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Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
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Stochastik 1
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Abi 2009
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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung

Aufgaben
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Lineare Optimierung  Sämtliche Aufgaben entfallen ab 2017
1
Ein Pulloverhersteller produziert drei unterschiedliche Sweatshirts in der Größe XL, die sich in der Zusammensetzung der drei Ausgangsmaterialien Baumwolle, Viskose und Polyester unterscheiden:
BaumwolleViskosePolyester
Sweatshirt A$60\,\%$$40\,\%$$0\,\%$
Sweatshirt B$40\,\%$$20\,\%$$40\,\%$
Sweatshirt C$0\,\%$$40\,\%$$60\,\%$
Baumwolle
Sweatshirt A$60\,\%$
Sweatshirt B$40\,\%$
Sweatshirt C$0\,\%$
Für die Herstellung der Sweatshirts A, B und C werden jeweils $0,5\,\text{kg}$ Stoff benötigt. Insgesamt stehen $8.000\,\text{kg}$ Baumwolle, $6.000\,\text{kg}$ Viskose und $5.000\,\text{kg}$ Polyester zur Verfügung.
Es wird angenommen, dass alle hergestellten Sweatshirts verkauft werden.
Der Hersteller macht jeweils $2\,€$ Gewinn mit Sweatshirt A und B sowie $3\,€$ Gewinn mit Sweatshirt C.
1.1
Zunächst werden $10.000$ Sweatshirts der Sorte B hergestellt.
1.1.1
Ermitteln Sie graphisch, wie viele Sweatshirts der Sorten A und C das Unternehmen herstellen muss, damit der Gewinn maximiert wird.
Geben Sie den maximalen Gewinn an.
(6P)
1.1.2
Welches Ausgangsmaterial wird bei Ihrer Lösung nicht vollständig verbraucht?
Auf wie viel Euro mindestens müsste der Gewinn für jedes Sweatshirt A ansteigen, damit dieses Ausgangsmaterial vollständig verbraucht wird und der Gewinn insgesamt immer noch maximal ist?
(3P)
1.2
Ein Berater empfiehlt der Unternehmensleitung, die festegelegte Produktionszahl von $10.000$ Sweatshirts der Sorte B fallen zu lassen. Damit kann der Gewinn weiter gesteigert werden.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Simplexverfahrens die Anzahl der hergestellten Sweatshirts A, B und C, für die dann der Gewinn maximal wird.
Geben Sie den maximalen Gewinn an.
Überprüfen Sie, ob Ausgangsmaterialien übrig bleiben.
(6P)

(15P)
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Tipps
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1.1
1.1.1
$\blacktriangleright$ Graphisch Bestimmen, wie viele Sweatshirts hergestellt werden müssen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Pulloverhersteller drei unterschiedliche Sweatshirts der Größe XL herstellt, die sich in der Zusammensetzung der drei Ausgangsmaterialen Baumwolle, Viskose und Polyester, gemäß der gegebenen Tabelle, unterscheiden. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ jeweils 0,5 kg Stoff benötigt werden, während insgesamt
  • 8.000 kg Baumwolle,
  • 6.000 kg Viskose und
  • 5.000 kg Polyester
zur Verfügung stehen. Außerdem weißt du, dass zunächst 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt werden, wobei es deine Aufgabe ist, graphisch zu ermitteln, wie viele Sweatshirts der Sorten $A$ und $C$ das Unternehmen herstellen muss, damit der Gewinn maximiert wird.
Bevor du diese Aufgabe also lösen kannst, musst du zunächst ermitteln, wie die Zielfunktion des hier vorliegenden Optimierungsproblems aussieht. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte und dass dieses jeweils 2 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $A$ und $B$ und jeweils 3 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $C$ macht:
  • 1. Schritt: Bestimmen der Zielfunktion
Hast du die Zielfunktion des hier vorliegenden Problems ermittelt, so ermittelst du im nächsten Schritt die Nebenbedingungen:
  • 2. Schritt: Ermitteln der Nebenbedingungen
Führe dir beim Bestimmen der Nebenbedingungen folgendes vor Augen:
  • Für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ werden jeweils 0,5 kg Stoff benötigt.
  • Der Vorrat an Stoff ist beschränkt:
    • 8.000 kg Baumwolle
    • 6.000 kg Viskose
    • 5.000 kg Polyester
  • Aus welchen Bestandteilen der einzelnen Stoffe ein Sweatshirt besteht, kannst du der Tabelle entnehmen.
  • Die Angaben aus der Tabelle müssen sich auf 0,5 kg beziehen.
  • Es werden 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt.
  • Nichtnegativitätsbedingung!
Hast du die Nebenbedingungen ermittelt, so überträgst du diese in ein Koordinatensystem, in welchem die Achsen für die Anzahl der produzierten Einheiten des Sweatshirts $A$ und des Sweatshirts $B$ stehen. Bestimme anschließend über das parallele Verschieben der Zielfunktion die optimale Lösung des Problems:
  • 3. Schritt: Graphisches Bestimmen der optimalen Lösung
1.1.2
$\blacktriangleright$Ermitteln, welches Ausgangsmaterial nicht vollständig aufgebraucht wird
Nun sollst du ermitteln, welches Ausgangsmaterial, also Baumwolle, Viskose und Polyester, mit der von dir oben ermittelten Lösung nicht vollständig aufgebraucht wurde. Die Lösung aus dem vorherigen Aufgabenteil war dabei gegeben mit:
  • Sweatshirt $A$: 15.000
  • Sweatshirt $B$: 10.000
  • Sweatshirt $C$: 10.000
Setze diese Größen nun in die Nebenbedingungen ein. Bei den Nebenbedingungen, bei welchen dann die linke nicht der rechten Seite der Ungleichung entspricht, wurden die gegeben Ausgangsmaterialien nicht vollständig aufgebraucht.
$\blacktriangleright$Ermitteln, wie hoch der Gewinn von Sweatshirt $\boldsymbol{A}$ sein muss
Nun sollst du berechnen, auf wie viel Euro der Gewinn pro verkauftem Sweatshirt $A$ mindestens ansteigen müsste, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig verbraucht wird und der Gewinn insgesamt immer noch maximal ist.
Das heißt, in diesem Aufgabenteil wird der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$ so gesucht, dass damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht wird und der Gewinn weiterhin maximal ist. Das heißt, du musst zuerst bestimmen, wie viele Einheiten von Sweatshirt $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht ist. Verwende dazu die Nebenbedingungen.
