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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\sin(\pi x)+2$    und    $x\in[-1;4]$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Zeichne $K_f$.
Bestimme die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
(5P)
2.2
Der Punkt $W(1\mid2)$ ist ein Wendepunkt von $K_f$.
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung $y=-2\pi x+2+2\pi$ Tangente an $K_f$ im Punkt $W$ ist.
Die Tangente, die $y$-Achse und $K_f$ schließen eine Fläche ein.
Berechne den exakten Inhalt dieser Fläche.
(8P)
2.3
Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$.
2.3.1
Begründe jeweils, ob folgende Aussagen wahr oder
falsch sind.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
(4P)
2.3.2
Ermittle mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente an $K_g$ an der Stelle $x=-0,5$.
(3P)
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=-\mathrm e^{-2x}-x-1$ ,    $x\in\mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_h$.
2.4
Gib die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ an.
Untersuche rechnerisch das Krümmungsverhalten von $K_h$.
Anton behauptet: „$K_h$ besitzt keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse.“
Nimm Stellung zu dieser Behauptung.
(6P)
2.5
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ schneidet für $0< u<1$ das Schaubild $K_f$ im Punkt $P$ und das Schaubild $K_h$ im Punkt $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ maximal?
(4P)

(30P)
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -1 \leq x \leq 4 $ und $ -1 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse und $\boldsymbol{y}$–Achse zu berechnen. Eine Berechnung istmit dem GTR oder schriftlich möglich.
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Gib im GRAPH–Menü deines CASIO–GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ 2\sin(\pi x) + 2 $ und rufe das Untermenü mit
G–SOLV–YICPT
und
G–SOLV–ROOT
um dir die Schnittpunkte mit der $x$–Achse ausgeben zu lassen.
Gib im GRAPH–Menü deines TI–GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ 2\sin(\pi x) + 2. $ Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 1: $\to$ value $\to 0 \to$ ENTER
kannst du dir den Schnittpunkt mit der $y$–Achse und
CALC $\to$ 2: $\to$ zero $ \to -1 \to 0 \to $ ENTER
um dir die Schnittpunkte mit der $x$–Achse ausgeben zu lassen. Für die Nullstellenberechnung erwartet der GTR von dir rechte und linke Schätzwerte, um die Suche einzugrenzen.
2. Möglichkeit: Schriftliche Berechnung
Im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $y$–Achse ist $ x = 0, $ während im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $x$–Achse ist $ y = f(x) = 0. $ Setze also $ x = 0 $ in den Funktionsterm ein und löse die Gleichung $ f(x) = 0. $
Beachte dabei, dass $ -1 \leq x \leq 4 $ vorgegeben ist.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Zeigen, das $ \boldsymbol{y = -2\pi x + 2 + 2\pi} $ Tangente im Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ ist
Du darfst ohne Nachweis verwenden, dass Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ des Schaubildes $K_f$ ist. Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass die Gerade $ t : y = -2\pi x + 2 + 2\pi $ die Tangente in diesem Wendepunkt (Wendetangente) von $K_f$ ist. Es ist also zu zeigen, dass $t$ und $f$ punkt– und steigungsgleich sind: $ t(1) = f(1) $ und $ t'(1) = f'(1). $
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \cos(k \cdot x). $
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt bestimmen, die von der Wendetangente, der $\boldsymbol{y}$–Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Die Aufgabenstellung erwartet von dir, den Flächeninhalt, der von der Wendetangente, der $y$–Achse und $K_f$ eingeschlossen wird, exakt und somit vollständig schriftlich zu berechnen. Zeichne die Wendetangente in dein Koordinatensystem ein und markiere die Fläche, um die es geht. Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt: Den Punkt $W(1 \mid 2)$ kennst du schon, den zweiten Punkt $ ( 0 \mid 2 + 2\pi)$ entnimmst du der Tangentengleichung, so dass du die beiden Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 2.3 einzeichnen und verbinden kannst.
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstelle der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $
$ G(x) = -\dfrac{1}{k} \cdot \cos(k \cdot x) $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können:

Aufgabe 2.3

Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g.$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$

Aufgabe 2.3.1

$\blacktriangleright$   Aussagen über die Ableitungs– und Stammfunktion einer Funktion $\boldsymbol{g}$ mit Begründung beurteilen
a) Betrachte das Schaubild, markiere den einzigen markanten Punkt und zeichne die Tangente diesem Punkt. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Tangentensteigung und der Ableitungsfunktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.
b) Betrachte das Schaubild und seinen Verlauf. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Stammfunktion $G$ und der Funktion $g$ und zwischen dem Vorzeichen einer Ableitungsfunktion und dem Steigungsverhalten der Funktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.

