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Analysis 1.2

Aufgaben
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Straßenverlauf

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)= \mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax}, $ $x\in \mathbb{R},$ $a\in \mathbb{R},$ $a\neq 0.$
Die zugehörigen Graphen sind $G_a.$
#funktionenschar
a)
Gib für $a>0$ das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\to + \infty$ und $x\to -\infty$ an.
Begründe, dass keine Funktion $f_a$ eine Nullstelle hat und weise nach, dass alle Graphen $G_a$ symmetrisch zur $y$-Achse verlaufen.
(6 BE)
#symmetrie#grenzwert#nullstelle
b)
Zeige, dass alle Graphen $G_a$ denselben lokalen Extrempunkt besitzen und ermittle dessen Art und Koordinaten.
Untersuche $G_a$ auf mögliche Wendepunkte.
(10 BE)
#extrempunkt
c)
Der Graph $G_{0,15}$ wird von den Parallelen zur $x$-Achse mit der Gleichung $y= k;$ $2< k < 6$ in den Punkten $A_k$ und $B_k$ geschnitten. $A_k,$ $B_k$ und der Punkt $C(0\mid 6)$ bilden ein Dreieck.
Zeichne in das Koordinatensystem eines der möglichen Dreiecke $A_kB_kC$ ein.
Begründe ohne Rechnung, dass keines der möglichen Dreiecke $A_kB_kC$ einen minimalen Flächeninhalt haben kann, aber ein solchen Dreieck mit maximalem Flächeninhalt existiert.
Ermittle eine Gleichung, mit der man in Abhängigkeit vom $x$-Wert des im $\text{I}.$ Quadranten liegenden Eckpunktes den Flächeninhalt des Dreiecks $A_kB_kC$ bestimmen kann.
(9 BE)
#dreieck
Für die folgenden Teilaufgaben gilt $1\,\text{LE} = 150\,\text{m}.$
d)
Eine langgezogene Kurve auf einer Landstraße kann im Intervall $[-2; 4]$ in sehr guter Näherung durch den Graphen $G_{0,15}$ modelliert werden.
Im Punkt $P(4\mid f_{0,15}(4))$ mündet sie tangential, d.h. ohne Knick, in eine zunächst geradlinig verlaufende Schnellstraße.
Zeige, dass ein Teil dieser Schnellstraße für $x\geq 4$ näherungsweise durch einen Teil der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,9x$ modelliert werden kann.
(6 BE)
e)
Die Schnellstraße verläuft ab dem Punkt $P$ aus der Teilaufgabe d) für eine Strecke von $2,1\,\text{km}$ bis zum Punkt $S$ geradlinig und führt dann knickfrei durch eine scharfe Rechtskurve auf eine Bundesstraße. Ermittle die Koordinaten des Punktes $S.$
[Zur Kontrolle: $S(14,4\mid 13)$]
Die Rechtskurve kann durch eine quadratische Parabel beschrieben werden, auf der unter anderem der Punkt $Q(15,5\mid 13,3)$ liegt.
Stelle ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Parabelgleichung auf.
(10 BE)
#parabelgleichung
f)
Die Fläche, die von den beiden Koordinatenachsen, der Landstraße, der Schnellstraße und der Geraden $x=7$ eingeschlossen wird, nutzt ein Landwirt zu $80\,\%$ für den Anbau von Getreide.
Ermittle die Größe der Getreideanbaufläche und gib diese in Hektar an.
(9 BE)

(50 BE)
Koordinatensystem zu Aufgabe 1.2 c)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte angeben
Es ist $a>0$ vorgegeben. Daher gilt für $x\to + \infty$:
$\mathrm e^{2ax} \to +\infty$ und $\mathrm e^{-2ax}\to 0$
Insgesamt gilt also für $x\to +\infty:$
$f_a(x)\to +\infty$
Für $x\to -\infty$ gilt:
$\mathrm e^{2ax}\to 0$ und $\mathrm e^{-2ax}\to +\infty$
Insgesamt gilt also für $x\to -\infty$:
$f_a(x)\to +\infty$
Für $x\to + \infty$ gilt $f_a(x)\to +\infty$ und für $x\to -\infty$ gilt ebenfalls $f_a(x)\to + \infty.$
$\blacktriangleright$  Fehlende Nullstelle begründen
Die Funktionsterme von $f_a$ bestehen aus zwei Summanden, die beide Funktionsterme von Exponentialfunktionen mit positivem Vorzeichen sind. Reine Exponentialfunktionen, deren Graphen nicht entlang der $y$-Achse verschoben wurden, besitzen keine Nullstellen und sind für jedes Argument strikt positiv.