Hast du die Anzahlen von $A$ und $C$ so bestimmt, dass Rohstoff $A$ vollständig aufgebraucht ist, so betrachtest du die Zielfunktion. Dir ist bekannt, dass der maximale Gewinn bei 80.000 liegt. Weiterhin weißt du dann, wie viele Einheiten an $A$, $B$ und $C$ hergestellt werden. Das einzige was du nicht kennst ist der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$. Löse also nach $g_A$ auf!
Gehe also so vor:
  • Bestimme wie viele Einheiten von $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist.
  • Setze in die Zielfunktion ein und löse nach $g_A$.
1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen der Produktionszahlen und Angeben, ob Materialien übrig bleiben
Nun wird dem Unternehmen geraten, die festgelegte Produktionsanzahl von 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ fallen zu lassen, damit der Gewinn noch weiter gesteigert werden kann.
Deine Aufgabe ist es nun, mit Hilfe des Simplexalgorithmus die Anzahl der herzustellenden Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ so zu bestimmen, dass der Gewinn dann maximal wird. Weiterhin sollst du überprüfen, ob Ausgangsmaterialien übrig bleiben.
Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen bleiben also bei dieser Aufgabe unverändert. Diese hast du bereits im Aufgabenteil zuvor bestimmt. Denke beim Aufstellen des Problems hier daran, dass die Produktionsanzahl der Sweatshirts der Sorte $B$ nun unbekannt ist.
Die Zielfunktion war:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$ mit:
  • $x_1$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $A$;
  • $x_2$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $B$;
  • $x_3$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $C$.
Die Nebenbedingungen waren:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot x_2 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000$
  • $(3)\quad 0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 + …$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + …$
  • $(3)\quad 0 \cdot x_1 + …$
Willst du nun dieses Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus lösen, so musst du hier so vorgehen:
  • Führe für die Nebenbedingungen die Schlupfvariablen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ ein und stelle diese anschließend in einem Simplex-Tableau dar.
  • Identifiziere das Pivot-Element.
  • Führe den Simplex-Algorithmus durch. Die optimale Lösung ist gefunden, wen in der Zielfunktionszeile keine positiven Werte mehr zu finden sind.
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Lösungen TI
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1.1
1.1.1
$\blacktriangleright$ Graphisch Bestimmen, wie viele Sweatshirts hergestellt werden müssen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Pulloverhersteller drei unterschiedliche Sweatshirts der Größe XL herstellt, die sich in der Zusammensetzung der drei Ausgangsmaterialen Baumwolle, Viskose und Polyester, gemäß der gegebenen Tabelle, unterscheiden. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ jeweils 0,5 kg Stoff benötigt werden, während insgesamt
  • 8.000 kg Baumwolle,
  • 6.000 kg Viskose und
  • 5.000 kg Polyester
zur Verfügung stehen. Außerdem weißt du, dass zunächst 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt werden, wobei es deine Aufgabe ist, graphisch zu ermitteln, wie viele Sweatshirts der Sorten $A$ und $C$ das Unternehmen herstellen muss, damit der Gewinn maximiert wird.
Bevor du diese Aufgabe also lösen kannst, musst du zunächst ermitteln, wie die Zielfunktion des hier vorliegenden Optimierungsproblems aussieht. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte und dass dieses jeweils 2 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $A$ und $B$ und jeweils 3 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $C$ macht:
  • 1. Schritt: Bestimmen der Zielfunktion
Hast du die Zielfunktion des hier vorliegenden Problems ermittelt, so ermittelst du im nächsten Schritt die Nebenbedingungen:
  • 2. Schritt: Ermitteln der Nebenbedingungen
Führe dir beim Bestimmen der Nebenbedingungen folgendes vor Augen:
  • Für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ werden jeweils 0,5 kg Stoff benötigt.
  • Der Vorrat an Stoff ist beschränkt:
    • 8.000 kg Baumwolle
    • 6.000 kg Viskose
    • 5.000 kg Polyester
  • Aus welchen Bestandteilen der einzelnen Stoffe ein Sweatshirt besteht, kannst du der Tabelle entnehmen.
  • Die Angaben aus der Tabelle müssen sich auf 0,5 kg beziehen.
  • Es werden 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt.
  • Nichtnegativitätsbedingung!
Hast du die Nebenbedingungen ermittelt, so überträgst du diese in ein Koordinatensystem, in welchem die Achsen für die Anzahl der produzierten Einheiten des Sweatshirts $A$ und des Sweatshirts $B$ stehen. Bestimme anschließend über das parallele Verschieben der Zielfunktion die optimale Lösung des Problems:
  • 3. Schritt: Graphisches Bestimmen der optimalen Lösung
1. Schritt: Bestimmen der Zielfunktion
Von oben weißt du, dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte, während es jeweils 2 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $A$ und $B$ und jeweils 3 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $C$ macht. $x_1$ steht hier für die verkauften Mengen von Sweatshirt $A$, $x_2$ für die verkauften Mengen von Sweatshirt $B$ und $x_3$ für die verkauften Mengen von Sweatshirt $C$.
Will das Unternehmen seinen Gewinn maximieren, so muss die Zielfunktion wie folgt lauten:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$
Da du weißt, dass das Unternehmen alle Sweatshirts verkauft bekommt und bereits 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt hat, lässt sich die Zielfunktion wie folgt ergänzen:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot 10.000 + 3 \cdot x_3 = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
$G $$= 2 \cdot x_1 + 2 \cdot 10.000 + 3 \cdot x_3 $$= 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
2. Schritt: Bestimmen der Nebenbedingungen
Bevor du hier die Nebenbedingungen bestimmen kannst, musst du zunächst bestimmen, wie viel kg der einzelnen Stoffe für die Herstellung eines Sweatshirts der Sorten $A$, $B$ und $C$ benötigt werden. Da insgesamt 0,5 kg Stoff für die Herstellung eines Sweatshirts benötigt werden, lässt sich mit dieser Angabe auf die benötigte Menge in kg schließen.
