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Analytische Geometrie 2.2

Aufgaben
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Zelt

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die seitlichen Kanten der Zeltwände werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $3,90\,\text{m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5\,\text{m}.$
Das Zelt kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Pyramide $ABCDS$ mit eder Spitze $S$ modellhaft dargestellt werden. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $B$ auf dem positiven Teil der $x$-Achse und $D$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse. Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $(5\mid 5\mid 0),$ der Mittelpunkt der Grundfläche wird mit $M$ bezeichnet.
Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $E: -39y+25z = 0.$
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
#zentraleraufgabenpool
a)
(5 BE)
#pyramide
b)
Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermittle dessen Größe.
(4 BE)
c)
Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von $80\,\text{cm}$ hat. Ermittle die Koordinaten des Punktes, der die Lichtquelle im Modell darstellt.
(5 BE)
d)
Der Ortsvektor eines Punktes $P$ lässt sich in der Form $\overrightarrow{OP}= r\cdot \overrightarrow{OC} + s\cdot \overrightarrow{OS}$ mit $r,s\in [0;1]$ und $r+s =1$ darstellen. Weise nach, dass $P$ auf der Strecke $\overline{CS}$ liegt.
(3 BE)
#vektoren
e)
Weise nach, dass die Länge des Vordachs etwa $2,14\,\text{m}$ beträgt.
(3 BE)
f)
Auf das Zelt treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell zu einem bestimmten Zeitpunkt durch parallele Geraden mit einem Richtungsvektor $\pmatrix{0,5\\ -4,2\\a}$ beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt trifft das Sonnenlicht durch ein kleines Loch im horizontalen Vordach genau auf den Mittelpunkt des Zeltbodens. Für $a$ kommen verschiedene ganzzahlige Werte infrage.
Ermittle einen dieser Werte und gib die Koordinaten des zugehörigen Punktes an, der im Modell eine mögliche Position des Lochs im Vordach darstellt.
Berücksichtige, dass alle Punkte derjenigen Kante des Vordachs, an deren Enden die beiden Stangen befestigt sind, die $y$-Koordinate $5,98$ haben.
(5 BE)

(25 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Mit folgenden Informationen ergeben sich die gesuchten Koordinaten von $B,$ $D$ und $M:$
  • Die Grundfläche ist quadratisch.
  • Die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5,00\,\text{m} = 5 \,\text{LE}.$
  • $A$ liegt im Koordinatenursprung.
  • $B$ liegt auf dem positiven Teil der $x$-Achse.
  • $D$ liegt auf dem positiven Teil der $y$-Achse.
$B(5\mid 0\mid 0),$ $D(0\mid 5\mid 0),$ $M(2,5\mid 2,5\mid 0)$
Die $x$- und $y$-Koordinate von $S$ entspricht der von $M$. Durch die Höhe des Zeltes von $3,90\,\text{m}= 3,90\,\text{LE}$ ergibt sich die $z$-Koordinate:
$S(2,5\mid 2,5\mid 3,9)$
$\blacktriangleright$  Pyramide zeichnen
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1: Pyramide $ABCDS$
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 1: Pyramide $ABCDS$
b)
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels berechnen
Die Winkel, die zwei benachbarte Zeltwände einschließen, entsprechen den Winkeln, die zwei benachbarte Seiten der Pyramide $ABCDS$ einschließen.
Die Seitenflächen der Pyramide $ABCDS$ liegen jeweils in einer Ebene. Gesucht ist also die Größe des stumpfen Winkels, den je zwei dieser Ebenen einschließen.
