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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
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Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
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Analysis 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
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Analysis 1
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
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Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...

Vektorgeometrie

Aufgaben
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1
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$;$\quad r\in\mathbb{R}$
und
$h:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$;$\quad s\in\mathbb{R}$
sowie die Punkte $A(1\mid3\mid-5)$, $B(5\mid-5\mid7)$, $C(7\mid-9\mid14)$ und $D(3\mid-1\mid2)$.
1.1
Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $h$ enthält.
(4P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Untersuchen Sie, ob die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ in einer gemeinsamen Ebene liegen.
(2P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Zeigen Sie, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
(4P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Untersuchen Sie, ob die Gerade
$k:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}$;$\quad t\in\mathbb{R}$
die Fläche des Parallelogramms $ABCD$ durchstößt.
(5P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punktprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
$\blacktriangleright$Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
1.2
$\blacktriangleright$Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1.3
$\blacktriangleright$Beweis des Parallelogramms
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
$|\vec{v}|$$\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1.4
$\blacktriangleright$Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punktprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
1. Schritt: Beweis der Parallelität
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
D.h.:
$\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}x\cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor von $g$ kann also als ein Vielfaches vom Richtungsvektor von $h$ dargestellt werden. $g$ und $h$ sind also parallel.
2. Schritt: Beweis, dass $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht identisch sind
$g$ und $h$ sind identisch, wenn bzw. wenn$g$ und $h$ parallel sind und ein Punkt existiert, der sowohl auf $g$ als auch auf $h$ liegt.
Aus dem Stützvektor $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ lässt sich ein Punkt ablesen, der auf $g$ liegt. Setze diesen in einer Punktprobe mit $h$ gleich und prüfe, ob ein Parameter $s$ existiert, damit die Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{rrlrl} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&& \mid\;-\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
Für die erste Zeile und zweite Zeile existiert ein $s$, welches die Gleichung erfüllt, $s=2$. Allerdings existiert für die dritte Zeile ein anderes $s$, nämlich $s=\frac{10}{3}$.
Es existiert somit kein einheitliches $s$, damit die Gleichung erfüllt wird. D.h., dass $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ nicht auf $h$ liegt.
$g$ und $h$ sind nicht identisch.
$\blacktriangleright$Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
Wähle $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ als ersten Spannvektor der Ebene.
Da $g$ und $h$ parallel sind, kannst du nun mit einem Punkt, der auf $h$ liegt, einen zweiten Spannvektor definieren. Dazu musst du noch den Stützvektor der Ebene von ihm subtrahieren. Aus dem Stützvektor von $h$ kannst du einen Punkt ablesen, der auf $h$ liegt.
$\begin{array}{rrl} E:\quad\vec{x}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-1-3\\2-(-5)\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} E:\quad\vec{x}&=&… \end{array}$
1.2
$\blacktriangleright$Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$\begin{array}{rrrl} E:& \vec{x}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}7-1\\-9-3\\14-(-5)\end{pmatrix} \\[5pt] &&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrrl} E:& \vec{x}&=&… \end{array}$
2. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{\overrightarrow{OD}}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt
$\begin{array}{rrl} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD} \end{array}$
Löse die Gleichung mit dem CAS. Nutze dazu den Befehl solve und löse die Gleichung nach $r$ und $s$ auf.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Jetzt hast du $\boldsymbol{r=-1}$ und $\boldsymbol{s=1}$ berechnet.
Der CAS liefert dir, dass eine eindeutige Lösung existiert. Das heißt, es gibt Werte für $r$ und $s$, sodass die Ebene den Punkt $D$ darstellt.
Wir setzen diese Werte nun ein und rechnen nach:
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Daraus folgt:
Die Punkte $A, B, C$ und $D$ liegen in einer Ebene.
1.3
$\blacktriangleright$Beweis des Parallelogramms
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1. Schritt: Seitenlängen des Vierecks berechnen und vergleichen
Seitenlänge $|\overrightarrow{AB}|$:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$
Nach gleichem Vorgehen ergibt sich für die anderen Seitenlängen:
$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$,$\quad\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$,$\quad \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
Du kannst erkennen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$ sowie $\boldsymbol{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$ gilt, d.h. die Beträge von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$, bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ sind ebenfalls identisch.