Für die Herstellung von Sweatshirt $A$ werden beispielsweise $0,6 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0,3\,\text{kg}$ Baumwolle benötigt und für $B$ und $C$ gilt demnach:
  • Bedarf an Baumwolle für $B$: $0,4 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0,2\,\text{kg}$
  • Bedarf an Baumwolle für $C$: $0 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0\,\text{kg}$
Da insgesamt 8.000 kg Baumwolle zur Verfügung stehen, ergibt sich die erste Nebenbedingung zu:
  • $(1) $$ \quad0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 4 $$ \leq 8.000$
Bildest du die Nebenbedingungen für Viskose und Polyester auf die gleiche Weise, so sollten die Nebenbedingungen $(2)$ und $(3)$ so bei dir aussehen:
  • $(2) $$ \quad0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot x_2 + 0,2 \cdot x_3 $$ \leq 6.000$
  • $(3) $$ \quad0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0,3 \cdot x_3 $$ \leq 5.000$
Da bereits 10.000 Exemplare der Sorte $B$ hergestellt wurden, lassen sich die hier aufgestellten Nebenbedingungen wie folgt anpassen:
  • $(1)\quad0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot 10.000 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000\;\Leftrightarrow\;0,3 \cdot x_1 \leq 6.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot 10.000 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000\;\Leftrightarrow\; 0,2 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(3)\quad0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot 10.000 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000\;\Leftrightarrow\;0,3 \cdot x_3 \leq 3.000$
  • $(1)\quad…$
  • $(2)\quad …$
  • $(3)\quad…$
Da keine negativen Mengen produziert werden können, muss außerdem noch für die Variablen $x_1,\;x_2$ und $x_3$ gelten:
  • $x_1,\;x_2,\;x_3 \geq 0$.
3. Schritt: Graphisches Bestimmen der optimalen Lösung
Bevor du nun die optimale Lösung bestimmen kannst, musst du zunächst die Nebenbedingungen $(1)$ bis $(3)$ in ein geeignetes Koordinatensystem übertragen. Wähle dazu die Anzahl von $x_1$ als $x$-Achse und die Anzahl von $x_3$ als $y$-Achse.
Stelle anschließend deine Nebenbedingungen nach $x_1$ bzw. $x_3$ um, um diese in das Schaubild übertragen zu können:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 \leq 6.000\;\Leftrightarrow\;x_1 \leq 20.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000\;\Leftrightarrow\; 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000 - 0,2 \cdot x_1\;\Leftrightarrow\;x_3 \leq 25.000 - x_1 $
  • $(3)\quad 0,3 \cdot x_3 \leq 3.000 \;\Leftrightarrow\;x_3 \leq 10.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad … $
  • $(3)\quad …$
Zeichne diese Restriktionen nun in ein passendes Schaubild und er halte so den zulässigen Bereich für deine Lösung:
Lineare Optimierung
Lineare Optimierung
Stelle nun ebenfalls die Zielfunktion wie folgt nach $x_3$ um, nimm dazu ein beliebiges $G$ an und zeichne diese ein (hier orange). Verschiebe diese anschließend so lange bis du die optimale Lösung ermittelt hast (hier rot). Mit $G = 50.000$ ergibt sich
$\begin{array}{rrlrl} G &=& 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 +20.000&& \mid\; -3 \cdot x_3 \mid\;: (-3) \\[5pt] x_3-\dfrac{G}{3} &=& -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3}&& \mid\; +\dfrac{G}{3} \\[5pt] x_3 &=& \dfrac{50.000}{3} -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3} \\[5pt] x_3 &=& 10.000 -\frac{2}{3} \cdot x_1 \end{array}$
$\begin{array}{rrlrl} x_3 &=& 10.000 -\frac{2}{3} \cdot x_1 \end{array}$
Lineare Optimierung
Lineare Optimierung
Es ergeben sich hier also folgende zwei mögliche Lösungen:
  • $x_1 = 20.000$ und $x_3 = 5.000$ sowie
  • $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$.
Welche dieser beiden die optimale Lösung darstellt, wird im zweiten Teil dieser Aufgabe geklärt.
$\blacktriangleright$Angeben des maximalen Gewinns
Den maximalen Gewinn kannst du hier ermitteln, indem du nun die oben ermittelten Lösungen in die Zielfunktion $G$ einsetzt. Diese war gegeben mit:
$G = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
$G = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
1.Lösung: $\boldsymbol{x_1 $$= 20.000}$ und $\boldsymbol{x_3 $$= 5.000}$
$G_1 $$= 2 \cdot 20.000 + 3 \cdot 5.000 + 20.000 $$= 75.000$
2.Lösung: $\boldsymbol{x_1 $$= 15.000}$ und $\boldsymbol{x_3 $$= 10.000}$
$G_2 $$= 2 \cdot 15.000 + 3 \cdot 10.000 + 20.000 $$= 80.000$
Die optimale Lösung ist $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$. Der zugehörige maximale Gewinn ist 80.000.
1.1.2
$\blacktriangleright$Ermitteln, welches Ausgangsmaterial nicht vollständig aufgebraucht wird
Nun sollst du ermitteln, welches Ausgangsmaterial, also Baumwolle, Viskose und Polyester, mit der von dir oben ermittelten Lösung nicht vollständig aufgebraucht wurde. Die Lösung aus dem vorherigen Aufgabenteil war dabei gegeben mit:
  • Sweatshirt $A$: 15.000
  • Sweatshirt $B$: 10.000
  • Sweatshirt $C$: 10.000
Setze diese Größen nun in die Nebenbedingungen ein. Bei den Nebenbedingungen, bei welchen dann die linke nicht der rechten Seite der Ungleichung entspricht, wurden die gegeben Ausgangsmaterialien nicht vollständig aufgebraucht.
Setzt du nun $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$ in $(1)$, $(2)$ und $(3)$ so solltest du zu folgenden Resultaten gekommen sein:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot 15.000 = 4.500 \leq 6.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot 15.000 + 0,2 \cdot 10.000 = 5000 \leq 5.000$
  • $(3)\quad 0,3 \cdot 10.000 = 3.000 \leq 3.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad …$
  • $(3)\quad …$
Betrachtest du nun die oben berechneten Werte genauer, so kannst du erkennen, dass bei der ersten Ungleichung die linke Seite kleiner der rechten ist. Folglich bleiben 1.500 kg Baumwolle übrig.
$\blacktriangleright$Ermitteln, wie hoch der Gewinn von Sweatshirt $\boldsymbol{A}$ sein muss
Nun sollst du berechnen, auf wie viel Euro der Gewinn pro verkauftem Sweatshirt $A$ mindestens ansteigen müsste, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig verbraucht wird und der Gewinn insgesamt immer noch maximal ist.
Das heißt, in diesem Aufgabenteil wird der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$ so gesucht, dass damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht wird und der Gewinn weiterhin maximal ist. Das heißt, du musst zuerst bestimmen, wie viele Einheiten von Sweatshirt $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht ist. Verwende dazu die Nebenbedingungen.
