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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Aufgabe 3.2 CAS: Smartphones

Smartphones sind mit unterschiedlichen Betriebssystemen ausgestattet.
In Deutschland nutzen von den Smartphone-Besitzern
  $70\,\%$ das Betriebssystem $A$,
  $20\,\%$ das Betriebssystem $B$,
  $10\,\%$ andere Betriebssysteme.
Im Folgenden werden entsprechend die Bezeichnungen $A$-Phone und $B$-Phone verwendet.
In einer Straßenbahn sitzen $20$ Personen. Jede dieser Personen besitzt genau ein Smartphone.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  $E_1$: Genau $12$ von ihnen besitzen ein $A$-Phone.
  $E_2$: Weniger als $2$ von ihnen besitzen ein $B$-Phone.
  $E_3$: Jede der $20$ Personen besitzt entweder ein $A$-Phone oder ein $B$-Phone.
(9P)
#wahrscheinlichkeit
Tatsächlich sitzen in der Straßenbahn genau $14$ Personen, die ein $A$-Phone besitzen.
Vier der $20$ Personen steigen aus.
b)
Es gibt $N$ Möglichkeiten dafür, welche $4$ von den $20$ Personen ausgestiegen sind.
Bestimme unabhängig von der Art der Smartphones diese Anzahl $N$.
(2P)
#wahrscheinlichkeit
c)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.
  $E_4$: Die ersten beiden Aussteigenden besitzen ein $A$-Phone, der dritte nicht.
  $E_5$: Der erste Aussteigende besitzt ein $A$-Phone und von den anderen $3$ noch genau einer.
  $E_6$: Von den $16$ Personen, die in der Straßenbahn geblieben sind, besitzen genau $11$ ein $A$-Phone.
(11P)
#wahrscheinlichkeit
In einem Kursprojekt sollen Schülerinnen und Schüler die Verbreitung unterschiedlicher Betriebssysteme in Deutschland untersuchen. Sie befragen Personen nach der Art des Betriebssystems, welches sie in ihrem Smartphone nutzen.
d)
Berechne, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens einen $B$-Phone-Nutzer zu finden.
(4P)
#wahrscheinlichkeit
e)
An einer Haltestelle warten $n$ Personen, die alle ein Smartphone besitzen.
Ein Schüler behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Wartenden ein $A$- oder ein $B$-Phone nutzen, mindestens $50\,\%$ beträgt.
Untersuche, für welche Anzahlen $n$ diese Behauptung zutrifft.
(4P)
(30P)
#wahrscheinlichkeit
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Hier sollst du Wahrscheinlichkeiten zu verschiedenen Eregnissen im Zusammenhang mit Smartphone Betriebssystemen bestimmen. Obwohl in der Aufgabenstellung von A-Phone, B-Phone und keinem Smartphone geschrieben wird, reicht es wenn du eine Zufallsvariable $X$ betrachtest, welche einen „Treffer“ im jeweilgen Sinn der Aufgabe angibt. Diese Zufallsvaribale ist binomialverteilt. Dadurch ist es möglich den Versuch als Bernoullie-Versuch zu behandeln, für welche du diese Formel benutzen kannst.

$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Tipp
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$k$ bezeichnet hierbei die Anzahl der „Treffer“, $p$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit und $n$ die Anzahl der „Versuche“ bzw. „Wiederholungen“.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_1}$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass genau 12 von 20 Personen ein A-Phone besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein A-Phone nutzt beträgt $p=70\%=0,7$.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_2}$
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass weniger als zwei Personen in der Straßenbahn ein B-Phone besitzen ist zu beachten was „weniger als 2“ bedeutet. Eine oder keine Person besitzt ein B-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_3}$
20 von 20 Personen sollen ein A- oder B-Phone besitzen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen benötigst du in der Bernoulli-Formel benötigst du die Wahrscheinlichkeit $p$, sowie $k$ und $n$. Da jemand nicht ein A- und ein B-Phone besitzt, heißen diese Eregnisse „disjunkt“. Für disjunkte Ereignisse kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit (unser gesuchtes $p$) berechnen indem du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addierst.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten angeben
Du sollst die Anzahl der Möglichkeiten angeben, wie die Personen welche aus der Bahn steigen kombiniert werden können. Verwende dafür den Binomialkoeffizienten.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
An einer Haltestelle steigen vier Personen aus der Bahn aus und du sollst „untersuchen“ welches Betriebssystem diese Personen benutzen. Die Anfangs-Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone ist nicht gegeben. Du weißt aber, dass in der Bahn 14 von 20 Fahrgästen ein A-Phone besitzen.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_4}$
Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden jedoch nicht die dritte Person ein A-Phone benutzen.