Aufgabe 2.3.2

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente an der Stelle $\boldsymbol{x = -0,5}$ mit Hilfe der Abbildung ermitteln
Du sollst mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente ermitteln. Es wird also eine zeichnerische Lösung verlangt. Eine Funktionsbestimmung oder eine rechnerische Bestimmung der Gleichung der Tangente wird von dir nicht erwartet. Zeichne eine Tangente an der Stelle $ x = -0,5 $ und lies die Tangentensteigung und den $y$--Achsenabschnitt der Tangente ab.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Hochpunkte des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ angeben
Die Hochpunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü des GTR von CASIO kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX
den Hochpunkt ausgeben lassen.
Im Graph–Menü des GTR von TI kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Maximalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe z. B. der Grenzen $0$ und $1$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 4: maximum $\to 0 \to 1 \to$ ENTER
den Hochpunkt.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hochpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \mathrm{e}^{k \cdot x} \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}. $
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_h$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) < 0}$
  • $K_h$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$
$\blacktriangleright$   Zu Antons Behauptung Stellung nehmen
Wenn du die Abbildung betrachtest, kannst du Antons Aussage zustimmen. Die Abbildung oder dein GTR zeigt jedoch nur einen Ausschnitt des Schaubildes $K_h.$ Deine Aufgabe ist es zu begründen, ob Antons Aussage grundsätzlich richtig ist. Verwende dazu die Eigenschaften, die du bisher über das Schaubild kennengelernt hast.
Der Hochpunkt liegt unterhalb der $x$–Achse, und $K_h $ besitzt keinen Wendepunkt, weil die zweite Ableitungsfunktion von $h$ keine Nullstelle aufweist. Da $K_h$ im gesamten Bereich rechtsgekrümmt ist, bleibt das Schaubild folglich stets unterhalb der $x$–Achse. Antons Behauptung ist richtig.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Abstand der Punkte $\boldsymbol{P}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_f} $ und $\boldsymbol{Q}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_g} $ für $ \boldsymbol{0 < u < 1} $ maximieren
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $0 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf $K_h$ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze der Schaubilder $K_f$ und $K_h$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=0,5.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(0,5) = 4 $ und $ g(0,5) = -1,87 $ sind die Koordinaten der Punkte $P(0,5 \mid 4)$ und $Q(0,5 \mid -1,87)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = 4 - (-1,87) = 5,87 . \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formel:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit, den GTR zu verwenden, weil die schriftliche Berechnung der Extremstellen nicht möglich ist.
Lösung mit Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende im RUN–Menü des GTR von CASIO die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l(u)$ im Intervall von $[0; 1]. $
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -1 \leq x \leq 4 $ und $ -1 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse und $\boldsymbol{y}$–Achse zu berechnen. Eine Berechnung istmit dem GTR oder schriftlich möglich.
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Gib im GRAPH–Menü deines TI–GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ 2\sin(\pi x) + 2. $ Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 1: $\to$ value $\to 0 \to$ ENTER
kannst du dir den Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Schnittpunkt mit der $y$–Achse
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Schnittpunkt mit der $y$–Achse
und
CALC $\to$ 2: $\to$ zero $ \to -1 \to 0 $ ENTER
um dir die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse ausgeben zu lassen. Für die Nullstellenberechnung erwartet der GTR von dir rechte und linke Schätzwerte, um die Suche einzugrenzen.
Aufgabe 2
[Abb. 3]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 3]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 4]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 4]: 2. Nullstelle der Funktion
2. Möglichkeit: Schriftiche Berechnung
Im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $y$–Achse ist $ x = 0, $ während im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $x$–Achse ist $ y = f(x) = 0. $ Setze also $ x = 0 $ in den Funktionsterm ein und löse die Gleichung $ f(x) = 0. $
\[ f(0) = 2 \cdot \sin(\pi \cdot 0) + 2 = 2 \cdot \sin(0) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2 \] Beachte dabei, dass $ -1 \leq x \leq 4 $ vorgegeben ist. \[ \begin{array}{rclcll} f(x) &=& 0 \\ 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 &=& 0 & & \mid \; \scriptsize -2 \\ 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) &=& -2 & & \mid \; \scriptsize: 2 \\ \sin(\pi \cdot x) &=& -1 & & \\ \pi \cdot x &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pi + k \cdot 2 \cdot \pi & & \mid \; \scriptsize k \in \mathbb{Z} \mid \; : \pi \\[5pt] x &=& \dfrac{3}{2} + k \cdot 2 & & \mid \; \scriptsize k \in \mathbb{Z} \\[5pt] x_1 &=& -\dfrac{1}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = -1 \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{3}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = 0 \\[5pt] x_3 &=& \dfrac{7}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = 1 \end{array} \]
Der Schnittpunkte $K_f$ mit der $y$–Achse sind $ S(0 \mid 2). $ Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1 \left( -\frac{1}{2} \mid 0 \right), \, S_2 \left( -\frac{3}{2} \mid 0 \right) $ und $ S_3 \left( -\frac{5}{2} \mid 0 \right).$