Hast du die Anzahlen von $A$ und $C$ so bestimmt, dass Rohstoff $A$ vollständig aufgebraucht ist, so betrachtest du die Zielfunktion. Dir ist bekannt, dass der maximale Gewinn bei 80.000 liegt. Weiterhin weißt du dann, wie viele Einheiten an $A$, $B$ und $C$ hergestellt werden. Das einzige was du nicht kennst ist der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$. Löse also nach $g_A$ auf!
Gehe also so vor:
  • Bestimme wie viele Einheiten von $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist.
  • Setze in die Zielfunktion ein und löse nach $g_A$.
1. Schritt: Bestimmen der Einheiten von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$
Willst du ermitteln, wie viele Einheiten von $A$ hergestellt werden müssen, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist, löst du die Nebenbedingung (1) nach $x_1$ auf:
$\begin{array}{rrlrl} 0,3 \cdot x_1&\leq& 6.000 && \mid\; : 0,3 \\[5pt] x_1&\leq& 20.000 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0,3 \cdot x_1&\leq& 6.000 \\[5pt] x_1&\leq& 20.000 \end{array}$
Es müssen also 20.000 Sweatshirts von Typ $A$ hergestellt werden, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist. Setze dieses Ergebnis nun in Nebenbedingung (2) ein, um zu ermitteln, wie viele Einheiten von $C$ hergestellt werden müssen:
$\begin{array}{rrlrl} 0,2 \cdot 20.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 4.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 && \mid\; - 4.000 \\[5pt] 0,2 \cdot x_3&\leq& 1.000 && \mid\; :0,2 \\[5pt] x_3&\leq& 5.000 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0,2 \cdot 20.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 4.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 0,2 \cdot x_3&\leq& 1.000 \\[5pt] x_3&\leq& 5.000 \end{array}$
Es müssen also 5.000 Einheiten von Sweatshirts $C$ hergestellt werden, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist.
2. Schritt: Bestimmen des gesuchten Gewinns
Willst du nun den hier gesuchten Gewinn $g_A$ für Sweatshirt $A$ bestimmen, so setzt du $x_3 = 5.000$ und $x_1 = 20.000$ in die Zielfunktion ein. Da der maximale Gewinn bei 90.000 liegt, setzt du die Zielfunktion damit gleich und löst nach dem Gewinn $g_a$ für Sweatshirt $A$ auf.
$\begin{array}{rrlrl} 80.000&=& 20.000 \cdot g_a + 20.000 + 5.000 \cdot 3 \\[5pt] 80.000&=& 20.000 \cdot g_a +35.000&& \mid \; -35.000 \\[5pt] 45.000&=& 20.000 \cdot g_a&& \mid \; :20.000 \\[5pt] 2,25&=& g_a \end{array}$
$\begin{array}{rrlrl} 2,25&=& g_a \end{array}$
Der Gewinn beim Verkauf eines Sweatshirts vom Typ $A$ muss also bei 2,25 € liegen.
1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen der Produktionszahlen und Angeben, ob Materialien übrig bleiben
Nun wird dem Unternehmen geraten, die festgelegte Produktionsanzahl von 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ fallen zu lassen, damit der Gewinn noch weiter gesteigert werden kann.
Deine Aufgabe ist es nun, mit Hilfe des Simplexalgorithmus die Anzahl der herzustellenden Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ so zu bestimmen, dass der Gewinn dann maximal wird. Weiterhin sollst du überprüfen, ob Ausgangsmaterialien übrig bleiben.
Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen bleiben also bei dieser Aufgabe unverändert. Diese hast du bereits im Aufgabenteil zuvor bestimmt. Denke beim Aufstellen des Problems hier daran, dass die Produktionsanzahl der Sweatshirts der Sorte $B$ nun unbekannt ist.
Die Zielfunktion war:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$ mit:
  • $x_1$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $A$;
  • $x_2$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $B$;
  • $x_3$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $C$.
Die Nebenbedingungen waren:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot x_2 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000$
  • $(3)\quad 0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad …$
  • $(3)\quad …$
Willst du nun dieses Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus lösen, so musst du hier so vorgehen:
  • Führe für die Nebenbedingungen die Schlupfvariablen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ ein und stelle diese anschließend in einem Simplex-Tableau dar.
  • Identifiziere das Pivot-Element.
  • Führe den Simplex-Algorithmus durch. Die optimale Lösung ist gefunden, wen in der Zielfunktionszeile keine positiven Werte mehr zu finden sind.
1. Schritt: Schlupfvariablen einführen
Die drei Nebenbedingungen von oben sind Ungleichungen und enthalten jeweils ein $\leq$. Es muss also ein gewisser Wert $u_1$, $u_2$ oder $u_3$ zu diesen addiert werden, um Gleichheit herzustellen. Die drei Ungleichungen ergeben sich dann zu:
$\begin{array}{l@{\quad}*{6}{rc}r@{\quad}l} (1)&0,3 \cdot x_1&+&0,2 \cdot x_2&+&0 \cdot x_3&+&u_1&&&&&=&8.000\\ (2)&0,2 \cdot x_1&+&0,1 \cdot x_2&+&0,2 \cdot x_3&&&+&u_2&&&=&6.000\\ (3)&0 \cdot x_1&+&0,2 \cdot x_2&+&0,3 \cdot x_3&&&&&+&u_3&=&5.000\\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\quad}*{6}{rc}r@{\quad}l} (1)&…\\ (2)&…\\ (3)&…\\ \end{array}$
2. Schritt: Simplex-Tableau erstellen und Algorithmus ausführen
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$
0,30,201008.000
0,20,10,20106.000
00,20,30015.000
223000$G$
$x_1$$x_2$$x_3$
0,30,20
0,20,10,2
00,20,3
223
In der Zielfunktionszeile ist die größte positive Zahl in Spalte (3) zu finden. Hier wird Spalte (3) also als Pivot-Spalte gewählt. Teile zeilenweise die Elemente aus der letzten Spalte durch das Element aus der 3. Spalte der jeweiligen Zeile. Tue dies allerdings nur, wenn das Element in der 3. Spalte positiv ist.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Rechnung
(1)0,30,201008.000
(2)0,20,10,20106.0006.000 : 0,2 = 30.000
(3)00,20,30015.0005.000 : 0,3 = 16.666,67
223000$G$
$x_1$$x_2$$x_3$
(1)0,30,20
(2)0,20,10,2
(3)00,20,3
223
In der dritten Zeile ergibt sich mit $5.000 : 0,3 = 16.666,67$ der kleinste Quotient. Damit hast du mit 0,3 dein Pivotelement gefunden. Das Simplex-Verfahren schreibt nun vor:
  • Forme Zeile (3) nun so um, dass das Pivot-Element 1 wird. Teile dazu die gesamte Zeile durch 0,3.
