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Stochastik 3.1

Aufgaben
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Autopanne

Laut Statistik war im Jahre 2014 ein Defekt in der Elektrik häufigste Pannenursache bei Personenkraftwagen. Im Falle einer Panne wird die Zentrale der Pannenhilfe informiert und ein Pannenhelfer zum Einsatz geschickt. Die Tabelle zeigt, mit welcher Häufigkeit verschiedene Defekte als Pannenursache auftreten.
ElektrikMotorBremsenSonstige
$46\,\%$$23\,\%$$20\,\%$$11\,\%$
Elektrik$46\,\%$
Motor$23\,\%$
Bremsen$20\,\%$
Sonstige$11\,\%$
Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Angaben aus der Tabelle. Es wird davon ausgegangen, dass jedes Pannenfahrzeug genau einen Defekt hat.
a)
In einer Meldezentrale werden eingehende Anrufe zu Pannen registriert. An einem Tag gehen $50$ Anrufe ein. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$A:$ In mehr als $9$ von $50$ Fällen sind die Bremsen defekt.
(3 BE)
b)
Ein Pannenhelfer fährt zu $14$ Einsätzen. Dabei werden die folgenden Ereignisse betrachtet:
Bei genau $k$ Pannenfahrzeugen sind die Bremsen defekt.
Bei genau $k+1$ Pannenfahrzeugen sind die Bremsen defekt.
Ermittle und vergleiche die Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ und $P(C)$ für $k = 5.$ Es gibt einen Wert von $k$ für den gilt: $P(B)=P(C).$
Stelle eine Gleichung auf, mit der dieser Wert von $k$ ermittelt werden kann und berechne diesen Wert.
(10 BE)
c)
Unter $14$ Pannenfahrzeugen sind genau $5$ Kleinwagen und $9$ andere Fahrzeuge. Ein Pannenhelfer ist bei genau $6$ der $14$ Pannenfahrzeuge im Einsatz.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$D:$ Unter den $6$ Pannenfahrzeugen ist höchstens ein Kleinwagen.
(4 BE)
Die durchschnittlichen Kosten für eine Reparatur hängen davon ab, welcher Defekt vorliegt. Bei einem Defekt der Elektrik betragen die Kosten $250 \,€.$ Bei einem Defekt am Motor betragen die Kosten $400\,€.$ Bei anderen Defekten betragen die Reparaturkosten $320\,€.$
d)
Berechne den Erwartungswert für die Reparaturkosten.
(3 BE)
#erwartungswert
e)
Ein Defekt der Elektrik führt mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ zu Startproblemen.
Ein Defekt am Motor führt mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ zu Startproblemen. Andere Fehler führen nicht zu Startproblemen.
Bestimme den Erwartungswert der Reparaturkosten für ein Fahrzeug mit Startproblemen.
(5 BE)

(25 BE)
#erwartungswert
Anlage zu Aufgabe 3.1: Autopanne
Summierte Binomialverteilung
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „$0,$“, alle freien Plätze enthalten $1,0000.$
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p>0,5),$ ist der richtige Wert $1-$ (abgelesener Wert).
ABCDEFGHIJKLMN
1
2
nkp
3
0,050,101/60,200,250,301/30,400,450,50
4
5000,07690,00520,000149
5
10,27940,03380,00120,000248
6
20,54050,11170,00660,00130,000147
7
30,76040,25030,02380,00570,000546
8
40,89640,43120,06430,01850,00210,000245
9
50,96220,61610,13880,04800,00700,00070,000144
10
60,98820,77020,25060,10340,01940,00250,000543
11
70,99680,87790,39110,19040,04530,00730,001742
12
80,99920,94210,54210,30730,09160,01830,00500,000241
13
90,99980,97550,68300,44370,16370,04020,01270,00080,000140
14
100,99060,79860,58360,26220,07890,02840,00220,000239
15
110,99680,88270,71070,38160,13900,05700,00570,000638
16
120,99900,93730,81390,51100,22290,10350,01330,00180,000237
17
130,99970,96930,88940,63700,32790,17150,02800,00450,000536
18
140,99990,98620,93930,74810,44680,26120,05400,01040,001335
19
150,99430,96920,83690,56920,36900,09550,02200,003334
20
160,99780,98560,90170,68390,48680,15610,04270,007733
21
170,99920,99370,94490,78220,60460,23690,07650,016432
22
180,99970,99750,97130,85940,71260,33560,12730,032531
23
190,99990,99910,98610,91520,80360,44650,19740,059530
24
200,99970,99370,95220,87410,56100,28620,101329
25
210,99990,99740,97490,92440,67010,39000,161128
26
220,99900,98770,95760,76600,50190,239927
27
230,99960,99440,97780,84380,61340,335926
28
240,99990,99760,98920,90220,71600,443925
29
250,99910,99510,94270,80340,556124
30
260,99970,99790,96860,87210,664123
31
270,99990,99920,98400,92200,760122
32
280,99970,99240,95560,838921
33
290,99990,99660,97650,898720
34
300,99860,98840,940519
35
310,99950,99470,967518
36
320,99980,99780,983617
37
330,99990,99910,992316
38
340,99970,996715
39
350,99990,998714
40
360,999513
41
370,999812
42
nk0,950,905/60,800,750,702/30,600,550,50k
43
p