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Zeigen, das $ \boldsymbol{y = -2\pi x + 2 + 2\pi} $ Tangente im Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ ist
Du darfst ohne Nachweis verwenden, dass Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ des Schaubildes $K_f$ ist. Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass die Gerade $ t : y = -2\pi x + 2 + 2\pi $ die Tangente in diesem Wendepunkt (Wendetangente) von $K_f$ ist. Es ist also zu zeigen, dass $t$ und $f$ punkt– und steigungsgleich sind: $ t(1) = f(1) $ und $ t'(1) = f'(1). $
\[ t(1) = -2\pi \cdot 1 + 2 + 2\pi = -2\pi + 2 + 2\pi = 2 \] und \[ f(1) = 2 \cdot \sin(\pi \cdot 1) + 2 = 2 \cdot \sin(\pi) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2\] $t$ und $f$ sind punktgleich.
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \cos(k \cdot x). $
\[ \begin{array}{rclcll} f(x) &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 \\ f'(x) &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi \cdot x) + 0 \\ &=& 2\pi \cos(\pi \cdot x) \\ f'(1) &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi \cdot 1) \\ &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi) \\ &=& 2 \cdot (-1) \\ &=& -2\pi \\ \end{array} \] $t$ und $f$ sind steigungsgleich.
$t$ ist die Wendetangente im Punkte $W( 1 \mid 2).$
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt bestimmen, die von der Wendetangente, der $\boldsymbol{y}$–Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Die Aufgabenstellung erwartet von dir, den Flächeninhalt, der von der Wendetangente, der $y$–Achse und $K_f$ eingeschlossen wird, exakt und somit vollständig schriftlich zu berechnen. Zeichne die Wendetangente in dein Koordinatensystem ein und markiere die Fläche, um die es geht. Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt: Den Punkt $W(1 \mid 2)$ kennst du schon, den zweiten Punkt $ ( 0 \mid 2 + 2\pi)$ entnimmst du der Tangentengleichung, so dass du die beiden Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 2.3 einzeichnen und verbinden kannst.
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Fläche zwischen Tangente und $K_h$
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Fläche zwischen Tangente und $K_h$
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstelle der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $
$ G(x) = -\dfrac{1}{k} \cdot \cos(k \cdot x) $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können: \[ \begin{array}{rclcll} d(x) &=& t(x) - f(x) \\[5pt] &=& (-2\pi \cdot x + 2 + 2\pi) - (2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2) \\[5pt] &=& -2\pi \cdot x + 2 + 2\pi - 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) - 2 \\[5pt] &=& -2\pi \cdot x + 2\pi - 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) \\[5pt] D(x) &=& -2\pi \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + 2\pi \cdot x - 2 \cdot \dfrac{1}{\pi} \cdot (-\cos(\pi \cdot x)) \\[5pt] &=& -\pi \cdot x^2 + 2\pi \cdot x + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot x) \\[5pt] D(1) &=& -\pi \cdot 1^2 + 2\pi \cdot 1 + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot 1) \\[5pt] &=& -\pi \cdot 1 + 2\pi + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi) \\[5pt] &=& -\pi + 2\pi + \dfrac{2}{\pi} \cdot (-1) \\[5pt] &=& -\pi + 2\pi - \dfrac{2}{\pi} \\[5pt] D(0) &=& -\pi \cdot 0^2 + 2\pi \cdot 0 + \dfrac{2}{\pi } \cdot \cos(\pi \cdot 0) \\[5pt] &=& 0 + 0 + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(0) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{\pi} \cdot 1 \\[10pt] &=& \dfrac{2}{\pi} \end{array} \] Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, dx = \mathop {\int}\limits_{0}^1 d(x) \, dx = D(1) - D(0) = -\pi + 2\pi - \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{2}{\pi} = \pi - \dfrac{4}{\pi} \] Der Inhalt $A$ der Fläche, die $t,$ die $y$–Achse und $K_f$ im 1. Quadranten einschließen, beträgt exakt $ A = \pi - \dfrac{4}{\pi}.$