  • Forme die einzelnen Zeilen so um, dass Spalte (3) außer dem Pivot-Element nur Nullen enthält.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000(1) - 0 $\cdot$ (3)
(2)0,20,10,20106.000(2) - 0,2 $\cdot$ (3)
(3)00,671003,3316.667,67
223000$G$(4) - 3 $\cdot$ (3)
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,20,1
(3)00,67
22
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000
(2)0,2-0,033001-0,672.666,67
(3)00,671003,3316.667,67
20000-10$G$ - 50.000
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,2-0,033
(3)00,67
20
In der Zielfunktionszeile stehen immer noch nicht negative Zahlen. Also ist die Lösung weiter optimierbar. Du findest die größte positive Zahl in Spalte (1). Damit ist dies die Pivot-Spalte. Teile zeilenweise die Elemente aus der letzten Spalte durch das Element aus der 1. Spalte der jeweiligen Zeile. Tue dies allerdings nur, wenn das Element in der 1. Spalte positiv ist.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.0008.000 : 0,3 = 26.666,67
(2)0,2-0,033001-0,672.666,672666,67 : 0,2 = 13.333,33
(3)00,671003,3316.667,67
20000-10$G$ - 50.000
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,2-0,033
(3)00,67
20
In der ersten Zeile ergibt sich mit $2666,67 : 0,2 = 13.333,33$ der kleinste positive Wert, damit ist dies die Pivot-Zeile. Gehe nun vor wie oben.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000(1) - 0,3 $\cdot$ (2)
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,67(3) - 0 $\cdot$ (2)
20000-10$G$ - 50.000(4) - 2 $\cdot$ (2)
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)1-0,167
(3)00,67
20
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)00,2501-1,514.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,67
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67
$x_1$$x_2$
(1)00,25
(2)1-0,167
(3)00,67
00,33
Nun befindet sich das Pivot-Element offensichtlich in Spalte (2). Gehe hier wieder so vor wie eben:
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)00,2501-1,514.0004000:0,25 = 16.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,6716.666,67:0,67 = 24.875,63
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67
$x_1$$x_2$
(1)00,25
(2)1-0,167
(3)00,67
00,33
Da sich in Zeile (1) der kleinste positive Wert ergeben hat, befindet sich hier das Pivot-Element.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0104-6416.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33(2) + 0,167 $\cdot$ (1)
(3)00,671003,3316.667,67(3) - 0,67 $\cdot$ (1)
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67(4) + 0,33 $\cdot$ (1)
$x_1$$x_2$
(1)01
(2)1-0,167
(3)00,67
00,3
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0104-6416.000
(2)1000,674-2,6716.000
(3)001-2,6740,676.000
000-1,33-8-4,67$G$ - 82.000
$x_1$$x_2$
(1)01
(2)10
(3)00
00
Die optimale Lösung lautet also $x_1 = 16.000$, $x_2 = 16.000$ und $x_3 = 6000$, mit einem Gewinn von 82.000 GE. Setze nun diese Werte in die Nebenbedingungen ein, um zu ermitteln, ob alle Stoffe restlos aufgebraucht werden:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 16.000 + 0 \cdot 6.000 = 8000 \leq 8.000$
  • $(2\quad 0,2 \cdot 16.000 + 0,1 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 6.000 = 6.000 \leq 6.000$
  • $(3)\quad 0 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 16.000 + 0,3 \cdot 6.000 = 5.000 \leq 5.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2\quad …$
  • $(3)\quad …$
Da bei allen Nebenbedingungen Gleichheit herrscht, werden alle Stoffe mit der optimalen Lösung restlos aufgebraucht.
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1.1
1.1.1
$\blacktriangleright$ Graphisch Bestimmen, wie viele Sweatshirts hergestellt werden müssen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Pulloverhersteller drei unterschiedliche Sweatshirts der Größe XL herstellt, die sich in der Zusammensetzung der drei Ausgangsmaterialen Baumwolle, Viskose und Polyester, gemäß der gegebenen Tabelle, unterscheiden. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ jeweils 0,5 kg Stoff benötigt werden, während insgesamt
  • 8.000 kg Baumwolle,
  • 6.000 kg Viskose und
  • 5.000 kg Polyester
zur Verfügung stehen. Außerdem weißt du, dass zunächst 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt werden, wobei es deine Aufgabe ist, graphisch zu ermitteln, wie viele Sweatshirts der Sorten $A$ und $C$ das Unternehmen herstellen muss, damit der Gewinn maximiert wird.
Bevor du diese Aufgabe also lösen kannst, musst du zunächst ermitteln, wie die Zielfunktion des hier vorliegenden Optimierungsproblems aussieht. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte und dass dieses jeweils 2 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $A$ und $B$ und jeweils 3 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $C$ macht:
  • 1. Schritt: Bestimmen der Zielfunktion
Hast du die Zielfunktion des hier vorliegenden Problems ermittelt, so ermittelst du im nächsten Schritt die Nebenbedingungen:
  • 2. Schritt: Ermitteln der Nebenbedingungen
Führe dir beim Bestimmen der Nebenbedingungen folgendes vor Augen:
  • Für die Herstellung der Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ werden jeweils 0,5 kg Stoff benötigt.
  • Der Vorrat an Stoff ist beschränkt:
    • 8.000 kg Baumwolle
    • 6.000 kg Viskose
    • 5.000 kg Polyester
  • Aus welchen Bestandteilen der einzelnen Stoffe ein Sweatshirt besteht, kannst du der Tabelle entnehmen.
  • Die Angaben aus der Tabelle müssen sich auf 0,5 kg beziehen.
  • Es werden 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt.
  • Nichtnegativitätsbedingung!
Hast du die Nebenbedingungen ermittelt, so überträgst du diese in ein Koordinatensystem, in welchem die Achsen für die Anzahl der produzierten Einheiten des Sweatshirts $A$ und des Sweatshirts $B$ stehen. Bestimme anschließend über das parallele Verschieben der Zielfunktion die optimale Lösung des Problems:
  • 3. Schritt: Graphisches Bestimmen der optimalen Lösung
1. Schritt: Bestimmen der Zielfunktion
Von oben weißt du, dass das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte, während es jeweils 2 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $A$ und $B$ und jeweils 3 € Gewinn am Verkauf von Sweatshirt $C$ macht. $x_1$ steht hier für die verkauften Mengen von Sweatshirt $A$, $x_2$ für die verkauften Mengen von Sweatshirt $B$ und $x_3$ für die verkauften Mengen von Sweatshirt $C$.