Gleichzeitig sind $\overrightarrow{AB}$ und $ \overrightarrow{DC}$ bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ parallel.
Daraus folgt:
Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich um ein Parallelogramm.
2. Schritt: Prüfen, ob es sich um ein Rechteck handelt
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Satz des Pythagoras
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Teile das Parallelogramm in zwei Dreiecke auf und prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn man in einem Parallelogramm einen rechten Winkel nachweisen kann, so sind alle anderen Winkel ebenfalls rechte Winkel.
Falls es sich bei dem Dreieck $ABD$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden. $|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2\stackrel{!}{=}|\overrightarrow{BD}|^2$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Der norm-Befehl berechnet die Länge des Vektors, sodass man sich das Ausformulieren sparen kann.
Menü $\to$ 7:Matrix und Vektor $\to$ 7:Normen $\to$ 1:Norm
Menü $\to$ 7:Matrix und Vektor $\to$ 7:Normen $\to$ 1:Norm
Stelle dir so die Gleichung im CAS dar.
Im Folgenden wird gezeigt, wie sich die Gleichung ohne den CAS berechnen lässt.
$\begin{array}{rrl} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2 \\[5pt] \left(\sqrt{4^2+(-8)^2+12^2}\right)^2+\left(\sqrt{2^2+(-4)^2+7^2}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{(-2)^2+4^2+(-5)^2}\right)^2 \\[5pt] \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2 \\[5pt] 224+69&\stackrel{!}{=}&45 \\[5pt] 293&\neq&45 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2 \\[5pt] \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2 \\[5pt] 224+69&\stackrel{!}{=}&45 \\[5pt] 293&\neq&45 \end{array}$
Hieraus ergibt sich, dass die Gleichung nicht lösbar ist, d.h. es handelt sich um kein rechtwinkliges Dreieck, da der Satz des Pythagoras nicht gilt.
Daraus folgt:
Das Parallelogramm hat keinen rechten Winkel und ist somit kein Rechteck.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Skalarprodukt
Wenn $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0}$, dann stehen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ orthogonal zueinander. Somit liegt ein rechter Winkel zwischen den Vektoren.
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] (4\cdot2+(-8)\cdot(-4)+12\cdot7)&\stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] 124&\neq&0 \end{array}$
$\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ stehen nicht orthogonal zueinander. Das Parallelogramm ist somit kein Rechteck.
1.4
$\blacktriangleright$Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$\begin{array}{rrll} E:&\vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD} \\[5pt] &&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrll} E:&\vec{x}&=&… \end{array}$
2. Schritt: Gerade mit der Ebene gleichsetzen
$\begin{array}{rrlrl} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&&\mid\;-t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrlrl} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&… \end{array}$
3. Schritt: Parameterwerte berechnen
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Löse die Gleichung nun mit Hilfe des CAS.
Nutze hierzu den solve-Befehl und löse nach $r,\,s$ und $t$ auf.
Mit dem CAS ergeben sich so die Werte $\boldsymbol{r=\dfrac{1}{2},\,s=-\dfrac{1}{2}}$ und $\boldsymbol{t=\dfrac{1}{4}}$.
Für $0\leq r\leq1$ und $0\leq s\leq1$ werden Punkte innerhalb des Parallelogramms dargestellt.
$r=\dfrac{1}{2}$ bedeutet, dass der Schnittpunkt auf der Hälfte der Länge von $\overrightarrow{AB}$ liegt. $s=-\dfrac{1}{2}$ zeigt, dass der Schnittpunkt weiterhin auf der Hälfte der Länge des Gegenvektors von $\overrightarrow{AD}$ liegt und dadurch außerhalb der Fläche des Parallelogramms.
Somit durchstößt \(k\) das Parallelogramm \(ABCD\) nicht.
