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Analysis 1.1

Aufgaben
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Aufgabe 1.1: IGA 2017

Die Vorbereitungen der internationalen Gartenbauausstellung 2017 in Berlin sind in vollem Gange. Eine Gärtnerei hat sich um ein $6\,\text{m}$ x $16\,\text{m}$ großes rechteckiges Blumenbeet beworben, auf dem sie ihre Neuzüchtungen präsentieren wird. Die Unterteilung des Blumenbeetes erfolgt durch Funktionsgraphen der Schar $f_a(x) = 2a \sqrt{x} - x$;   $a>0$.
#graph#funktionenschar
a)
Gib für die Funktion $f_2$ die Funktionsgleichung und den Definitionsbereich an.
Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion $f'_2$.
Ermittle den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $f'_2$.
Untersuche das Verhalten der Ableitungsfunktion $f'_2$ für $x \rightarrow 0$ und interpretiere das Ergebnis anschaulich.
(8P)
#limes#gleichung#ableitung#definitionsbereich
b)
Berechne die Nullstellen von $f_a$ und bestimme die Lage der Hochpunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.
Weise nach, dass keiner der Schargraphen einen Wendepunkt hat.
(10P)
#nullstelle#wendepunkt#graph#extrempunkt
c)
Bestimme die Werte des Parameters $a$ für die in der Abbildung dargestellten Scharkurven $III$ und $IV$ und gib die zugehörigen Funktionsgleichungen an.
(5P)
#parameter#gleichung
d)
Für die Besucher soll ein Weg durch das Blumenbeet angelegt werden. Es ist geplant, den Weg durch die Hochpunkte der Funktionsgraphen zu legen.
Ermittle die Gleichung einer Funktion $w$, deren Graph diesen Weg darstellt.
Zeichne den Graphen der Funktion $w$ in die obere Graphik ein.
(3P)
#extrempunkt#graph
e)
Schargraph $I$ hat den Parameterwert $a = 2$, Schargraph $II$ den Parameterwert $a=1,5$. Auf der Fläche, die von diesen beiden Graphen sowie der $x$-Achse begrenzt wird, soll roter Phlox (Flammenblume) gepflanzt werden. Auf je ein Quadratmeter pflanzt man $6$ Pflanzen. Es gilt: $1\,\text{LE} = 1\,\text{m}$.
Berechne, wie viele Pflanzen für diesen Teil des Beetes bereitgestellt werden müssen.
(8P)
#graph
f)
$P$ ist ein Punkt auf dem Graphen von $f_2$. Die diagonal liegenden Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks sind $P (x \mid f_2(x))$ und $ R(16 \mid 6)$.
Ermittle die Koordinaten von $P$ mit $x > 4$ so, dass das Rechteck zum Quadrat wird.
(6P)
(40P)
#quadrat#graph#funktionswert
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1.1: IGA 2017

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für die Funktion $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hierfür kannst du $a=2$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung, welche bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, einsetzen.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich für $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hier ist es wichtig zu erkennen, dass der Funktionsterm $\sqrt x$ enthält. Unter einer Wurzel dürfen keine negativen Werte stehen.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} ( \sqrt x)'&=& \frac{1}{2 \sqrt x} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ ermitteln
Hier ist zunächst zu beachten, dass der Definitionsbereich durch die Wurzel im in dem Funktionsterm von $f_2(x)$ bereits eingeschränkt ist. Außerdem steht $\sqrt x$ im Nenner, welcher nicht den Wert Null annehmen darf.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Ableitungsfunktion für $x \to \infty$
Hierfür benötigst du den Lim-Befehl in deinem CAS.
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ berechnen
Dafür kannst du zunächst den Funktionsterm von $f_a$ gleich Null setzen.
$\blacktriangleright$  Lage der Hochspunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter a bestimmen
Um die Koordinaten der Hochpunkte zu berechnen, kannst du zunächst die Bedingungen für eine Maximalstelle $x_E$ anwenden. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann hier verzichtet werden.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass keiner der Schargraphen einen Wendepunkt hat
Hier kannst du die Bedingungen für eine Wendestelle $x_W$ anwenden.
c)
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve III bestimmen
Hier kannst du einen beliebigen Punkt aus der Scharkurve $III$ auslesen und in die Funktionsgleichung von $f_a$ einsetzen. Eine Möglichkeit wäre der Hochpunkt $H(1\,|\,1)$.