Eine der Seitenflächen wird im Modell durch das Dreieck $ABS$ dargestellt, das in der Ebene $E$ liegt. Ein Normalenvektor von $E$ kann aus der Ebenengleichung abgelesen werden mit: $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\-39\\25}.$
Eine dazu benachbarte Seitenfläche ist $ADS.$ Ein Normalenvektor der zugehörigen Ebene $F$ ergibt sich mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der Punkte $A,$ $D$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_2&=&\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{DS}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\5\\0}\times \pmatrix{2,5\\-2,5\\3,9}\\[5pt] &=& \pmatrix{5\cdot 3,9-0\cdot(-2,5)\\0\cdot 2,5-0\cdot 3,9\\ 0\cdot (-2,5)-5\cdot 2,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{19,5\\0\\-12,5} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{19,5\\0\\-12,5} $
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\-39\\25}\circ \pmatrix{19,5\\0\\-12,5}\right|}{\left|\pmatrix{0\\-39\\25} \right| \cdot \left|\pmatrix{19,5\\0\\-12,5}\right|} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{312,5}{\sqrt{0^2+(-39)^2+25^2}\cdot\sqrt{19,5^2+0^2+(-12,5)^2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{312,5}{1.073}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 73,07^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 73,07^{\circ}$
In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass es sich bei dem gesuchten Winkel um einen stumpfen Winkel, also mit einer Größe von mindestens $90^{\circ}$ handelt.
Mit der obigen Formel wird der kleinere der beiden Winkel berechnet, der von zwei Ebenen eingeschlossen wird. Gesucht ist also der Gegenwinkel von $\alpha.$
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-\alpha \\[5pt] &\approx& 180^{\circ}-73,07^{\circ} \\[5pt] &=& 106,93^{\circ} \end{array}$
Der stumpfe Winkel, der im Zeltinneren von je zwei Seitenwänden eingeschlossen wird, besitzt eine Größe von ca. $106,93^{\circ}.$
#kreuzprodukt#schnittwinkel
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht sind die Koordinaten des Punkts $L$, der im Modell die Lichtquelle darstellt. Dieser muss von allen vier Ebenen, in denen jeweils die Dreiecke liegen, die die Zeltwände darstellen, den Abstand $0,8$, also insbesondere denselben Abstand haben.
Da die Pyramide regelmäßig ist, ist das der Fall, wenn $L$ auf dem Lot liegt, das von der Spitze $S$ aus zur $xy$-Ebene gefällt wird. $L$ besitzt also die gleiche $x$- und $y$-Koordinaten wie $S$: $L(2,5\mid 2,5\mid t).$
Mithilfe der Hesseschen Normalenform von $E$ ergibt sich für den Abstand von $L$ zur Ebene $E,$ in der das Dreieck $ABS$ liegt, folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} d(E,L)&=& 0,8 \\[5pt] \dfrac{\left|-39\cdot 2,5+25\cdot t\right|}{\sqrt{(-39)^2+25^2}}&=& 0,8 \\[5pt] \dfrac{\left|-97,5+25t\right|}{\sqrt{2.146}}&=& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{2.146}\\[5pt] \left|-97,5+25t\right|&=& 0,8\sqrt{2.146} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(E,L)&=& 0,8 \\[5pt] …\\[5pt] \end{array}$
Hierfür gibt es aufgrund der Betragsstriche zwei Möglichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} -97,5+25t&=& 0,8\sqrt{2.146}&\quad \scriptsize \mid\; +97,5 \\[5pt] 25t&=& 0,8\sqrt{2.146} + 97,5 &\quad \scriptsize \mid\;:25 \\[5pt] t&=& \dfrac{0,8\sqrt{2.146} + 97,5}{25} \\[5pt] &\approx& 5,38 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 5,38 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -97,5+25t&=& -0,8\sqrt{2.146}&\quad \scriptsize \mid\; +97,5 \\[5pt] 25t&=& -0,8\sqrt{2.146} + 97,5 &\quad \scriptsize \mid\;:25 \\[5pt] t_2&=& \dfrac{-0,8\sqrt{2.146} + 97,5}{25} \\[5pt] &\approx& 2,42 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_2&\approx& 2,42 \end{array}$
Die erste Lösung liegt außerhalb der Pyramide bzw. außerhalb des Zelts.
