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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte $A(-1\mid3\mid1)$, $B(-8\mid3\mid1)$, $C(-11\mid3\mid4,5)$ und $D(-4\mid3\mid4,5)$.
4.1
Zeichne das Viereck $ABCD$ in ein räumliches Koordinatensystem $x_2$- und $x_3$- Achse:
$1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$; ($x_1$-Achse: mit dem Schrägwinkel $45°$ und $1\,\text{LE}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{cm}$).
(4P)

Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat dieses Viereck?
(2P)
4.2
Zeige rechnerisch, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist, aber kein Rechteck.
(6P)
4.3
Bestimme den Innenwinkel $\alpha$ am Eckpunkt $A$ des Parallelogramms.
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$.
(6P)
Gegeben sind zwei weitere Punkte $E(-1\mid-1,5\mid1)$    und    $H(-4\mid-1,5\mid4,5)$.
4.4
Zeichne die Punkte $E$ und $H$ in dein Koordinatensystem aus 4.1 ein und ergänze deine Zeichnung zu einem schiefen Quader.
Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $F$ und $G$.
(4P)
Gegeben ist die Gerade $g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\-1\end{pmatrix}$,    $r\in\mathbb{R}$
4.5
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g$ mit der $x_1$-$x_2$-Ebene.
(2P)
4.6
Bestimme eine Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $H$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g$ und $h$.
(6P)

(30P)
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$
Wenn du das Viereck zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zum Viereck $ABCD.$
$\blacktriangleright$   Beschreiben der besonderen Lage des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koordinatensystem
Damit du die besondere Lage des Vierecks erkennen kannst, vergleichst du am besten die jeweiligen Koordinaten der Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5)$ miteinander. Was fällt dir auf? Notiere dein Beobachtung und folgere daraus, in welcher Ebene das Viereck $ABCD$ liegt.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist
Du sollst nachweisen, dass das Viereck ein Parallelogramm. Informiere dich z. B. in der Formelsammlung, welche besondere Eigenschaften ein Parallelogramm besitzt:
Die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind parallel zueinander und gleich lang. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Alle Winkel sind keine rechten Winkel.
Übertrage die Eigenschaften in die Sprache der Vektorrechnung:
Die entsprechenden Pfeile der zugehörigen Seiten sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $ gelten. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnets du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $ABCD$ kein Rechteck ist
Ergänzend sollst du nachweisen, dass das Viereck kein Rechteck ist, also keinen rechten Winkel besitzt. Zwei Vektoren sind senkrecht zu einander, wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ergibt. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
Es reicht also nachzuweisen, dass z. B. die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein von Null verschiedenes Skalarprodukt ergeben. Wenn der Winkel bei $A$ kein rechter Winkel ist, dann ist auch der Winkel bei $C$ kein rechter Winkel. Da die Winkelsumme im Viereck $ 360^\circ $ beträgt und die Winkel bei $B$ und $D$ gleich groß sind, hat keiner der Winkel das Maß $ 90^/cir.$

Aufgabe 4.3

$\alpha$ ist der Innenwinkel im Viereck $ABCD$ am Eckpunkt $A.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\alpha}$
Der Winkel $\alpha$ hat den Scheitel bei $A,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$\alpha$ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $ $ \cos \alpha$ = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR con CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Im GTR von TI rufst du das Einstellungs–Menü auf und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Pfeiltaste auf Deg.
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,6507913735) $ $ \alpha$ =$ \cos^{-1} (0,6507913735) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms $\boldsymbol{ABCD}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ eines Dreiecks und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A $=$ \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an und berechne so den Flächeninhalt des Dreiecks $ABD.$ Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Zeichnen der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{H}$ in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 4.1
Zeichne die Punkte $ E(-1 \mid -1,5 \mid 1) $ und $ H(-4 \mid -1,5 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein.
$\blacktriangleright$   Ergänzung der Zeichnung zu einem schiefen Quader $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Ergänze durch Einzeichnen der Punkte $F$ und $G$ die Figur zu einem schiefen Quader.
$\blacktriangleright$   Bestimmen der Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $\boldsymbol{F}$ und $\boldsymbol{g}$ des schiefen Quaders $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Der Zeichung kannst du entnehmen, das die Seiten $\overline{EF}$ und $\overline{AB}$ parallel zueinander und gleich lang sind. Das gilt ebenso für die Seiten $\overline{FG}$ und $\overline{BC}.$ Übersetze diese Voraussetzungen mithilfe der Vektorrechnung und bestimme die gesuchten Koordinaten.