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der defekten Bremsen unter $50$ eingehenden Anrufen zu Pannen in einer Meldezentrale beschreibt. Da man davon ausgehen kann, dass die Pannen bei einzelnen Autos unabhängig voneinander auftreten und jedes Fahrzeug genau einen Defekt hat, kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=50$ und $p = 0,2$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mithilfe der Tabelle zur Binomialverteilung wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X > 9) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 9)\\[5pt] &\approx& 1- 0,4437 \\[5pt] &=& 0,5563 \\[5pt] &=& 55,63\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A,$ also dafür, dass mehr als $9$ von $50$ Fahrzeugen eine defekte Bremse haben, beträgt ca. $55,63\,\%.$
#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln und vergleichen
Betrachtet wird hier analog zu Teilaufgabe a) die Zufallsgröße $X_{14},$ die die Anzahl der Fahrzeuge mit defekten Bremsen unter $14$ Pannnenfahrzeugen beschreibt. Diese ist ebenfalls binomialverteilt mit den Parametern $n=14$ und $p=0,2.$ Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(B_5)&=& P(X_{14} = k) &\quad \scriptsize \mid\; k=5 \\[5pt] &=& P(X_{14} = 5) \\[5pt] &=&\binom{14}{5}\cdot 0,2^{5}\cdot 0,8^{9} \\[5pt] &\approx& 0,0860 \\[5pt] &=&8,60\,\% \\[10pt] P(C_5)&=& P(X_{14} = k+1) &\quad \scriptsize \mid\; k=5 \\[5pt] &=& P(X_{14} = 6) \\[5pt] &=&\binom{14}{6}\cdot 0,2^{6}\cdot 0,8^{8} \\[5pt] &\approx& 0,0322 \\[5pt] &=&3,22\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(B_5)&\approx& 0,0860 \\[5pt] &=&8,60\,\% \\[10pt] P(C_5)&\approx& 0,0322 \\[5pt] &=&3,22\,\% \\[10pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau $k$ von $14$ Pannenfahrzeugen eine defekte Bremse besitzen. Diese beträgt für $k=5$ ca. $8,60\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit $P(C),$ dafür dass genau $k+1$ von $14$ Fahrzeugen eine defekte Bremse haben, beträgt für $k=5$ ca. $3,22\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter $14$ Pannenfahrzeugen genau $6$ mit defekter Bremse befinden ist also deutlich geringer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eins weniger, also nur $5$ Fahrzeuge eine defekte Bremse haben.
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Mit der Zufallsgröße $X_{14}$ von oben und der zugehörigen Formel ergibt sich folgende Gleichung in Abhängigkeit von $k:$
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(C) \\[5pt] P(X_{14}=k)&=&P(X_{14}=k+1) \\[5pt] \binom{14}{k}\cdot 0,2^k\cdot 0,8^{14-k}&=& \binom{14}{k+1}\cdot 0,2^{k+1}\cdot 0,8^{14-(k+1)} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(C) \\[5pt] … \end{array}$
Diese kann mithilfe von Umformungen der Potenzen und des Binomialkoeffizienten gelöst werden:
$\begin{array}[t]{rll} \binom{14}{k}\cdot 0,2^k\cdot 0,8^{14-k}&=& \binom{14}{k+1}\cdot 0,2^{k+1}\cdot 0,8^{14-(k+1)} \\[5pt] \binom{14}{k}\cdot 0,2^k\cdot \dfrac{0,8^{14}}{0,8^{k}}&=& \binom{14}{k+1}\cdot 0,2^{k}\cdot 0,2\cdot \dfrac{0,8^{14}}{0,8^{k}\cdot 0,8} &\quad \scriptsize \mid\;:0,2^k \\[5pt] \binom{14}{k}\cdot \dfrac{0,8^{14}}{0,8^{k}}&=& \binom{14}{k+1}\cdot 0,2\cdot \dfrac{0,8^{14}}{0,8^{k}\cdot 0,8} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,8^k \\[5pt] \binom{14}{k}\cdot 0,8^{14}&=& \binom{14}{k+1}\cdot 0,2\cdot \dfrac{0,8^{14}}{0,8} &\quad \scriptsize \mid\;:0,8^{14} \\[5pt] \binom{14}{k}&=& \binom{14}{k+1}\cdot \dfrac{0,2}{0,8} \\[5pt] \binom{14}{k}&=& \binom{14}{k+1}\cdot \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \text{Binomialkoeffizient} \\[5pt] \dfrac{14!}{k!\cdot (14-k)!}&=&\dfrac{14!}{(k+1)!\cdot (14-(k+1))!}\cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] \dfrac{14!}{k!\cdot (14-k)\cdot (14-k-1)!}&=&\dfrac{14!}{(k+1)\cdot k!\cdot (14-k-1)!}\cdot \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k! \\[5pt] \dfrac{14!}{(14-k)\cdot (14-k-1)!}&=&\dfrac{14!}{(k+1)\cdot (14-k-1)!}\cdot \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (14-k-1)! \\[5pt] \dfrac{14!}{14-k}&=&\dfrac{14!}{(k+1)}\cdot \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;:14! \\[5pt] \dfrac{1}{14-k}&=&\dfrac{1}{4\cdot(k+1)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4\cdot(k+1); \cdot (14-k) \\[5pt] 4\cdot(k+1)&=&14-k \\[5pt] 4k+4&=&14-k &\quad \scriptsize \mid\;+k;-4 \\[5pt] 5k&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] k&=& 2 \end{array}$
$ k =2 $
Für $k=2$ gilt $P(B)=P(C).$
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann mithilfe der hypergeometrischen Verteilung bestimmt werden.