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve IV bestimmen
Hier kannst du einen beliebigen Punkt aus der Scharkurve $IV$ auslesen und in die Funktionsgleichung von $f_a$ einsetzen. Eine Möglichkeit wäre hier der Schnittpunkt mit der X-Achse $P(0\,|\,1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $\boldsymbol{w}$ ermitteln
Im Aufgabenteil b) hast du bereits herausgefunden, dass die Koordinaten der Hochpunkte in Abhängigkeit von $a\,$ $H(a²\,|\,a²)$ lauten. Das heißt, dass die Hochpunkte stets den selben x- und y-Wert haben.
$\blacktriangleright$  Den Graphen der Funktion $\boldsymbol{w}$ in die Graphik einzeichnen
Du kannst hier den Graphen einer Winkelhalbierenden einzeichnen.
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zwischen den Schagraphen $\boldsymbol{I}$ und $\boldsymbol{II}$ sowie der $\boldsymbol{x}$ -Achse berechnen.
Die Berechnung eines Flächeninhaltes ist stets ein Hinweis darauf, dass nach einem Integral gefragt ist. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven handelt, müssen die Integrale der Scharfunktionen $f_2$ und $f_{1,5}$ voneinander subtrahiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen Schnittpunkte der Graphen mit der $x$ -Achse.
f)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{x}$ ermitteln, für den das Rechteck zum Quadrat wird
Die Seiten des Rechtecks lassen sich beschreiben durch:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& 16-x\\[5pt] b &=& 6-f_2(x) \end{array}$
Wenn $a=b$ erfüllt ist, wird das Rechteck zum Quadrat.
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Aufgabe 1.1: IGA 2017

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für die Funktion $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hierfür kannst du $a=2$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung, welche bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 2a\sqrt x - x \\[5pt] f_2(x)&=& 2\cdot2\sqrt x - x \\[5pt] f_2(x)&=& 4\sqrt x - x \end{array}$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich für $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hier ist es wichtig zu erkennen, dass der Funktionsterm $\sqrt x$ enthält. Unter einer Wurzel dürfen keine negativen Werte stehen. Somit ist der Definitionsbereich:
$D(f_2) =$ { $x \in ? \,|\, x ≥ 0 $ }
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 1: Ableitungsfunktion
Analysis 1.1
Abb. 1: Ableitungsfunktion
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ ermitteln
Hier ist zunächst zu beachten, dass der Definitionsbereich durch die Wurzel im in dem Funktionsterm von $f_2(x)$ bereits eingeschränkt ist. Außerdem steht $\sqrt x$ im Nenner, welcher nicht den Wert Null annehmen darf.
$D(f_2') =$ { $x \in ? \,|\, x > 0 $ }
$\blacktriangleright$  Verhalten der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ für $\boldsymbol{x \to 0}$ ermitteln
Analysis 1.1
Abb. 2: Verhalten von $f_2'$ für $x \to 0$
Analysis 1.1
Abb. 2: Verhalten von $f_2'$ für $x \to 0$
Die Ableitung der Funktion läuft für $x \to 0$ gegen $\infty$. Dies bedeutet, dass die Steigung der Funktion für $x \to 0$ gegen $\infty$ geht.
#ableitung#definitionsbereich#gleichung#limes
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ berechnen
Die Nullstellen bestimmst du mit deinem CAS.
Analysis 1.1
Abb. 3: Nullstellen
Analysis 1.1
Abb. 3: Nullstellen
Du erhältst als die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 4a²$.
$\blacktriangleright$  Lage der Hochspunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter a bestimmen
Um die Koordinaten der Hochpunkte zu berechnen, kannst du zunächst die Bedingungen für eine Maximalstelle $x_E$ anwenden. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann hier verzichtet werden.
Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E) = 0$
1. Schritt: x-Werte der Hochpunkte bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 4: Hochpunkte
Analysis 1.1
Abb. 4: Hochpunkte
2. Schritt: y-Werte der Hochpunkte bestimmen
Da die Hochpunkte an der Stelle $x_E=a^2$ vorliegen, kannst du $a^2$ in die Funktionsgleichung einsetzten.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 2a\sqrt x - x \\[5pt] f_a(a²)&=& 2a\sqrt {a²} - a² \\[5pt] f_a(a²)&=& 2a² - a² \\[5pt] f_a(a²)&=& a² \\[5pt] \end{array}$
Somit erhältst du die Lage der Hochpunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$:
$H (a²\,|\,a²)$
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass keiner der Schargraphen einen Wendepunkt hat
Hier kannst du die Bedingungen für eine Wendestelle $x_W$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f_a''(x_W) = 0$
Hinreichende Bedingungen: $f_a'''(x_W) \neq 0$
Zuerst benötigst du also die zweite und dritte Ableitung von $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& -\dfrac{a}{2x^{\frac{3}{2}}} \\[5pt] f_a'''(x)&=& \dfrac{3a}{4x^{\frac{5}{2}}} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -\dfrac{a}{2x^{\frac{3}{2}}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 2x^{\frac{3}{2}}) \\[5pt] 0 &=& a \end{array}$
Da $a=0$ außerhalb des Definitionsbereichs für $a$ liegt, ist für keinen Wert von $x$ die notwendige Bedingung erfüllt. Damit hat keiner der Schargraphen einen Wendepunkt.
#extrempunkt#parameter#nullstelle
c)
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve III bestimmen
Hier kannst du einen beliebigen Punkt aus der Scharkurve $III$ auslesen und in die Funktionsgleichung von $f_a$ einsetzen. Eine Möglichkeit wäre der Hochpunkt $H(1\,|\,1)$.
$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& 2a \sqrt 1 - 1 \\[5pt] 1 &=& 2a - 1 &\mid +1\\[5pt] 2a &=& 2 &\mid \div 2\\[5pt] a &=& 1 \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Scharkurve $III$ lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& 2 \sqrt x - x \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve IV bestimmen
Eine Möglichkeit wäre hier der Schnittpunkt mit der X-Achse $P(0\,|\,1)$.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2a \sqrt 1 - 1 \\[5pt] 0 &=& 2a-1 &\mid +1 \\[5pt] 2a &=& 1 &\mid \div 2 \\[5pt] a &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Scharkurve $IV$ lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{1}{2}}(x)&=& \sqrt x - x \\[5pt] \end{array}$
#parameter#funktionenschar
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $\boldsymbol{w}$ ermitteln
Im Aufgabenteil b) hast du bereits herausgefunden, dass die Koordinaten der Hochpunkte in Abhängigkeit von $a\,$ $H(a²\,|\,a²)$ lauten. Das heißt, dass die Hochpunkte stets den selben x- und y-Wert haben. Die Funktion $w$ stellt also die Funktion der Winkelhalbierenden dar:
$\begin{array}[t]{rll} w(x) &=& x \end{array}$
$\blacktriangleright$  Den Graphen der Funktion $\boldsymbol{w}$ in die Graphik einzeichnen
Analysis 1.1
Abb. 5: w(x)
Analysis 1.1
Abb. 5: w(x)
#gleichung#graph
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zwischen den Schagraphen $\boldsymbol{I}$ und $\boldsymbol{II}$ sowie der $\boldsymbol{x}$ -Achse berechnen.
Die Berechnung eines Flächeninhaltes ist stets ein Hinweis darauf, dass nach einem Integral gefragt ist. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven handelt, müssen die Integrale der Scharfunktionen $f_2$ und $f_{1,5}$ voneinander subtrahiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen Schnittpunkte der Graphen mit der $x$ -Achse.
Analysis 1.1
Abb. 6: Berechenen des Flächeninhalts
Analysis 1.1
Abb. 6: Berechenen des Flächeninhalts
Der Flächeninhalt beträgt also $\dfrac{175}{6} \text{m²}$ ($\approx 29,167 \text{m²}$). Multiplizierst du diesen Wert mit 6 Pflanzen pro m², erhältst du ein Ergebnis von 175 Pflanzen.