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes (Spurpunktes) von $\boldsymbol{g}$ mit der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Schnittpunkt einer Geraden $g$ mit einer Koordinatenebene ist der sogenannte Spurpunkt mit dieser Ebene. Du sollst seine Koordinaten in der $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{H}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AH} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AH} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AH}$ = $\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AH}, \; s \in \mathbb{R}. $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$
Wenn du das Viereck zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zum Viereck $ABCD.$
Aufgabe 4
[Abb. 1]: Viereck $ABCD$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 1]: Viereck $ABCD$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Beschreiben der besonderen Lage des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koordinatensystem
Damit du die besondere Lage des Vierecks erkennen kannst, vergleichst du am besten die jeweiligen Koordinaten der Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5)$ miteinander. Was fällt dir auf? Notiere dein Beobachtung und folgere daraus, in welcher Ebene das Viereck $ABCD$ liegt.
Jede $x_2$–Koordinate hat den Wert $ x_2 = 3. $ Das Viereck $ABCD$ liegt in einer Ebene, die parallel zur $x_1x_3$–Ebene ist und gegenüber ihr um drei Einheiten in positive $x_2$–Richtung (nach rechts) verschoben ist.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $\boldsymbol{ABCD}$ ein Parallelogramm ist
Du sollst nachweisen, dass das Viereck ein Parallelogramm. Informiere dich z. B. in der Formelsammlung, welche besondere Eigenschaften ein Parallelogramm besitzt:
Die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind parallel zueinander und gleich lang. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Alle Winkel sind keine rechten Winkel.
Übertrage die Eigenschaften in die Sprache der Vektorrechnung:
Die entsprechenden Pfeile der zugehörigen Seiten sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $ gelten. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
\begin{array}{rclclcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -8 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -8 - (-1) \cr 3 - 3 \cr 1 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{DC} &=& \begin{pmatrix} -11 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -11 - (-4) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 4,5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{BC} &=& \begin{pmatrix} -11 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -11 - (-8) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} -4 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -4 - (-1) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}
Es gilt $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. $ Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $\boldsymbol{ABCD}$ kein Rechteck ist
Ergänzend sollst du nachweisen, dass das Viereck kein Rechteck ist, also keinen rechten Winkel besitzt. Zwei Vektoren sind senkrecht zu einander, wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ergibt. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
Es reicht also nachzuweisen, dass z. B. die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein von Null verschiedenes Skalarprodukt ergeben. Wenn der Winkel bei $A$ kein rechter Winkel ist, dann ist auch der Winkel bei $C$ kein rechter Winkel. Da die Winkelsumme im Viereck $ 360^\circ $ beträgt und die Winkel bei $B$ und $D$ gleich groß sind, hat keiner der Winkel das Maß $ 90^\circ.$ Für das Skalarprodukt der Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ \[ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} = (-7) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 3,5 = 21 + 0 + 0 = 21 \neq 0. \] Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