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Kleinwagen unter den sechs Fahrzeugen beschreibt.
Diese kann als hypergeometrischverteilt angenommen werden.
Unter $N =14$ Pannenfahrzeugen befinden sich genau $M=5$ Kleinwagen. Der Pannenhelfer fährt zu $n=6$ zufällig daraus ausgewählten Fahrzeugen. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit $P(Y \leq 1).$ Mit der zugehörigen Formel für die Wahrscheinlichkeit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq 1)&=&P(Y=0) +P(Y=1) \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{5}{0}\cdot \binom{14-5}{6-0}}{\binom{14}{6}} + \dfrac{\binom{5}{1}\cdot \binom{14-5}{6-1}}{\binom{14}{6}}\\[5pt] &=& \dfrac{ \binom{9}{6}}{\binom{14}{6}} + \dfrac{\binom{5}{1}\cdot \binom{9}{5}}{\binom{14}{6}} \\[5pt] &\approx& 0,2378 \\[5pt] &=&23,78\,\% \end{array}$
$ P(Y\leq 1) \approx 23,78\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D,$ also dafür, dass sich unter den $6$ Fahrzeugen höchstens $1$ Kleinwagen befindet, beträgt ca. $23,78\,\%.$
#hypergeometrischeverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert der Reparaturkosten berechnen
Der Erwartungswert der Reparaturkosten $E(K)$ lässt sich mithilfe der entsprechenden Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} E(K)&=& 250\,€\cdot 0,46 + 400\,€ \cdot 0,23 +320\,€\cdot (0,2+0,11)\\[5pt] &=& 306,2\,€ \\[5pt] \end{array}$
$ E(K)= 306,2\,€$
Der Erwartungswert für die Reparaturkosten beträgt $306,20\,€.$
e)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert für die Reparaturkosten eines Fahrzeugs mit Startproblemen bestimmen
Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
  • $S:$ Ein Fahrzeug hat Startprobleme
  • $E:$ Ein Fahrzeug hat einen Defekt der Elektrik
  • $M:$ Ein Fahrzeug hat einen Motordefekt
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug mit Startproblemen einen Defekt der Elektrik hat ergibt sich mit dem Satz von Bayes:
$\begin{array}[t]{rll} P_S(E)&=& \dfrac{P_E(S)\cdot P(E)}{P(S)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,8\cdot 0,46}{0,8\cdot 0,46 + 0,23\cdot 0,5 +0,2\cdot 0 +0,11\cdot 0}\\[5pt] &\approx& 0,7619 \\[5pt] &=& 76,19\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P_S(E) \approx 76,19\,\%$
Analog gilt für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug mit Startproblemen einen Motorschaden hat:
$\begin{array}[t]{rll} P_S(M)&=& \dfrac{P_M(S)\cdot P(M)}{P(S)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,5\cdot 0,23}{0,8\cdot 0,46 + 0,23\cdot 0,5 +0,2\cdot 0 +0,11\cdot 0}\\[5pt] &\approx& 0,2381 \\[5pt] &=& 23,81\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P_S(M) \approx 23,81\,\% $
Für den Erwartungswert der Reparaturkosten ergibt sich mit den angegebenen Reparaturkosten der jeweiligen Schäden daher:
$\begin{array}[t]{rll} E_S(K)&=& 250\,€\cdot 0,7619 + 400\,€\cdot 0,2381 \\[5pt] &\approx& 285,715\,€ \end{array}$
$ E_S(K) \approx 285,715\,€$
Die erwarteten Reparaturkosten für ein Auto mit Startproblemen betragen ca. $285,72\,€.$
#satzvonbayes
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