#funktionenschar#integral
f)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{x}$ ermitteln, für den das Rechteck zum Quadrat wird
Die Seiten des Rechtecks lassen sich beschreiben durch:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& 16-x\\[5pt] b &=& 6-f_2(x) \end{array}$
Wenn $a=b$ erfüllt ist, wird das Rechteck zum Quadrat.
$\begin{array}[t]{rll} a &=& b \\[5pt] 16-x &=& 6-f_2(x) \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen.
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen der Gleichung
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen der Gleichung
Der so errechnete Punkt hat die Koordinaten P$(2 \cdot \sqrt{6} + 7 \mid 2 \cdot \sqrt{6} - 3)$ $(\approx P(11,9 \mid 1,9))$
#funktionswert#quadrat#koordinaten
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für die Funktion $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hierfür kannst du $a=2$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung, welche bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 2a\sqrt x - x \\[5pt] f_2(x)&=& 2\cdot2\sqrt x - x \\[5pt] f_2(x)&=& 4\sqrt x - x \end{array}$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich für $\boldsymbol{f_2}$ angeben
Hier ist es wichtig zu erkennen, dass der Funktionsterm $\sqrt x$ enthält. Unter einer Wurzel dürfen keine negativen Werte stehen. Somit ist der Definitionsbereich:
$D(f_2) =$ { $x \in ? \,|\, x ≥ 0 $ }
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 1: Ableitungsfunktion
Analysis 1.1
Abb. 1: Ableitungsfunktion
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ ermitteln
Hier ist zunächst zu beachten, dass der Definitionsbereich durch die Wurzel im in dem Funktionsterm von $f_2(x)$ bereits eingeschränkt ist. Außerdem steht $\sqrt x$ im Nenner, welcher nicht den Wert Null annehmen darf.
$D(f_2') =$ { $x \in ? \,|\, x > 0 $ }
$\blacktriangleright$  Verhalten der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f_2'}$ für $\boldsymbol{x \to 0}$ ermitteln
Analysis 1.1
Abb. 2: Verhalten von $f_2'$ für $x \to 0$
Analysis 1.1
Abb. 2: Verhalten von $f_2'$ für $x \to 0$
Die Ableitung der Funktion läuft für $x \to 0$ gegen $\infty$. Dies bedeutet, dass die Steigung der Funktion für $x \to 0$ gegen $\infty$ geht.
#limes#gleichung#definitionsbereich#ableitung
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ berechnen
Die Nullstellen bestimmst du mit deinem CAS.
Analysis 1.1
Abb. 3: Nullstellen
Analysis 1.1
Abb. 3: Nullstellen
Du erhältst als die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 4a²$.
$\blacktriangleright$  Lage der Hochspunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter a bestimmen
Um die Koordinaten der Hochpunkte zu berechnen, kannst du zunächst die Bedingungen für eine Maximalstelle $x_E$ anwenden. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann hier verzichtet werden.
Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E) = 0$
1. Schritt: x-Werte der Hochpunkte bestimmen
Analysis 1.1
Abb. 4: Hochpunkte
Analysis 1.1
Abb. 4: Hochpunkte
2. Schritt: y-Werte der Hochpunkte bestimmen
Da die Hochpunkte an der Stelle $x_E=a^2$ vorliegen, kannst du $a^2$ in die Funktionsgleichung einsetzten.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 2a\sqrt x - x \\[5pt] f_a(a²)&=& 2a\sqrt {a²} - a² \\[5pt] f_a(a²)&=& 2a² - a² \\[5pt] f_a(a²)&=& a² \\[5pt] \end{array}$
Somit erhältst du die Lage der Hochpunkte in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$:
$H (a²\,|\,a²)$
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass keiner der Schargraphen einen Wendepunkt hat
Hier kannst du die Bedingungen für eine Wendestelle $x_W$ anwenden.