Die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle darstellt lauten $L(2,5\mid 2,5\mid 2,42).$
#hesseschenormalform
d)
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts nachweisen
Der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $\overline{CS},$ wenn für die Beträge gilt: $\left|\overrightarrow{CP}\right| + \left| \overrightarrow{PS}\right| = \left|\overrightarrow{CS} \right|.$
Mithilfe der Bedingungen $r+s=1$ und $r,s\in [0;1]$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{CP}\right| + \left| \overrightarrow{PS}\right|&=& \left|\overrightarrow{PC}\right| + \left| \overrightarrow{PS}\right| \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}\right| + \left| \overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}\right|&\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{OP} = r\cdot \overrightarrow{OC}+s\cdot \overrightarrow{OS} \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{OC}-r\cdot \overrightarrow{OC}-s\cdot \overrightarrow{OS}\right| + \left| \overrightarrow{OS}-r\cdot \overrightarrow{OC}-s\cdot \overrightarrow{OS}\right| \\[5pt] &=& \left|(1-r)\cdot\overrightarrow{OC}-s\cdot \overrightarrow{OS}\right| + \left|(1-s)\overrightarrow{OS}-r\cdot \overrightarrow{OC}\right|&\quad \scriptsize \mid\; 1-r = s ; 1-s = r \\[5pt] &=&\left|s\cdot\overrightarrow{OC}-s\cdot \overrightarrow{OS}\right| + \left|r\overrightarrow{OS}-r\cdot \overrightarrow{OC}\right| \\[5pt] &=& \left|s\cdot\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS}\right)\right| + \left|r\cdot\left(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}\right)\right|&\quad \scriptsize \mid\; r,s >0\\[5pt] &=&s\cdot \left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS}\right| +r\cdot \left|\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}\right|\\[5pt] &=& s\cdot \left| \overrightarrow{SC}\right| +r\cdot \left|\overrightarrow{CS} \right|&\quad \scriptsize \mid\;\left| \overrightarrow{SC}\right| = \left| \overrightarrow{CS}\right| \\[5pt] &=& s\cdot \left| \overrightarrow{CS}\right| +r\cdot \left|\overrightarrow{CS} \right|\\[5pt] &=& (s+r)\cdot \left| \overrightarrow{CS}\right| &\quad \scriptsize \mid\; s+r =1 \\[5pt] &=& \left| \overrightarrow{CS}\right| \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\left|\overrightarrow{CP}\right| + \left| \overrightarrow{PS}\right|\\[5pt] =& \left|\overrightarrow{PC}\right| + \left| \overrightarrow{PS}\right| \\[5pt] …\\[5pt] =& \left| \overrightarrow{CS}\right| \end{array}$
Analytische Geometrie 2.2
#vektoren#vektorbetrag
e)
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Skizze des Querschnitts des Vordachs
Analytische Geometrie 2.2
Abb. 2: Skizze des Querschnitts des Vordachs
1. Schritt: Schnittwinkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Ein möglicher Normalenvektor der $xz$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_3 = \pmatrix{0\\1\\0}.$ Ein Normalenvektor der Ebene $F$, in der $CDS$ liegt, kann aus der Ebenengleichung in der Aufgabenstellung abgelesen werden: $\overrightarrow{n}_4 = \pmatrix{0\\39\\25}$
Für den Schnittwinkel ergibt sich dann mit der zugehörigen Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\1\\0} \circ \pmatrix{0\\39\\25}\right|}{\left|\pmatrix{0\\1\\0} \right|\cdot \left| \pmatrix{0\\39\\25}\right|} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{39}{1\cdot \sqrt{0^2+39^2+25^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{39}{\sqrt{2.146}}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 32,66^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx 32,66^{\circ} $
2. Schritt: Länge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{l_{\text{Ankathete}}}{l_{\text{Hypotenuse}}} \\[5pt] \dfrac{39}{\sqrt{2.146}}&=& \dfrac{1,80\,\text{m}}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] \dfrac{39}{\sqrt{2.146}} \cdot a&=& 1,80\,\text{m}&\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{39}{\sqrt{2.146}} \\[5pt] a&\approx& 2,14\;\text{m}\\[5pt] \end{array}$
$ a\approx 2,14\;\text{m} $
Das Vordach ist ca. $2,14\,\text{m}$ lang.
