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Aufgabe 2

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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\sin(\pi x)+2$    und    $x\in[-1;4]$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Zeichne $K_f$.
Bestimme die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
(5P)
2.2
Der Punkt $W(1\mid2)$ ist ein Wendepunkt von $K_f$.
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung $y=-2\pi x+2+2\pi$ Tangente an $K_f$ im Punkt $W$ ist.
Die Tangente, die $y$-Achse und $K_f$ schließen eine Fläche ein.
Berechne den exakten Inhalt dieser Fläche.
(8P)
2.3
Die Abbildung zeigt das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$.
2.3.1
Begründe jeweils, ob folgende Aussagen wahr oder
falsch sind.
(4P)
2.3.2
Ermittle mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente an $K_g$ an der Stelle $x=-0,5$.
(3P)
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=-\mathrm e^{-2x}-x-1$ ,    $x\in\mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_h$.
2.4
Gib die Koordinaten des Hochpunktes von $K_h$ an.
Untersuche rechnerisch das Krümmungsverhalten von $K_h$.
Anton behauptet: „$K_h$ besitzt keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse.“
Nimm Stellung zu dieser Behauptung.
(6P)
2.5
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ schneidet für $0< u<1$ das Schaubild $K_f$ im Punkt $P$ und das Schaubild $K_h$ im Punkt $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ maximal?
(4P)

(30P)
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