Notwendige Bedingung: $f_a''(x_W) = 0$
Hinreichende Bedingungen: $f_a'''(x_W) \neq 0$
Zuerst benötigst du also die zweite und dritte Ableitung von $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& -\dfrac{a}{2x^{\frac{3}{2}}} \\[5pt] f_a'''(x)&=& \dfrac{3a}{4x^{\frac{5}{2}}} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -\dfrac{a}{2x^{\frac{3}{2}}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 2x^{\frac{3}{2}}) \\[5pt] 0 &=& a \end{array}$
Da $a=0$ außerhalb des Definitionsbereichs für $a$ liegt, ist für keinen Wert von $x$ die notwendige Bedingung erfüllt. Damit hat keiner der Schargraphen einen Wendepunkt.
#parameter#extrempunkt#nullstelle
c)
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve III bestimmen
Hier kannst du einen beliebigen Punkt aus der Scharkurve $III$ auslesen und in die Funktionsgleichung von $f_a$ einsetzen. Eine Möglichkeit wäre der Hochpunkt $H(1\,|\,1)$.
$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& 2a \sqrt 1 - 1 \\[5pt] 1 &=& 2a - 1 &\mid +1\\[5pt] 2a &=& 2 &\mid \div 2\\[5pt] a &=& 1 \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Scharkurve $III$ lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& 2 \sqrt x - x \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wert des Parameters $\boldsymbol{a}$ für Scharkurve IV bestimmen
Eine Möglichkeit wäre hier der Schnittpunkt mit der X-Achse $P(0\,|\,1)$.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2a \sqrt 1 - 1 \\[5pt] 0 &=& 2a-1 &\mid +1 \\[5pt] 2a &=& 1 &\mid \div 2 \\[5pt] a &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Scharkurve $IV$ lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{1}{2}}(x)&=& \sqrt x - x \\[5pt] \end{array}$
#parameter#funktionenschar
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $\boldsymbol{w}$ ermitteln
Im Aufgabenteil b) hast du bereits herausgefunden, dass die Koordinaten der Hochpunkte in Abhängigkeit von $a\,$ $H(a²\,|\,a²)$ lauten. Das heißt, dass die Hochpunkte stets den selben x- und y-Wert haben. Die Funktion $w$ stellt also die Funktion der Winkelhalbierenden dar:
$\begin{array}[t]{rll} w(x) &=& x \end{array}$
$\blacktriangleright$  Den Graphen der Funktion $\boldsymbol{w}$ in die Graphik einzeichnen
Analysis 1.1
Abb. 5: w(x)
Analysis 1.1
Abb. 5: w(x)
#graph#gleichung
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zwischen den Schagraphen $\boldsymbol{I}$ und $\boldsymbol{II}$ sowie der $\boldsymbol{x}$ -Achse berechnen.
Die Berechnung eines Flächeninhaltes ist stets ein Hinweis darauf, dass nach einem Integral gefragt ist. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven handelt, müssen die Integrale der Scharfunktionen $f_2$ und $f_{1,5}$ voneinander subtrahiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen Schnittpunkte der Graphen mit der $x$ -Achse.
Analysis 1.1
Abb. 6: Berechenen des Flächeninhalts
Analysis 1.1
Abb. 6: Berechenen des Flächeninhalts
Der Flächeninhalt beträgt also $\dfrac{175}{6} \text{m²}$ ($\approx 29,167 \text{m²}$). Multiplizierst du diesen Wert mit 6 Pflanzen pro m², erhältst du ein Ergebnis von 175 Pflanzen.
#integral#funktionenschar
f)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{x}$ ermitteln, für den das Rechteck zum Quadrat wird
Die Seiten des Rechtecks lassen sich beschreiben durch:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& 16-x\\[5pt] b &=& 6-f_2(x) \end{array}$
Wenn $a=b$ erfüllt ist, wird das Rechteck zum Quadrat.
$\begin{array}[t]{rll} a &=& b \\[5pt] 16-x &=& 6-f_2(x) \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit deinem CAS lösen.
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen der Gleichung
Analysis 1.1
Abb. 7: Lösen der Gleichung
Der so errechnete Punkt hat die Koordinaten P$(11,89 \mid 1,89)$.
#quadrat#funktionswert#koordinaten
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