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Größe der Anbaufläche berechnen
Die Fläche kann in drei Teilflächen aufgeteilt werden.
Die linke grüngefärbte Fläche kann mithilfe eines Integrals über $f_{0,15}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll}
A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{4}f_{0,15}(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt]
&=& \frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)
\end{array}$
$ A_1 = … $
$\begin{array}[t]{rll}
A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{4}f_{0,15}(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
&=& \frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)
\end{array}$
Die zweite blau eingefärbte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen:
$a = 7-4 = 3$ und
$\begin{array}[t]{rll}
b&=&f_{0,15}(4) \\[5pt]
&=& \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}
\end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll}
A_2&=& a\cdot b \\[5pt]
&=& 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right) \\[5pt]
\end{array}$
Die dritte rot gefärbte Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen:
$a = 3$ und
$\begin{array}[t]{rll}
b_2&=& g(7)-f_{0,15}(4) \\[5pt]
&=& 0,9\cdot 7 - \mathrm e^{0,3\cdot 4}-\mathrm e^{-0,3\cdot 4}\\[5pt]
&=& 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}
\end{array}$
$ b_2 = … $
$\begin{array}[t]{rll}
b_2&=& g(7)-f_{0,15}(4) \\[5pt]
&=& 0,9\cdot 7 - \mathrm e^{0,3\cdot 4}-\mathrm e^{-0,3\cdot 4}\\[5pt]
&=& 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}
\end{array}$
Für den Flächeninhalt folgt:
$\begin{array}[t]{rll}
A_3&=& \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \left( 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right) \\[5pt]
&=& 9,45 - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right)
\end{array}$
$ A_3 = … $
$\begin{array}[t]{rll}
A_3&=& \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \left( 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right) \\[5pt]
&=& 9,45 - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right)
\end{array}$
Insgesamt ergibt sich folgender Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll}
A&=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right) \,\text{FE} \\[5pt]
&=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt]
&=&\frac{1}{0,3}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{1}{0,3}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 1,5\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}+ 1,5\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt]
&=& \frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE}\\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{FE} \\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{LE}\cdot \text{LE} \\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\cdot 150\,\text{m}\cdot 150\, \text{m}\\[5pt]
&=& 22.500\cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{m}^2\\[5pt]
&=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha}
\end{array}$
$ A= … $
$\begin{array}[t]{rll}
A&=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right) \,\text{FE} \\[5pt]
&=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt]
&=&\frac{1}{0,3}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{1}{0,3}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 1,5\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}+ 1,5\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt]
&=& \frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE}\\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{FE} \\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{LE}\cdot \text{LE} \\[5pt]
&=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\cdot 150\,\text{m}\cdot 150\, \text{m}\\[5pt]
&=& 22.500\cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{m}^2\\[5pt]
&=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha}
\end{array}$
Da der Landwirt aber nur $80\,\%$ der Fläche bebaut, muss dies noch einbezogen werden:
$\begin{array}[t]{rll}
A_G&=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \cdot 0,8 \\[5pt]
&=& 1,8 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \\[5pt]
&\approx& 44,9\,\text{ha} \\[5pt]
\end{array}$
$ A_G \approx 44,9\,\text{ha} $
$\begin{array}[t]{rll}
A_G&=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \cdot 0,8 \\[5pt]
&=& 1,8 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \\[5pt]
&\approx& 44,9\,\text{ha} \\[5pt]
\end{array}$
Die Getreideanbaufläche ist ca. $44,9\,\text{ha}$ groß.