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Analytische Geometrie 3.2

Aufgaben
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Würfel

#zentraleraufgabenpool#würfel
a)
Zeichne das Viereck $IJKL$ in die Abbildung ein.
(2 BE)
b)
Zeige, dass das Viereck $IJKL$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
(3 BE)
#trapez
c)
Ermittle eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $T:5x+4y+5z=30$]
(4 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform
d)
Spiegelt man $T$ an der Ebene mit der Gleichung $x=2,5$, so erhält man die Ebene $T'$.
Zeige, dass $T'$ durch die Gleichung $-5x+4y+5z=5$ beschrieben wird.
Berechne die Größe des Winkels, unter dem sich $T$ und $T'$ schneiden.
(6 BE)
e)
Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $IJKL$ liegt auf der Strecke $\overline{FG}$.
Untersuche, ob die Höhe dieser Pyramide $\dfrac{18}{\sqrt{66}}$ betragen kann.
(4 BE)
#pyramide
Betrachtet wird die Schar der Geraden $g_a:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2,5\\0\\3,5}+r\cdot\pmatrix{0\\-10a\\\frac{2}{a}}$ mit $a\in \mathbb R^+$ und $r\in \mathbb R.$
f)
Begründe ohne zu rechnen, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5$ liegt.
(2 BE)
g)
Untersuche, ob die Schnittgerade von $T$ und $T'$ zur betrachteten Schar gehört.
(4 BE)

(25 BE)
#schnittgerade
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Viereck einzeichnenAnalytische Geometrie 3.2
Analytische Geometrie 3.2
Abb. 1: Viereck einzeichnen
Analytische Geometrie 3.2
Abb. 1: Viereck einzeichnen
b)
$\blacktriangleright$  Trapezform mit zwei gleich langen Seiten zeigen
In der Abbildung von oben kannst du erkennen, dass die beiden parallelen Seiten des Trapezes vermutlich die beiden Seiten $\overline{LI}$ und $\overline{KJ}$ sind. Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LI} &=& \pmatrix{4\\0\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{KJ} &=& \pmatrix{2\\0\\-2} \end{array}$
Es gilt $\overrightarrow{LI} = 2\cdot \overrightarrow{KJ}.$ Die beiden Vektoren $\overrightarrow{LI}$ und $\overrightarrow{KJ}$ sind also linear abhängig und damit parallel zueinander. Daher sind auch die zugehörigen Vierecksseiten $\overline{LI}$ und $\overline{KJ}$ parallel zueinander. Es handelt sich bei dem Viereck $IJKL$ daher um ein Trapez.
Gefordert ist nun noch zu zeigen, dass die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Länge der Seiten $\overline{LK}$ und $\overline{IJ}$ kannst du mithilfe des Vektorbetrags berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{LK}&=& \left|\overrightarrow{LK} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-1\\5\\-3} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-3)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{35} \\[10pt] \overline{IJ}&=& \left|\overrightarrow{IJ} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-3\\5\\-1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-1)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{LK}&= \sqrt{35} \\[10pt] \overline{IJ}&= \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$
Es ist also $\overline{LK} = \overline{IJ}.$ Die beiden gegenüberliegenden Seiten $\overline{LK}$ und $\overline{IJ}$ sind also gleich lang. Das Viereck $IJKL$ ist also ein Trapez, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
#vektorbetrag#lineareabhängigkeit
c)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln
Ein Normalenvektor von $T$ kann über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren beispielsweise der drei Punkte $I,$ $J$ und $K$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{IJ}\times \overrightarrow{IK} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\5\\-1}\times \pmatrix{-5\\5\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 5\cdot 1 - (-1)\cdot 5 \\ (-1)\cdot (-5) - (-3) \cdot 1 \\ (-3)\cdot 5 - 5\cdot (-5) } \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 8 \\ 10 } \\[5pt] &=& 2\cdot \pmatrix{5\\4\\5} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = 2\cdot \pmatrix{5\\4\\5}$
Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} T:\quad 5\cdot x +4\cdot y +5\cdot z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; L(1\mid 0\mid 5)\\[5pt] 5\cdot 1 +4\cdot 0 +5 \cdot 5 &=& d \\[5pt] 30&=& d \end{array}$
$ d = 30 $
Eine Gleichung von $T$ in Koordinatenform lautet:
$T:\quad 5x +4 y +5z =30$
$ T: \,… $
#kreuzprodukt
d)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung zeigen
Spiegle zunächst einen Punkt von $T$ an der Ebene mit $x=2,5.$ Die gespiegelte Ebene $T'$ muss diesen gespiegelten Punkt $P'$ sowie die Schnittgerade von $T$ und der Ebene mit $x=2,5$ enthalten.
