Analysis 1.2

Gib für $a>0$ das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\to + \infty$ und $x\to -\infty$ an.
Begründe, dass keine Funktion $f_a$ eine Nullstelle hat und weise nach, dass alle Graphen $G_a$ symmetrisch zur $y$-Achse verlaufen.

Zeige, dass alle Graphen $G_a$ denselben lokalen Extrempunkt besitzen und ermittle dessen Art und Koordinaten.
Untersuche $G_a$ auf mögliche Wendepunkte.

Der Graph $G_{0,15}$ wird von den Parallelen zur $x$-Achse mit der Gleichung $y= k;$ $2< k < 6$ in den Punkten $A_k$ und $B_k$ geschnitten. $A_k,$ $B_k$ und der Punkt $C(0\mid 6)$ bilden ein Dreieck.
Zeichne in das Koordinatensystem eines der möglichen Dreiecke $A_kB_kC$ ein.
Begründe ohne Rechnung, dass keines der möglichen Dreiecke $A_kB_kC$ einen minimalen Flächeninhalt haben kann, aber ein solchen Dreieck mit maximalem Flächeninhalt existiert.
Ermittle eine Gleichung, mit der man in Abhängigkeit vom $x$-Wert des im $\text{I}.$ Quadranten liegenden Eckpunktes den Flächeninhalt des Dreiecks $A_kB_kC$ bestimmen kann.

Eine langgezogene Kurve auf einer Landstraße kann im Intervall $[-2; 4]$ in sehr guter Näherung durch den Graphen $G_{0,15}$ modelliert werden.
Im Punkt $P(4\mid f_{0,15}(4))$ mündet sie tangential, d.h. ohne Knick, in eine zunächst geradlinig verlaufende Schnellstraße.
Zeige, dass ein Teil dieser Schnellstraße für $x\geq 4$ näherungsweise durch einen Teil der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,9x$ modelliert werden kann.

Die Schnellstraße verläuft ab dem Punkt $P$ aus der Teilaufgabe d) für eine Strecke von $2,1\,\text{km}$ bis zum Punkt $S$ geradlinig und führt dann knickfrei durch eine scharfe Rechtskurve auf eine Bundesstraße. Ermittle die Koordinaten des Punktes $S.$
[Zur Kontrolle: $S(14,4\mid 13)$]
Die Rechtskurve kann durch eine quadratische Parabel beschrieben werden, auf der unter anderem der Punkt $Q(15,5\mid 13,3)$ liegt.
Stelle ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Parabelgleichung auf.

Die Fläche, die von den beiden Koordinatenachsen, der Landstraße, der Schnellstraße und der Geraden $x=7$ eingeschlossen wird, nutzt ein Landwirt zu $80\,\%$ für den Anbau von Getreide.
Ermittle die Größe der Getreideanbaufläche und gib diese in Hektar an.

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$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktionswerte angeben Es ist $a>0$ vorgegeben. Daher gilt für $x\to + \infty$: $\mathrm e^{2ax} \to +\infty$ und $\mathrm e^{-2ax}\to 0$ Insgesamt gilt also für $x\to +\infty:$ $f_a(x)\to +\infty$ Für $x\to -\infty$ gilt: $\mathrm e^{2ax}\to 0$ und $\mathrm e^{-2ax}\to +\infty$ Insgesamt gilt also für $x\to -\infty$: $f_a(x)\to +\infty$ Für $x\to + \infty$ gilt $f_a(x)\to +\infty$ und für $x\to -\infty$ gilt ebenfalls $f_a(x)\to + \infty.$ $\blacktriangleright$  Fehlende Nullstelle begründen Die Funktionsterme von $f_a$ bestehen aus zwei Summanden, die beide Funktionsterme von Exponentialfunktionen mit positivem Vorzeichen sind. Reine Exponentialfunktionen, deren Graphen nicht entlang der $y$-Achse verschoben wurden, besitzen keine Nullstellen und sind für jedes Argument strikt positiv.
Aus diesem Grund sind beide Summanden, unabhängig von $a,$ immer positiv, wodurch die Summe der beiden nicht null oder negativ werden kann. $f_a$ besitzt also unabhängig von $a$ keine Nullstelle. $\blacktriangleright$  Achsensymmetrie nachweisen Die Graphen $G_a$ verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn unabhängig von $a$ gilt $f_a(x) = f_a(-x).$ Es gilt $f_a(-x)=f_a(x)$ für alle $a\in \mathbb{R}.$ Die zugehörigen Graphen $G_a$ sind also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$\blacktriangleright$  Lokalen Extrempunkt nachweisen 1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden 2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden 3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen Für jedes $a\in \mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ besitzt der Graph $G_a$ an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt. 4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ besitzt $G_a$ den lokalen Tiefpunkt $T(0\mid 2).$ $\blacktriangleright$  Graphen auf mögliche Wendepunkte untersuchen Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte $f_a''(x)=0$ ergibt sich: Diese Gleichung hat wie in Teilaufgabe a) beschrieben keine Lösung. Die Graphen $G_a$ können also keine Wendepunkte besitzen, da keine Stelle das notwendige Kriterium erfüllt.