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punktprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
1. Schritt: Beweis der Parallelität
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
D.h.:
$\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}x\cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor von $g$ kann also als ein Vielfaches vom Richtungsvektor von $h$ dargestellt werden. $g$ und $h$ sind also parallel.
2. Schritt: Beweis, dass $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht identisch sind
$g$ und $h$ sind identisch, wenn bzw. wenn$g$ und $h$ parallel sind und ein Punkt existiert, der sowohl auf $g$ als auch auf $h$ liegt.
Aus dem Stützvektor $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ lässt sich ein Punkt ablesen, der auf $g$ liegt. Setze diesen in einer Punktprobe mit $h$ gleich und prüfe, ob ein Parameter $s$ existiert, damit die Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{rrlrl} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&& \mid\;-\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
Für die erste Zeile und zweite Zeile existiert ein $s$, welches die Gleichung erfüllt, $s=2$. Allerdings existiert für die dritte Zeile ein anderes $s$, nämlich $s=\frac{10}{3}$.
Es existiert somit kein einheitliches $s$, damit die Gleichung erfüllt wird. D.h., dass $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ nicht auf $h$ liegt.
$g$ und $h$ sind nicht identisch.
$\blacktriangleright$Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
Wähle $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ als ersten Spannvektor der Ebene.
Da $g$ und $h$ parallel sind, kannst du nun mit einem Punkt, der auf $h$ liegt, einen zweiten Spannvektor definieren. Dazu musst du noch den Stützvektor der Ebene von ihm subtrahieren. Aus dem Stützvektor von $h$ kannst du einen Punkt ablesen, der auf $h$ liegt.
$E:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-1-3\\2-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rrl} E:\quad\vec{x}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-1-3\\2-(-5)\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \end{array}$
1.2
$\blacktriangleright$Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$E:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}7-1\\-9-3\\14-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rrrl} E:& \vec{x}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}7-1\\-9-3\\14-(-5)\end{pmatrix} \\[5pt] &&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{\overrightarrow{OD}}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt
$\begin{array}{rrl} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Löse die Gleichung mit dem CAS, indem du sie in ein lineares Gleichungssystem umschreibst. Dies tust du, indem du jede „ Zeile“ einzeln abliest:
  1. $1+4\cdot r +6\cdot s = 3$
  2. $3-8\cdot r -12\cdot s = -1$
  3. $-5 +12\cdot r + 19 \cdot s = 2 $
In deinem CAS findest du den Befehl für ein LGS unter
Keyboard $\to$ 2D $\to$ $\{^{()}_{()}$
Da du hier nur zwei Variablen, aber drei Gleichungen gegeben hast, löse zunächst das LGS, das sich aus den letzten beiden Gleichungen ergibt und setze die Lösungen für $r$ und $s$ in die erste Gleichung ein. Stimmt die erste Gleichung mit diesen Lösungen, so liegt der Punkt $D$ in der gleichen Ebene wie $A$, $B$ und $C$.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Aus den letzten beiden Gleichungen ergeben sich die Lösungen: $r= -1$, $s=1$.
Setze dies nun in die erste Gleichung ein:
$\begin{array}{rrlrl} 1+4\cdot r + 6\cdot s&=&3&& r =-1,\; s = 1 \\[5pt] 1+4\cdot(-1) +6 \cdot 1 &=&3 \\[5pt] 3&3 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 1+4\cdot r + 6\cdot s&=&3 \\[5pt] 1+4\cdot(-1) +6 \cdot 1 &=&3 \\[5pt] 3&3 \end{array}$
Daraus folgt:
Die Punkte $A, B, C$ und $D$ liegen in einer Ebene.
1.3
$\blacktriangleright$Beweis des Parallelogramms
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1. Schritt: Seitenlängen des Vierecks berechnen und vergleichen
Seitenlänge $|\overrightarrow{AB}|$:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$
Nach gleichem Vorgehen ergibt sich für die anderen Seitenlängen:
$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$,$\quad\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$,$\quad \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
Du kannst erkennen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$ sowie $\boldsymbol{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$ gilt, d.h. die Beträge von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$, bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ sind ebenfalls identisch.