Aufgabe 4.3

$\alpha$ ist der Innenwinkel im Viereck $ABCD$ am Eckpunkt $A.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\alpha}$
Der Winkel $\alpha$ hat den Scheitel bei $A,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$\alpha$ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $ $ \cos \alpha$ = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AB} \mid &=& \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0 + 0} = \sqrt{49} = 7 \\[5pt] \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AD} \mid &=& \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3,5^2} = \sqrt{9 + 0 + 12,25} = \sqrt{21,25} \\[5pt] \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &=& 21 \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{21}{7 \cdot \sqrt{21,25}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{\sqrt{21,25}} \\[5pt] &\approx& 0,6507913735 \end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR von TI rufst du das Einstellungs–Menü auf und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,6507913735) $ $ \alpha$ =$ \cos^{-1} (0,6507913735) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\alpha$ beträgt $ \alpha \approx \cos^{-1} (0,06507913735) \approx 49,4^\circ.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms $\boldsymbol{ABCD}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks $ABD$ und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A $=$ \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks. \begin{array}{rcl} A_{ABCD} &=& 2 \cdot A_{ABD} \\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& 7 \cdot \sqrt{21,25} \cdot \sin (49,4^\circ) \\[5pt] &\approx& 24,50 \end{array} Der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$ beträgt etwa $ 24,50 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Zeichnen der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{H}$ in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 4.1
Zeichne die Punkte $ E(-1 \mid -1,5 \mid 1) $ und $ H(-4 \mid -1,5 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein.
Aufgabe 4
[Abb. 3]: Viereck $ABCD$ und Punkte $E$ und $H$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 3]: Viereck $ABCD$ Punkte $E$ und $H$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Ergänzung der Zeichnung zu einem schiefen Quader $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Ergänze durch Einzeichnen der Punkte $F$ und $G$ die Figur zu einem schiefen Quader.
Aufgabe 4
[Abb. 4]: Quader $ABCDEFGH$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 4]: Quader $ABCDEFGH$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Bestimmen der Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $\boldsymbol{F}$ und $\boldsymbol{g}$ des schiefen Quaders $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Der Zeichung kannst du entnehmen, das die Seiten $\overline{EF}$ und $\overline{AB}$ parallel zueinander und gleich lang sind. Das gilt ebenso für die Seiten $\overline{FG}$ und $\overline{BC}.$ Übersetze diese Voraussetzungen mithilfe der Vektorrechnung und bestimme die gesuchten Koordinaten. \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{EF} &=& \overrightarrow{AB} \\[5pt] \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E} &=& \overrightarrow{AB} & & \scriptsize \mid \, + \overrightarrow{E} \\[5pt] \overrightarrow{F} &=& \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{E} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -7 + (-1) \cr 0 + (-1,5) \cr 0 + 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -8 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] \\ \overrightarrow{FG} &=& \overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{G} - \overrightarrow{F} &=& \overrightarrow{BC} & & \scriptsize \mid \, + \overrightarrow{F} \\[5pt] \overrightarrow{G} &=& \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{F} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 + (-8) \cr 0 + (-1,5) \cr 3,5 + 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -11 \cr -1,5 \cr 4,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array} Die Koordinaten der Punkte $F$ bzw. $G$ sind $ F(-8 \mid -1,5 \mid 1) $ und $ G(-11 \mid -1,5 \mid 4,5). $

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes (Spurpunktes) von $\boldsymbol{g}$ mit der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Schnittpunkt einer Geraden $g$ mit einer Koordinatenebene ist der sogenannte Spurpunkt mit dieser Ebene. Du sollst seine Koordinaten in der $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.
Die dritte Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = 6 + r \cdot (-1) $ bzw. $ r = 6. $ Der Spurpunkt $ S_{12} $ hat somit die Koordinaten $ (3 + 6 \cdot 5 \mid 0 + 6 \cdot 3 \mid 6 + 6 \cdot (-1)) $ bzw. $ S_{12}(33 \mid 18 \mid 0). $
Der Spurpunkt von $g$ mit der in der $x_1x_2–$Ebene ist $ S_{12}(33 \mid 18 \mid 0). $