Aus diesem Grund sind beide Summanden, unabhängig von $a,$ immer positiv, wodurch die Summe der beiden nicht null oder negativ werden kann. $f_a$ besitzt also unabhängig von $a$ keine Nullstelle.
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie nachweisen
Die Graphen $G_a$ verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn unabhängig von $a$ gilt $f_a(x) = f_a(-x).$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(-x)&=& \mathrm e^{2a\cdot(-x)}-\mathrm e^{-2a\cdot (-x)} \\[5pt] &=& \mathrm e^{-2ax}+\mathrm e^{2ax} \\[5pt] &=& \mathrm e^{2ax} +\mathrm e^{-2ax} \\[5pt] &=& f_a(x) \end{array}$
$ f_a(-x)=… = f_a(x) $
Es gilt $f_a(-x)=f_a(x)$ für alle $a\in \mathbb{R}.$ Die zugehörigen Graphen $G_a$ sind also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
b)
$\blacktriangleright$  Lokalen Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax} \\[10pt] f_a'(x)&=& 2a\cdot \mathrm e^{2ax}-2a\cdot \mathrm e^{-2ax} \\[5pt] &=& 2a\cdot \left( \mathrm e^{2ax}- \mathrm e^{-2ax}\right)\\[10pt] f_a''(x)&=& 2a\cdot \left( 2a\mathrm e^{2ax}+2a\cdot \mathrm e^{-2ax}\right) \\[5pt] &=& 4a^2 \cdot \left(\mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax} \right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& …\\[10pt] f_a''(x)&=& … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 \\[5pt] 2a\cdot \left( \mathrm e^{2ax}- \mathrm e^{-2ax}\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2a \neq 0 \\[5pt] \mathrm e^{2ax}- \mathrm e^{-2ax} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\mathrm e^{-2ax} \\[5pt] \mathrm e^{2ax}&=& \mathrm e^{-2ax}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] 2ax&=& -2ax&\quad \scriptsize \mid\; :2a \\[5pt] x&=&-x &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 2x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(0)&=& 4a^2 \cdot \left(\mathrm e^{2a\cdot 0}+\mathrm e^{-2a\cdot 0} \right) \\[5pt] &=& 4a^2 \cdot \left(1+1 \right)\\[5pt] &=& 4a^2\cdot 2\\[5pt] &=& 8a^2 > 0 \text{ mit } a\neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a''(0) = 8a^2 > 0 $
Für jedes $a\in \mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ besitzt der Graph $G_a$ an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& \mathrm e^{2a\cdot 0}+\mathrm e^{-2a\cdot 0} \\[5pt] &=&1+1 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_a(0)\\[5pt] =& \mathrm e^{2a\cdot 0}+\mathrm e^{-2a\cdot 0} \\[5pt] =&1+1 \\[5pt] =& 2 \end{array}$
Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ besitzt $G_a$ den lokalen Tiefpunkt $T(0\mid 2).$
$\blacktriangleright$  Graphen auf mögliche Wendepunkte untersuchen
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte $f_a''(x)=0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& 0 \\[5pt] 4a^2 \cdot \left(\mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:4a^2 \neq 0 \\[5pt] \mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax}&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] \mathrm e^{2ax}+\mathrm e^{-2ax}&=& 0 \end{array}$
Diese Gleichung hat wie in Teilaufgabe a) beschrieben keine Lösung. Die Graphen $G_a$ können also keine Wendepunkte besitzen, da keine Stelle das notwendige Kriterium erfüllt.
c)
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Analysis 1.2
Abb. 1: Das Dreieck $A_3B_3C$ für $k=3$
Analysis 1.2
Abb. 1: Das Dreieck $A_3B_3C$ für $k=3$
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt gibt
Der Wert von $k$ ist durch $2< k < 6$ begrenzt. Für $k \to 2$ gilt für den Flächeninhalt $ A \to 0,$ analog gilt auch für $k \to 6$ für den Flächeninhalt $A \to 0.$ Beides ist an der Skizze zu erkennen. Kleiner als null kann ein Flächeninhalt nicht werden, weshalb der minimale Flächeninhalt für das $k$ angenommen werden würde, das am nächsten an $2$ oder $6$ liegt. Ein solches $k$ existiert aber aufgrund der Eigenschaften der reellen Zahlen nicht.
Es gibt also kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt gibt
Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_kB_kC$ kann in Abhängigkeit von $k$ mithilfe einer stetigen Funktion $A(k)$ beschrieben werden. Für diese gilt wie oben beschrieben für $k\to 2$ $A(k) \to 0$ und für $k \to 6$ ebenfalls $A(k)\to 0.$ Dazwischen ist sie nicht null und insbesondere nicht konstant. Innerhalb des Intervalls muss der Graph von $A$ also einen lokalen Hochpunkt besitzen.
