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Aufgabe 2

Aufgaben
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Funktionen

Im Koordinatensystem ist der Graph einer Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=1,5^x$ dargestellt.
a)
Gib den Wertebereich von $f$ an.
(1 P)
#wertebereich
b)
Der Punkt $P(x\mid 1000)$ gehört zum Graphen der Funktion $f.$
Berechne die $x$-Koordinate des Punktes $P.$
(2 P)
c)
Der Graph $f$ wird an der $y$-Achse gespiegelt.
  • Zeichne den gespiegelten Graphen $f*$ in das gegebene Koordinatensystem ein.
  • Gib eine zugehörige Funktionsgleichung an.
(2 P)
#spiegelung
d)
Die Gerade $g$ hat den Anstieg $m=-3.$ Sie schneidet den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $S(1\mid 1,5).$
Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden $g.$
Stelle die Gerade $g$ im gegebenen Koordinatensystem dar.
Die Gerade $g$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Gib die Größe des Winkels an, den die Gerade mit der $x$-Achse einschließt.
(4 P)
e)
Berechne den Abstand des Schnittpunktes $S(1\mid 1,5)$ vom Koordinatenursprung.
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Wertebereich angebenAufgabe 2
Potenzen einer positiven Zahl können nicht negativ werden. Dies ist die einzige Einschränkung für den Wertebereich:
$W_f = \{y\in \mathbb{R} \mid y > 0 \}$
b)
$\blacktriangleright$  Fehlende Koordinate berechnen
Setze die Koordinaten von $P$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} 1000&=& 1,5^x &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln 1000&=& \ln 1,5^x\\[5pt] \ln 1000&=& x\cdot \ln 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :\ln 1,5 \\[5pt] \frac{\ln 1000}{\ln 1,5}&=& x \\[5pt] 17,04 &\approx& x \\[5pt] \end{array}$
Die $x$-Koordinate von $P$ lautet $x\approx 17,04.$
c)
$\blacktriangleright$  Graphen einzeichnen
Aufgabe 2
Abb. 1: Spiegelung von $f$
Aufgabe 2
Abb. 1: Spiegelung von $f$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Eine Spiegelung an der $y$-Achse erfolgt durch einen Faktor $-1$ vor dem $x.$
$f^*(x)= f(-x)= 1,5^{-x}$
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Mithilfe des Anstiegs lässt sich eine Gleichung von $g$ schon einmal wie folgt aufstellen:
$g(x)= -3\cdot x + b $
Um $b$ zu bestimmen, setze die Koordinaten von $S$ in die Gleichung ein und löse nach $b.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -3\cdot x + b \\[5pt] 1,5&=& -3\cdot 1 +b&\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 4,5&=& b \end{array}$
Eine Gleichung von $g$ lautet:
$g(x)= -3\cdot x +4,5.$
$\blacktriangleright$  Gerade im Koordinatensystem darstellen
Aufgabe 2
Abb. 2: Gerade $g$
Aufgabe 2
Abb. 2: Gerade $g$
$\blacktriangleright$  Winkelgröße angeben
Das Dreieck, das die Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, ist rechtwinklig. Die Länge der Gegenkathete des gesuchten Winkels entspricht dem $y$-Achsenabschnitt $b$ der Geraden:
$b = 4,5 $
Die Länge der Ankathete kann über die $x$-Koordinate des Schnittpunkts von $g$ mit der $x$-Achse bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] -3x + 4,5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4,5\\[5pt] -3x &=& -4,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] x&=& 1,5 \end{array}$
Also ist die zweite Kathete $a= 1,5.$ Du kannst also den Tangens verwenden, um den gesuchten Winkel $\alpha$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{4,5}{1,5}\\[5pt] \tan \alpha&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 71,6^{\circ} \end{array}$
Die Gerade $g$ schließt mit der $x$-Achse einen Winkel der Größe $71,6^{\circ}$ ein.
#tangens
e)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Betrachte das eingezeichnete Dreieck. Dieses ist rechtwinklig. Der gesuchte Abstand entspricht der Länge der Hypotenuse $c.$
Die beiden Katheten können aus den Koordinaten von $S$ bestimmt werden: $a = 1,$ $b = 1,5.$ Du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 +b^2 &=& c^2 \\[5pt] 1^2+1,5^2 &=& c^2 \\[5pt] 3,25 &=& c^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] 1,8 & \approx & c \end{array}$
Der Schnittpunkt $S$ hat vom Koordinatenursprung einen Abstand von ca. $1,8.$
Bildnachweise [nach oben]
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