$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen $\blacktriangleright$  Begründen, dass es kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt gibt Der Wert von $k$ ist durch $2< k < 6$ begrenzt. Für $k \to 2$ gilt für den Flächeninhalt $ A \to 0,$ analog gilt auch für $k \to 6$ für den Flächeninhalt $A \to 0.$ Beides ist an der Skizze zu erkennen. Kleiner als null kann ein Flächeninhalt nicht werden, weshalb der minimale Flächeninhalt für das $k$ angenommen werden würde, das am nächsten an $2$ oder $6$ liegt. Ein solches $k$ existiert aber aufgrund der Eigenschaften der reellen Zahlen nicht.
Es gibt also kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt. $\blacktriangleright$  Begründen, dass es ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt gibt Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_kB_kC$ kann in Abhängigkeit von $k$ mithilfe einer stetigen Funktion $A(k)$ beschrieben werden. Für diese gilt wie oben beschrieben für $k\to 2$ $A(k) \to 0$ und für $k \to 6$ ebenfalls $A(k)\to 0.$ Dazwischen ist sie nicht null und insbesondere nicht konstant. Innerhalb des Intervalls muss der Graph von $A$ also einen lokalen Hochpunkt besitzen.
Also gibt es einen maximalen Funktionswert von $A(k)$ und damit auch ein Dreieck $A_kB_kC$ mit maximalem Flächeninhalt. $\blacktriangleright$  Gleichung ermitteln Die Dreiecke $A_kB_kC$ sind gleichseitig mit der $y$-Achse als Symmetrieachse. Die Länge der Grundseite $A_kB_k$ ergibt sich daher über die $x$-Koordinate $x$ des im ersten Quadranten liegenden Eckpunktes: $g(x)= 2\cdot x$ Die Höhe des Dreiecks ist die Differenz der $y$-Koordinaten von $C$ und dem im ersten Quadranten liegenden Eckpunkt, also: Der Flächeninhalt ergibt sich dann in Abhängigkeit von $x$ zu:

$\blacktriangleright$  Modellierung zeigen Die Gerade $g: y = mx +b$ , die das Streckenstück der Schnellstraße modelliert, muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die Schnellstraße schließt im Punkt $P(4\mid f_{0,15}(4))$ an die Landstraße an. $g$ muss also ebenfalls durch den Punkt $P$ verlaufen:
   $g(4)= f_{0,15}(4)$
2. Der Anschluss verläuft ohne Knick. $g$ muss also eine Tangente an $G_{0,15}$ im Punkt $P$ sein, also die gleiche Steigung haben wie $G_{0,15}$ im Punkt $P:$
   $m = f_{0,15}'(4)$

Aus 2. folgt: Für die fehlende Koordinate von $P$ gilt: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: Der Teil der Schnellstraße kann also für $x\geq 4$ näherungsweise durch die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = 0,9x$ modelliert werden.

$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln Der Punkt $S$ muss zwei Bedingungen erfüllen:

1. $S$ liegt auf der Schnellstraße, also auf der Geraden $g$ mit $y = 0,9x.$
2. Der Abstand von $S$ zu $P$ beträgt $2,1\,\text{km}.$ Eine Umrechnung des Maßstabs liefert:
   $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\,\text{LE}}{0,15\,\text{km}}&=& \dfrac{\frac{20}{3}\,\text{LE}}{1\,\text{km}} \\[5pt] &=& \dfrac{14\,\text{LE}}{2,1\,\text{km}} \end{array}$
   Der Abstand von $S$ zu $P$ muss also $14\,\text{LE}$ betragen.

Mit 2. ergibt sich folgende Gleichung: Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da die Straße von $P$ aus geradlinig weiterläuft und nicht abbiegt. Es ist also $x_S\approx 14,4$ und $y_S= 0,9\cdot 14,4 \approx 13.$ Die Koordinaten von $S$ lauten $S(14,4\mid 13).$ $\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen Die Parabel $p$ ist quadratisch und kann daher durch eine Gleichung der Form $p(x)= ax^2+bx+c$ beschrieben werden. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1. $S$ liegt auf $p,$ also $p(14,4) = 13$
2. $Q$ liegt auf $p,$ also $p(15,5) = 13,3$
3. Der Übergang soll knickfrei sein, also $p'(14,4)=0,9$

Es ist: $p'(x)= 2ax+b.$ Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\blacktriangleright$  Größe der Anbaufläche berechnen Die Fläche kann in drei Teilflächen aufgeteilt werden. Die linke grüngefärbte Fläche kann mithilfe eines Integrals über $f_{0,15}$ berechnet werden: Die zweite blau eingefärbte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen: $a = 7-4 = 3$ und $\begin{array}[t]{rll} b&=&f_{0,15}(4) \\[5pt] &=& \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \end{array}$ Der Flächeninhalt ergibt sich also zu: $\begin{array}[t]{rll} A_2&=& a\cdot b \\[5pt] &=& 3\cdot \left( \mathrm e^{1,2}+\mathrm e^{-1,2} \right) \\[5pt] \end{array}$ Die dritte rot gefärbte Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen: $a = 3$ und Für den Flächeninhalt folgt: Insgesamt ergibt sich folgender Flächeninhalt: Da der Landwirt aber nur $80\,\%$ der Fläche bebaut, muss dies noch einbezogen werden: Die Getreideanbaufläche ist ca. $44,9\,\text{ha}$ groß.