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{H}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AH} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AH} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AH}$ = $\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AH}, \; s \in \mathbb{R}. $ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AH} &=& \begin{pmatrix} -4 \cr -1,5 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - (-1) \cr -1,5 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] h: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $H$ ist $ h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}, \; s \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$ \begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cr 0 \cr 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 3 \cr -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix} \\[5pt] 3 + r \cdot 5 &=& -1 + s \cdot (-3) \\ 0 + r \cdot 3 &=& 3 + s \cdot (-4,5) \\ 6 + r \cdot (-1) &=& 1 + s \cdot 3,5 \\[5pt] 5r + 3s &=& -4 \\ 3r + 4,5s &=& 3 & & \scriptsize \mid \; : 3 \\ -r - 3,5s &=& -5 \\[5pt] 5r + 3s &=& -4 \\ r + 1,5s &=& 1 \\ -r - 3,5s &=& -5 \\[5pt] \end{array} Durch Addition der beiden letzten Zeilen ergibt sich $ -2s = -4 $ und $ s = 2.$ Eingesetzt in die letzten drei Zeilen führt dies auf das Gleichungsystem \begin{array}{rclcl} 5r + 6 &=& -4 \\ r + 3 &=& 1 \\ -r - 7 &=& -5 & & \scriptsize \mid \; : 3 \\[5pt] 5r &=& -10 & & \scriptsize \mid \; : 2 \\ r &=& -2 \\ -r &=& 2 & & \scriptsize \mid \; : (-1) \end{array} und somit stets auf $ r = -2.$ Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar. $ s = 2 $ in $h$ eingesetzt ergibt $ P(-1 + 2 \cdot (-3) \mid 3 + 2 \cdot (-4,5) \mid 1 + 2 \cdot 3,5) $ bzw. $ P(-7 \mid -6 \mid 8). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$ sind $ P(-7 \mid -6 \mid 8). $
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$
Wenn du das Viereck zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zum Viereck $ABCD.$
Aufgabe 4
[Abb. 1]: Viereck $ABCD$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 1]: Viereck $ABCD$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Beschreiben der besonderen Lage des Vierecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koordinatensystem
Damit du die besondere Lage des Vierecks erkennen kannst, vergleichst du am besten die jeweiligen Koordinaten der Punkte $ A(-1 \mid 3 \mid 1), B(-8 \mid 3 \mid 1), C(-11 \mid 3 \mid 4,5) $ und $ D(-4 \mid 3 \mid 4,5)$ miteinander. Was fällt dir auf? Notiere dein Beobachtung und folgere daraus, in welcher Ebene das Viereck $ABCD$ liegt.
Jede $x_2$–Koordinate hat den Wert $ x_2 = 3. $ Das Viereck $ABCD$ liegt in einer Ebene, die parallel zur $x_1x_3$–Ebene ist und gegenüber ihr um drei Einheiten in positive $x_2$–Richtung (nach rechts) verschoben ist.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $\boldsymbol{ABCD}$ ein Parallelogramm ist
Du sollst nachweisen, dass das Viereck ein Parallelogramm. Informiere dich z. B. in der Formelsammlung, welche besondere Eigenschaften ein Parallelogramm besitzt:
Die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind parallel zueinander und gleich lang. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Alle Winkel sind keine rechten Winkel.
Übertrage die Eigenschaften in die Sprache der Vektorrechnung:
Die entsprechenden Pfeile der zugehörigen Seiten sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $ gelten. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnets du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
\begin{array}{rclclcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -8 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -8 - (-1) \cr 3 - 3 \cr 1 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{DC} &=& \begin{pmatrix} -11 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -11 - (-4) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 4,5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{BC} &=& \begin{pmatrix} -11 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -11 - (-8) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} -4 \cr 3 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -4 - (-1) \cr 3 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}
Es gilt $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. $ Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Viereck $\boldsymbol{ABCD}$ kein Rechteck ist
Ergänzend sollst du nachweisen, dass das Viereck kein Rechteck ist, also keinen rechten Winkel besitzt. Zwei Vektoren sind senkrecht zu einander, wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ergibt. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
Es reicht also nachzuweisen, dass z. B. die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein von Null verschiedenes Skalarprodukt ergeben. Wenn der Winkel bei $A$ kein rechter Winkel ist, dann ist auch der Winkel bei $C$ kein rechter Winkel. Da die Winkelsumme im Viereck $ 360^\circ $ beträgt und die Winkel bei $B$ und $D$ gleich groß sind, hat keiner der Winkel das Maß $ 90^\circ.$ Für das Skalarprodukt der Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ \[ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} = (-7) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 3,5 = 21 + 0 + 0 = 21 \neq 0. \] Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

Aufgabe 4.3

$\alpha$ ist der Innenwinkel im Viereck $ABCD$ am Eckpunkt $A.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\alpha}$
Der Winkel $\alpha$ hat den Scheitel bei $A,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{AB} $ und $ \overrightarrow{AD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$\alpha$ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $ $ \cos \alpha$ = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AB} \mid &=& \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0 + 0} = \sqrt{49} = 7 \\[5pt] \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AD} \mid &=& \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3,5^2} = \sqrt{9 + 0 + 12,25} = \sqrt{21,25} \\[5pt] \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &=& 21 \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{21}{7 \cdot \sqrt{21,25}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{\sqrt{21,25}} \\[5pt] &\approx& 0,6507913735 \end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR con CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Aufgabe 4
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,6507913735) $ $ \alpha$ =$ \cos^{-1} (0,6507913735) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\alpha$ beträgt $ \alpha \approx \cos^{-1} (0,06507913735) \approx 49,4^\circ.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms $\boldsymbol{ABCD}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks $ABD$ und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A $=$ \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks. \begin{array}{rcl} A_{ABCD} &=& 2 \cdot A_{ABD} \\\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& 7 \cdot \sqrt{21,25} \cdot \sin (49,4^\circ) \\[5pt] \approx 24,50 \end{array} Der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$ beträgt etwa $ 24,50 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Zeichnen der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{H}$ in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 4.1
Zeichne die Punkte $ E(-1 \mid -1,5 \mid 1) $ und $ H(-4 \mid -1,5 \mid 4,5) $ in das Koordinatensystem ein.
Aufgabe 4
[Abb. 3]: Viereck $ABCD$ und Punkte $E$ und $H$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 3]: Viereck $ABCD$ Punkte $E$ und $H$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Ergänzung der Zeichnung zu einem schiefen Quader $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Ergänze durch Einzeichnen der Punkte $F$ und $G$ die Figur zu einem schiefen Quader.
Aufgabe 4
[Abb. 4]: Quader $ABCDEFGH$ im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe 4
[Abb. 4]: Quader $ABCDEFGH$ im kartesischen Koordinatensystem
$\blacktriangleright$   Bestimmen der Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $\boldsymbol{F}$ und $\boldsymbol{g}$ des schiefen Quaders $\boldsymbol{ABCDEFGH}$
Der Zeichung kannst du entnehmen, das die Seiten $\overline{EF}$ und $\overline{AB}$ parallel zueinander und gleich lang sind. Das gilt ebenso für die Seiten $\overline{FG}$ und $\overline{BC}.$ Übersetze diese Voraussetzungen mithilfe der Vektorrechnung und bestimme die gesuchten Koordinaten. \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{EF} &=& \overrightarrow{AB} \\[5pt] \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E} &=& \overrightarrow{AB} & & \scriptsize \mid \, + \overrightarrow{E} \\[5pt] \overrightarrow{F} &=& \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{E} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -7 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -7 + (-1) \cr 0 + (-1,5) \cr 0 + 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -8 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] \\ \overrightarrow{FG} &=& \overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{G} - \overrightarrow{F} &=& \overrightarrow{BC} & & \scriptsize \mid \, + \overrightarrow{F} \\[5pt] \overrightarrow{G} &=& \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{F} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \cr 0 \cr 3,5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \cr -1,5 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 + (-8) \cr 0 + (-1,5) \cr 3,5 + 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -11 \cr -1,5 \cr 4,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \end{array} Die Koordinaten der Punkte $F$ bzw. $G$ sind $ F(-8 \mid -1,5 \mid 1) $ und $ G(-11 \mid -1,5 \mid 4,5). $