Also gibt es einen maximalen Funktionswert von $A(k)$ und damit auch ein Dreieck $A_kB_kC$ mit maximalem Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$  Gleichung ermitteln
Die Dreiecke $A_kB_kC$ sind gleichseitig mit der $y$-Achse als Symmetrieachse. Die Länge der Grundseite $A_kB_k$ ergibt sich daher über die $x$-Koordinate $x$ des im ersten Quadranten liegenden Eckpunktes:
$g(x)= 2\cdot x$
Die Höhe des Dreiecks ist die Differenz der $y$-Koordinaten von $C$ und dem im ersten Quadranten liegenden Eckpunkt, also:
$h(x)= 6- f_a(x) = 6- \mathrm e^{2ax}-\mathrm e^{-2ax}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&6- f_a(x) \\[5pt] &=& 6- \mathrm e^{2ax}-\mathrm e^{-2ax} \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich dann in Abhängigkeit von $x$ zu:
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& \frac{1}{2}\cdot g(x)\cdot h(x) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 2x \cdot \left(6- \mathrm e^{2ax}-\mathrm e^{-2ax} \right) \\[5pt] &=& x\cdot \left(6- \mathrm e^{2ax}-\mathrm e^{-2ax} \right) \end{array}$
$ A(x) =$ $x\cdot \left(6- \mathrm e^{2ax}-\mathrm e^{-2ax} \right) $
d)
$\blacktriangleright$  Modellierung zeigen
Die Gerade $g: y = mx +b$ , die das Streckenstück der Schnellstraße modelliert, muss folgende Bedingungen erfüllen:
  1. Die Schnellstraße schließt im Punkt $P(4\mid f_{0,15}(4))$ an die Landstraße an. $g$ muss also ebenfalls durch den Punkt $P$ verlaufen:
    $g(4)= f_{0,15}(4)$
  2. Der Anschluss verläuft ohne Knick. $g$ muss also eine Tangente an $G_{0,15}$ im Punkt $P$ sein, also die gleiche Steigung haben wie $G_{0,15}$ im Punkt $P:$
    $m = f_{0,15}'(4)$
Aus 2. folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f_{0,15}'(4) \\[5pt] &=& 2\cdot 0,15 \left(\mathrm e^{2\cdot 0,15 \cdot 4}-\mathrm e^{-2\cdot 0,15\cdot 4} \right) \\[5pt] &=& 0,3\cdot \left(\mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right) \\[5pt] &\approx& 0,9 \end{array}$
$ m \approx 0,9 $
Für die fehlende Koordinate von $P$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y_P&=& f_{0,15}(4) \\[5pt] &=& \mathrm e^{2\cdot 0,15\cdot 4}+ \mathrm e^{-2\cdot 0,15\cdot 4} \\[5pt] &=& \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\\[5pt] &\approx& 3,6 \end{array}$
$ y_P \approx 3,6 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,9x +b \\[5pt] 3,6&\approx& 0,9\cdot 4 +b \\[5pt] 3,6&\approx& 3,6 +b&\quad \scriptsize \mid\; -3,6 \\[5pt] 0&\approx&b \end{array}$
$ 0&\approx&b $
Der Teil der Schnellstraße kann also für $x\geq 4$ näherungsweise durch die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = 0,9x$ modelliert werden.
#tangente
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Der Punkt $S$ muss zwei Bedingungen erfüllen:
  1. $S$ liegt auf der Schnellstraße, also auf der Geraden $g$ mit $y = 0,9x.$
  2. Der Abstand von $S$ zu $P$ beträgt $2,1\,\text{km}.$ Eine Umrechnung des Maßstabs liefert:
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\,\text{LE}}{0,15\,\text{km}}&=& \dfrac{\frac{20}{3}\,\text{LE}}{1\,\text{km}} \\[5pt] &=& \dfrac{14\,\text{LE}}{2,1\,\text{km}} \end{array}$
    Der Abstand von $S$ zu $P$ muss also $14\,\text{LE}$ betragen.