1. Schritt: Einen Punkt von $T$ spiegeln
Betrachte beispielsweise den Punkt $I(5\mid 0\mid 1),$ der in $T$ liegt. Da die Ebene $U$ mit der Gleichung $x=2,5$ parallel zur $yz$-Ebene verläuft, ändert sich bei einer Spiegelung eines beliebigen Punktes $P$ an dieser Ebene lediglich die $x$-Koordinate. Die $y$- und $z$-Koordinate bleiben gleich.
Der neue Spiegelpunkt $I'$ muss den gleichen Abstand zur Ebene mit $x=2,5$ besitzen, wie sein Original $I.$ Die $x$-Koordinate von $I'$ muss also $x' = 0 $ sein. Dann haben beide Punkte einen Abstand von $2,5$ zur Ebene mit $x=2,5.$
$I'(0\mid 0\mid 1).$
2. Schritt: Schnittgerade bestimmen
Bestimme die Schnittgerade von $T$ mit der Ebene, an der gespiegelt werden soll, also mit $x=2,5.$ Setze dazu $x=2,5$ in die Ebenengleichung von $T$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} 5x +4y +5z &=& 30 &\quad \scriptsize \mid\; x=2,5 \\[5pt] 5\cdot 2,5 +4y +5z &=& 30 \\[5pt] 12,5 +4y +5z &=& 30 &\quad \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] 4y +5z&=& 17,5 \end{array}$
$ 4y +5z= 17,5 $
Setze nun eine der beiden Koordinaten als Geradenparameter fest, beispielweise $y = t.$ Dann erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 4t +5z &=& 17,5 &\quad \scriptsize \mid\;-4t \\[5pt] 5z &=& 17,5 -4t &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] z &=& 3,5 - 0,8t \end{array}$
$ z=3,5 - 0,8t $
Für die Punkte auf der Schnittgeraden $s$ gilt nun:
$\begin{array}[t]{rll} s:& \overrightarrow{x} &=& \pmatrix{x\\y\\z } \\[5pt] & &=& \pmatrix{2,5 \\ t \\ 3,5-0,8t } \\[5pt] & &=& \pmatrix{2,5 \\ 0 \\ 3,5} +t\cdot \pmatrix{0 \\ 1\\ -0,8} \\[5pt] \end{array}$
$ s: … $
3. Schritt: Ebenengleichung bestimmen
$T'$ muss die Gerade $s$ und den Punkt $I'$ enthalten. Ein Vektor, der die Ebene aufspannt ist daher der Richtungsvektor von $s$ mit $\pmatrix{0\\1\\-0,8}.$ Ein zweiter Spannvektor ist der Verbindungsvektor von $I'$ und dem Stützpunkt $S$ von $s,$ den du aus der Geradengleichung ablesen kannst $S(2,5\mid 0 \mid 3,5).$
$\overrightarrow{I'S} = \pmatrix{2,5\\0\\2,5}$
Einen Normalenvektor von $T'$ kannst du nun über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_{T'} &=& \pmatrix{0\\1\\-0,8} \times \pmatrix{2,5\\0\\2,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot 2,5 - (-0,8)\cdot 0 \\ -0,8 \cdot 2,5 - 0 \cdot 2,5 \\ 0\cdot 0 - 1\cdot 2,5 } \\[5pt] &=& \pmatrix{2,5 \\ -2 \\ - 2,5 } \\[5pt] &=& -0,5\cdot \pmatrix{-5\\4 \\ 5} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_{T'} = -0,5\cdot \pmatrix{-5\\4 \\ 5} $
Da alle Vielfachen von $\pmatrix{2,5 \\ -2 \\ - 2,5 }$ Normalenvektoren von $T'$ sind, kann man nun entweder den ursprünglichen Vektor $\pmatrix{2,5\\-2\\-2,5}$ oder den erweiterten Vektor $\pmatrix{-5\\4\\5}$ für die Ebenengleichung von $T'$ verwenden.