Will das Unternehmen seinen Gewinn maximieren, so muss die Zielfunktion wie folgt lauten:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$
Da du weißt, dass das Unternehmen alle Sweatshirts verkauft bekommt und bereits 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ hergestellt hat, lässt sich die Zielfunktion wie folgt ergänzen:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot 10.000 + 3 \cdot x_3 = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
$G $$= 2 \cdot x_1 + 2 \cdot 10.000 + 3 \cdot x_3 $$= 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
2. Schritt: Bestimmen der Nebenbedingungen
Bevor du hier die Nebenbedingungen bestimmen kannst, musst du zunächst bestimmen, wie viel kg der einzelnen Stoffe für die Herstellung eines Sweatshirts der Sorten $A$, $B$ und $C$ benötigt werden. Da insgesamt 0,5 kg Stoff für die Herstellung eines Sweatshirts benötigt werden, lässt sich mit dieser Angabe auf die benötigte Menge in kg schließen.
Für die Herstellung von Sweatshirt $A$ werden beispielsweise $0,6 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0,3\,\text{kg}$ Baumwolle benötigt und für $B$ und $C$ gilt demnach:
  • Bedarf an Baumwolle für $B$: $0,4 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0,2\,\text{kg}$
  • Bedarf an Baumwolle für $C$: $0 \cdot 0,5\,\text{kg} = 0\,\text{kg}$
Da insgesamt 8.000 kg Baumwolle zur Verfügung stehen, ergibt sich die erste Nebenbedingung zu:
  • $(1)\quad0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000$
  • $(1)\quad…$
Bildest du die Nebenbedingungen für Viskose und Polyester auf die gleiche Weise, so sollten die Nebenbedingungen $(2)$ und $(3)$ so bei dir aussehen:
  • $(2)\quad0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot x_2 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000$
  • $(3)\quad0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(2)\quad…$
  • $(3)\quad…$
Da bereits 10.000 Exemplare der Sorte $B$ hergestellt wurden, lassen sich die hier aufgestellten Nebenbedingungen wie folgt anpassen:
  • $(1)\quad0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot 10.000 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000\;\Leftrightarrow\;0,3 \cdot x_1 \leq 6.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot 10.000 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000\;\Leftrightarrow\; 0,2 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(3)\quad0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot 10.000 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000\;\Leftrightarrow\;0,3 \cdot x_3 \leq 3.000$
  • $(1)\quad…$
  • $(2)\quad…$
  • $(3)\quad…$
Da keine negativen Mengen produziert werden können, muss außerdem noch für die Variablen $x_1,\;x_2$ und $x_3$ gelten:
  • $x_1,\;x_2,\;x_3 \geq 0$.
3. Schritt: Graphisches Bestimmen der optimalen Lösung
Bevor du nun die optimale Lösung bestimmen kannst, musst du zunächst die Nebenbedingungen $(1)$ bis $(3)$ in ein geeignetes Koordinatensystem übertragen. Wähle dazu die Anzahl von $x_1$ als $x$-Achse und die Anzahl von $x_3$ als $y$-Achse.
Stelle anschließend deine Nebenbedingungen nach $x_1$ bzw. $x_3$ um, um diese in das Schaubild übertragen zu können:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 \leq 6.000\;\Leftrightarrow\;x_1 \leq 20.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000\;\Leftrightarrow\; 0,2 \cdot x_3 \leq 5.000 - 0,2 \cdot x_1\;\Leftrightarrow\;x_3 \leq 25.000 - x_1 $
  • $(3)\quad 0,3 \cdot x_3 \leq 3.000 \;\Leftrightarrow\;x_3 \leq 10.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad … $
  • $(3)\quad …$
Zeichne diese Restriktionen nun in ein passendes Schaubild und er halte so den zulässigen Bereich für deine Lösung:
Lineare Optimierung
Lineare Optimierung
Stelle nun ebenfalls die Zielfunktion wie folgt nach $x_3$ um, nimm dazu ein beliebiges $G$ an und zeichne diese ein (hier orange). Verschiebe diese anschließend so lange bis du die optimale Lösung ermittelt hast (hier rot). Mit $G = 50.000$ ergibt sich
$\begin{array}{rrlrl} G &=& 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 +20.000&& \mid\; -3 \cdot x_3 \mid\;: (-3) \\[5pt] x_3-\dfrac{G}{3} &=& -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3}&& \mid\; +\dfrac{G}{3} \\[5pt] x_3 &=& \dfrac{50.000}{3} -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3} \\[5pt] x_3 &=& 10.000 -\frac{2}{3} \cdot x_1 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} G &=& 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 +20.000 \\[5pt] x_3-\dfrac{G}{3} &=& -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3} \\[5pt] x_3 &=& \dfrac{50.000}{3} -\frac{2}{3} \cdot x_1 -\dfrac{20.000}{3} \\[5pt] x_3 &=& 10.000 -\frac{2}{3} \cdot x_1 \end{array}$
Lineare Optimierung
Lineare Optimierung
Es ergeben sich hier also folgende zwei mögliche Lösungen:
  • $x_1 = 20.000$ und $x_3 = 5.000$ sowie
  • $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$.
Welche dieser beiden die optimale Lösung darstellt, wird im zweiten Teil dieser Aufgabe geklärt.
$\blacktriangleright$Angeben des maximalen Gewinns
Den maximalen Gewinn kannst du hier ermitteln, indem du nun die oben ermittelten Lösungen in die Zielfunktion $G$ einsetzt. Diese war gegeben mit:
$G = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
$G = 2 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 20.000$
1.Lösung: $\boldsymbol{x_1 = 20.000}$ und $\boldsymbol{x_3 = 5.000}$
$G_1 $$= 2 \cdot 20.000 + 3 \cdot 5.000 + 20.000 $$= 75.000$
2.Lösung: $\boldsymbol{x_1 = 15.000}$ und $\boldsymbol{x_3 = 10.000}$
$G_2 $$= 2 \cdot 15.000 + 3 \cdot 10.000 + 20.000 $$= 80.000$
Die optimale Lösung ist $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$. Der zugehörige maximale Gewinn ist 80.000.
1.1.2
$\blacktriangleright$Ermitteln, welches Ausgangsmaterial nicht vollständig aufgebraucht wird
Nun sollst du ermitteln, welches Ausgangsmaterial, also Baumwolle, Viskose und Polyester, mit der von dir oben ermittelten Lösung nicht vollständig aufgebraucht wurde. Die Lösung aus dem vorherigen Aufgabenteil war dabei gegeben mit:
  • Sweatshirt $A$: 15.000
  • Sweatshirt $B$: 10.000
  • Sweatshirt $C$: 10.000
Setze diese Größen nun in die Nebenbedingungen ein. Bei den Nebenbedingungen, bei welchen dann die linke nicht der rechten Seite der Ungleichung entspricht, wurden die gegeben Ausgangsmaterialien nicht vollständig aufgebraucht.