Weil die ersten zwei Fahrgäste ein A-Phone besitzen weißt du, dass die Reihenfolge wichtig ist. Für die Rechnung ist das von Bedeutung, weil sich die Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone mit jeder aussteigenden Person ändert. Du kannst das mit einem „ziehen ohne zurücklegen“ vergleichen.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_5}$
„Der erste Aussteigende besitzt ein A-Phone“, daraus weißt du, dass auch hier die Beachtung der Reihenfolge wichtig ist, allerdings nur für die erste Person, denn „von den anderen 3“ trägt „noch genau einer“ ein A-Phone bei sich. Für die letzten drei Aussteigenden gibt also drei Möglichkeiten, die erste, die zweite oder die dritte Person besitzt ein A-Phone. Da in jeder der 3 Möglichkeiten die Zahlen 13, 6 und 5 im Zähler stehen, kannst du auch einfach mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{3}{2}=3$ multiplizieren.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_6}$
11 der übrigen 16 Fahrgäste sollen ein A-Phone besitzen. Du weißt, dass genau 3 Personen mit A-Phone ausgestiegen sein müssen. Wie beim Ereigniss $E_5$ kannst du einfach eine Wahrscheinlichkeit bestimmen und diese mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{4}{1}$ multiplizieren.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der nötigen Personen berechnen
Hier sollst du bestimmen für wie viele Personen die Aussage der Aufgabenstellung zutrifft. Am einfachsten betrachtest du das Gegenereigniss, keine Person besitzt ein B-Phone $P(„Keine“)$. Für ein B-Phone beträgt die Wahrscheinlichkeit $p=0,2$. In der Bernoulli-Formel benutzt du $k=0$ und $p=0,2$ um $n$ zu bestimmen.
e)
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl an Personen berechnen
Hier musst du erneut bestimmen, für wie viele Personen die Aussage zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit für A- oder B-Phone beträgt $90\%$ bei $n$ aus $n$ Treffern. Diese Aufgabe kannst du wie in d) lösen und erhälst für $P(„Alle“)$.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Hier sollst du Wahrscheinlichkeiten zu verschiedenen Eregnissen im Zusammenhang mit Smartphone Betriebssystemen bestimmen. Obwohl in der Aufgabenstellung von A-Phone, B-Phone und keinem Smartphone geschrieben wird, reicht es wenn du eine Zufallsvariable $X$ betrachtest, welche einen „Treffer“ im jeweilgen Sinn der Aufgabe angibt. Diese Zufallsvaribale ist binomialverteilt. Dadurch ist es möglich den Versuch als Bernoullie-Versuch zu behandeln, für welche du diese Formel benutzen kannst.

$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Tipp
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$k$ bezeichnet hierbei die Anzahl der „Treffer“, $p$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit und $n$ die Anzahl der „Versuche“ bzw. „Wiederholungen“.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_1}$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass genau 12 von 20 Personen ein A-Phone besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein A-Phone nutzt beträgt $p=70\%=0,7$. Mit $n=20$ und $k=12$ erhälst du die Wahrscheinlichkeit aus dem Befehl:
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Binomial PDf
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Binomial PDf
Stochastik 3.2
Abb. 1: Binomialverteilung berechnen
Stochastik 3.2
Abb. 1: Binomialverteilung berechnen
Somit besitzen mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,44\%$ genau 12 von 20 Personen ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_2}$
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass weniger als zwei Personen in der Straßenbahn ein B-Phone besitzen ist zu beachten was „weniger als 2“ bedeutet. Eine oder keine Person besitzt ein B-Phone. Die kummulierte Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Befehl:
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Binomial CDf
Menu $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Binomial CDf
Stochastik 3.2
Abb. 2: Binomialverteilung berechnen
Stochastik 3.2
Abb. 2: Binomialverteilung berechnen
Mit einer Warhscheinlichkeit von $6,92\%$ besitzen weniger als zwei Personen ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_3}$
20 von 20 Personen sollen ein A- oder B-Phone besitzen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen benötigst du in der Bernoulli-Formel benötigst du die Wahrscheinlichkeit $p$, sowie $k$ und $n$. Da jemand nicht ein A- und ein B-Phone besitzt, heißen diese Eregnisse „disjunkt“. Für disjunkte Ereignisse kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit (unser gesuchtes $p$) berechnen indem du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addierst. Es gilt also $p=p_{A-Phone}+p_{B-Phone}=90\%$. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Befehl binomialPDf.
