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Stochastik 3.2

Aufgaben
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Zufallsexperimente

Lisa und Tom haben im Fundus der Schule einen Würfel und zwei Glücksräder (siehe Abbildung) gefunden. Sie führen damit verschiedene Zufallsexperimente durch.
Stochastik 3.2
Abb. 1: $W$
Stochastik 3.2
Abb. 1: $W$
Stochastik 3.2
Abb. 3: $G2$
Stochastik 3.2
Abb. 3: $G2$
#zufallsexperiment
a)
Im ersten Experiment würfelt Tom zunächst mit dem Würfel $W,$ anschließend dreht Lisa dasjenige Glücksrad, das der Würfel anzeigt (zeigt $W$ z. B. „1“, so wird $G1$ gedreht).
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Der Würfel $W$ zeigt „2“ und das Glücksrad $G2$ zeigt anschließend „Rot“.
Das Glücksrad, das entsprechend dem Würfelergebnis gedreht wird, zeigt „Weiß“ oder „Rot“.
(5 BE)
b)
In einem neuen Experiment wirft Tom den Würfel $W$ und Lisa dreht gleichzeitig das Glücksrad $G2.$ Von den jetzt möglichen sechs Ergebnissen haben drei die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ermittle diese drei Ergebnisse.
(3 BE)
c)
Jetzt dreht Lisa das Glücksrad $G1$ zehnmal. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Das Glücksrad $G1$ zeigt genau viermal „Rot“.
Das Glücksrad $G1$ zeigt mindestens fünfmal „Rot“.

[Zur Kontrolle: $P(C_2)\approx 0,3669$ ]
(4 BE)
d)
Tom spielt das $10$-malige Drehen des Glücksrades $G1$ (also das Experiment aus c) in Gedanken $30$-mal durch und bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $C_2$ genau $i$ mal eintritt $(i=0;1;2;…;30).$
Er behauptet, dass für genau fünf Werte von $i$ diese Wahrscheinlichkeit größer als $10\,\%$ ist.
Prüfe, ob seine Behauptung zutrifft.
(4 BE)
e)
Das Glücksrad $G1$ soll $20$-mal gedreht werden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn Drehungen genau fünfmal „Rot“ das Ergebnis ist und insgesamt höchstens neunmal „Rot“ das Ergebnis ist.
(4 BE)

(20 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel „1“ zeigt, beträgt $\frac{2}{6} = \frac{1}{3},$ für eine „2“ beträgt sie entsprechend $\frac{2}{3}.$ Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A_1)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[5pt] &\approx& 33,33\,\% \\[10pt] P(A_2)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{10} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{8}{15} \\[5pt] &\approx& 53,33\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel $W$ „2“ zeigt und das Glücksrad $G2$ anschließend „Rot“ zeigt, beträgt ca. $33,33\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad, das entsprechend dem Würfelergebnis gedreht wird,„Weiß“ oder „Rot“ zeigt, beträgt ca. $53,33\,\%.$
#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ermitteln
Mit den Bezeichnungen $r$ für ein rotes Feld, $b$ für ein blaues Feld und $s$ für ein schwarzes Feld, sind nun folgende Ergebnisse möglich:
$\{1 - b; 1 - r; 1 - s; 2-b; 2 -r; 2 - s\}$
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wie zuvor mit den Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(1-b)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \\[10pt] P(1-r)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] P(1-s)&=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \\[10pt] P(2-b)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] P(2-r)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(2-s)&=& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] \end{array}$
Die drei Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit sind:
  • $1-r:$ Der Würfel zeigt eine „1“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Rot“.
  • $2-b:$ Der Würfel zeigt eine „2“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Blau“.
  • $2-s:$ Der Würfel zeigt eine „2“ und das Glückrad $G2$ zeigt „Schwarz“.
#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Stochastik 3.2
Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Stochastik 3.2
Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Stochastik 3.2
Abb. 2: Anzeige des Ergebnisses
Stochastik 3.2
Abb. 2: Anzeige des Ergebnisses
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $25,08\,\%$ zeigt das Glücksrad $G1$ genau viermal „Rot“.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $36,69\,\%$ zeigt das Glücksrad $G1$ mindestens fünfmal „Rot“.
#binomialverteilung
d)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Stochastik 3.2
Abb. 3: binomialPDf(x,n,p)
Stochastik 3.2
Abb. 3: binomialPDf(x,n,p)
#binomialverteilung
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Das genannte Ereignis wird mit $E$ bezeichnet und tritt genau dann ein, wenn in den ersten zehn Drehungen genau fünfmal „Rot“ und in den letzten zehn Drehungen höchstens viermal „Rot“ gedreht wird. Mit den Pfadregeln und der Zufallsgröße aus Teilaufgabe c) ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(X=5)\cdot P(X\leq 4) \\[5pt] &=& P(X=5) \cdot \left(1-P(C_2)\right) \\[5pt] &=& \binom{10}{5}\cdot 0,4^5 \cdot 0,6^5\cdot (1-0,3669) \\[5pt] &\approx& 0,1270 \\[5pt] &=&12,70\,\% \end{array}$
$ P(E) \approx 12,70\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $12,70\,\%.$
#pfadregeln#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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