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Vektorgeometrie 1

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Ebene
$E:\,\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\9\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix};\quad$$ r,s\in\mathbb{R}$.
$E:\,\vec{x}= … $
Die Schnittfläche von $E$ mit dem skizzierten Würfel der Kantenlänge 6 ist das Dreieck mit den Eckpunkten $S_{1}(2\mid6\mid6)$, $S_{2}(6\mid2\mid6)$ und $S_3$.
1.1
Zeige, dass für den dritten Eckpunkt des Dreiecks gilt: $S_{3}(6\mid6\mid3)$.
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks $S_{1}S_{2}S_{3}$.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Es gibt Ebenen, die parallel zu $E$ sind und genau zwei Eckpunkte des Würfels enthalten.
Gib für jede dieser Ebenen eine Gleichung sowie die beiden enthaltenen Eckpunkte an.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Gegeben ist die Ebene $F:\;\vec{x}=u\cdot\begin{pmatrix}-8\\0\\6\end{pmatrix}+v\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix};$$\quad u,v\in\mathbb{R}$.
Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen $F$ und $E$.
Wie viele Eckpunkte des Würfels liegen in der Ebene $F$?
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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