Aufgabe 2.3

Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g.$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$

Aufgabe 2.3.1

$\blacktriangleright$   Aussagen über die Ableitungs– und Stammfunktion einer Funktion $\boldsymbol{g}$ mit Begründung beurteilen
a) Betrachte das Schaubild, markiere den einzigen markanten Punkt und zeichne die Tangente diesem Punkt. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Tangentensteigung und der Ableitungsfunktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.
a) Betrachte das Schaubild und seinen Verlauf. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Stammfunktion $G$ und der Funktion $g$ und zwischen dem Vorzeichen einer Ableitungsfunktion und dem Steigungsverhalten der Funktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.
Das Schaubild $K_g$ zeigt für eine Stelle $z$ im Intervall $ [0;1] $ einen Hochpunkt. Folglich besitzt $K_g$ dort eine waagerechte Tangente $T$ mit der Steigung $ m_T = 0. $ Weil die Ableitungsfunktion $ g'(x) $ die Steigung der Tangente an der Stelle $z$ angibt, gilt $ g'(z) = m_T = 0. $ Die Aussage ist wahr.
b) Das Schaubild $K_g$ verläuft im dargestellten Bereich vollständig unterhalb der $x$--Achse, d h. es gilt dort $ g(x) < 0. $ Weil für eine Stammfunktion $G$ von $g$ die Gleichung $ G'(x) = g(x) $ gilt, folgt $ G'(x) < 0, $ so dass das Schaubild streng monoton fallend ist. Deshalb kann es keinen Hochpunkt geben. Die Aussage ist falsch.

Aufgabe 2.3.2

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente an der Stelle $\boldsymbol{x = -0,5}$ mit Hilfe der Abbildung ermitteln
Du sollst mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente ermitteln. Es wird also eine zeichnerische Lösung verlangt. Eine Funktionsbestimmung oder eine rechnerische Bestimmung der Gleichung der Tangente wird von dir nicht erwartet. Zeichne eine Tangente an der Stelle $ x = -0,5 $ und lies die Tangentensteigung und den $y$--Achsenabschnitt der Tangente ab.
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $g$ mit Tangente
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $g$ mit Tangente
In der Zeichnung ist eine Tangente an das Schaubild $K_g$ angelegt, deren Steigung und $y$--Achsenabschnitt sich sich ungefähr ablesen lässt: $ m_T \approx 8 $ und dem $y_T \approx - 1. $ Die Gleichung der Tangente ist etwa $ y = 4 \cdot x - 1. $
Bemerkung:
Die exakte Gleichung der Tangente lässt sich berechnen, denn das Schaubild gehört zu der Funktion $h$ mit $ h(x) = -\mathrm{e}^{-2 \cdot x} - x - 1 $ aus Teilaufgabe 2.4. Mit dem GTR erhälst du $ y = 4,4365\cdot x - 0,999 $ und mithilfe exakter Rechnung $ y = (\dfrac{2}{\mathrm{e}} - 1) \cdot x - 1. $