Alle Fahrgäst besitzen mit $12,16\%$ Wahrscheinlichkeit ein A- oder B-Phone.
#bernoullikette#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten angeben
Du sollst die Anzahl der Möglichkeiten angeben, wie die Personen welche aus der Bahn steigen kombiniert werden können. Für die Anzahl der Möglichkeiten wenn die Reihenfolge vernachlässigt wird gilt mit $k=4$ und $n=20$:
$\begin{array}[t]{rll} N&=& \binom{20}{4} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 4.845 \end{array}$
Es gibt $4.845$ Möglichkeiten vier aus $20$ Personen aus zuwählen.
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
An einer Haltestelle steigen vier Personen aus der Bahn aus und du sollst „untersuchen“ welches Betriebssystem diese Personen benutzen. Die Anfangs-Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone ist nicht gegeben. Du weißt aber, dass in der Bahn 14 von 20 Fahrgästen ein A-Phone besitzen. Aus diesen Zahlen kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen in dem du sie teilst, sie also ins Verhältnis setzt. Du erhälst also $p=\frac{14}{20}=0,7=70\%$.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_4}$
Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden jedoch nicht die dritte Person ein A-Phone benutzen.
Weil die ersten zwei Fahrgäste ein A-Phone besitzen weißt du, dass die Reihenfolge wichtig ist. Für die Rechnung ist das von Bedeutung, weil sich die Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone mit jeder aussteigenden Person ändert. Du kannst das mit einem „ziehen ohne zurücklegen“ vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=\frac{14}{20}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{6}{18}& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=0,1596=15,96\%& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=15,96\%& \end{array}$
Über die vierte Person wurde keine Aussage gemacht, daher kannst du diese einfach vernachlässigen. Genau die ersten zwei und nicht die dritte Person besitzen mit $15,96\%$ Wahrscheinlichkeit ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_5}$
„Der erste Aussteigende besitzt ein A-Phone“, daraus weißt du, dass auch hier die Beachtung der Reihenfolge wichtig ist, allerdings nur für die erste Person, denn „von den anderen 3“ trägt „noch genau einer“ ein A-Phone bei sich. Für die letzten drei Aussteigenden gibt also drei Möglichkeiten, die erste, die zweite oder die dritte Person besitzt ein A-Phone. Da in jeder der 3 Möglichkeiten die Zahlen 13, 6 und 5 im Zähler stehen, kannst du auch einfach mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{3}{2}=3$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& \frac{14}{20}\cdot\binom{3}{2}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17} \; \\[5pt] &=& 0,1409=14,09\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& 14,09\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste und genau einer der übrigen Personen ein A-Phone besitzt beträgt $14,09\%$.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_6}$
11 der übrigen 16 Fahrgäste sollen ein A-Phone besitzen. Du weißt, dass genau 3 Personen mit A-Phone ausgestiegen sein müssen. Wie beim Ereigniss $E_5$ kannst du einfach eine Wahrscheinlichkeit bestimmen und diese mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{4}{1}$ multiplizieren. Du berechnest
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=&\binom{4}{1}\cdot\frac{14}{20}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{12}{18}\cdot\frac{6}{17} \\[5pt] &=& 0,4508=45,08\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=& 45,08\% \end{array}$
Mit eine Wahrscheinlichkeit von $45,08\%$ besitzen 11 von 16 Fahrgästen ein A-Phone.
#wahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der nötigen Personen berechnen
Hier sollst du bestimmen für wie viele Personen die Aussage der Aufgabenstellung zutrifft. Am einfachsten betrachtest du das Gegenereigniss, keine Person besitzt ein B-Phone $P(„Keine“)$. Für ein B-Phone beträgt die Wahrscheinlichkeit $p=0,2$. In der Bernoulli-Formel benutzt du $k=0$ und $p=0,2$ um $n$ zu bestimmen. Du verwendest den solve-Befehl:
Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse
Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse
Stochastik 3.2
Abb. 3: Gleichung lösen
Stochastik 3.2
Abb. 3: Gleichung lösen
Da es nur ganze Personen gibt, muss ein ganzzahliges Ergebnis angegeben werden. Du rundest auf. Somit müssen mindestens $14$ Personen befragt werden.
#bernoullikette
e)
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl an Personen berechnen
Hier musst du erneut bestimmen, für wie viele Personen die Aussage zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit für A- oder B-Phone beträgt $90\%$ bei $n$ aus $n$ Treffern. Diese Aufgabe kannst du wie in d) lösen und erhälst für $P(„Alle“)$.
Für maximal sechs Personen, welche an der Haltestelle stehen, stimmt die Aussage.
#bernoullikette
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Hier sollst du Wahrscheinlichkeiten zu verschiedenen Eregnissen im Zusammenhang mit Smartphone Betriebssystemen bestimmen. Obwohl in der Aufgabenstellung von A-Phone, B-Phone und keinem Smartphone geschrieben wird, reicht es wenn du eine Zufallsvariable $X$ betrachtest, welche einen „Treffer“ im jeweilgen Sinn der Aufgabe angibt. Diese Zufallsvaribale ist binomialverteilt. Dadurch ist es möglich den Versuch als Bernoullie-Versuch zu behandeln, für welche du diese Formel benutzen kannst.

$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Tipp
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$k$ bezeichnet hierbei die Anzahl der „Treffer“, $p$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit und $n$ die Anzahl der „Versuche“ bzw. „Wiederholungen“.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_1}$
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass genau 12 von 20 Personen ein A-Phone besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein A-Phone nutzt beträgt $p=70\%=0,7$. Mit $n=20$ und $k=12$ erhälst du die Wahrscheinlichkeit aus dem Befehl:
Interaktive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPDf
Interaktive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPDf
Stochastik 3.2
Abb. 1: Binomialverteilung berechnen
Stochastik 3.2
Abb. 1: Binomialverteilung berechnen
Somit besitzen mit einer Wahrscheinlichkeit von $11,44\%$ genau 12 von 20 Personen ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_2}$
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass weniger als zwei Personen in der Straßenbahn ein B-Phone besitzen ist zu beachten was „weniger als 2“ bedeutet. Eine oder keine Person besitzt ein B-Phone. Die kummulierte Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Befehl:
Interaktive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Interaktive $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDf
Stochastik 3.2
Abb. 2: Binomialverteilung berechnen
Stochastik 3.2
Abb. 2: Binomialverteilung berechnen
Mit einer Warhscheinlichkeit von $6,92\%$ besitzen weniger als zwei Personen ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_3}$
20 von 20 Personen sollen ein A- oder B-Phone besitzen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen benötigst du in der Bernoulli-Formel benötigst du die Wahrscheinlichkeit $p$, sowie $k$ und $n$. Da jemand nicht ein A- und ein B-Phone besitzt, heißen diese Eregnisse „disjunkt“. Für disjunkte Ereignisse kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit (unser gesuchtes $p$) berechnen indem du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addierst. Es gilt also $p$$=p_{A-Phone}+p_{B-Phone}$$=90\%$. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit dem Befehl binomialPDf .
Alle Fahrgäst besitzen mit $12,16\%$ Wahrscheinlichkeit ein A- oder B-Phone.
#binomialverteilung#bernoullikette
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten angeben
Du sollst die Anzahl der Möglichkeiten angeben, wie die Personen welche aus der Bahn steigen kombiniert werden können. Für die Anzahl der Möglichkeiten wenn die Reihenfolge vernachlässigt wird gilt mit $k=4$ und $n=20$:
$\begin{array}[t]{rll} N&=& \binom{20}{4} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 4.845 \end{array}$
Es gibt $4.845$ Möglichkeiten vier aus $20$ Personen aus zuwählen.