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes (Spurpunktes) von $\boldsymbol{g}$ mit der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Schnittpunkt einer Geraden $g$ mit einer Koordinatenebene ist der sogenannte Spurpunkt mit dieser Ebene. Du sollst seine Koordinaten in der $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.
Die dritte Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = 6 + r \cdot (-1) $ bzw. $ r = 6. $ Der Spurpunkt $ S_{12} $ hat somit die Koordinaten $ (3 + 6 \cdot 5 \mid 0 + 6 \cdot 3 \mid 6 + 6 \cdot (-1)) $ bzw. $ S_{12}(33 \mid 18 \mid 0). $
Der Spurpunkt von $g$ mit der in der $x_1x_2–$Ebene ist $ S_{12}(33 \mid 18 \mid 0). $

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{H}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AH} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AH} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AH}$ = $\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + s \cdot \overrightarrow{AH}, \; s \in \mathbb{R}. $ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AH} &=& \begin{pmatrix} -4 \cr -1,5 \cr 4,5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - (-1) \cr -1,5 - 3 \cr 4,5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}\\[5pt] h: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $H$ ist $ h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix}, \; s \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$ \begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 3 \cr 0 \cr 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 3 \cr -1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \cr -4,5 \cr 3,5 \end{pmatrix} \\[5pt] 3 + r \cdot 5 &=& -1 + s \cdot (-3) \\ 0 + r \cdot 3 &=& 3 + s \cdot (-4,5) \\ 6 + r \cdot (-1) &=& 1 + s \cdot 3,5 \\[5pt] 5r + 3s &=& -4 \\ 3r + 4,5s &=& 3 & & \scriptsize \mid \; : 3 \\ -r - 3,5s &=& -5 \\[5pt] 5r + 3s &=& -4 \\ r + 1,5s &=& 1 \\ -r - 3,5s &=& -5 \\[5pt] \end{array} Durch Addition der beiden letzten Zeilen ergibt sich $ -2s = -4 $ und $ s = 2.$ Eingesetzt in die letzten drei Zeilen führt dies auf das Gleichungsystem \begin{array}{rclcl} 5r + 6 &=& -4 \\ r + 3 &=& 1 \\ -r - 7 &=& -5 & & \scriptsize \mid \; : 3 \\[5pt] 5r &=& -10 & & \scriptsize \mid \; : 2 \\ r &=& -2 \\ -r &=& 2 & & \scriptsize \mid \; : (-1) \end{array} und somit stets auf $ r = -2.$ Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar. $ s = 2 $ in $h$ eingesetzt ergibt $ P(-1 + 2 \cdot (-3) \mid 3 + 2 \cdot (-4,5) \mid 1 + 2 \cdot 3,5) $ bzw. $ P(-7 \mid -6 \mid 8). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$ sind $ P(-7 \mid -6 \mid 8). $
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