Da du zeigen sollst, dass $T'$ durch die Gleichung $-5x +4y+5z = 5$ beschrieben werden kann, musst du allerdings $\pmatrix{-5\\4\\5}$ verwenden. Die Ebenengleichung von $T'$ in Koordinatenform hat also folgende Form:
$T': \, -5x +4y +5z = d $
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $I'$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -5x +4y +5z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; I'(0\mid 0\mid 1) \\[5pt] -5\cdot 0 + 4\cdot 0 + 5\cdot 1 &=& d \\[5pt] 5 &=& d \end{array}$
$ d = 5 $
Die Ebene $T'$ kann also durch die Gleichung $-5x +4y +5z = 5$ beschrieben werden.
$\blacktriangleright$  Größe des Schnittwinkels berechnen
Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ von $T$ und $T'$ kannst du mithilfe der Normalenvektoren über die entsprechende Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{-5\\ 4\\5} \circ \pmatrix{5\\4\\5} \right| }{ \left|\pmatrix{-5\\ 4\\5} \right| \cdot \left|\pmatrix{5\\4\\5} \right|}\\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{16}{\sqrt{(-5)^2 +4^2 +5^2 }\cdot \sqrt{5^2 +4^2 +5^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{16}{66} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 76^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 76^{\circ} $
Die beiden Ebenen $T$ und $T'$ schneiden sich unter einem Winkel der Größe von ca. $76^{\circ}.$
#schnittwinkel#schnittgerade
e)
$\blacktriangleright$  Mögliche Höhe der Pyramide untersuchen
Die Grundfläche $IJKL$ der Pyramide liegt vollständig in der Ebene $T.$ Die Höhe der Pyramide entspricht daher dem Abstand der Spitze zur Ebene $T.$
Die Spitze liegt auf der Strecke $\overline{FG}.$ Diese ist Teil der Geraden durch die beiden Punkte $F$ und $G.$ Die Koordinaten von $F$ kannst du anhand der Koordinaten von $A$ und $G$ zu $F(5\mid 0\mid 5)$ bestimmen. Die Gerade durch $F$ und $G$ kann daher durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} FG:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\0\\5} + t\cdot \pmatrix{0\\5\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\5t\\5} \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe, ob es einen Punkt auf dieser Gerade gibt, der zur Ebene $T$ den Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ hat und ob dieser auf der Kante $\overline{FG}$ liegt.
1. Schritt: Punkt mit dem Abstand berechnen
Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform darstellen. Für die Hessesche Normalenform von $T$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} T:& 5x+4y+5z &=& 30 &\quad \scriptsize\mid \; -30 \\[5pt] & 5x+4y+5z-30 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\left|\pmatrix{5\\4\\5} \right| \\[5pt] & \dfrac{5x+4y+5z-30 }{ \left|\pmatrix{5\\4\\5} \right| } &=& 0 \\[5pt] & \dfrac{5x+4y+5z-30 }{ \sqrt{5^2 +4^2 +5^2}} &=& 0 \\[5pt] & \dfrac{5x+4y+5z-30 }{ \sqrt{66}} &=& 0 \end{array}$
$T:\, \frac{5x+4y+5z-30}{ \sqrt{66}} = 0 $
Der Abstand eines Punkts $P(x\mid y\mid z)$ zu $T$ beträgt also:
$d(P,T) = \dfrac{\left|5x +4y +5z -30\right|}{ \sqrt{66}} $
$d(P,T) = \frac{\left|5x +4y +5z -30\right|}{ \sqrt{66}} $
Einsetzen der Koordinaten der Punkte von $FG$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|5x +4y +5z -30 \right| }{ \sqrt{66}} &=& \dfrac{18}{\sqrt{66}} &\quad \scriptsize \mid\;FG(5\mid 5t \mid 5) \\[5pt] \dfrac{\left|5\cdot 5 +4\cdot 5t +5\cdot 5 -30 \right| }{ \sqrt{66}} &=&\dfrac{18}{\sqrt{66}} \\[5pt] \dfrac{\left|20+20t \right| }{ \sqrt{66}} &=& \dfrac{18}{\sqrt{66}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{66} \\[5pt] \left|20+20t \right| &=& 18 \end{array}$
$ \left|20+20t \right| = 18 $
Aufgrund des Betrags kann nun $20+20t = 18$ und $20+20t = -18$ möglich sein:
$\begin{array}[t]{rll} 20 + 20t_1 &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] 20t_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] t_1 &=& -0,1 \\[5pt] 20 + 20t_2 &=& -18 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] 20t_2 &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] t_2 &=& -1,9 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& -0,1 \\[10pt] t_2 &=& -1,9\\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Lage auf der Kante überprüfen
Die Punkte auf der Geraden durch $F$ und $G$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG}$ liegen für $0\leq t \leq 1$ zwischen den Punkten $F$ und $G,$ also auf der Strecke $\overline{FG}.$ Für andere Werte von $t$ liegen die Punkte nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$ Beide Werte von $t,$ die oben berechnet wurden, sind negativ. Die zugehörigen Punkte mit dem Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ zu $T$ liegen nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$
Die Pyramide kann also nicht die Höhe $\frac{18}{\sqrt{66}}$ besitzen.