Gleichzeitig sind $\overrightarrow{AB}$ und $ \overrightarrow{DC}$ bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ parallel.
Daraus folgt:
Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich um ein Parallelogramm.
2. Schritt: Prüfen, ob es sich um ein Rechteck handelt
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Satz des Pythagoras
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Teile das Parallelogramm in zwei Dreiecke auf und prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn man in einem Parallelogramm einen rechten Winkel nachweisen kann, so sind alle anderen Winkel ebenfalls rechte Winkel.
Falls es sich bei dem Dreieck $ABD$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden. $|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2\stackrel{!}{=}|\overrightarrow{BD}|^2$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Der norm-Befehl berechnet die Länge des Vektors, sodass man sich das Ausformulieren sparen kann.
Berechne so zunächst den linken Term der Gleichung und anschließend den rechten Term:
$293 = 45$ Widerspruch
Im Folgenden wird gezeigt, wie sich die Gleichung ohne den CAS berechnen lässt.
$\begin{array}{rrl} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2 \\[5pt] \left(\sqrt{4^2+(-8)^2+12^2}\right)^2+\left(\sqrt{2^2+(-4)^2+7^2}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{(-2)^2+4^2+(-5)^2}\right)^2 \\[5pt] \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2 \\[5pt] 224+69&\stackrel{!}{=}&45 \\[5pt] 293&\neq&45 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2 \\[5pt] \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2 \\[5pt] 224+69&\stackrel{!}{=}&45 \\[5pt] 293&\neq&45 \end{array}$
Hieraus ergibt sich, dass die Gleichung nicht lösbar ist, d.h. es handelt sich um kein rechtwinkliges Dreieck, da der Satz des Pythagoras nicht gilt.
Daraus folgt:
Das Parallelogramm hat keinen rechten Winkel und ist somit kein Rechteck.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Skalarprodukt
Wenn $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0}$, dann stehen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ orthogonal zueinander. Somit liegt ein rechter Winkel zwischen den Vektoren.
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] (4\cdot2+(-8)\cdot(-4)+12\cdot7)&\stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] 124&\neq&0 \end{array}$
$\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ stehen nicht orthogonal zueinander. Das Parallelogramm ist somit kein Rechteck.
1.4
$\blacktriangleright$Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$\begin{array}{rrll} E:&\vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD} \\[5pt] &&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Gerade mit der Ebene gleichsetzen
$\begin{array}{rrlrl} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&&\mid\;-t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix}&&\mid\, -\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}&=&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rrl} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}&=&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix} \end{array}$
3. Schritt: Parameterwerte berechnen
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Löse die Gleichung nun mit Hilfe des CAS.
Nutze hierzu wieder den Befehl für ein lineares Gleichungssystem, indem du jede „ Zeile“ einzeln abliest:
  1. $0 = 4\cdot r + 2\cdot -4\cdot t$
  2. $-4 = -8\cdot r -4 \cdot s -8 \cdot t$
  3. $2 = 12\cdot r +7 \cdot s -2 \cdot t$
Mit dem CAS ergeben sich so die Werte $\boldsymbol{r=\dfrac{1}{2},\,s=-\dfrac{1}{2}}$ und $\boldsymbol{t=\dfrac{1}{4}}$.
Für $0\leq r\leq1$ und $0\leq s\leq1$ werden Punkte innerhalb des Parallelogramms dargestellt.
$r=\dfrac{1}{2}$ bedeutet, dass der Schnittpunkt auf der Hälfte der Länge von $\overrightarrow{AB}$ liegt. $s=-\dfrac{1}{2}$ zeigt, dass der Schnittpunkt weiterhin auf der Hälfte der Länge des Gegenvektors von $\overrightarrow{AD}$ liegt und dadurch außerhalb der Fläche des Parallelogramms.
Somit durchstößt \(k\) das Parallelogramm \(ABCD\) nicht.
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