Setzt du nun $x_1 = 15.000$ und $x_3 = 10.000$ in $(1)$, $(2)$ und $(3)$ so solltest du zu folgenden Resultaten gekommen sein:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot 15.000 = 4.500 \leq 6.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot 15.000 + 0,2 \cdot 10.000 = 5000 \leq 5.000$
  • $(3)\quad 0,3 \cdot 10.000 = 3.000 \leq 3.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad …$
  • $(3)\quad …$
Betrachtest du nun die oben berechneten Werte genauer, so kannst du erkennen, dass bei der ersten Ungleichung die linke Seite kleiner der rechten ist. Folglich bleiben 1.500 kg Baumwolle übrig.
$\blacktriangleright$Ermitteln, wie hoch der Gewinn von Sweatshirt $\boldsymbol{A}$ sein muss
Nun sollst du berechnen, auf wie viel Euro der Gewinn pro verkauftem Sweatshirt $A$ mindestens ansteigen müsste, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig verbraucht wird und der Gewinn insgesamt immer noch maximal ist.
Das heißt, in diesem Aufgabenteil wird der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$ so gesucht, dass damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht wird und der Gewinn weiterhin maximal ist. Das heißt, du musst zuerst bestimmen, wie viele Einheiten von Sweatshirt $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit das Ausgangsmaterial Baumwolle vollständig aufgebraucht ist. Verwende dazu die Nebenbedingungen.
Hast du die Anzahlen von $A$ und $C$ so bestimmt, dass Rohstoff $A$ vollständig aufgebraucht ist, so betrachtest du die Zielfunktion. Dir ist bekannt, dass der maximale Gewinn bei 80.000 liegt. Weiterhin weißt du dann, wie viele Einheiten an $A$, $B$ und $C$ hergestellt werden. Das einzige was du nicht kennst ist der Gewinn $g_A$ von Sweatshirt $A$. Löse also nach $g_A$ auf!
Gehe also so vor:
  • Bestimme wie viele Einheiten von $A$ und $C$ hergestellt werden müssen, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist.
  • Setze in die Zielfunktion ein und löse nach $g_A$.
1. Schritt: Bestimmen der Einheiten von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$
Willst du ermitteln, wie viele Einheiten von $A$ hergestellt werden müssen, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist, löst du die Nebenbedingung (1) nach $x_1$ auf:
$\begin{array}{rrlrl} 0,3 \cdot x_1&\leq& 6.000 && \mid\; : 0,3 \\[5pt] x_1&\leq& 20.000 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0,3 \cdot x_1&\leq& 6.000 \\[5pt] x_1&\leq& 20.000 \end{array}$
Es müssen also 20.000 Sweatshirts von Typ $A$ hergestellt werden, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist. Setze dieses Ergebnis nun in Nebenbedingung (2) ein, um zu ermitteln, wie viele Einheiten von $C$ hergestellt werden müssen:
$\begin{array}{rrlrl} 0,2 \cdot 20.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 4.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 && \mid\; - 4.000 \\[5pt] 0,2 \cdot x_3&\leq& 1.000 && \mid\; :0,2 \\[5pt] x_3&\leq& 5.000 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0,2 \cdot 20.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 4.000 + 0,2 \cdot x_3&\leq& 5.000 \\[5pt] 0,2 \cdot x_3&\leq& 1.000 \\[5pt] x_3&\leq& 5.000 \end{array}$
Es müssen also 5.000 Einheiten von Sweatshirts $C$ hergestellt werden, damit die Baumwolle vollständig aufgebraucht ist.
2. Schritt: Bestimmen des gesuchten Gewinns
Willst du nun den hier gesuchten Gewinn $g_A$ für Sweatshirt $A$ bestimmen, so setzt du $x_3 = 5.000$ und $x_1 = 20.000$ in die Zielfunktion ein. Da der maximale Gewinn bei 90.000 liegt, setzt du die Zielfunktion damit gleich und löst nach dem Gewinn $g_a$ für Sweatshirt $A$ auf.
$\begin{array}{rrlrl} 80.000&=& 20.000 \cdot g_a + 20.000 + 5.000 \cdot 3 \\[5pt] 80.000&=& 20.000 \cdot g_a +35.000&& \mid \; -35.000 \\[5pt] 45.000&=& 20.000 \cdot g_a&& \mid \; :20.000 \\[5pt] 2,25&=& g_a \end{array}$
$\begin{array}{rrlrl} 2,25&=& g_a \end{array}$
Der Gewinn beim Verkauf eines Sweatshirts vom Typ $A$ muss also bei 2,25 € liegen.
1.2
$\blacktriangleright$Bestimmen der Produktionszahlen und Angeben, ob Materialien übrig bleiben
Nun wird dem Unternehmen geraten, die festgelegte Produktionsanzahl von 10.000 Sweatshirts der Sorte $B$ fallen zu lassen, damit der Gewinn noch weiter gesteigert werden kann.
Deine Aufgabe ist es nun, mit Hilfe des Simplexalgorithmus die Anzahl der herzustellenden Sweatshirts $A$, $B$ und $C$ so zu bestimmen, dass der Gewinn dann maximal wird. Weiterhin sollst du überprüfen, ob Ausgangsmaterialien übrig bleiben.
Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen bleiben also bei dieser Aufgabe unverändert. Diese hast du bereits im Aufgabenteil zuvor bestimmt. Denke beim Aufstellen des Problems hier daran, dass die Produktionsanzahl der Sweatshirts der Sorte $B$ nun unbekannt ist.
Die Zielfunktion war:
$G = 2 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3$ mit:
  • $x_1$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $A$;
  • $x_2$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $B$;
  • $x_3$: Produktionsmenge des Sweatshirts der Sorte $C$.
Die Nebenbedingungen waren:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \leq 8.000$
  • $(2)\quad 0,2 \cdot x_1 + 0,1 \cdot x_2 + 0,2 \cdot x_3 \leq 6.000$
  • $(3)\quad 0 \cdot x_1 + 0,2 \cdot x_2 + 0,3 \cdot x_3 \leq 5.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2)\quad …$
  • $(3)\quad …$
Willst du nun dieses Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus lösen, so musst du hier so vorgehen:
  • Führe für die Nebenbedingungen die Schlupfvariablen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ ein und stelle diese anschließend in einem Simplex-Tableau dar.