#kosinus#schnittwinkel#kreuzprodukt
f)
$\blacktriangleright$  Mögliche Koordinaten des Lochpunkts angeben
1. Schritt: Koordinaten der Punkte auf dem Vordach eingrenzen
Das Vordach liegt horizontal in einer Höhe von $1,80\,\text{m}.$ Alle Punkte $P_V\left(x_P\mid y_P\mid z_P\right)$, die im Modell im Vordach liegen, haben also die $z$-Koordinate $z_P = 1,8.$
Durch die Angabe über die $y$-Koordinate des rechten Randes des Vordachs und der berechneten Länge des Vordachs ergibt sich für die $y$-Koordinate:
$3,84\leq y_P \leq 5,98$
Da die untere Kante des Rechtecks, das die Zeltöffnung darstellt, mittig auf der Strecke $\overline{CD}$ liegt und eine Breite von $1,40\,\text{m}$ hat, bleiben rechts und links von der Öffnung noch $1,80\,\text{m}$ Platz bis zum Rand der Zeltkante.
Für die $x$-Koordinaten der Punkte im Vordach muss also gelten:
$1,8 \leq x_P \leq 3,2$
2. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Das Sonnenlicht, das auf den Mittelpunkt des Zeltbodens trifft, kann in Abhängigkeit von $a$ durch die Gerade beschrieben werden, die entlang des angegebenen Richtungsvektors und durch den Mittelpunkt $M$ verläuft:
$\begin{array}[t]{rll} s: \quad \overrightarrow{x} &=& \pmatrix{2,5\\2,5\\0} +t \cdot \pmatrix{0,5\\-4,2\\a} \\[5pt] \end{array}$
$ s: \quad \overrightarrow{x} = … $
3. Schritt: Parameterwert eingrenzen
Der Punkt $P$, in dem sich das Loch befindet, muss nun sowohl die Geradengleichung von $s$ erfüllen, also die Koordinaten $P(2,5+0,5t\mid 2,5-4,2t\mid at)$ besitzen, als auch die Bedingungen aus dem ersten Schritt erfüllen, damit das Loch noch innerhalb des Vordachs liegt. Es gilt also folgendes System von Ungleichungen und Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1,8&\leq& 2,5+ 0,5t &\leq& 3,2 &\quad \scriptsize\mid\;-2,5 \\[5pt] &-0,7&\leq& 0,5t &\leq& 0,7 &\quad \scriptsize\mid\;:0,5 \\[5pt] &-1,4&\leq& t &\leq& 1,4 \\[10pt] \text{II}\quad&3,84&\leq& 2,5- 4,2t &\leq& 5,96 &\quad \scriptsize\mid\;-2,5 \\[5pt] &1,34&\leq& -4,2t &\leq& 3,48 &\quad \scriptsize\mid\;:(-4,2) \\[5pt] &-0,32&\geq& t &\geq& -0,83 \\[10pt] \text{III}\quad&1,8&=& at & & &\quad \scriptsize\mid\;:a\neq 0 \\[5pt] &\frac{1,8}{a}&=& t \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1,8&\leq& … \\[5pt] \text{II}\quad&3,84&\leq&… \\[5pt] \text{III}\quad&1,8&=& at \\[5pt] \end{array}$
Durch Ausprobieren für verschiedene ganzzahlige Werte von $a$ ergeben sich folgende Werte für $t:$
  • $a=-2:\quad$ $t = \frac{1,8}{-2} = -0,9,$ erfüllt die zweite Bedingung nicht
  • $a=-3:\quad$ $t = \frac{1,8}{-3} = -0,6$
Einsetzen in die Geradengleichung des Sonnenlichts liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{2,5\\2,5\\0} -0,6 \cdot \pmatrix{0,5\\-4,2\\-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{2,2\\ 5,02 \\ 1,8} \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{2,2\\ 5,02 \\ 1,8} $
Ein möglicher Wert für $a$ ist also beispielsweise $a= -3.$ Die zugehörigen Koordinaten des Punkts, der das Loch im Vordach darstellt, lauten $P(2,2\mid 5,02 \mid 1,8).$
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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