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Hochpunkte des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ angeben
Die Hochpunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Maximalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $0$ und $1$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ maximum $\to 0 \to 1 \to$ ENTER
den Hochpunkt.
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Berechnung des Hochpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Berechnung des Hochpunktes
Die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ sind $ H(0,35 \mid -1,85). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hochpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \mathrm{e}^{k \cdot x} \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}. $
\[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\mathrm{e}^{-2 \cdot x} - x - 1 \\[5pt] h'(x) &=& -(-2) \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 - 0 \\[5pt] &=& 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 \\[5pt] h''(x) &=& 2 \cdot (-2) \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 0 \\[5pt] &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} \end{array} \] Mögliche Extremstellen berechnen: \[ \begin{array}{rclcll} h'(x) &=& 0 & \\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; + 1 \\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &=& 1 & & \scriptsize \mid \; : 2 \\[5pt] \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &=& 0,5 & & \scriptsize \mid \; \ln (\, ) \\[5pt] \ln(\mathrm{e}^{-2 \cdot x}) &=& \ln(0,5) \\[5pt] -2 \cdot x &=&\ln(0,5) & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] x &=& -\dfrac{\ln(0,5)}{2} & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] &&& \\[5pt] h'(-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot (-\frac{\ln(0,5)}{2})} & \\[5pt] &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{\ln(0,5)} & \\[5pt] &=& -4 \cdot 0,5 & \\[5pt] &=& -2 < 0 & \\[5pt] &&& \\[5pt] h(-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) &=& -\mathrm{e}^{-2 \cdot (-\frac{\ln(0,5)}{2})} - (-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln(0,5)} + \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& -0,5 + \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1,5 \end{array} \] Die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ sind exakt $ H(\dfrac{\ln(0,5)}{2} \mid \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1,5). $
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_h$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) < 0}$
  • $K_h$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$ \[ h''(x) = \underbrace{-4}_{< 0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-2 \cdot x}}_{> 0} < 0 \] Das Schaubild ist folglich stets rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   Zu Antons Behauptung Stellung nehmen
Wenn du die Abbildung betrachtest, kannst du Antons Aussage zustimmen. Die Abbildung oder dein GTR zeigt jedoch nur einen Ausschnitt des Schaubildes $K_h.$ Deine Aufgabe ist es zu begründen, ob Antons Aussage grundsätzlich richtig ist. Verwende dazu die Eigenschaften, die du bisher über das Schaubild kennengelernt hast.
Der Hochpunkt liegt unterhalb der $x$–Achse, und $K_h $ besitzt keinen Wendepunkt, weil die zweite Ableitungsfunktion von $h$ keine Nullstelle aufweist. Da $K_h$ im gesamten Bereich rechtsgekrümmt ist, bleibt das Schaubild folglich stets unterhalb der $x$–Achse. Antons Behauptung ist richtig.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Abstand der Punkte $\boldsymbol{P}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_f} $ und $\boldsymbol{Q}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_g} $ für $ \boldsymbol{0 < u < 1} $ maximieren
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $0 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf $K_h$ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze der Schaubilder $K_f$ und $K_h$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=0,5.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(0,5) = 4 $ und $ g(0,5) = -1,87 $ sind die Koordinaten der Punkte $P(0,5 \mid 4)$ und $Q(0,5 \mid -1,87)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = 4 - (-1,87) = 5,87 . \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formel:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind \[ \begin{array}{rclcll} l(u) &=& \overline{PQ(u)} \\ &=& y_P - y_Q \\ &=& f(u) - g(u) \\ &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 - (-e^{-2 \cdot u} - u - 1) \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 + e^{-2 \cdot u} + u + 1 \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + e^{-2 \cdot u} + u + 3, \\[5pt] \end{array} \] weil $P$ oberhalb von $Q$ liegt. Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit, den GTR zu verwenden, weil die schriftliche Berechnung der Extremstellen nicht möglich ist.
Lösung mit Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $1$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=1$.
Untersuche nun die Funktion $l(u)$ im Intervall von $[0; 1]. $
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Auswertung
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Auswertung
Der Wert von $u$ mit $0 \leq u \leq 1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist ca. $ u_{max} \approx 0,51 $ LE.
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -1 \leq x \leq 4 $ und $ -1 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse und $\boldsymbol{y}$–Achse zu berechnen. Eine Berechnung istmit dem GTR oder schriftlich möglich.
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Gib im GRAPH–Menü deines CASIO–GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ 2\sin(\pi x) + 2 $ und rufe das Untermenü mit
G–SOLV–-YICPT
auf, um dir den Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Schnittpunkt mit der $y$–Achse
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Schnittpunkt mit der $y$–Achse
und
G–SOLV–-ROOT
um dir die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse ausgeben zu lassen.
Aufgabe 2
[Abb. 3]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 3]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 4]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 4]: 2. Nullstelle der Funktion
2. Möglichkeit: Schriftiche Berechnung
Im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $y$–Achse ist $ x = 0, $ während im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $x$–Achse ist $ y = f(x) = 0. $ Setze also $ x = 0 $ in den Funktionsterm ein und löse die Gleichung $ f(x) = 0. $
\[ f(0) = 2 \cdot \sin(\pi \cdot 0) + 2 = 2 \cdot \sin(0) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2 \] Beachte dabei, dass $ -1 \leq x \leq 4 $ vorgegeben ist. \[ \begin{array}{rclcll} f(x) &=& 0 \\ 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 &=& 0 & & \mid \; \scriptsize -2 \\ 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) &=& -2 & & \mid \; \scriptsize: 2 \\ \sin(\pi \cdot x) &=& -1 & & \\ \pi \cdot x &=& \dfrac{3}{2} \cdot \pi + k \cdot 2 \cdot \pi & & \mid \; \scriptsize k \in \mathbb{Z} \mid \; : \pi \\[5pt] x &=& \dfrac{3}{2} + k \cdot 2 & & \mid \; \scriptsize k \in \mathbb{Z} \\[5pt] x_1 &=& -\dfrac{1}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = -1 \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{3}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = 0 \\[5pt] x_3 &=& \dfrac{7}{2} & & \mid \; \scriptsize \text{für} \; k = 1 \end{array} \]
Der Schnittpunkte $K_f$ mit der $y$–Achse sind $ S(0 \mid 2). $ Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(-\dfrac{1}{2} \mid 0), \, S_2(-\dfrac{3}{2} \mid 0) $ und $ S_3(-\dfrac{5}{2} \mid 0).$

