{array}$
$ d(B,R)\approx 4,18 $
Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt ca. $4,18\,\text{m}.$
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 5: Skizze
Analysis 1.1
Abb. 5: Skizze
$\begin{array}[t]{rll} m_P&=& v'(-\sqrt{96}) \\[5pt] &=& 0,2\cdot \sqrt{96} \end{array}$
Für die Steigung $m$ der senkrechten Gerade muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& -\dfrac{1}{m_P} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{0,2\cdot \sqrt{96}} \\[5pt] &=& -\dfrac{5}{\sqrt{96}} \end{array}$
$ m_g = -\dfrac{5}{\sqrt{96}} $
Mit einer Punktprobe mit $P$ kann nun der $y$-Achsenabschnitt von $g$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} g:\, y &=& m_g\cdot x +b_g \\[5pt] y&=& -\dfrac{5}{\sqrt{96}} \cdot x +b_g \\[5pt] 0,8 &=& -\dfrac{5}{\sqrt{96}} \cdot (-\sqrt{96}) +b_g \\[5pt] 0,8 &=& 5+b_g &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -4,2&=& b_g \end{array}$
$ -4,2= b_g $
Die Gerade $g$ schneidet also bei $y = -4,2 $ die $y$-Achse. Da $P$ und $Q$ gleichweit von der $y$-Achse entfernt sind, muss die Lampe in der Mitte, auf der $y$-Achse hängen.
Die Lampe hängt also im Punkt $L(0\mid -4,2).$
$\blacktriangleright$  Winkel des Drahtes bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 6: Skizze
Analysis 1.1
Abb. 6: Skizze
Mithilfe des Tangens kann nun die Größe von $\beta$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=& \dfrac{a}{b} \\[5pt] \tan(\beta)&=& \dfrac{\sqrt{96}}{5} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \beta&\approx& 63,0^{\circ} \end{array}$
$ \beta\approx 63,0^{\circ} $
Der gesuchte Winkel ist ca. $2\cdot 63,0^{\circ}=126,0^{\circ}$ groß.
#tangens#steigung
e)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte berechnen
Damit Breite und Höhe des Brückenbogens unverändert bleiben, muss $g$ ebenfalls die Bedingungen erfüllen, die für $f$ in Aufgabenteil b) aufgeführt wurden.
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen mit dem CAS
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen mit dem CAS
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Der Inhalt der Fläche ergibt sich mithilfe eines Integrals im angegebenen Bereich über die Differenzenfunktion $9-g(x).$ Mithilfe des CAS ergibt sich daher:
Analysis 1.1
Abb. 8: Integral: Keyboard $\to$ Math2
Analysis 1.1
Abb. 8: Integral: Keyboard $\to$ Math2
Die sichtbare Fläche zwischen dem Bogen und der oberen waagerechten Begrenzungslinie mit $y=9$ ist ca. $120,71\,\text{m}^2$ groß.
#integral
f)
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Die Nullstellen von $v$ liegen bei $x_1= -10$ und $x_2= 10.$ Das Volumen des Rotationskörpers um die $x$-Achse kann daher mithilfe der entsprechenden Formel wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-10}^{10}\left(v(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{640}{3}\pi \\[5pt] &\approx& 670,2 \end{array}$
$ V \approx 670,2$
Das Volumen des Rotationskörpers beträgt ca. $670,2\,\text{VE}$ bzw. $670,2\,\text{m}^3.$
#integral
g)
$\blacktriangleright$  Graphen auf waagerechte Tangenten untersuchen
Eine waagerechte Tangente besitzt der Graph von $g$ an den Stellen, an denen die Steigung null ist, also $g'(x)=0$ gilt.
Die erste Ableitungsfunktion ergibt sich zu:
$g'(x)= 4ax^3+2bx $
Gleichsetzen ergibt dann:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; CAS\\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_{2,3}&=& \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}} \end{array}$
$x_2$ und $x_3$ sind nur definiert, wenn entweder $a>0$ und $b <0$ oder $a<0$ und $b>0$ ist. Andernfalls wäre der Radikand negativ und die Wurzel damit nicht definiert.
Die zugehörigen Funktionswerte lauten:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& c\\[10pt] g\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}}\right)&=&-\frac{b^2}{4a}+c\\[10pt] g\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}}\right)&=& -\frac{b^2}{4a}+c\\[10pt] \end{array}$
Haben $a$ und $b$ unterschiedliche Vorzeichen, besitzt der Graph von $g$ drei Punkte mit waagerechter Tangente:
$P_1(0\mid c),$ $P_2\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}}\mid -\frac{b^2}{4a}+c\right)$ und $P_3\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}} \mid-\frac{b^2}{4a}+c\right)$
Besitzen $a$ und $b$ das gleiche Vorzeichen, besitzt der Graph von $g$ nur einen Punkt mit waagerechter Tangente:
$P_1(0\mid c)$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften nennen
In einem Extrempunkt besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Zusätzlich muss für einen Hochpunkt an der Stelle $x_H$ gelten $g''(x_H) < 0.$
Oben wurde bereits gezeigt, dass der Graph von $g$ genau einen Punkt mit waagerechter Tangente, also genau einen Extrempunkt, besitzt, wenn $a$ und $b$ dasselbe Vorzeichen haben.
Dieser hat dann die Koordinaten $(0\mid c).$ Mithilfe der zweiten Ableitung kann überprüft werden, ob es sich um einen Hochpunkt handelt:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x) &=& 12ax^2+2b \\[10pt] g''(0)&=& 12a\cdot 0^2 +2b\\[5pt] &=& 2b \end{array}$
$ g''(0) = 2b $
Für $b<0$ ist also $g''(0)<0$ und für $b>0$ ist analog $g''(0)>0.$
Insgesamt muss also $a,b <0$ sein, damit der Graph von $g$ nur einen Extrempunkt besitzt und es sich dabei um einen Hochpunkt handelt. Dieser hat dann die Koordinaten $H(0\mid c).$
Bildnachweise [nach oben]
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