Mit 2. ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 14&=& d(S,P) \\[5pt] 14&=& \sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2} \\[5pt] 14&\approx&\sqrt{(x_S - 4)^2 +(y_S - 3,6)^2} &\quad \scriptsize \mid\; y_S = 0,9x_S \\[5pt] 14&\approx&\sqrt{(x_S - 4)^2 +(0,9x_S - 3,6)^2} &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] 196&\approx& x_S^2 -8x_S +16 +0,81x_S^2 -6,48x_S + 12,96 \\[5pt] 196&\approx&1,81x_S^2 -14,48x_S+28,96 &\quad \scriptsize \mid\;.196 \\[5pt] 0&\approx& 1,81x_S^2 -14,48x_S- 167,04 &\quad \scriptsize abc\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-(-14,48)\pm \sqrt{\left( -14,48\right)^2 -4\cdot 1,81\cdot (-167,04)}}{2\cdot 1,81} \\[5pt] &\approx& \dfrac{14,48\pm \sqrt{1.419,04}}{3,62} \\[5pt] x_1&\approx& 14,4\\[5pt] x_2&\approx& -6,4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 14&=& d(S,P) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&\approx& 14,4\\[5pt] x_2&\approx& -6,4 \\[5pt] \end{array}$
Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da die Straße von $P$ aus geradlinig weiterläuft und nicht abbiegt. Es ist also $x_S\approx 14,4$ und $y_S= 0,9\cdot 14,4 \approx 13.$
Die Koordinaten von $S$ lauten $S(14,4\mid 13).$
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen
Die Parabel $p$ ist quadratisch und kann daher durch eine Gleichung der Form $p(x)= ax^2+bx+c$ beschrieben werden.
Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. $S$ liegt auf $p,$ also $p(14,4) = 13$
  2. $Q$ liegt auf $p,$ also $p(15,5) = 13,3$
  3. Der Übergang soll knickfrei sein, also $p'(14,4)=0,9$
Es ist: $p'(x)= 2ax+b.$ Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&13&=& a\cdot 14,4^2+b\cdot 14,4 +c \\[5pt] &13&=& 207,36a+14,4b +c \\[10pt] \text{II}\quad&13,3&=& a\cdot 15,5^2 +b\cdot 15,5 +c \\[5pt] &13,3&=& 240,25a +15,5b +c \\[10pt] \text{III}\quad&0,9&=& 28,8a +c \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&13&=& … \\[10pt] \text{II}\quad&13,3&=&… \\[10pt] \text{III}\quad&0,9&=& … \\ \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Größe der Anbaufläche berechnen
Die Fläche kann in drei Teilflächen aufgeteilt werden.
Analysis 1.2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
Analysis 1.2
Abb. 2: Aufteilung der Fläche
Die linke grüngefärbte Fläche kann mithilfe eines Integrals über $f_{0,15}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{4}f_{0,15}(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &=& \frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right) \end{array}$
$ A_1 = … $
Die zweite blau eingefärbte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen:
$a = 7-4 = 3$ und
$\begin{array}[t]{rll} b&=&f_{0,15}(4) \\[5pt] &=& \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& a\cdot b \\[5pt] &=& 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right) \\[5pt] \end{array}$
Die dritte rot gefärbte Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen:
$a = 3$ und
$\begin{array}[t]{rll} b_2&=& g(7)-f_{0,15}(4) \\[5pt] &=& 0,9\cdot 7 - \mathrm e^{0,3\cdot 4}-\mathrm e^{-0,3\cdot 4}\\[5pt] &=& 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2} \end{array}$
$ b_2 = … $
Für den Flächeninhalt folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_3&=& \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot \left( 6,3 - \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right) \\[5pt] &=& 9,45 - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right) \end{array}$
$ A_3 = … $
Insgesamt ergibt sich folgender Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} - 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2}\right) \,\text{FE} \\[5pt] &=&\frac{1}{0,3}\cdot \left( \mathrm e^{1,2}-\mathrm e^{-1,2}\right)\,\text{FE} + 1,5\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right)\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt] &=&\frac{1}{0,3}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{1}{0,3}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 1,5\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}+ 1,5\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE} \\[5pt] &=& \frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}\,\text{FE}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2}\,\text{FE} + 9,45\,\text{FE}\\[5pt] &=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{FE} \\[5pt] &=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{LE}\cdot \text{LE} \\[5pt] &=& \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\cdot 150\,\text{m}\cdot 150\, \text{m}\\[5pt] &=& 22.500\cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{m}^2\\[5pt] &=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \end{array}$
$ A= … $
Da der Landwirt aber nur $80\,\%$ der Fläche bebaut, muss dies noch einbezogen werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 2,25 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \cdot 0,8 \\[5pt] &=& 1,8 \cdot \left(\frac{29}{6}\mathrm e^{1,2}-\frac{11}{6}\mathrm e^{-1,2} + 9,45\right)\,\text{ha} \\[5pt] &\approx& 44,9\,\text{ha} \\[5pt] \end{array}$
$ A_G \approx 44,9\,\text{ha} $
Die Getreideanbaufläche ist ca. $44,9\,\text{ha}$ groß.
#rechteck#integral#dreieck
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