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Zeigen, das $ \boldsymbol{y = -2\pi x + 2 + 2\pi} $ Tangente im Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ ist
Du darfst ohne Nachweis verwenden, dass Wendepunkt $\boldsymbol{W( 1 \mid 2)}$ des Schaubildes $K_f$ ist. Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass die Gerade $ t : y = -2\pi x + 2 + 2\pi $ die Tangente in diesem Wendepunkt (Wendetangente) von $K_f$ ist. Es ist also zu zeigen, dass $t$ und $f$ punkt– und steigungsgleich sind: $ t(1) = f(1) $ und $ t'(1) = f'(1). $
\[ t(1) = -2\pi \cdot 1 + 2 + 2\pi = -2\pi + 2 + 2\pi = 2 \] und \[ f(1) = 2 \cdot \sin(\pi \cdot 1) + 2 = 2 \cdot \sin(\pi) + 2 = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2\] $t$ und $f$ sind punktgleich.
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \cos(k \cdot x). $
\[ \begin{array}{rclcll} f(x) &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 \\ f'(x) &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi \cdot x) + 0 \\ &=& 2\pi \cos(\pi \cdot x) \\ f'(1) &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi \cdot 1) \\ &=& 2 \cdot \pi \cos(\pi) \\ &=& 2 \cdot (-1) \\ &=& -2\pi \\ \end{array} \] $t$ und $f$ sind steigungsgleich.
$t$ ist die Wendetangente im Punkte $W( 1 \mid 2).$
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt bestimmen, die von der Wendetangente, der $\boldsymbol{y}$–Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Die Aufgabenstellung erwartet von dir, den Flächeninhalt, der von der Wendetangente, der $y$–Achse und $K_f$ eingeschlossen wird, exakt und somit vollständig schriftlich zu berechnen. Zeichne die Wendetangente in dein Koordinatensystem ein und markiere die Fläche, um die es geht. Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt: Den Punkt $W(1 \mid 2)$ kennst du schon, den zweiten Punkt $ ( 0 \mid 2 + 2\pi)$ entnimmst du der Tangentengleichung, so dass du die beiden Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 2.3 einzeichnen und verbinden kannst.
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Fläche zwischen Tangente und $K_f$
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Fläche zwischen Tangente und $K_f$
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstelle der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \sin(k \cdot x) \, (k \neq 0) $
$ G(x) = -\dfrac{1}{k} \cdot \cos(k \cdot x) $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können: \[ \begin{array}{rclcll} d(x) &=& t(x) - f(x) \\[5pt] &=& (-2\pi \cdot x + 2 + 2\pi) - (2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2) \\[5pt] &=& -2\pi \cdot x + 2 + 2\pi - 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) - 2 \\[5pt] &=& -2\pi \cdot x + 2\pi - 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) \\[5pt] D(x) &=& -2\pi \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + 2\pi \cdot x - 2 \cdot \dfrac{1}{\pi} \cdot (-\cos(\pi \cdot x)) \\[5pt] &=& -\pi \cdot x^2 + 2\pi \cdot x + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot x) \\[5pt] D(1) &=& -\pi \cdot 1^2 + 2\pi \cdot 1 + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot 1) \\[5pt] &=& -\pi \cdot 1 + 2\pi + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(\pi) \\[5pt] &=& -\pi + 2\pi + \dfrac{2}{\pi} \cdot (-1) \\[5pt] &=& -\pi + 2\pi - \dfrac{2}{\pi} \\[5pt] D(0) &=& -\pi \cdot 0^2 + 2\pi \cdot 0 + \dfrac{2}{\pi } \cdot \cos(\pi \cdot 0) \\[5pt] &=& 0 + 0 + \dfrac{2}{\pi} \cdot \cos(0) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{\pi} \cdot 1 \\[10pt] &=& \dfrac{2}{\pi} \end{array} \] Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, dx = \mathop {\int}\limits_{0}^1 d(x) \, dx = D(1) - D(0) = -\pi + 2\pi - \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{2}{\pi} = \pi - \dfrac{4}{\pi} \] Der Inhalt $A$ der Fläche, die $t,$ die $y$--Achse und $K_f$ im 1. Quadranten einschließen, beträgt exakt $ A = \pi - \dfrac{4}{\pi}.$