#bernoullikette
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
An einer Haltestelle steigen vier Personen aus der Bahn aus und du sollst „untersuchen“ welches Betriebssystem diese Personen benutzen. Die Anfangs-Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone ist nicht gegeben. Du weißt aber, dass in der Bahn 14 von 20 Fahrgästen ein A-Phone besitzen. Aus diesen Zahlen kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen in dem du sie teilst, sie also ins Verhältnis setzt. Du erhälst also $p=\frac{14}{20}=0,7=70\%$.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_4}$
Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden jedoch nicht die dritte Person ein A-Phone benutzen.
Weil die ersten zwei Fahrgäste ein A-Phone besitzen weißt du, dass die Reihenfolge wichtig ist. Für die Rechnung ist das von Bedeutung, weil sich die Wahrscheinlichkeit für ein A-Phone mit jeder aussteigenden Person ändert. Du kannst das mit einem „ziehen ohne zurücklegen“ vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4)&=\frac{14}{20}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{6}{18}& \\[5pt] &=0,1596=15,96\%& \end{array}$
Über die vierte Person wurde keine Aussage gemacht, daher kannst du diese einfach vernachlässigen. Genau die ersten zwei und nicht die dritte Person besitzen mit $15,96\%$ Wahrscheinlichkeit ein A-Phone.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_5}$
„Der erste Aussteigende besitzt ein A-Phone“, daraus weißt du, dass auch hier die Beachtung der Reihenfolge wichtig ist, allerdings nur für die erste Person, denn „von den anderen 3“ trägt „noch genau einer“ ein A-Phone bei sich. Für die letzten drei Aussteigenden gibt also drei Möglichkeiten, die erste, die zweite oder die dritte Person besitzt ein A-Phone. Da in jeder der 3 Möglichkeiten die Zahlen 13, 6 und 5 im Zähler stehen, kannst du auch einfach mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{3}{2}=3$ multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& \frac{14}{20}\cdot\binom{3}{2}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17} \; \\[5pt] &=& 0,1409=14,09\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5)&=& 14,09\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste und genau einer der übrigen Personen ein A-Phone besitzt beträgt $14,09\%$.
$\blacktriangleright$  Betrachte das Ereigniss $\boldsymbol{E_6}$
11 der übrigen 16 Fahrgäste sollen ein A-Phone besitzen. Du weißt, dass genau 3 Personen mit A-Phone ausgestiegen sein müssen. Wie beim Ereigniss $E_5$ kannst du einfach eine Wahrscheinlichkeit bestimmen und diese mit der Anzahl der Möglichkeiten $\binom{4}{1}$ multiplizieren. Du berechnest
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=&\binom{4}{1}\cdot\frac{14}{20}\cdot\frac{13}{19}\cdot\frac{12}{18}\cdot\frac{6}{17} \\[5pt] &=& 0,4508=45,08\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6)&=& 45,08\% \end{array}$
Mit eine Wahrscheinlichkeit von $45,08\%$ besitzen 11 von 16 Fahrgästen ein A-Phone.
#wahrscheinlichkeit
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der nötigen Personen berechnen
Hier sollst du bestimmen für wie viele Personen die Aussage der Aufgabenstellung zutrifft. Am einfachsten betrachtest du das Gegenereigniss, keine Person besitzt ein B-Phone $P(„Keine“)$. Für ein B-Phone beträgt die Wahrscheinlichkeit $p=0,2$. In der Bernoulli-Formel benutzt du $k=0$ und $p=0,2$ um $n$ zu bestimmen. Du verwendest den solve-Befehl:
Interaktive $\rightarrow$ Weiterführend $\rightarrow$ solve
Interaktive $\rightarrow$ Weiterführend $\rightarrow$ solve
Stochastik 3.2
Abb. 3: Gleichung lösen
Stochastik 3.2
Abb. 3: Gleichung lösen
Da es nur ganze Personen gibt, muss ein ganzzahliges Ergebnis angegeben werden. Du rundest auf. Somit müssen mindestens $14$ Personen befragt werden.
#bernoullikette
e)
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl an Personen berechnen
Hier musst du erneut bestimmen, für wie viele Personen die Aussage zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit für A- oder B-Phone beträgt $90\%$ bei $n$ aus $n$ Treffern. Diese Aufgabe kannst du wie in d) lösen und erhälst für $P(„Alle“)$.
Für maximal sechs Personen, welche an der Haltestelle stehen, stimmt die Aussage.
#bernoullikette
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