  • Identifiziere das Pivot-Element.
  • Führe den Simplex-Algorithmus durch. Die optimale Lösung ist gefunden, wen in der Zielfunktionszeile keine positiven Werte mehr zu finden sind.
1. Schritt: Schlupfvariablen einführen
Die drei Nebenbedingungen von oben sind Ungleichungen und enthalten jeweils ein $\leq$. Es muss also ein gewisser Wert $u_1$, $u_2$ oder $u_3$ zu diesen addiert werden, um Gleichheit herzustellen. Die drei Ungleichungen ergeben sich dann zu:
$\begin{array}{l@{\quad}*{6}{rc}r@{\quad}l} (1)&0,3 \cdot x_1&+&0,2 \cdot x_2&+&0 \cdot x_3&+&u_1&&&&&=&8.000\\ (2)&0,2 \cdot x_1&+&0,1 \cdot x_2&+&0,2 \cdot x_3&&&+&u_2&&&=&6.000\\ (3)&0 \cdot x_1&+&0,2 \cdot x_2&+&0,3 \cdot x_3&&&&&+&u_3&=&5.000\\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\quad}*{6}{rc}r@{\quad}l} (1)&…\\ (2)&…\\ (3)&…\\ \end{array}$
2. Schritt: Simplex-Tableau erstellen und Algorithmus ausführen
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$
0,30,201008.000
0,20,10,20106.000
00,20,30015.000
223000$G$
$x_1$$x_2$$x_3$
0,30,20
0,20,10,2
00,20,3
223
In der Zielfunktionszeile ist die größte positive Zahl in Spalte (3) zu finden. Hier wird Spalte (3) also als Pivot-Spalte gewählt. Teile zeilenweise die Elemente aus der letzten Spalte durch das Element aus der 3. Spalte der jeweiligen Zeile. Tue dies allerdings nur, wenn das Element in der 3. Spalte positiv ist.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Rechnung
(1)0,30,201008.000
(2)0,20,10,20106.0006.000 : 0,2 = 30.000
(3)00,20,30015.0005.000 : 0,3 = 16.666,67
223000$G$
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,20,1
(3)00,2
22
In der dritten Zeile ergibt sich mit $5.000 : 0,3 = 16.666,67$ der kleinste Quotient. Damit hast du mit 0,3 dein Pivotelement gefunden. Das Simplex-Verfahren schreibt nun vor:
  • Forme Zeile (3) nun so um, dass das Pivot-Element 1 wird. Teile dazu die gesamte Zeile durch 0,3.
  • Forme die einzelnen Zeilen so um, dass Spalte (3) außer dem Pivot-Element nur Nullen enthält.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000(1) - 0 $\cdot$ (3)
(2)0,20,10,20106.000(2) - 0,2 $\cdot$ (3)
(3)00,671003,3316.667,67
223000$G$(4) - 3 $\cdot$ (3)
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,20,1
(3)00,67
22
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000
(2)0,2-0,033001-0,672.666,67
(3)00,671003,3316.667,67
20000-10$G$ - 50.000
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,2-0,033
(3)00,67
20
In der Zielfunktionszeile stehen immer noch nicht negative Zahlen. Also ist die Lösung weiter optimierbar. Du findest die größte positive Zahl in Spalte (1). Damit ist dies die Pivot-Spalte. Teile zeilenweise die Elemente aus der letzten Spalte durch das Element aus der 1. Spalte der jeweiligen Zeile. Tue dies allerdings nur, wenn das Element in der 1. Spalte positiv ist.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.0008.000 : 0,3 = 26.666,67
(2)0,2-0,033001-0,672.666,672666,67 : 0,2 = 13.333,33
(3)00,671003,3316.667,67
20000-10$G$ - 50.000
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)0,2-0,033
(3)00,67
20
In der ersten Zeile ergibt sich mit $2666,67 : 0,2 = 13.333,33$ der kleinste positive Wert, damit ist dies die Pivot-Zeile. Gehe nun vor wie oben.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0,30,201008.000(1) - 0,3 $\cdot$ (2)
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,67(3) - 0 $\cdot$ (2)
20000-10$G$ - 50.000(4) - 2 $\cdot$ (2)
$x_1$$x_2$
(1)0,30,2
(2)1-0,167
(3)00,67
20
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)00,2501-1,514.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,67
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67
$x_1$$x_2$
(1)00,25
(2)1-0,167
(3)00,67
00,33
Nun befindet sich das Pivot-Element offensichtlich in Spalte (2). Gehe hier wieder so vor wie eben:
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)00,2501-1,514.0004000:0,25 = 16.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33
(3)00,671003,3316.667,6716.666,67:0,67 = 24.875,63
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67
$x_1$$x_2$
(1)00,25
(2)1-0,167
(3)00,67
00,33
Da sich in Zeile (1) der kleinste positive Wert ergeben hat, befindet sich hier das Pivot-Element.
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0104-6416.000
(2)1-0,167005-3,33313.333,33(2) + 0,167 $\cdot$ (1)
(3)00,671003,3316.667,67(3) - 0,67 $\cdot$ (1)
00,3300-103,33$G$ - 76.666,67(4) + 0,33 $\cdot$ (1)
$x_1$$x_2$
(1)01
(2)1-0,167
(3)00,67
00,33
$x_1$$x_2$$x_3$$u_1$$u_2$$u_3$Umformung
(1)0104-6416.000
(2)1000,674-2,6716.000
(3)001-2,6740,676.000
000-1,33-8-4,67$G$ - 82.000
$x_1$$x_2$
(1)01
(2)10
(3)00
00
Die optimale Lösung lautet also $x_1 = 16.000$, $x_2 = 16.000$ und $x_3 = 6000$, mit einem Gewinn von 82.000 GE. Setze nun diese Werte in die Nebenbedingungen ein, um zu ermitteln, ob alle Stoffe restlos aufgebraucht werden:
  • $(1)\quad 0,3 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 16.000 + 0 \cdot 6.000 = 8000 \leq 8.000$
  • $(2\quad 0,2 \cdot 16.000 + 0,1 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 6.000 = 6.000 \leq 6.000$
  • $(3)\quad 0 \cdot 16.000 + 0,2 \cdot 16.000 + 0,3 \cdot 6.000 = 5.000 \leq 5.000$
  • $(1)\quad …$
  • $(2\quad …$
  • $(3)\quad …$
Da bei allen Nebenbedingungen Gleichheit herrscht, werden alle Stoffe mit der optimalen Lösung restlos aufgebraucht.
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