Aufgabe 2.3

Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g.$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $g$

Aufgabe 2.3.1

$\blacktriangleright$   Aussagen über die Ableitungs– und Stammfunktion einer Funktion $\boldsymbol{g}$ mit Begründung beurteilen
a) Betrachte das Schaubild, markiere den einzigen markanten Punkt und zeichne die Tangente diesem Punkt. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Tangentensteigung und der Ableitungsfunktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.
a) Betrachte das Schaubild und seinen Verlauf. Überlege, welchen Zusammenhang es zwischen der Stammfunktion $G$ und der Funktion $g$ und zwischen dem Vorzeichen einer Ableitungsfunktion und dem Steigungsverhalten der Funktion gibt, um die Aussage beurteilen zu können.
Das Schaubild $K_g$ zeigt für eine Stelle $z$ im Intervall $ [0;1] $ einen Hochpunkt. Folglich besitzt $K_g$ dort eine waagerechte Tangente $T$ mit der Steigung $ m_T = 0. $ Weil die Ableitungsfunktion $ g'(x) $ die Steigung der Tangente an der Stelle $z$ angibt, gilt $ g'(z) = m_T = 0. $ Die Aussage ist wahr.
b) Das Schaubild $K_g$ verläuft im dargestellten Bereich vollständig unterhalb der $x$--Achse, d h. es gilt dort $ g(x) < 0. $ Weil für eine Stammfunktion $G$ von $g$ die Gleichung $ G'(x) = g(x) $ gilt, folgt $ G'(x) < 0, $ so dass das Schaubild streng monoton fallend ist. Deshalb kann es keinen Hochpunkt geben. Die Aussage ist falsch.

Aufgabe 2.3.2

$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente an der Stelle $\boldsymbol{x = -0,5}$ mit Hilfe der Abbildung ermitteln
Du sollst mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente ermitteln. Es wird also eine zeichnerische Lösung verlangt. Eine Funktionsbestimmung oder eine rechnerische Bestimmung der Gleichung der Tangente wird von dir nicht erwartet. Zeichne eine Tangente an der Stelle $ x = -0,5 $ und lies die Tangentensteigung und den $y$--Achsenabschnitt der Tangente ab.
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $g$ mit Tangente
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $g$ mit Tangente
In der Zeichnung ist eine Tangente an das Schaubild $K_g$ angelegt, deren Steigung und $y$--Achsenabschnitt sich sich ungefähr ablesen lässt: $ m_T \approx 8 $ und dem $y_T \approx - 1. $ Die Gleichung der Tangente ist etwa $ y = 4 \cdot x - 1. $
Bemerkung:
Die exakte Gleichung der Tangente lässt sich berechnen, denn das Schaubild gehört zu der Funktion $h$ mit $ h(x) = -\mathrm{e}^{-2 \cdot x} - x - 1 $ aus Teilaufgabe 2.4. Mit dem GTR erhälst du $ y = 4,4365\cdot x - 0,999 $ und mithilfe exakter Rechnung $ y = (\dfrac{2}{\mathrm{e}} - 1) \cdot x - 1. $