#hesseschenormalform
f)
$\blacktriangleright$  Lage der Geraden begründen
Damit eine Gerade in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5$ liegt, muss die $z$-Koordinate jedes Punktes auf dieser Geraden $3,5$ sein. Dazu muss die $z$-Koordinate des Richtungsvektors Null sein.
Bei der Geradenschar $g_a$ ist die $z$-Koordinate des Richtungsvektors $\frac{2}{a}.$ Diese kann also in keinem Fall Null werden. Daher liegt keine der Geraden $g_a$ in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5.$
g)
$\blacktriangleright$  Zugehörigkeit zur Schar überprüfen
Die Schnittgerade von $T$ und $T'$ ist auch die Schnittgerade von $T$ und der Ebene mit $x=2,5\,,$ an der $T$ gespiegelt wurde. Eine Gleichung dieser Schnittgerade wurde in d) bereits ermittelt:
$s:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{2,5 \\ 0 \\ 3,5} +t\cdot \pmatrix{0 \\ 1\\ -0,8}$
$ s:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Geraden der Schar $g_a$ besitzen folgende Gleichung:
$g_a: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{2,5 \\ 0 \\ 3,5} +r\cdot \pmatrix{0 \\ -10a\\ \frac{2}{a}} $
$ g_a: \, \overrightarrow{x} = … $
Durch einen Vergleich der Terme lässt sich feststellen, dass die Stützvektoren von $s$ und $g_a$ in jedem Fall identisch sind. Bleibt noch zu überprüfen, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dies ist der Fall, wenn es ein $c\in \mathbb{R}$ gibt, mit:
$\pmatrix{0 \\ 1\\ -0,8} = c\cdot \pmatrix{0 \\ -10a\\ \frac{2}{a}}$
Aus der zweiten Zeile folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& c\cdot(-10a) &\quad \scriptsize \mid\; :(-10)c \\[5pt] -\frac{0,1}{c} &=& a \end{array}$
Einsetzen in die dritte Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -0,8 &=& c\cdot \frac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; a = -\frac{0,1}{c}\\[5pt] -0,8 &=& c\cdot \dfrac{2}{-\frac{0,1}{c}} \\[5pt] -0,8 &=& -20c^2 &\quad \scriptsize\mid \; :(-20) \\[5pt] 0,04 &=& c^2 \\[5pt] c_1 &=& -0,02 \\[5pt] c_2 &=& 0,02 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c_1 &=& -0,02 \\[5pt] c_2 &=& 0,02 \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a_1 &=& -\frac{0,1}{c_1} \\[5pt] &=& -\frac{0,1}{-0,02} \\[5pt] &=& 5\\[10pt] a_2 &=& -\frac{0,1}{c_2} \\[5pt] &=& -\frac{0,1}{0,02} \\[5pt] &=& -5\\[10pt] \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $a\in \mathbb{R}^+$ vorgegeben ist, kommt nur $a_1= 5$ und $c_1 = -0,02$ infrage. Da der Richtungsvektor von $s$ also linear abhängig zum Richtungsvektor der Geraden $g_5$ ist und die Stützvektoren beider Geradengleichungen übereinstimmen, beschreibt die Gleichung von $s$ auch die Gerade $g_5.$ Die Schnittgerade $s$ von $T$ und $T'$ ist daher eine Gerade der Schar $g_a.$
#lineareabhängigkeit
Bildnachweise [nach oben]
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