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Hochpunkte des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ angeben
Die Hochpunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX
den Hochpunkt ausgeben lassen.
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Berechnung des Hochpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Berechnung des Hochpunktes
Die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ sind $ H(0,35 \mid -1,85). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hochpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion $ g' $ einer Funktion $g$ mit $g(x) = \mathrm{e}^{k \cdot x} \, (k \neq 0) $ verwendest du die Formel
$ g'(x) = k \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}. $
\[ \begin{array}{rclcll} h(x) &=& -\mathrm{e}^{-2 \cdot x} - x - 1 \\[5pt] h'(x) &=& -(-2) \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 - 0 \\[5pt] &=& 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 \\[5pt] h''(x) &=& 2 \cdot (-2) \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 0 \\[5pt] &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} \end{array} \] Mögliche Extremstellen berechnen: \[ \begin{array}{rclcll} h'(x) &=& 0 & \\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - 1 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; + 1 \\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &=& 1 & & \scriptsize \mid \; : 2 \\[5pt] \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &=& 0,5 & & \scriptsize \mid \; \ln (\, ) \\[5pt] \ln(\mathrm{e}^{-2 \cdot x}) &=& \ln(0,5) \\[5pt] -2 \cdot x &=&\ln(0,5) & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] x &=& -\dfrac{\ln(0,5)}{2} & & \scriptsize \mid \; : (-2) \\[5pt] &&& \\[5pt] h'(-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot (-\frac{\ln(0,5)}{2})} & \\[5pt] &=& -4 \cdot \mathrm{e}^{\ln(0,5)} & \\[5pt] &=& -4 \cdot 0,5 & \\[5pt] &=& -2 < 0 & \\[5pt] &&& \\[5pt] h(-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) &=& -\mathrm{e}^{-2 \cdot (-\frac{\ln(0,5)}{2})} - (-\dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln(0,5)} + \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& -0,5 + \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1 \\[5pt] &=& \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1,5 \end{array} \] Die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ sind exakt $ H(\dfrac{\ln(0,5)}{2} \mid \dfrac{\ln(0,5)}{2}) - 1,5). $
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten des Schaubildes von $ \boldsymbol{K_h} $ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_h$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) < 0}$
  • $K_h$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{h''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$ \[ h''(x) = \underbrace{-4}_{< 0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-2 \cdot x}}_{> 0} < 0 \] Das Schaubild ist folglich stets rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   Zu Antons Behauptung Stellung nehmen
Wenn du die Abbildung betrachtest, kannst du Antons Aussage zustimmen. Die Abbildung oder dein GTR zeigt jedoch nur einen Ausschnitt des Schaubildes $K_h.$ Deine Aufgabe ist es zu begründen, ob Antons Aussage grundsätzlich richtig ist. Verwende dazu die Eigenschaften, die du bisher über das Schaubild kennengelernt hast.
Der Hochpunkt liegt unterhalb der $x$–Achse, und $K_h $ besitzt keinen Wendepunkt, weil die zweite Ableitungsfunktion von $h$ keine Nullstelle aufweist. Da $K_h$ im gesamten Bereich rechtsgekrümmt ist, bleibt das Schaubild folglich stets unterhalb der $x$–Achse. Antons Behauptung ist richtig.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Abstand der Punkte $\boldsymbol{P}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_f} $ und $\boldsymbol{Q}$ auf dem Schaubild $ \boldsymbol{K_g} $ für $ \boldsymbol{0 < u < 1} $ maximieren
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $0 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf $K_h$ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze der Schaubilder $K_f$ und $K_h$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=0,5.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(0,5) = 4 $ und $ g(0,5) = -1,87 $ sind die Koordinaten der Punkte $P(0,5 \mid 4)$ und $Q(0,5 \mid -1,87)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = 4 - (-1,87) = 5,87 . \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formel:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind \[ \begin{array}{rclcll} l(u) &=& \overline{PQ(u)} \\ &=& y_P - y_Q \\ &=& f(u) - g(u) \\ &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 - (-\mathrm{e}^{-2 \cdot u} - u - 1) \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + 2 + \mathrm{e}^{-2 \cdot u} + u + 1 \\[5pt] &=& 2 \cdot \sin(\pi \cdot x) + \mathrm{e}^{-2 \cdot u} + u + 3, \\[5pt] \end{array} \] weil $P$ oberhalb von $Q$ liegt. Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit, den GTR zu verwenden, weil die schriftliche Berechnung der Extremstellen nicht möglich ist.
Lösung mit Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende im RUN–Menü die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l(u)$ im Intervall von $[0; 1]. $
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Auswertung
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Auswertung
Der Wert von $u$ mit $0 \leq u \leq 1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist ca. $ u_{max} \approx 0,51 $ LE.
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